Metrinen avaruus

Metrinen avaruus on joukko , jossa minkä tahansa alkioparin välille on määritetty etäisyys .

Määritelmät

Metrinen avaruus on pari , jossa on joukko, ja se on numeerinen funktio, joka on määritelty karteesisessa tulossa , ottaa arvot ei-negatiivisten reaalilukujen joukosta ja on sellainen, että $(X,\;d)$ $X$ $d$ $X\kertaa X$

$d(x,y)=0\iff x=y$ ( identiteetin aksiooma ).
${\näyttötyyli d(x,y)=d(y,x)}$ ( symmetria-aksiooma ).
${\näyttötyyli d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ ( kolmion aksiooma tai kolmion epäyhtälö ).

Jossa

joukkoa kutsutaan metriavaruuden taustajoukoksi. $X$
joukon alkioita kutsutaan metriavaruuden pisteiksi . $X$
funktiota kutsutaan metriikaksi . $d$

Muistiinpanot

Aksioomista seuraa, että etäisyysfunktio on ei-negatiivinen, koska $0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)$ .
Jos edustamme kolmion epäyhtälöä as ${\näyttötyyli d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)}$ kaikille ja , _ $x$ $y$ $z$

silloin symmetria-aksiooma seuraa identiteetin aksioomasta ja kolmio-epäyhtälöstä.

Nämä ehdot ilmaisevat intuitiivisia käsityksiä etäisyyden käsitteestä, ja siksi niitä kutsutaan etäisyysaksioomeiksi . [1] Esimerkiksi, että eri pisteiden välinen etäisyys on positiivinen ja etäisyys pisteestä on sama kuin etäisyys pisteestä . Kolmion epätasa-arvo tarkoittaa, että etäisyys kohteesta - kautta on vähintään suoraan . $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $z$ $y$ $x$ $z$

Merkintä

Yleensä pisteiden välinen etäisyys ja metriavaruudessa on merkitty tai . $x$ $y$ $M$ ${\näyttötyyli d(x,y)}$ $\rho (x,y)$

Metrisessä geometriassa merkintä tai hyväksytään , jos on tarpeen korostaa, että kyseessä on . Symboleja ja käytetään myös (huolimatta siitä, että lauseke pisteitä ja ei ole järkeä). $|xy|$ $|xy|_{M}$ $M$ $|xy|$ $|xy|_{M}$ $xy$ $x$ $y$
Klassisessa geometriassa nimitykset tai hyväksytään (pisteet merkitään yleensä isoilla latinalaisilla kirjaimilla). $XY$ $|XY|$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Eri metristen avaruuksien välistä bijektiota , joka säilyttää etäisyydet, kutsutaan isometriaksi ; ${\näyttötyyli (X,d_{X})}$ ${\näyttötyyli (Y,d_{Y})}$
- Tässä tapauksessa välilyöntejä ja kutsutaan
isometrisiksi . ${\näyttötyyli (X,d_{X})}$ ${\näyttötyyli (Y,d_{Y})}$

Jos , ja , niin sanomme, että se suppenee : [2] .

x_{n}\in X

x\in X

d(x_{n},x)\to 0

n\to\infty

{\näyttötyyli x_{n))

x

x_{n}\to x

Jos joukon osajoukko , niin, kun otetaan huomioon metriikan rajoitus joukkoon , saadaan metriavaruus , jota kutsutaan tilan aliavaruudeksi .

M

X

{\displaystyle d_{M}=d_{X}|_{M))

d_{X}

M

{\näyttötyyli (M,d_{M})}

{\näyttötyyli (X,d)}

Metrista avaruutta kutsutaan täydelliseksi , jos mikä tahansa siinä oleva perussekvenssi konvergoi johonkin tämän avaruuden elementtiin.

