Paikkanumerojärjestelmä

Paikkalukujärjestelmä ( paikkanumero , paikallinen numerointi ) on numerojärjestelmä , jossa kunkin numeromerkin ( numeron ) arvo numeromerkinnässä riippuu sen sijainnista ( numerosta ) suhteessa desimaalierottimeen . Paikannusjärjestelmät mahdollistavat muihin verrattuna merkittävästi yksinkertaistaa aritmeettisten operaatioiden suorittamisen algoritmeja ja nopeuttaa laskelmia. Niiden luomisella ja levityksellä oli suuri rooli eksaktien tieteiden - matematiikan , tähtitieteen ja fysiikan - kehityksessä .

Numerojärjestelmät kulttuurissa
indoarabia
arabia tamili burma	Khmer Lao Mongolian Thai
Itä-Aasialainen
Kiinalainen japanilainen Suzhou korealainen	Vietnamilaiset laskukepit
Aakkosellinen
Abjadia armenia Aryabhata kyrillinen kreikka	Georgian Etiopian juutalainen Akshara Sankhya
Muut
Babylonian egyptiläinen etruski roomalainen Tonava	Ullakko Kipu Mayan Egeanmeren KPPU-symbolit
paikallinen
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-asentoinen
symmetrinen
sekajärjestelmät
Fibonacci
ei-asentoinen
Yksikkö (yksittäinen)

Historia

Historiallisesti ensimmäinen paikkanumerointi, joka perustuu numeroiden paikalliseen merkitykseen, on johtunut sumereista ja babylonialaisista . Euraasian sivilisaatioista riippumatta vigesimaalisen paikkalukujärjestelmän keksivät maya- intiaanit . Myöhemmin hindut kehittivät tällaisen numeroinnin, ja sillä oli mittaamattomia seurauksia sivilisaation historiassa . Näihin järjestelmiin kuuluu desimaalilukujärjestelmä , jonka syntyminen liittyy sormilla laskemiseen . Keskiaikaisessa Euroopassa se ilmestyi italialaisten kauppiaiden kautta, jotka puolestaan lainasivat sen arabeilta.

Määritelmät

Paikkalukujärjestelmä määritellään kokonaisluvulla , jota kutsutaan numerojärjestelmän kantapääksi. Lukujärjestelmää , jossa on kanta, kutsutaan myös -aryksi (erityisesti binääri , kolmiosainen , desimaali jne.). $b > 1$ $b$ $b$

Etumerkkinen kokonaisluku -aarilukujärjestelmässä esitetään luvun [1] äärellisenä lineaarisena yhdistelmänä : $x$ $b$ $b$

x=\summa _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}

, jossa ovat kokonaislukuja, joita kutsutaan numeroiksi , jotka täyttävät epäyhtälön

\a_k

0 \leq a_k \le b-1.

Jokaista peruselementtiä tällaisessa esityksessä kutsutaan numeroksi ( position ), numeroiden ja niitä vastaavien numeroiden vanhemmuuden määrää numeron (position) numero ( eksponentin arvo). $\b^k$ $\k$

Käyttämällä -ary- lukujärjestelmän paikkoja voit kirjoittaa kokonaislukuja välillä - , ts. kaikki eri numerot. $n$ $b$ $0$ $b^n-1$ $b^n$

Numeroiden kirjoittaminen

Jos poikkeavuuksia ei ole (esimerkiksi kun kaikki numerot esitetään yksilöllisinä kirjoitettuina merkeinä), numero kirjoitetaan sen -aarinumeroiden sarjana, joka on lueteltu numeroiden tärkeysjärjestyksen mukaan laskevassa järjestyksessä vasemmalta oikealle [1 ] : $x$ $b$

x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.

Nollasta poikkeavissa numeroissa etunollat jätetään yleensä pois. $x$

Numeroiden kirjoittaminen numerojärjestelmissä, joiden kantaluku on enintään 36, arabialaiset numerot (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ja sitten latinalaisten aakkosten kirjaimet (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z ). Tässä tapauksessa a = 10, b = 11 jne., joskus x = 10.

