Kaava (matematiikka)

Scheme on matemaattinen abstraktio , jonka avulla voit yhdistää algebrallisen geometrian , kommutatiivisen algebran ja differentiaaligeometrian ja siirtää ideoita alueelta toiselle. Ensisijaisesti skeeman käsite mahdollistaa geometrisen intuition ja geometristen rakenteiden, kuten tensorikenttien , nippujen ja differentiaalien , siirtämisen rengasteoriaan . Historiallisesti kaavioteoria syntyi tavoitteena yleistää ja yksinkertaistaa 1800-luvun italialaisen koulukunnan klassista algebrallista geometriaa, joka keskittyi polynomiyhtälöiden tutkimiseen .

Kaavojen teorian pääkoneisto on kategorioiden teoria , pyöräteoria , kommutatiivinen ja homologinen algebra .

Seuraavassa sana "rengas" tarkoittaa aina "kommutatiivista assosiatiivista rengasta yksiköllä".

Määritelmän historia ja motivaatio

Italian koulukunnan algebralliset geometriat käyttivät melko epämääräistä " yhteisen pisteen " käsitettä todistaessaan algebrallisia lajikkeita koskevia lauseita . Oletettiin, että väitteet, jotka ovat tosia yleiselle pisteelle, ovat tosia monistimen kaikissa pisteissä, lukuun ottamatta pientä määrää "erikoispisteitä". Emmy Noether ehdotti 1920-luvulla tapaa selventää tätä käsitettä: algebrallisen muunnelman koordinaattirenkaassa (eli variaatin polynomifunktioiden renkaassa ) maksimaaliset ideaalit vastaavat lajikkeen pisteitä ja ei- maksimaaliset alkuideaalit vastaavat . useisiin yhteisiin kohtiin, yksi kutakin alalajiketta kohden. Noether ei kuitenkaan kehittänyt tätä lähestymistapaa.

1930-luvulla Wolfgang Krull otti seuraavan askeleen: ottamalla täysin mielivaltaisen kommutatiivisen renkaan, voidaan harkita joukkoa sen tärkeimpiä ihanteita, tarjota Zariski-topologia ja kehittää näiden yleisempien objektien geometriaa. Muut matemaatikot eivät nähneet järkeä niin suuressa yleisyydessä, ja Krull hylkäsi tämän ajatuksen.

1950- luvulla Jean-Pierre Serre , Claude Chevallet ja Masayoshi Nagata alkoivat käyttää samanlaista lähestymistapaa päästäkseen lähemmäksi Weylin arveluiden todistamista, pitäen tärkeimpiä ihanteita pisteinä. Pierre Cartierin mukaan sanaa käytettiin ensimmäisen kerran vuonna 1956 Chevalleyn seminaarissa [1] .

Tämän jälkeen Alexander Grothendieck antoi piirille nykyaikaisen määritelmän, joka tiivisti aikaisemmat kokeelliset ehdotukset. Hän määrittelee edelleen kommutatiivisen renkaan spektrin Zariski-topologian pääideaalien joukoksi, mutta toimittaa sille myös renkaiden nipun: spektrin jokainen avoin osajoukko liittyy kommutatiiviseen renkaaseen analogisesti polynomin renkaan kanssa. toimintoja tässä sarjassa. Tuloksena olevat objektit ovat affineja; yleiset kaaviot saadaan liimaamalla yhteen useita affiineja kaavioita analogisesti sen kanssa, kuinka yleiset algebralliset lajikkeet saadaan liimaamalla affiineja ja tavallisia lajikkeita liimaamalla avoimia osajoukkoja . $\mathbb {R} ^{n}$

Monet ovat kritisoineet tätä määritelmää liian yleisestä: joillakin skeemoilla tässä mielessä ei ole ilmeistä geometrista tulkintaa. Näiden järjestelmien huomioon ottaminen tekee kuitenkin kaikkien järjestelmien luokan ominaisuudet "järkevämmiksi". Lisäksi moduuliavaruuksien tutkiminen johtaa skeemoihin , jotka eivät ole "klassisia". Tarve harkita järjestelmiä, jotka eivät sinänsä ole algebrallisia muunnelmia (mutta on rakennettu lajikkeista), on johtanut uuden määritelmän asteittaiseen käyttöön.