Metriikkaa on kutsutaan sisäiseksi , jos mitkä tahansa kaksi pistettä ja in voidaan yhdistää käyrällä, jonka pituus on mielivaltaisen lähellä . $d$ $M$ $x$ $y$ $M$ ${\näyttötyyli d(x,y)}$
- Avaruutta kutsutaan geodeettiseksi , jos mitkä tahansa kaksi pistettä ja in voidaan yhdistää käyrällä, jonka pituus on yhtä suuri . $x$ $y$ $M$ ${\näyttötyyli d(x,y)}$
Millä tahansa metrisellä avaruudella on luonnollinen topologia , joka perustuu avoimien pallojen joukkoon, eli seuraavan tyyppisiin sarjoihin:

B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)<r\},

missä on piste ja on positiivinen reaaliluku, jota kutsutaan pallon säteeksi. Toisin sanoen sarja on avoin, jos se yhdessä minkä tahansa pisteensä kanssa sisältää avoimen pallon, joka on keskitetty tähän pisteeseen.

x

M

r

O

Kahden saman topologian määrittävän metriikan sanotaan olevan samanarvoisia .
Topologisen avaruuden, joka voidaan saada tällä tavalla, sanotaan olevan mitattava .
Etäisyys pisteestä osajoukkoon määritetään kaavalla: ${\näyttötyyli d(x,S)}$ $x$ $S$ $M$

{\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\))

. Sitten vain, jos kuuluu sulkemiseen .

d(x,S)=0

x

S

Esimerkkejä

Diskreetti metriikka :, jos, jakaikissa muissa tapauksissa. $d(x,y)=0$ $x=y$ $d(x,y)=1$
Reaaliluvut , joissa on etäisyysfunktio ja euklidinen avaruus, ovat täydellisiä metriavaruuksia. $d(x,\;y)=|yx|$
Kortteleiden etäisyys : , missä , ovat vektoreita. $d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|=\sum _{i=1}^{n}|p_{i }-q_{i}|$ $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$
Olkoon jatkuvan ja rajoitetun kuvauksen tila topologisesta avaruudesta metriseen avaruuteen . Kahden kartoituksen välinen etäisyys tästä tilasta määritellään seuraavasti $F(X,Y)$ $X$ $Y$ $f_1$ $f_{2}$ $d_{F}(f_{1},f_{2})=\sup\{d_{Y}(f_{1}(x),f_{2}(x))\colon x\in X \}$ .

Kuvausten konvergenssi tämän metriikan suhteen vastaa niiden tasaista konvergenssia koko avaruudessa .

X

Erityistapauksessa, kun on kompakti avaruus ja on todellinen viiva, saadaan kaikkien jatkuvien funktioiden avaruus avaruudessa tasaisen konvergenssin metriikassa.

X

Y

C(X)

X

Olkoon , , välin funktioiden välit , vastaavasti Lebesgue integroitava, Riemannin integroitava ja jatkuva. Niissä etäisyys voidaan määrittää kaavalla: $L([a,b])$ $R([a,b])$ $C([a,b])$ $[a,b]$ $d(f_{1},f_{2})=\int \limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|\,dx.$

Jotta tästä funktiosta tulisi metriikka, kahdessa ensimmäisessä tilassa on tarpeen tunnistaa funktiot, jotka eroavat mittajoukosta 0 . Muuten tämä funktio on vain semimetrinen. (Välillä jatkuvien funktioiden avaruudessa funktiot, jotka eroavat mittajoukossa 0, ovat joka tapauksessa samat.)

Jatkuvasti differentioituvien funktioiden avaruudessa metriikka otetaan käyttöön kaavalla: $k$ $C^{k}([a,b])$ $d_{k}(f_{1},f_{2})=\max\{d_{0}(f_{1},f_{2}),\;d_{0}(f'_{ 1},f'_{2}),\;\ldots ,\;d_{0}(f_{1}^{(k)},f_{2}^{(k)})\}$ ,

missä on tasaisen konvergenssin metri (katso edellä).

d_{0}

C([a,b])

Mikä tahansa normaaliavaruus voidaan muuttaa metriseksi määrittämällä etäisyysfunktio $d(x,y)=\|yx\|$ .
- Tämän tyyppisiä äärellisulotteisia avaruuksia kutsutaan Minkowski-avaruuksiksi ;
- Jos mitta on yhtä suuri kuin kaksi - Minkowskin taso .

Jos on seminormien sarja , joka määrittää ( lokaalikonveksin ) topologisen vektoriavaruuden , niin ${\displaystyle (p_{n})_{n\in N))$ $E$

d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n))}{\frac {p_{n}(xy)}{ 1+p_{n}(xy)}}

on metriikka, joka määrittää saman topologian . (Voidaan korvata millä tahansa tiukasti positiivisten lukujen summattavalla sarjalla .)

