Jametin merkki

Jametin merkki on merkki numeeristen sarjojen konvergenssista positiivisten termien kanssa, jonka on määritellyt Victor Jamet [1] .

Sanamuoto

Sarja konvergoi, jos seuraava epäyhtälö pätee: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

J_{n}={\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\geqslant 1+\delta ,

missä . $\delta>0$

Jos , niin sarja eroaa. $J_{n}\leqslant 1$ $n>N$

Todiste [2]

1. Täytyy sarjalle seuraava ehto: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

{\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\geqslant \delta >1

Muunnetaan tämä epäyhtälö muotoon:

0\leqslant a_{n}\leqslant \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n}}\oikea)^{n}

Koska aina on mahdollista löytää riittävän suuri sellainen, että: $n>N$

1-{\frac {\delta \ln n}{n}}>0

sitten voimme siirtyä lauseeseen:

0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n))\right)\right)

Käyttämällä funktion laajennusta Maclaurin -sarjassa , jossa jäännöstermi on Peano-muodossa, saadaan: $\ln(1-x)$

0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(-\delta \ln n-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n))+o\left ({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\oikea)\oikea)

Poistetaan ensimmäinen termi eksponentin alta:

0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta ))}\exp \left(-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n)) +o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\oikea)\oikea)

Nyt tässä käytetään Maclaurin-sarjan laajennusta funktiolle : $e^{x}$

$0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{{\delta +1 ))))+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n^({\delta +1))))\oikea)$

Jättämättä huomiotta äärettömän pieni määrä ja ottaen huomioon, että saamme: $\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^({\delta +1))))\geqslant 0$

0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{{\delta +1 }}}}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}

Jälkimmäinen tarkoittaa vertailukriteerin mukaan sitä, että tarkasteltava sarja suppenee ja hajoaa samanaikaisesti sarjan ( Dirichlet -sarja ) kanssa, joka suppenee kohdassa ja hajoaa kohdassa . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac 1{n^{\delta }}}$ $\delta>1$ $\delta \leqslant 1$

2. Täytyy sarjalle seuraava ehto: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

{\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\leqslant 1

Muunnetaan tämä epäyhtälö muotoon:

a_{n}\geqslant \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{n}=\exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\oikea)\oikea)

Käyttämällä Maclaurin-sarjan laajennusta kahdesti ja loput termit Peano-muodossa, saamme:

a_{n}\geqslant {\frac 1{n}}-{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{2}}}+o\left({\frac {\ln ^{2} n}{n^{2}}}\right)=o\left({\frac 1{n}}\right)

Eli vertailutestin mukaan kyseessä oleva sarja eroaa, koska sarja ( harmoninen sarja ) hajoaa. ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac 1{n}}$

Formulaatio rajamuodossa

Jos on raja:

J=\lim _{{n\to \infty }}J_{n}

sitten , sarja lähentyy, ja , se eroaa. $J>1$ $J<1$

Yleistys [3]

Olkoon kolme positiivista määrättyä funktiota: , ja ovat loputtomasti kasvavia, ja niille täyttyvät seuraavat ehdot: $\mathbb {N}$ $\varphi(n),g(n),f(n)$ $\varphi (n)$ $f(n)$

$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {\varphi (n)g(n)}{f(n)\ln n}}=q$
$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {g(n)}{f(n)}}=0$ .

Sitten, jos sarjalle , seuraava epäyhtälö pätee: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

\left(1-a_{n}^{{\frac 1{\varphi (n)}}}\oikea){\frac {f(n)}{g(n)))}\geqslant p>{\ frac 1{q}}

, sitten sarja lähentyy.

Jos sarjalle , seuraava epäyhtälö pätee: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

\left(1-a_{n}^{{\frac 1{\varphi (n)}}}\oikea){\frac {f(n)}{g(n)))}\leqslant p<{\ frac 1{q}}

, sitten sarja eroaa.

Muistiinpanot

↑ V. Jamet. Virhe: parametria ei ole asetettu |заглавие=mallissa {{ julkaisu }} // Mathesis. - 1892. - S. 80.
↑ numero
↑ A. V. Antonova Lisäys Jametin kylttiin

Kirjallisuus

BP Demidovich Kokoelma matemaattisen analyysin tehtäviä ja harjoituksia, s. 254.

Sarjojen lähentymisen merkkejä
Kaikille riveille	Tarpeellinen kunto Cauchyn kriteeri	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Merkkipositiivisille sarjoille	Pääkriteeri Vertailumerkki Kummerin merkki Gaussin merkki Cauchyn radikaali merkki Integroitu ominaisuus D'Alembertin merkki voiman merkki logaritminen merkki Raaben merkki Bertrandin merkki Jametin merkki Schlömilchin merkki Ermakovin merkki Lobatševskin merkki teleskooppinen merkki Sapogovin merkki
Vuorotteleville sarjoille	Leibnizin merkki
Lomakkeen riveille $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelin merkki Dedekindin merkki Dubois-Reymond merkki Dirichlet-merkki
Toiminnallisiin sarjoihin	Weierstrass-kyltti
Fourier -sarjaan	Dini merkki Vallée Poussinin merkki Jordanin merkki Jung merkki Salem merkki Lebesguen merkki Lebesgue-Gergen merkki Martsinkevitšin merkki