Merkintä

Numerojärjestelmät kulttuurissa
indoarabia
arabia tamili burma	Khmer Lao Mongolian Thai
Itä-Aasialainen
Kiinalainen japanilainen Suzhou korealainen	Vietnamilaiset laskukepit
Aakkosellinen
Abjadia armenia Aryabhata kyrillinen kreikka	Georgian Etiopian juutalainen Akshara Sankhya
muu
Babylonian egyptiläinen etruski roomalainen Tonava	Ullakko Kipu Mayan Egeanmeren KPPU-symbolit
paikallinen
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-asentoinen
symmetrinen
sekajärjestelmät
Fibonacci
ei-asentoinen
Yksikkö (yksittäinen)

Numerojärjestelmä ( englanninkielinen numeral system tai system of numeration ) on symbolinen tapa kirjoittaa numeroita , ja se edustaa numeroita käyttämällä kirjoitettuja merkkejä .

Merkintä:

antaa esitykset joukosta lukuja ( kokonaislukuja ja/tai reaalilukuja );
antaa jokaiselle numerolle ainutlaatuisen esityksen (tai ainakin vakioesityksen);
kuvastaa lukujen algebrallista ja aritmeettista rakennetta.

Numerojärjestelmät on jaettu:

paikannus ( eng. positional system , paikka-arvomerkintä );
ei-asentoinen;
sekoitettu.

Paikkanumerojärjestelmät

Paikkalukujärjestelmissä samalla numeromerkinnällä ( digit ) numeromerkinnässä on eri merkitys riippuen paikasta ( numero ), jossa se sijaitsee. Paikkanumerointi, joka perustuu numeroiden paikalliseen merkitykseen, johtuu sumerilaisten ja babylonialaisten ansioista ; Hindut kehittivät tällaisen numeroinnin, ja sillä oli mittaamattomia seurauksia ihmisen sivilisaation historiassa. Näihin järjestelmiin kuuluu nykyaikainen desimaalilukujärjestelmä , jonka syntyminen liittyy sormilla laskemiseen. Keskiaikaisessa Euroopassa se ilmestyi italialaisten kauppiaiden kautta, jotka puolestaan lainasivat sen arabeilta.

Paikkalukujärjestelmä ymmärretään yleensä -aarilukujärjestelmäksi, joka määritellään kokonaisluvulla , jota kutsutaan numerojärjestelmän kantapääksi . Etumerkitön kokonaisluku aarilukujärjestelmässä esitetään luvun äärellisenä lineaarisena yhdistelmänä : $b$ $b>1$ $x$ $b$ $b$

x=\summa _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}

, jossa ovat kokonaislukuja, joita kutsutaan numeroiksi , jotka täyttävät epäyhtälön .

a_{k}

0\leq a_{k}\leq (b-1)

Jokaista tällaisen tietueen tutkintoa kutsutaan luokan painotuskertoimeksi . Numeroiden ja niitä vastaavien numeroiden ikäraja määräytyy indikaattorin arvon (numeronumero) mukaan. Yleensä etunollat jätetään pois nollasta poikkeavissa luvuissa. $b^{k}$ $k$

Jos poikkeavuuksia ei ole (esimerkiksi kun kaikki numerot esitetään yksilöllisinä kirjoitettuina merkeinä), numero kirjoitetaan sen -ary-numeroiden sarjana, joka on lueteltu numeroiden tärkeysjärjestyksen mukaan laskevassa järjestyksessä vasemmalta oikealle: $x$ $b$

x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.

Esimerkiksi luku satakolme esitetään desimaalilukujärjestelmässä seuraavasti:

103=1\cpiste 10^{2}+0\cpiste 10^{1}+3\cpiste 10^{0}.

Yleisimmin käytetyt sijaintijärjestelmät ovat:

2 - binääri ( diskreetissä matematiikassa , tietojenkäsittelytieteessä , ohjelmoinnissa );
3 - kolmiosainen ;
8 - oktaali ;
10 - desimaali (käytetään kaikkialla);
12 - duodesimaalinen (lasketaan kymmenissä);
16 - heksadesimaali (käytetään ohjelmoinnissa , tietojenkäsittelytieteessä );
20 - vigesimaali ;
60 - seksagesimaali ( aikayksiköt , kulmien mittaus ja erityisesti koordinaatit, pituus- ja leveysaste ).