{\displaystyle {\frac {1}{2^{n))))

(a_{n})

Mikä tahansa yhdistetty Riemannin monisto voidaan muuttaa metriseksi avaruuteen määrittämällä etäisyys pisteparin yhdistävien polkujen pituuksien pienimmäksi arvoksi . $M$

Minkä tahansa yhdistetyn graafin kärkijoukko voidaan muuttaa metriseksi avaruuteen määrittämällä etäisyys pisteitä yhdistävän polun reunojen minimimääräksi. Yleisemmin sanottuna, jos graafin jokaiselle reunalle on määritetty positiivinen luku (reunan pituus), pisteiden välinen etäisyys voidaan määritellä reunapituuksien vähimmäissummaksi millä tahansa polulla yhdestä kärjestä toiseen. $G$
- Edellisen esimerkin erikoistapaus on ns. Ranskan rautatiemetriikka , jota usein mainitaan esimerkkinä mittarista, joka ei ole normin luoma .
Kuvaajan muokkausetäisyys määrittää kaavioiden välisen etäisyysfunktion .

Hamming -etäisyys koodausteoriassa.
Rivimittaukset , kuten Levenshtein-etäisyys ja muut tekstinmuokkausetäisyydet määrittävät rivien yläpuolella olevan etäisyyden.

Minkä tahansa metrisen avaruuden kompaktien osajoukkojen joukko voidaan tehdä metriavaruudeksi määrittämällä etäisyys ns. Hausdorffin metriikan avulla . Tässä metriikassa kaksi osajoukkoa ovat lähellä toisiaan, jos jollekin joukon pisteelle on mahdollista löytää lähipiste toisesta osajoukosta. Tässä on tarkka määritelmä: $K(M)$ $M$

D(X,Y)=\inf \left\{r\;\left|\;{\begin{matrix}\forall x\in X\;\olemassa y\in Y\kaksoispiste d(x, y)<r\\\kaikki y\in Y\;\olemassa x\in X\colon d(x,y)<r\end{matriisi}}\oikea.\oikea\}

Kaikkien kompaktien metriavaruuksien joukko ( isometriaan asti ) voidaan muuttaa metriavaruudeksi määrittämällä etäisyys ns. Gromov-Hausdorff-metriikan avulla .
Waserstein-metriikka määrittää kahden todennäköisyysjakauman välisen etäisyyden .

Rakennukset

Metriavaruuksien karteesinen tulo voidaan varustaa metriavaruuden rakenteella monin tavoin, esimerkiksi:
1. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2} )+d_{Y}(y_{1},y_{2});$
2. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {d_{X}(x_{1}, x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{2}}};$
3. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{d_{X}(x_{1}, x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\}.$

Nämä mittarit vastaavat toisiaan.

Ominaisuudet

Metrinen avaruus on kompakti silloin ja vain, jos on mahdollista valita suppeneva osajono mistä tahansa pistejonosta (peräkkäinen tiiviys).
Metrisellä avaruudella ei ehkä ole laskettavaa kantaa , mutta se täyttää aina ensimmäisen laskettavuuden aksiooman - sillä on jokaisessa pisteessä laskettava kanta.
- Lisäksi jokaisella kompaktilla metrisessä tilassa on laskettava naapurusto.
- Lisäksi jokaisessa metrisessä avaruudessa on sellainen kanta, että jokainen avaruuden piste kuuluu vain sen alkioiden laskettavaan joukkoon - pistemäärään laskettavaan kantaan (mutta tämä ominaisuus on heikompi kuin mitattavuus jopa parakompaktiuden ja Hausdorffnessin läsnä ollessa ).
metriset avaruudet lyhyillä mappauksilla muodostavat luokan , jota yleensä merkitään Met .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Tietylle joukolle funktiota kutsutaan pseudometriseksi tai semimetriseksi , jos sen jollekin pisteelle se täyttää seuraavat ehdot: $M$ $d\colon M\times M\to \mathbb{R}$ $M$ $x,\;y,\;z$ $M$
1. $d(x,x)=0$ ;
2. ${\näyttötyyli d(x,y)=d(y,x)}$ ( symmetria );
3. ${\näyttötyyli d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ ( kolmio epätasa-arvo ).

Toisin kuin metriikassa, eri pisteet voivat olla nollaetäisyydellä. Pseudometriikka määrittelee luonnollisesti osamääräavaruuden metriikan , jossa .