Määritelmä

Yksi kaavateorian peruskäsitteistä on paikallisesti rengastetut avaruudet .

Rengasavaruus on topologinen avaruus , jolle annetaan renkaiden nippu , jota kutsutaan rakennelyhdeksi . Tilan sanotaan olevan paikallisesti rengastettu , jos lyhteen kuitu jokaisessa kohdassa on paikallinen rengas . Differentiaaligeometrian ja topologian pääasialliset tutkimuskohteet ovat paikallisesti rengastetut avaruudet; tässä tapauksessa vastaava funktionippu toimii rakenteellisena lyhteenä . Esimerkiksi topologiset avaruudet vastaavat jatkuvien funktioiden nippua , sileät jakosarjat tasaisten funktioiden nippua , monimutkaiset monikanavat holomorfisten funktioiden nippua . Väite, että lyhteen lehti on paikallinen rengas, tarkoittaa, että mille tahansa rakennelyhteen renkaan elementille voidaan määrittää sen arvot kussakin johonkin kenttään kuuluvassa pisteessä , jolloin rakennelyhteen elementit voivat todellakin pitää funktioina. Huomaa, että yleisessä tapauksessa tällaista "funktiota" eivät määritä sen pistekohtaiset arvot, vaikka tälle ilmiölle ei ole analogia klassisessa geometriassa.

Affiinikaavio on paikallisesti rengastettu tila , joka on isomorfinen jonkin renkaan spektrille sen vastaavan rakenteellisen nipun kanssa . Nämä määritelmät antavat meille mahdollisuuden tarkastella mitä tahansa avointa osajoukkoa kaaviona, kun taas affiinisille skeemoille identiteetti pätee , mikä tarkoittaa renkaan geometristen ja algebrallisten näkemysten vastaavuutta (eli mikä tahansa rengas voidaan liittää affiiniseen skeemaan, ja affiininen järjestelmä voi yksilöllisesti palauttaa alkuperäisen renkaan). ${\mathrm {Spec}}\;A$ ${\mathcal {O}}_{{{\mathrm {Spec}}\;A}}({\mathrm {Spec}}\;A)=A$

Kaava on paikallisesti rengastettu tila , joka voidaan peittää avoimilla sarjoilla siten, että kukin , yhdessä siihen liittyvän rakenteen nipun rajoituksen kanssa, on affiinikaavio. Tämä määritelmä voidaan ymmärtää eri tavoin: voidaan ajatella, että kaavion jokaisella pisteellä on naapuruus , joka on affiinikaavio, ja voidaan myös ajatella kaaviota tuloksena liimaamalla yhteen joukko affiiniskeemoja, jotka ovat yhdenmukaisia lyhdyn rakenne. $(X,{\mathcal O}_{X})$ $U_{i}$ $U_{i}$ ${\mathcal O}_{X}$

Järjestelmien luokka

Kaaviot muodostavat luokan , jonka morfismit ovat kaavioiden morfismeja paikallisesti rengastettuina tiloina .

Rakenne, joka varustaa spektrin rakenteellisella nipulla, määrittelee vastakkaisen funktion :

{\mathrm {Spec}}\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Aff}}

renkaiden luokasta affiinimallien luokkaan. On myös käänteinen kontravarianttifunktio:

{\mathcal {O}}\colon {\mathrm {Aff}}\to {\mathrm {CRing}}

( globaali osiofunktio ),

joka määrittää paikallisesti renkaaseen tilaan sen rakenteellisen lyhteen renkaan. Tämä funktionaalipari määrittelee luokan ekvivalenssin . Globaali osiofunktiontori voidaan määrittää mielivaltaisille skeemoille, koska mikä tahansa skeema on paikallisesti rengastettu tila. Tässä yleisessä spektaakkelissa spektrifunktion funktio on konjugoitu oikein globaaliin osafunktioon: $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ${\mathcal {O}}_{X}(X)$ ${\mathrm {CRing^{{op))))\simeq {\mathrm {Aff}}$