Paikkajärjestelmissä mitä suurempi numerojärjestelmän kanta on , sitä vähemmän numeroita (eli numeroita kirjoitettavaksi ) tarvitaan numeroa kirjoitettaessa.

Sekanumerojärjestelmät

Sekalukujärjestelmä on yleistys -aarilukujärjestelmästä ja viittaa usein myös paikkalukujärjestelmiin. Sekalukujärjestelmän kanta on kasvava numerosarja , ja jokainen luku siinä esitetään lineaarisena yhdistelmänä : $b$ $\{b_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ $x$

x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b_{k}

, jossa joitain rajoituksia on asetettu kertoimille , joita, kuten aiemmin, kutsutaan numeroiksi .

a_{{k}}

Lukujen tallentaminen sekalukujärjestelmään on sen numeroiden laskentaa laskevassa indeksissä , alkaen ensimmäisestä nollasta poikkeavasta numerosta. $x$ $k$

Tyypistä riippuen sekalukujärjestelmien funktiona voi olla potenssi , eksponentiaalinen jne. Kun joillekin , sekalukujärjestelmä osuu yhteen eksponentiaalisen -aarisen lukujärjestelmän kanssa. $b_{k}$ $k$ $b_{k}=b^{k}$ $b$ $b$

Tunnetuin esimerkki sekalukujärjestelmästä on ajan esitys päivinä, tunteina, minuutteina ja sekunteina. Tässä tapauksessa arvo " päivää, tuntia, minuuttia, sekuntia" vastaa sekuntien arvoa. $d$ $h$ $m$ $s$ $d\cdot 24\cdot 60\cdot 60+h\cdot 60\cdot 60+m\cdot 60+s$

Tehdaslukujärjestelmä

Faktoriaalilukujärjestelmässä kantaluvut ovat tekijöiden sarja ja jokainen luonnollinen luku esitetään seuraavasti: $b_{k}=k!$ $x$

x=\summa _{k=1}^{n}d_{k}k!

, missä .

0\leq d_{k}\leq k

Tekijälukujärjestelmää käytetään dekoodattaessa permutaatioita käännösluetteloilla : permutaationumerolla voit toistaa sen itse seuraavasti: permutaationumero (numerointi alkaa nollasta) kirjoitetaan tekijälukujärjestelmään, kun taas kerroin numeroon ilmaisee sen joukon elementin inversioiden määrän , jossa permutaatioita tehdään (alkioiden lukumäärä, joka on pienempi kuin , mutta sen oikealla puolella halutussa permutaatiossa). $i!$ $i+1$ $i+1$

Esimerkki: harkitse 5 elementin permutaatioiden joukkoa, niitä on yhteensä 5! = 120 (permutaatiosta numerolla 0 - (1,2,3,4,5) permutaatioon numerolla 119 - (5,4,3,2,1)), löydämme permutaation numerolla 100:

100=4!\cdot 4+3!\cdot 0+2!\cdot 2+1!\cdot 0=96+4;

olkoon — luvun kerroin , sitten , , , sitten: alkioiden lukumäärä pienempi kuin 5, mutta oikealla seisoen on 4; alkioiden lukumäärä pienempi kuin 4 mutta oikealla on 0; alkioiden lukumäärä pienempi kuin 3, mutta oikealla on 2; alkioiden määrä on pienempi kuin 2, mutta oikealla on 0 (permutaation viimeinen elementti "sijoitetaan" ainoaan jäljellä olevaan paikkaan) - näin ollen permutaatio numerolla 100 näyttää tältä: (5,3,1, 2,4) Tämän menetelmän tarkistaminen voidaan tehdä laskemalla suoraan kunkin permutaatioelementin inversiot. $t_{i}$ $i!$ $t_{4}=4$ $t_{3}=0$ $t_{2}=2$ $t_{1}=0$

Fibonacci-lukujärjestelmä

Fibonacci -lukujärjestelmä perustuu Fibonacci-lukuihin . Jokainen luonnollinen luku siinä esitetään seuraavasti: $n$

n=\summa _{k}f_{k}F_{k}

, missä ovat Fibonacci-luvut, , kun taas kertoimilla on äärellinen määrä yksiköitä, eikä peräkkäin ole kahta yksikköä.

