Homologinen algebra

Homologinen algebra on algebran haara , joka tutkii algebrallisesta topologiasta lainattuja algebrallisia objekteja .

Homologisella algebralla on tärkeä rooli algebrallisessa topologiassa; sitä käytetään monilla algebran aloilla, kuten ryhmäteoria, algebrateoria, algebrallinen geometria, Galois'n teoria.

Historia

Ensimmäisiä homologisia algebran menetelmiä käyttivät XX vuosisadan 40-luvulla Dmitri Konstantinovich Faddeev , Samuel Eilenberg ja Saunders MacLane ryhmälaajennusten tutkimuksessa.

Ketjukompleksi

Ketjukompleksi on lajiteltu moduuli , jossa on differentiaali , , joka alentaa ketjukompleksin arvosanaa tai nostaa kochainkompleksin arvosanaa , . $M=\bigoplus\limits_{n=0}^{\infty} M_n$ $d:M\to M$ $d^{2}=0$ $d(M_n)\osajoukko M_{n-1}$ $d(M_n)\osajoukko M_{n+1}$

Yksi homologisen algebran peruskäsitteistä on ketjukompleksi. Ketjukomplekseja syntyy matematiikan eri aloilla: algebrallisessa topologiassa, kommutatiivisessa algebrassa ja algebrallisessa geometriassa. Kompleksien yleisten ominaisuuksien tutkiminen on yksi homologisen algebran päätehtävistä.

Resoluutio

Moduulin projektiivista resoluutiota kutsutaan vasemmaksi kompleksiksi , jossa kaikki ovat projektiivisia ja jonka homologia on yhtä suuri kuin nolla, paitsi nolla. $A$ $\ldots\longrightarrow X_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}X_{n-1}\longrightarrow\ldots\stackrel{d_1}{\longrightarrow}X_0\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}A\longrightarrow 0$ $X_n$

Projektiivisia resoluutioita käytetään Tor n ( A , C ) ja Ext n ( A , C ) -funktioiden laskemiseen. Algebrallisessa topologiassa syntyi liuottimia topologisen tuotteen homologioiden laskemiseksi tekijöiden homologioista Künnethin kaavan avulla.

Johdetut funktorit

Kirjallisuus

A. Cartan, S. Eilenberg , "Homological Algebra", 1960.
S. McLane , "Homology", 1966
R. Godeman "Algebrallinen topologia ja pyörän teoria", 1961.
Bourbaki , "Homologinen algebra", 1987.

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"