Pi-lause

Pi-lause ( -lause , -lause ) on dimensioanalyysin peruslause . Lause väittää, että jos fyysisten suureiden välillä on riippuvuus, joka ei muuta muotoaan, kun tietyn yksikköluokan yksiköiden asteikot muuttuvat, niin se vastaa riippuvuutta yleisesti ottaen pienemmän luvun dimensiottomien välillä. määrät, missä on suurin määrä itsenäisiä mittoja alkusuureiden joukossa . Pi-lause mahdollistaa riippuvuuden yleisen rakenteen määrittämisen, mikä seuraa vain vaatimuksesta, että fyysinen riippuvuus on muuttumaton yksiköiden asteikkojen muuttuessa, vaikka alkuarvojen välisen riippuvuuden erityinen muoto olisi tuntematon. . $\Pi$ $\pi$ $n$ $p=nk$ $k$ $n$

Nimimuunnelmia

Venäjänkielisessä ulottuvuusteoriaa ja mallintamista käsittelevässä kirjallisuudessa käytetään yleensä nimeä pi-lause ( -lause , -lause ) [1] [2] [3] [4] , joka tulee perinteisestä dimensioimattomien yhdistelmien nimityksestä käyttäen (isot tai pienet) kreikkalainen kirjain " pi ". Englanninkielisessä kirjallisuudessa lause yhdistetään yleensä Edgar Buckinghamin nimeen ja ranskankielisessä kirjallisuudessa Aimé Vashí . $\Pi$ $\pi$

Historiallinen tausta

Ilmeisesti J. Bertrand [5] osoitti ensimmäisen kerran pi-lauseen vuonna 1878. Bertrand pohtii erityisiä esimerkkejä ongelmista sähködynamiikasta ja lämmönjohtavuuden teoriasta, mutta hänen esityksensä sisältää selkeästi kaikki pi-lauseen modernin todistuksen pääideat sekä selkeän viitteen pi-lauseen käytöstä mallintamiseen. fyysisiä ilmiöitä. Pi- lauseen soveltamismenetelmä ( dimensiomenetelmä ) tuli laajalti tunnetuksi Rayleighin teosten ansiosta (pi-lauseen ensimmäinen sovellus yleisessä muodossa [6] putkilinjan painehäviön riippuvuuteen parametrien määrittely juontaa juurensa luultavasti vuodelta 1892 [7] , heuristinen todistus käyttäen tehosarjan laajennusta vuoteen 1894 mennessä [8] ).

Pi-lauseen muodollisen yleistyksen mielivaltaisen määrän suureiden tapaukseen muotoili ensimmäisen kerran Vashí vuonna 1892 [9] ja myöhemmin ja ilmeisesti itsenäisesti A. Federman [10] , D. Ryabushinsky [11] vuonna 1911 ja Buckingham [12] vuonna 1914. Tämän jälkeen pi-lause yleistetään Hermann Weil vuonna 1926 .

Lauseen lause

Yksinkertaisuuden vuoksi positiivisten arvojen muotoilu on annettu alla . $q_{i}$

Oletetaan, että fyysisten suureiden , , , välillä on suhde : $n$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,

jonka muoto ei muutu, kun valitun yksikköjärjestelmän luokan yksiköiden asteikkoa muutetaan (esim. jos käytetään yksikköjärjestelmien luokkaa LMT, niin funktion muoto ei muutu standardien muutoksilla pituuden, ajan ja massan, esimerkiksi, kun siirrytään kilogrammoina, metreinä ja sekunteina mitatusta mittauksesta punnissa, tuumissa ja tunneissa). $f$

Valitaan funktion argumenteista suurin joukko itsenäisiä mittasuhteita omaavia suureita (sellainen valinta voidaan yleisesti ottaen tehdä eri tavoin). Jos sitten ilmoitetaan riippumattomien mittasuhteiden omaavien suureiden lukumäärä ja ne on numeroitu indekseillä , , , (muuten ne voidaan numeroida uudelleen), niin alkuriippuvuus on sama kuin dimensiottomien suureiden välinen riippuvuus , , , : $k$ $yksi$ $2$ $\ldots$ $k$ $f$ $p=nk$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,

missä ovat dimensittömät yhdistelmät, jotka on saatu jäljellä olevista alkuarvoista , , , jakamalla valituilla arvoilla asianmukaisissa potenssiissa: $\pi _{p}$ $q_{{k+1}}$ $q_{{k+2}}$ $\ldots$ $q_{n}$

\pi _{1}={\frac {q_{k+1}}{q_{1}^{a}\cdot q_{2}^{b}\cdot \ldots \cdot q_{k} ^{z}}},

\vdots

\pi _{p}={\frac {q_{n}}{q_{1}^{A}\cdot q_{2}^{B}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{ Z}}}