F_{k}

f_{k}\in \{0,1\}

f_{k}

Ei-paikannuslukujärjestelmät

Ei-sijaintilukujärjestelmissä numeron arvo ei riipu numeron paikasta. Tällöin järjestelmä voi asettaa rajoituksia esimerkiksi numeroiden sijainnille siten, että ne järjestetään laskevaan järjestykseen.

Nykyään yleisimmät ei-sijaintinumerojärjestelmät ovat roomalaiset numerot .

Binomilukujärjestelmä

Binomilukujärjestelmässä luku x esitetään binomikertoimien summana :

x=\summa _{k=1}^{n}{c_{k} \choose k}

, missä

0\leq c_{1}<c_{2}<\pisteet <c_{n}.

Jokaiselle kiinteälle arvolle jokainen luonnollinen luku esitetään ainutlaatuisella tavalla. [yksi] $n$

Residual Class System (SOC)

Lukujen esitys jäännösluokkajärjestelmässä perustuu jäännöksen käsitteeseen ja kiinalaiseen jäännöslauseeseen . RNS määritellään joukolla parittaisia koprime- moduuleja tuotteen kanssa siten, että jokainen välin kokonaisluku liittyy joukkoon jäänteitä , joissa $(m_{1},m_{2},\pisteet ,m_{n})$ $M=m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n}$ $x$ $[0,M-1]$ $(x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n})$

x\equiv x_{1}{\pmod {m_{1}}};

x\equiv x_{2}{\pmod {m_{2}}};

…

x\equiv x_{n}{\pmod {m_{n}}}.

Samalla kiinalainen jäännöslause takaa lukujen esityksen ainutlaatuisuuden väliltä . $[0,M-1]$

RNS:ssä aritmeettiset operaatiot (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku) suoritetaan komponentti kerrallaan, jos tuloksen tiedetään olevan kokonaisluku ja se on myös . $[0,M-1]$

RNS:n haittoja ovat kyky esittää vain rajoitettu määrä numeroita sekä tehokkaiden algoritmien puute RNS:ssä esitettyjen lukujen vertailua varten. Vertailu suoritetaan yleensä muuntamalla argumentit RNS:stä sekalukujärjestelmään emäksissä . $(m_{1},m_{1}\cdot m_{2},\dots ,m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n-1})$

Stern-Brocot numerojärjestelmä

Stern-Brocot-lukujärjestelmä on tapa kirjoittaa positiivisia rationaalilukuja Stern-Brocot-puun perusteella .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Lando S.K. Luku 1. Tehtävä 1.13 // Luentoja funktioiden generoinnista . - 3. painos, Rev. - M . : MTsNMO , 2007. - 144 s. - ISBN 978-5-94057-042-4 . (linkki ei saatavilla)

Linkit

Gashkov SB Numerojärjestelmät ja niiden sovellus . - M .: MTSNMO , 2004. - ( Kirjasto "Matemaattinen koulutus" ). Arkistoitu 12. tammikuuta 2014 Wayback Machinessa
Fomin SV Numerojärjestelmät . - M .: Nauka, 1987. - 48 s. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ).
Yaglom I. Numerojärjestelmät // Kvant . - 1970. - Nro 6 . - S. 2-10 .
Numerot ja numerojärjestelmät . Online-tietosanakirja ympäri maailmaa.
Stakhov A. Numerojärjestelmien rooli tietokoneiden historiassa . Arkistoitu alkuperäisestä 1. toukokuuta 2009.
Mikushin A.V. Numerojärjestelmät. Luentokurssi "Digitaalilaitteet ja mikroprosessorit"
Butler JT, Sasao T. Redundantti moniarvoiset numerojärjestelmät Artikkeli käsittelee numerojärjestelmiä, jotka käyttävät yhtä suurempia numeroita ja sallivat redundanssin numeroiden esittämisessä

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Brockhaus ja Efron maailman ympäri Pieni Brockhaus ja Efron kroatialainen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4117700-9 J9U : 987007538744805171 LCCN : sh85093233 NDL : 00762396 NKC : ph128225