Kun työskentelet useiden numerojärjestelmien kanssa samanaikaisesti, niiden erottamiseksi järjestelmän kanta ilmoitetaan yleensä alaindeksinä, joka kirjoitetaan desimaalijärjestelmään:

123_{10}

on luku 123 desimaalimuodossa ;

173_8

- sama numero oktaalilukujärjestelmässä ;

1111011_2

- sama numero, mutta binäärijärjestelmässä ;

0001\ 0010\ 0011_{10} = 000100100011_{BCD}

- sama numero, mutta desimaalilukujärjestelmässä desimaalilukujen binäärikoodauksella ( BCD );

11120_{3N}

- sama luku, mutta epäsymmetrisessä kolminumerojärjestelmässä ;

1iii0_{3S} = 177770_{3S} = 122220_{3S} = +----0_{3S}

- sama luku, mutta symmetrisessä kolminumerojärjestelmässä merkit "i", "7", "2" ja "−" tarkoittavat "−1", merkit "1" ja "+" merkitsevät "+1" .

Joillakin erityisalueilla sovelletaan erityisiä perusteita koskevia sääntöjä. Esimerkiksi ohjelmoinnissa heksadesimaalijärjestelmää merkitään seuraavasti:

assemblerissä ja yleisissä merkinnöissä , joita ei ole sidottu tiettyyn kieleen, kirjain h ( h :sta eksadesimaali) luvun lopussa (Intel-syntaksi);
Pascalissa "$"-merkki numeron alussa;
C : ssä ja monissa muissa kielissä alussa 0x:n tai 0X:n (he x desimaali) yhdistelmä .

Joissakin C-kielen murteissa, analogisesti "0x":n kanssa, etuliitettä "0b" käytetään merkitsemään binäärilukuja (merkintä "0b" ei sisälly ANSI C -standardiin ).

Venäläisissä tileissä numeroiden kirjoittamiseen desimaalilukujen eksponentiaalisessa paikkalukujärjestelmässä käytetään unaarista desimaalitallennusjärjestelmää (esitys) desimaalinumeroille, jossa on yksi ylimääräinen unaari desimaaliluku "1111111111" = 10_ 10 jokaista numeroa kohden.

Esimerkkejä

2 - binääri ( diskreetissä matematiikassa , tietojenkäsittelytieteessä , ohjelmoinnissa )
3 - kolmiosainen lukujärjestelmä
4 - kvaternäärinen lukujärjestelmä
7 - septaali ( musiikissa nuottien nimien osoittamiseksi) [2]
8 - oktaali ( ohjelmoinnissa )
10 - desimaalilukujärjestelmä
12 - duodesimaali (käytettiin laajalti antiikissa, joillakin yksityisillä alueilla sitä käytetään edelleen)
16 - heksadesimaali (yleisin ohjelmoinnissa , samoin kuin fonteissa )
20 - vigesimaali (käyttivät mayat ja atsteekit )
40 - neljäkymmentä numerojärjestelmä (käytettiin antiikissa: erityisesti "neljäkymmentä neljäkymmentä" = 1600)
60 - seksagesimaali (käytettiin muinaisessa Babylonissa, ja myöhemmin antiikin kreikkalaiset tähtitieteilijät mittaamaan tähtien kulmakoordinaatteja ( pituus- ja leveysaste ) ja mittaamaan aikaa). Ja nykyään sitä käytetään vuorokaudenajan mittaamiseen.
100 -sadaslukujärjestelmä (käytetään ithkuilin kielessä ) .

Ominaisuudet

Paikkalukujärjestelmällä on useita ominaisuuksia:

Itse lukujärjestelmän kanta kirjoitetaan aina 10; esimerkiksi binäärijärjestelmässä 10 tarkoittaa numeroa 2. Tämä lause ei päde unaarilukujärjestelmään , joka käyttää vain yhtä numeroa.
Lukumäärän x kirjoittamiseen b -aarilukujärjestelmään tarvitaan numeroita, mikä tarkoittaa luvun kokonaislukuosan ottamista . $\lfloor\log_b x\rfloor + 1$ $\lfloor\cdot\rfloor$
Voit verrata paikkalukujärjestelmään kirjoitettuja lukuja bitti kerrallaan, kun olet lisännyt ne samanpituisilla etunollailla. Tässä tapauksessa vertailu etenee merkittävimmästä numerosta nuorimpaan, kunnes yhden luvun numero on suurempi kuin vastaava numero toisessa. Esimerkiksi desimaalilukujärjestelmän numeroiden 321 ja 312 vertailua varten samoissa numeroissa olevia numeroita verrataan vasemmalta oikealle:
- 3 = 3 - lukujen vertailun tulosta tässä vaiheessa ei ole määritelty;
- 2 > 1 - ensimmäinen numero on suurempi (muista numeroista riippumatta).