(dimensioimattomia yhdistelmiä on aina olemassa, koska , , , on kokoelma suurimman koon mitoista riippumattomia määriä , ja kun niihin lisätään vielä yksi suure, saadaan kokoelma riippuvaisilla mitoilla). $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$

Todiste

Pi-lauseen todistus on hyvin yksinkertainen [13] . Alkuriippuvuutta välillä , , , voidaan pitää jonkinlaisena riippuvuutena välillä , , , ja , , , : $f$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

\Phi (q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k},\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0 ,

Lisäksi funktion muoto ei myöskään muutu, kun yksiköiden asteikkoa muutetaan. On vielä huomioitava, että suureiden , , , mittariippumattomuuden vuoksi on aina mahdollista valita sellainen yksikkömittakaava, että nämä suureet ovat yhtä suuret kuin yksi, kun taas , , , , jotka ovat dimensittomia yhdistelmiä, eivät muuta niitä arvot siten valitulla yksikköasteikolla, mikä tarkoittaa, että invarianssista johtuen ja missä tahansa yksikköjärjestelmässä funktio itse asiassa riippuu vain : $\Phi$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$ $\Phi$ $\pi _{p}$

\Phi (1,1,\ldots ,1,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})\equiv H(\pi _{1}, \pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0.

Erikoistapaukset

Sovellus yhtälöön, joka on ratkaistu yhden suuren suhteen

Pi-lauseen muunnelmaa käytetään usein yhden fyysisen suuren toiminnalliseen riippuvuuteen useista muista , , , : $q$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}).

Tässä tapauksessa pi-lause sanoo, että riippuvuus vastaa yhteyttä

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p}),

missä

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta }\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ,

ja ne määritellään samalla tavalla kuin edellä. $\pi _{i}$

Tapaus, jossa pi-lause antaa riippuvuuden muodon kertoimeen asti

Yhdessä tärkeässä erityistapauksessa, kun riippuen

q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})

kaikilla argumenteilla on itsenäiset mitat, pi-lause antaa

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta }\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ={\teksti{const)),

eli toiminnallisen riippuvuuden tyyppi määritetään vakioon asti. Vakion arvoa ei määritetä mittateorian menetelmillä, vaan sen löytämiseksi on käytettävä kokeellisia tai muita teoreettisia menetelmiä.

Huomautuksia pi-lauseen soveltamisesta

Riippumattomien ulottuvuuksien omaavien argumenttien valinta voidaan yleisesti ottaen tehdä monin eri tavoin, minkä seurauksena pi-lausetta sovellettaessa voidaan saada muodollisesti erilaisia lausekkeita. Itse asiassa saadut tulokset ovat kuitenkin samanarvoisia, ja yhdestä merkintämuodosta voidaan saada toinen siirtymällä dimensiottomien parametrien yhdistelmiin.
Pi-lauseen muotoilussa riippuvuusinvarianssin vaatimus on tärkeä. Jos esimerkiksi työskennellessä kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä (SI) kokeessa saadaan putoavan kappaleen kulkeman reitin riippuvuus ajasta $s$ $t$

s={\frac {9{,}81\cdot t^{2}}{2}},

niin tässä muodossa se ei täytä pi-lauseen ehtoja.

Pi-lauseen soveltaminen fyysiseen mallinnukseen

Pi-lausetta käytetään erilaisten ilmiöiden fysikaaliseen mallintamiseen aerodynamiikassa , hydrodynamiikassa , elastisuusteoriassa ja värähtelyteoriassa . Mallintaminen perustuu siihen tosiasiaan, että jos kahdelle luonnolliselle prosessille ("malli" ja "luonnollinen", esimerkiksi ilmavirralle mallilentokoneen ympärillä tuulitunnelissa ja ilmavirralle todellisen lentokoneen ympärillä), dimensiottomat argumentit (ne kutsutaan samankaltaisuuskriteereiksi ) riippuen

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})

samat, mikä voidaan tehdä "malli"-objektin parametrien erityisellä valinnalla, niin myös funktion dimensittömät arvot ovat samat. Tämä mahdollistaa parametrien "uudelleenlaskemisen" "malli"-objektista "luonnolliseen", vaikka funktion muoto olisi tuntematon. Jos on mahdotonta saavuttaa kaikkien "mallin" ja "luonnon" objektien samankaltaisuuskriteerien yhteensopivuutta, he turvautuvat usein likimääräiseen mallinnukseen, kun samankaltaisuus saavutetaan vain kriteerien mukaan, jotka heijastavat merkittävimpien tekijöiden vaikutusta, kun taas toissijaisten tekijöiden vaikutus otetaan huomioon suunnilleen lisänäkökohtien perusteella (ei seuraa ulottuvuusteoriasta). $\pi$ $F$