M

{\displaystyle M/{\sim ))

x\sim y\iff d(x,y)=0

Tietylle joukolle funktiota kutsutaan kvasimetriikaksi , jos se täyttää seuraavat ehdot jollekin pisteelle , : sta : $M$ $d\colon M\times M\to \mathbb{R}$ $x$ $y$ $z$ $M$
1. $d(x,x)=0$ ;
2. $d(x,y)\leqslant c\cdot d(y,x)$ ( kvasisymmetria );
3. $d(x,z)\leqslant c\cdot (d(x,y)+d(y,z))$ (yleistetty kolmio-epäyhtälö).
Avaruuden metriikkaa kutsutaan ultrametriksi , jos se täyttää vahvan kolmion epäyhtälön : Kaikille ja sisään . _ $x$ $y$ $z$ $M$ ${\näyttötyyli d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))}$

Joskus on kätevää ottaa huomioon -metrics , eli mittaukset, joissa on arvoja . Mille tahansa -metriikalle voidaan rakentaa äärellinen metriikka, joka määrittää saman topologian. Esimerkiksi, $\infty$ $[0;\infty ]$ $\infty$ $d'(x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)))$ tai $d''(x,y)=\min {(1,d(x,y))}.$

Lisäksi mille tahansa tällaisen avaruuden pisteelle siitä äärellisen etäisyyden päässä olevien pisteiden joukko muodostaa tavallisen metriavaruuden, jota kutsutaan metriseksi komponentiksi . Erityisesti mitä tahansa avaruutta, jossa on -metriikka, voidaan pitää tavallisten metristen avaruuksien joukona ja minkä tahansa pisteparin välinen etäisyys eri avaruudessa voidaan määritellä muodossa .

x

x

\infty

\infty

Joskus kvasimetriikka määritellään funktioksi, joka täyttää kaikki metriikan aksioomat symmetriaa mahdollisesti lukuun ottamatta [3] [4] . Tämän yleistyksen nimi ei ole aivan vakiintunut [5] . Smith [4] kutsuu niitä kirjassaan "semimetrisiksi". Samaa termiä käytetään usein myös kahdesta muusta mittareiden yleistyksestä.
1. $d(x,y)\geqslant 0$ ( positiivisuus )
2. $d(x,y)=0\iff x=y$ ( positiivinen määrätietoisuus )
3. d ( x , y ) = d ( y , x )( symmetria yliviivattu)
4. ${\näyttötyyli d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ ( kolmion eriarvoisuus )

Esimerkkejä kvasimetriikasta kohdataan tosielämässä. Esimerkiksi kun otetaan huomioon joukko vuoristokyliä, elementtien välinen kävelyaika muodostaa näennäisen mittasuhteen, koska ylös nouseminen kestää kauemmin kuin alas. Toinen esimerkki on kaupunkikortteleiden topologia, joissa on yksisuuntaisia katuja, joissa polku pisteestä pisteeseen koostuu eri katujoukosta kuin polku pisteestä pisteeseen .

X

X

A

B

B

A

Metametriikassa kaikki metriikan aksioomat pätevät, paitsi että identtisten pisteiden välinen etäisyys ei välttämättä ole nolla. Toisin sanoen metametriikan aksioomit ovat:
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. seuraa ( mutta ei päinvastoin.) $d(x,y)=0$ $x=y$
3. ${\näyttötyyli d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\näyttötyyli d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ .

Metametriikka esiintyy Gromovin hyperbolisten metriavaruuksien ja niiden rajojen tutkimuksessa. Tällaisen avaruuden visuaalinen metametriikka täyttää rajalla olevien pisteiden tasa-arvon , mutta muuten on suunnilleen yhtä suuri kuin etäisyys rajasta. Metametrian määritteli ensimmäisenä Jussi Väisälä [6] .

d(x,x)=0

x

{\näyttötyyli d(x,x)}

x

Kolmen viimeisen aksiooman heikkeneminen johtaa premetriikan käsitteeseen, eli funktioon , joka täyttää ehdot:
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. $d(x,x)=0$