{\mathrm {Hom}}_{{{\rm {Schemes}}}}(X,\;{\mathrm {Spec}}\;A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{{{\rm {CRing^{{op))))))({\mathcal {O}}(X),\;A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{({\rm {CRing}}}}( A,\;{\mathcal {O}}(X))

Spektrin oletetaan olevan oikea konjugaatti, koska affiineja liimaamalla yhteen voidaan luoda skeemoja, jotka eivät ole affiineja. Piirien liimaus tyhjällä osapiirillä on koliiitti piirien luokassa. Koska on kocomplete , niin spektrin vasemman konjugassin ehdolla mikä tahansa affinisten kaavioiden liimaus olisi affinista, eikä ei-triviaalia (ei pelkistettävissä rengasteoriaksi) kaavioiden teoriaa yksinkertaisesti voisi olla olemassa. Todetun valossa todetaan myös, että vaikka kaavio affinisten kaavioiden liimaamisesta alikaaviolla on affiinisten kaavioiden täydentävässä kategoriassa, sen raja on laskettava suuremmassa kategoriassa, kaikkien kaavioiden kategoriassa. Tämä on opettavainen esimerkki siitä, että luokan sisäkkäisfunktiota ei vaadita säilyttämään rajoja. ${\mathrm {CRing}}^{{op}}$

Yllä olevien liitännäisfunktioiden olemassaolo mahdollistaa morfismien kuvaamisen mielivaltaisesta kaavasta affiiniseen käyttämällä rengashomomorfismeja . Esimerkiksi koska on kommutatiivisten renkaiden luokan alkuobjekti, on kaavioiden luokan pääteobjekti . $\mathbb {Z}$ ${\mathrm {Spec}}\;{\mathbb Z}$

Kaavioiden kategoriassa on äärelliset tulot , mutta niitä käytettäessä on oltava varovainen, koska kaaviota vastaava topologinen avaruus ei aina ole isomorfinen topologisen avaruuden kanssa, vaan siinä on usein "enemmän" pisteitä. Jos K on esimerkiksi yhdeksän elementin kenttä , niin: $(X,{\mathcal O}_{X})\times (Y,{\mathcal O}_{Y})$ $X\kertaa Y$

{\mathrm {Spec}}\;K\times {\mathrm {Spec}}\;K\cong {\mathrm {Spec}}\;K\otimes _{({\mathbb Z}}}K\cong { \mathrm {Spec}}\;K\times K

—

koostuu kahdesta pisteestä, kun taas Spec K koostuu yhdestä pisteestä (nollaideaali).

Kiinteälle skeemalle S kaavioiden kategorialla S :n yli on myös kuitutuotteita, ja siitä tosiasiasta, että sillä on pääteobjekti S , seuraa, että siinä on kaikki äärelliset rajat , eli tietyn skeeman skeemojen luokka on lopullisesti täydellinen .

Kaavioiden toinen määritelmä

Algebrallisessa geometriassa kaaviot määritellään yleensä edellä kuvatulla tavalla. Kuitenkin joissakin sen sovelluksissa (esimerkiksi lineaaristen algebrallisten ryhmien teoriassa ) toinen lähestymistapa on hyödyllisempi, joka on paljon abstraktimpi ja vaatii hyvää luokkateorian tuntemusta. Tällä kielellä skeemaa ei määritellä geometriseksi objektiksi, vaan renkaiden kategoriasta kuuluvaksi funktionaaliseksi. Emme käsittele tätä lähestymistapaa yksityiskohtaisesti tässä, katso lisätietoja kirjasta [2] .