Esimerkkejä pi-lauseen sovelluksista

Kellon värähtelytaajuus

Kellon äänen emissio tapahtuu sen omien värähtelyjen seurauksena , mikä voidaan kuvata lineaarisen kimmoteorian puitteissa . Lähetetyn äänen taajuus riippuu metallin tiheydestä , Youngin moduulista ja Poissonin suhteesta, josta kello on valmistettu , sekä kellon geometristen mittojen äärellisestä määrästä , , : $f$ $\rho$ $E$ $\nu$ $l_{1}$ $l_{2}$ $\ldots$ $l_{N}$

f=F(\rho ,E,\nu ,l_{1},l_{2},\ldots ,l_{N}).

Jos käytetään yksikköjärjestelmien luokkaa LMT, niin esimerkiksi , ja voidaan valita suureiksi, joilla on itsenäiset mitat (valitut suureet, jotka sisältyvät maksimimitoista riippumattomaan osajärjestelmään, on alleviivattu): $\rho$ $E$ $l_{1}$

f=F({\alleviivaus {\rho )),{\alleviivaus {E_{\!}}},\nu ,{\alleviivaus {l_{1}}},l_{2},\ldots , l_{N}),

ja soveltamalla pi-lausetta antaa

{\frac {fl_{1}}{\sqrt {E/\rho }}}}=G\left(\nu ,{\frac {l_{2}}{l_{1}}},{ \ frac {l_{3}}{l_{1}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{1}}}\oikea).

Jos on olemassa kaksi geometrisesti samanlaista kelloa, jotka on valmistettu samasta materiaalista, niin niille funktion argumentit ovat samat, joten niiden taajuuksien suhde on kääntäen verrannollinen niiden koon suhteeseen (tai kääntäen verrannollinen kellon kuutiojuureen). niiden massojen suhde). Tämä malli on vahvistettu kokeellisesti [14] . $G$

Huomaa, että jos muut suureet, esimerkiksi , , ja , valittaisiin suureiksi, joilla on riippumattomat mitat, niin pi-lauseen soveltaminen antaisi muodollisesti toisenlaisen tuloksen: $\rho$ $E$ $l_{2}$

{\frac {fl_{2}}{\sqrt {E/\rho }}}=H\left(\nu ,{\frac {l_{1}}{l_{2}}},{\ frac {l_{3}}{l_{2}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{2}}}\oikea),

mutta tehdyt johtopäätökset pysyisivät luonnollisesti samoina.

Vastus pallon hidastuksen aikana viskoosissa nesteessä

Pallon hitaalla (alhaisilla Reynolds-luvuilla ) liikkumattomalla liikkeellä viskoosissa nesteessä vastusvoima riippuu nesteen viskositeetista sekä pallon nopeudesta ja säteestä (nesteen tiheys ei ole määräävien parametrien joukossa, koska alhaisilla nopeuksilla nesteen inertian vaikutus on mitätön) . Riippuvuuden soveltaminen $F$ $\mu$ $V$ $R$

F=f(\mu ,V,R)

pi-lause, saamme

{\frac {F}{\mu VR}}={\text{const)),

eli tässä tehtävässä vastusvoima löytyy vakioon asti. Vakion arvoa ei löydy dimensioiden perusteella (vastaavan hydrodynaamisen ongelman ratkaisu antaa arvon vakiolle , joka varmistetaan kokeellisesti). $6\pi$

Katso myös

Linkit

Jotkut katsauspaperit ja päälähteet pi-lauseen ja samankaltaisuusteorian historiasta Arkistoitu 13. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa

Muistiinpanot

↑ Barenblatt G. I. Samankaltaisuus, samankaltaisuus, keskitasoinen asymptotiikka. Geofysikaalisen hydrodynamiikan teoria ja sovellukset. - L .: Gidrometeoizdat , 1978. - S. 25. - 208 s.
↑ Sedov L. I. Samankaltaisuuden ja ulottuvuuden menetelmät mekaniikassa . - M . : Nauka , 1981. - S. 31. - 448 s.
↑ Bridgman P. Dimensioanalyysi . - Izhevsk: RHD, 2001. - S. 45. - 148 s.
↑ Huntley G. Dimensioanalyysi . - M .: Mir , 1970. - S. 6. - 176 s. (venäläisen painoksen esipuhe)
↑ Bertrand J. Sur l'homogénété dans les formulas de physique // Comptes rendus. - 1878. - T. 86 , nro 15 . - S. 916-920 .
↑ Kun pi-lauseen soveltamisen jälkeen syntyy mielivaltainen funktio dimensiottomista yhdistelmistä.
↑ Rayleigh. Kysymykseen nesteiden virtauksen stabiilisuudesta // Filosofinen lehti. - 1892. - T. 34 . - S. 59-70 .
↑ Strett J.W. (Lord Rayleigh). Äänen teoria . - M .: GITTL, 1955. - T. 2. - S. 348. - 476 s.
↑ Vaschy A. Sur les lois de similitude en physique // Annales Telegraphiques. - 1892. - T. 19 . — S. 25–28 . Sitaatit Vashin artikkelista pi-lauseen muotoilulla on annettu artikkelissa: Macagno E. O. Historico-critical review of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute. - 1971. - T. 292 , no. 6 . - S. 391-402 .
↑ Federman A. Joistakin yleisistä menetelmistä ensimmäisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden integroimiseksi // Proceedings of the St. Petersburg Polytechnic Institute of keisari Pietari Suuren. Tekniikan, luonnontieteen ja matematiikan laitos. - 1911. - T. 16 , no. 1 . - S. 97-155 .
↑ Riabouchinsky D. Method des variables de dimension zéro et son application en aérodynamique // L'Aérophile. - 1911. - S. 407-408 .
↑ Buckingham E. Fyysisesti samankaltaisissa järjestelmissä: esimerkkejä ulottuvuusyhtälöiden käytöstä // Physical Review. - 1914. - V. 4 , nro 4 . - S. 345-376 .
↑ Sena L. A. Fysikaalisten suureiden yksiköt ja niiden mitat. - M .: Tiede , 1977. - S. 91-92.
↑ Pukhnachev Y. Sironta, vaimennus, taittuminen - kolme avainta paradoksien purkamiseen // Tiede ja elämä. - 1983. - Nro 2 . - S. 117-118 .

Dimensiottomat suuret fysiikassa
Käsitteet	Fyysisen suuren mitta Mittaton määrä π - Lause samankaltaisuuskriteeri
samankaltaisuuskriteerit	Alfvén-luku (Al) Arkhimedes-numero (Ar) Atwood numero (A) Bagnold-numero (Ba) Burstow-numero (Be) Bionumero (Bi) Boltzmannin numero (Bo) Bond/Eötvös-numero (Bo, Bd tai Eo) Brinkmann-numero (Br) Bulygin numero (Bu) Weisenberg-numero (Wi tai We) Weberin numero (me) Galilean luku (Ga) Hartmann-numero (ha) Gay-Lussac-numero (Gc tai GaL) Homokronisuusluku (Ho) Grashof-numero (Gr) Graetzin numero (Gz) Gouche-numero (Mene) Damköhler-numero (Da) Deboran numero (De) Deryagin-numero (Dg tai De) Dekaaniluku (Dn tai D ) Kotelon numero (Co) Kapillaarisuusluku (Cp tai Ca) Karman numero (Ka) Keleghan-Carpenter numero ( K C ) Kibelin numero (Ki) Kirpitševin numero (Ki) Clausius-numero (Cl) Knudsenin numero (Kn) Kossovichin numero (Ko) Cauchyn luku (Ca) Laplace-numero (La) Lundquistin numero (Lu tai S) Lykovin numero (Lk tai Lu) Lewisin numero (Le) Lyashchenkon numero (Ly) Marangoni-luku (Mg) Machin numero (M) Morton-numero (mo) Nusselt-numero (Nu) Newton-luku (Ne tai Nt) Onesorge numero (Oh) Peclet-numero (Pe) Posnov-luku (Pn) Prandtl-numero (Pr) Magneettinen Prandtl-numero (Pr m ) Turbulent Prandtl -luku (Pr t ) Poiseuillen numero (Po) Reynoldsin numero (Re) Akustinen Reynoldsin numero (Re a ) Magneettinen Reynoldsin luku (Re m ) Richardsonin numero (Ri) Rossbyn numero (Ro) Ruusunumero (Rs) Roshko-numero (Rk tai Ro) Ruarkin numero (ru) Rayleighin numero (Ra) Soret-numero (Sr) Stantonin numero (st) Stokes-numero (Sk tai Stk) Strouhalin numero (S, Sh tai St) Stewart-numero (St tai N ) Suratmanin numero (Su) Taylorin numero (Ta) Womersleyn numero (Wo tai α) Fedorovin numero hydrodynamiikassa kuivausteoriassa (Fe) Frouden numero (Fr) Fourier-luku (Fo) Hagenin luku (Hg) Chandrasekhar-numero (Ch tai Q ) Schmidtin numero (Sc) Sherwoodin numero (Sh) Eulerin numero (Eu) Eckert-numero (Ec tai E ) Ekman-numero (Ek) Elsasser-numero (El tai Λ) Eriksenin numero (er) Jaakobin numero (Ja)
Muut mitoimattomat määrät	Abbe numero kvanttiluvut