Termi ei ole vakiintunut, joskus sitä käytetään yleistämään muita mittareita, kuten pseudosemimetriaa [7] tai pseudometriikkaa [8] . Venäjänkielisessä kirjallisuudessa (ja venäjänkielisissä käännöksissä) tämä termi esiintyy joskus "prametrisena" [9] [10] . Mikä tahansa premetriikka johtaa topologiaan seuraavalla tavalla. Positiiviselle todelliselle pisteelle keskitetty pallo määritellään seuraavasti

r

r

s

B_{r}(p)=\{x\mid d(x,p)<r\}

. Joukkoa kutsutaan avoimeksi , jos jollekin joukon pisteelle on olemassa -pallo, jonka keskipiste on joukossa. Mikä tahansa premetrinen avaruus on topologinen avaruus ja itse asiassa peräkkäinen avaruus . Yleensä -pallojen ei tarvitse olla avoimia joukkoja tämän topologian mukaan. Mitä tulee mittareihin, kahden joukon ja välinen etäisyys määritellään seuraavasti

s

r

s

r

A

B

d(A,B)=\inf _{x\in A,\;y\in B}d(x,y)

. Tämä määrittää premetrian premetrisen avaruuden Boolen arvossa. Jos aloitamme (pseudo-puoli-)metriavaruudesta, saamme pseudo-puolimetriikan eli symmetrisen premetrian. Kaikki premetriset johdot esisulkuoperaattorille :

\operaattorin nimi {cl}

{\displaystyle \operaattorin nimi {cl} (A)=\{x\mid d(x,A)=0\))

Pseudo- , kvasi- ja semi - etuliitteet voidaan yhdistää, esimerkiksi pseudokvasimetrinen (joskus kutsutaan hemimetriseksi ) heikentää sekä erottamattomuuden aksioomaa että symmetria-aksioomaa ja on yksinkertaisesti premetriikka, joka täyttää kolmion epäyhtälön. Pseudokvasimetrisissä tiloissa avoimet -pallot muodostavat pohjan avoimille sarjoille. Yksinkertaisin esimerkki pseudokvasimetrisestä avaruudesta on joukko , jonka premetriikka antaa funktiolla siten, että ja . Siihen liittyvä topologinen avaruus on Sierpinskin avaruus . $r$ $\{0,1\}$ $d$ $d(0,1)=1$ $d(1,0)=0$

William Lover tutki laajennetulla pseudokvasimetrialla varustettuja sarjoja "yleistettyinä metrisinä tiloina" [11] [12] . Kategorialta katsottuna laajennetut pseudometriset avaruudet ja laajennetut pseudokvasimetriset avaruudet sekä niitä vastaavat ei-laajenevat kartoitukset toimivat parhaiten metristen avaruuksien luokissa. Voidaan ottaa mielivaltaisia tuotteita ja sivutuotteita ja muodostaa osamääräobjekti tietyn kategorian kanssa. Jos jätämme pois sanan "laajennettu", voimme ottaa vain rajalliset tuotteet ja sivutuotteet. Jos "pseudo" jätetään pois, tekijäobjekteja ei voida saada. Lähestymistavaruudet ovat metristen avaruuksien yleistys, joka ottaa huomioon nämä hyvät kategorialliset ominaisuudet.

Lineaarista avaruutta kutsutaan lineaariseksi metriavaruudeksi, jos sen elementtien välinen etäisyys on annettu siinä ja algebralliset operaatiot ovat jatkuvia sen metriikassa, eli [2] : $V(F)$
1. $x_{n}\to x,y_{n}\to y\Rightarrow x_{n}+y_{n}\to x+y$
2. $x_{n}\to x,\lambda _{n}\to \lambda \Rightarrow \lambda _{n}x_{n}\to \lambda x$
- Esimerkki: Kaikkien monimutkaisten sekvenssien lineaarinen avaruus voidaan muuntaa lineaariksi metriavaruudeksi ottamalla käyttöön sen elementtien välinen etäisyys kaavalla: $d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i))}{\frac {|x_{i}-y_{i }|}{1+|x_{i}-y_{i}|}}$

Hypermetrinen avaruus on metrinen avaruus, jossa hypermetriset epäyhtälöt pätevät. Tuo on, $\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0$

mille tahansa pisteelle ja kokonaisluvulle sellainen, että . [13]

x_1,\pisteet,x_n

{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n))

\sum b_{i}=1

Huomaa, että ja , Hypermetrisestä epätasa-arvosta tulee tavallinen kolmion epätasa-arvo $b_{1}=b_{2}=1$ $b_{3}=-1$

|x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.