Siten numeroiden luonnollinen järjestys vastaa niiden merkintöjen leksikografista järjestystä paikkanumerojärjestelmässä, edellyttäen, että nämä merkinnät on täytetty samanpituisilla etunollailla.

Aritmeettiset operaatiot numeroille. Paikkalukujärjestelmän avulla voit helposti tehdä yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- ja jakolaskuja lukujen jäännöksillä, kun tiedät vain yksinumeroisten lukujen yhteenlaskutaulukon ja kolmella viimeisellä operaatiolla myös vastaavan järjestelmän kertotaulukon ( katso esimerkiksi jakaminen sarakkeella ).

Talous

Digitaalisessa tekniikassa perusnumerojärjestelmä toteutetaan rekistereillä , jotka koostuvat kiikkujoukoista , joista jokainen voi olla eri tilassa, joka koodaa luvun numeroita. Samaan aikaan numerojärjestelmän taloudellisuus on erityisen tärkeä - kyky esittää mahdollisimman monta numeroa mahdollisimman pienellä merkkimäärällä. [1] Jos laukaisimien lukumäärä on , merkkien kokonaismäärä on , ja niiden edustamien numeroiden määrä on vastaavasti . Tämä lauseke saavuttaa maksiminsa funktiona e = 2,718281828 … . [3] Kokonaislukuarvojen enimmäisarvo saavutetaan arvolla . Siten taloudellisin on kolminumerojärjestelmä (käytetään kolmiosaisissa tietokoneissa ), jota seuraa binäärijärjestelmä (perinteisesti käytetty useimmissa tietokoneissa) ja kvaternäärilukujärjestelmä. $b$ $b$ $r$ $m=r\cdot b$ $b^r=b^{\frac{m}{b))$ $b$ $b$ $b$ $b = 3$

Numerojärjestelmän tehokkuus on tärkeä seikka sen tietokoneen käytön kannalta. Siksi, vaikka kolmiosaisen järjestelmän käyttäminen binäärijärjestelmän sijaan tietokoneessa aiheuttaa suunnitteluvaikeuksia (tässä tapauksessa on tarpeen käyttää elementtejä, joista jokainen voi olla ei kahdessa, vaan kolmessa vakaassa tilassa), tämä järjestelmä on jo käytetty [4] joissakin tosielämän tietokoneissa. [yksi]S. V. Fomin

Vastaava kuvaus lukujärjestelmän taloudellisuudesta voidaan saada käyttämällä informaatioentropian käsitettä . Ehdolla jokaisen numeron esiintymisen tasatodennäköisyydellä numerotietueessa , n-bittisen luvun tietueen tietoentropia lukujärjestelmässä, jonka kanta on b , saa arvon (vakiokertoimeen asti ). Siksi lukujen tallennustiheys (eli tiedon määrä bittiä kohden) lukujärjestelmässä, jonka kanta on b , on yhtä suuri kuin , joka saa myös maksimiarvon kohdassa b = e ja kokonaislukuarvoilla b - kohdassa b = 3. $n\tfrac{\ln b}{b}$ $\tfrac{\ln b}{b}$

Vaihda toiseen kantaan

Muunna desimaalilukujärjestelmään

Jos kokonaisluku -aarilukujärjestelmässä on yhtä suuri kuin $b$

a_{n}\;a_{n-1}\ldots \;a_{1}\;a_{0},

sitten muuntaaksemme desimaalijärjestelmään laskemme seuraavan summan : [5]

\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot b^{k}=a_{n}\cdot b^{n}+a_{n-1}\cdot b^{ n-1}+\lpisteet +a_{1}\cdot b^{1}+a_{0}\cdot b^{0},

tai Hornerin kaaviona :

((\ldots (a_{n}\cdot b+a_{n-1})\cdot b+a_{n-2})\ldots )\cdot b+a_{0}.