Affiinikaavio on esitettävä funktionaali : ${\mathrm {Spec}}\;A$ ${\mathrm {Spec}}\;A\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Set}}$

({\mathrm {Spec}}\;A)(R)={\text{Hom}}(A,R)

Kaikista toimijoista erottuu erityisen tärkeä ja helposti opittava luokka nimeltä skeemat. Nimittäin skeema on funktori , joka on joukkojen nippu suhteessa Grothendieck-topologiaan , joka on generoitu renkaiden Zariski-avoin epimorfismin avulla ja joka on peitetty affinisten skeemojen Zariski-avoin kuvauksilla funktionaalisten kaavioiden luokassa . Kaaviot, jotka eivät ole affinisia, eivät ole edustavia toimijoita renkaiden luokassa. Kaaviomorfismi määritellään vastaavien funktioiden luonnolliseksi muunnokseksi . Yonedan lemman mukaan $X$ $X\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Set}}$ $\left[{\mathcal {R}}ing;{\mathcal {S}}et\right]$

X(A)=\left[(A;\cdot );X\oikea]=\vasen[{\mathrm {Spec}}A;X\right]

Tämä väite muodostaa yhteyden yllä annettuun kaavioiden geometriseen teoriaan, koska kaavioiden morfismien peruslause sanoo, että funktori

Y\colon {\mathrm {Schemes}}\to \left[{\mathrm {Aff}}^{{op}};{\mathrm {Set}}\right]

Y(X)=\vasen(\cdot ;X\oikea)

on varsin yksiarvoinen . Lisäksi upotuksen kuva on juuri ne affiinisten kaavioiden toimijat, jotka täyttävät yllä olevat ehdot.

Esimerkkejä

Affiiniviiva on unohtava funktio , joka määrittää kullekin renkaalle sen aihejoukon. Siinä olevan renkaan rakenne määrittää joukon renkaan rakenteen mille tahansa skeemalle , joten sitä kutsutaan funktioiden renkaaksi . Affiiniviiva on affiinikaavio, se vastaa polynomirenkaan spektriä . $O$ $O\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Set}}$ $[X;O]$ $X$ $[X;O]$ $X$ $\mathbb{Z } [T]$
Grassmannin ( on Grassmannin dimensio) on funktionaali, joka määrittää renkaaseen joukon suoria arvon summia moduulissa . Nuoli liittyy näyttöön . Erityisesti on n-ulotteinen projektiotila , on projektiiivinen viiva . $G_{{r,n}}$ $n$ $R$ $P$ $r$ $R^{{r+n}}$ $\phi :R\to S$ $P\mapsto P\otimes _{R}S$ $\mathbb {P} _{n}=G_{1,n}$ $\mathbb {P} _{1}$

Muistiinpanot

↑ Chevalleyn mukainen kaava on modernin kaavion erikoistapaus: sen määritelmä toimii vain redusoitumattomien jakoputkien kohdalla. Katso Cartier, Pierre , Hullun päivän työ: Grothendieckista Connesiin ja Kontsevichiin. Tila- ja symmetriakäsitteiden kehitys. — Härkä. amer. Matematiikka. Soc., 38 (2001), no. 4, s. 398.
↑ M. Demazure, P. Gabriel. Johdatus algebralliseen geometriaan ja algebrallisiin ryhmiin. - North-Holland Publishing Company, 1980. - 357 s. - ISBN 0-444-85443-6 .

Kirjallisuus

Mumford D. Lajikkeiden ja järjestelmien punainen kirja. — M .: MTSNMO , 2007. — 296 s. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
Hartshorne R. Algebrallinen geometria = Algebrallinen geometria. — M .: Mir , 1981. — 597 s.
Shafarevich I. R. Algebrallisen geometrian perusteet. - 2. painos - M .: Nauka , 1988. - V. 2. Schemes. Monimutkaiset jakoputket. — 304 s. - 5900 kappaletta. - ISBN 5-02-014412-4 .
David Eisenbud; Joe Harris . Kaavioiden geometria. Springer-Verlag, 1998 - ISBN 0-387-98637-5 .

Linkit

Ravi Vakil , Math 216: Funds of Algebraic Geometry (versio 06/11/2013) - muistiinpanoja Stanfordin yliopistossa pidetyltä algebrallisen geometrian kurssilta .