Esimerkki hypermetrisestä avaruudesta: -space . $\ell _{1}$

Historia

Maurice Fréchet esitteli ensimmäisenä metrisen avaruuden käsitteen [14] funktioavaruuksien tarkastelun yhteydessä.

Muistiinpanot

↑ Kudrjavtsev L. D. Matemaattinen analyysi. II osa. - M., Higher School , 1970. - s. 296
↑ 1 2 Kerin S. G. Funktionaalinen analyysi. - M., Nauka , 1972. - s. 22-24
↑ Steen, Seebach, 1995 .
↑ 12 Smyth , 1987 , s. 236-253.
↑ Rolewicz, 1987 .
↑ Väisälä, 2005 , s. 187-231.
↑ Buldygin, Kozachenko, 1998 .
↑ Helemsky, 2004 .
↑ Arkhangelsky, Fedorchuk, 1988 , s. kolmekymmentä.
↑ Pereira, Aldrovandi, 1995 .
↑ Lawvere, 2002 , s. 1–37.
↑ Vickers, 2005 , s. 328–356.
↑ MM Deza, M. Laurent, Leikkausten ja metriikan geometria, Algorithms and Combinatoriics, 15, Springer-Verlag, Berliini, 1997.
↑ Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. - 1906. - 22. - s. 1-74.

Kirjallisuus

Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Metrisen geometrian kurssi. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
Vasiliev N. Metriset avaruudet . — Kvantti . - 1990. - Nro 1.
Vasiliev N. Metriset avaruudet . — Kvantti . - 1970. - Nro 10.
Skvortsov V. A. Esimerkkejä metriavaruuksista // Mathematical Education Library Arkistoitu 12. tammikuuta 2014 Wayback Machinessa . - 2001. - Numero 9.
Schreider Yu. A. Mikä on etäisyys? // " Suosittuja matematiikan luentoja ". - M . : Fizmatgiz, 1963 - Numero 38. - 76 s.
Lawvere, F. William (2002), Metric spaces, generalised logic ja suljetut kategoriat , Reprints in Theory and Applications of Categories (nro 1): 1–37 , < http://tac.mta.ca/tac/reprints /articles/1/tr1.pdf > ; uusintapainos lisätyillä kommenteilla kirjoittajalta Lawvere, F. William (1973), Metric spaces, generalized logic and suljetut kategoriat , Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano T. 43: 135–166 (1974) , DOI 10.1007/BF029248444
Ruben Aldrovandi, JG Pereira. Johdatus geometriseen fysiikkaan _ ] . - Singapore: World Scientific, 1995. - 699 s. — ISBN 9810222327 . — ISBN 9789810222321 .
Rolewicz, Stefan (1987), Funktionaalinen analyysi ja ohjausteoria: Lineaariset järjestelmät , Springer , ISBN 90-277-2186-6
Smyth, M. (1987), Quasi uniformities: conciling domains with metric spaces , Main, M.; Melton, A. & Mislove, M. et ai., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics , voi. 298, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, s. 236-253 , DOI 10.1007/3-540-19020-1_12
Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Counterexamples in Topology , Dover , ISBN 978-0-486-68735-3
Väisälä, Jussi (2005), Gromov hyperbolic spaces , Expositiones Mathematicae vol. 23 (3): 187–231, doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010 , < http://www.helsinki.fi/~jvaisala/ grobok.pdf >
Vickers, Steven (2005), Generalized Metric spaces Localic completion, I , Theory and Applications of Categories osa 14 (15): 328-356 , < https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14 /15/14-15abs.html > Arkistoitu 26. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa
Arkhangelsky A. V. , Fedorchuk V. V. Tieteen ja tekniikan tuloksia. Nykyajan matematiikan ongelmat. perussuuntia. Osa 17. - VINITI , 1988. - 232 s.
Buldygin VV, Kozachenko Yu. V. Satunnaismuuttujien ja prosessien metriset ominaisuudet. - K .: TViMS, 1998. - 290 s.
Helemsky A. Ya. Luennot funktionaalisesta analyysistä . - Moskova: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (Venäjän kieli)

Linkit

Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Metric space , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Kaukana ja lähellä - useita esimerkkejä etäisyystoiminnoista cut -the-knotissa .