Esimerkiksi:

{\begin{alignedat}{2}101100_{2}&=1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^ {2}+0\cpiste 2^{1}+0\cpiste 2^{0}=\\&=32+8+4=44.\\\end{alignedat}}

Samanlaisia toimia tapahtuu myös murto - osalle: $0{,}011_{2}=0\cpiste 2^{-1}+1\cpiste 2^{-2}+1\cpiste 2^{-3}=0+0{,}25+ 0{,}125=0{,}375.$

Desimaalikäännös

koko osa

Jaa peräkkäin ( iteratiivisesti ) desimaaliluvun kokonaislukuosa kantaluvulla loppuosalla, kunnes desimaaliluvusta (yksityinen) tulee nolla.
Jakamalla saadut jäännökset ovat halutun luvun numeroita. Numero uudessa järjestelmässä kirjoitetaan alkaen viimeisestä jäännöksestä. [5] [6]

Murto-osa

Kerrotaan desimaaliluvun murto-osa sen järjestelmän pohjalla, johon haluat kääntää, ja erotetaan koko osa. Jatkamme murto-osan kertomista uuden järjestelmän pohjalla ja erotamme kokonaislukuosan, kunnes luku on täsmälleen 0.
Murtoluvut uudessa lukujärjestelmässä ovat ensimmäisessä vaiheessa saatuja kokonaislukuosia, jotka alentuessaan iästään murto-osan merkittävimmästä numerosta menevät siinä järjestyksessä, jossa ne saatiin ja vastaanotettiin.

Huom . Joskus kun käännetään rationaalinen murtoluku desimaalijärjestelmästä tällaisilla algoritmeilla, voidaan saada ääretön jaksollinen murtoluku: esimerkiksi . Jakson löytämiseksi sinun on suoritettava ensimmäisessä kappaleessa kuvatut iteraatiot ja ymmärrettävä, löytyykö sama murto-osa kuin se oli useita iteraatioita sitten [7] . (Säännölliset murtoluvut eri lukujärjestelmissä on kirjoitettu alla .) $0{,}36=0{,}(2343)_{7}$

Esimerkkejä

$44_{10}$ Muunnetaan binäärimuotoon:

44 jaettuna 2:lla. osamäärä 22, jäännös 0 22 jaettuna 2:lla. osamäärä 11, jäännös 0 11 jaettuna 2:lla. osamäärä 5, jäännös 1 5 jaettuna 2:lla. osamäärä 2, jäännös 1 2 jaettuna 2:lla. osamäärä 1, jäännös 0 1 jaettuna 2:lla. osamäärä 0, jäännös 1

Osamäärä on nolla - jako on ohi. Nyt, kirjoittamalla kaikki loput alhaalta ylöspäin, saamme numeron $101100_{2}.$

Murto-osan algoritmi näyttää tältä:

Kerro 0,625 kahdella. Murto-osa on 0,250. koko osa 1. Kerro 0,250 kahdella. Murto-osa on 0,500. Kokonaisluvun osa 0. Kerro 0,500 kahdella. Murto-osa on 0,000. koko osa 1.

Tällä tavalla, $0{,}625=0{,}101_{2}.$

Muuntaminen binääristä oktaali- ja heksadesimaalijärjestelmiin

Tämän tyyppiselle toiminnalle on olemassa yksinkertaistettu algoritmi. [kahdeksan]

Koko osa

Oktaalille jaamme käännetyn luvun lukuisiin numeroihin, jotka ovat yhtä suuria kuin 2:n potenssi (2 nostetaan potenssiin, joka vaaditaan sen järjestelmän perustan saamiseksi, johon haluat kääntää (2³ \u003d 8), tässä tapauksessa 3, eli kolmikot). Muunnetaan kolmikot triaditaulukon mukaan:

000 - 0; 100 - 4; 001 - 1; 101 - 5; 010 - 2; 110 - 6; 011 - 3; 111-7.

Heksadesimaalilukua varten jaamme käännetyn luvun lukuisiin numeroihin, jotka ovat yhtä suuria kuin 2:n potenssi (2 nostetaan potenssiin, joka tarvitaan käännettävän järjestelmän perustan saamiseksi (2 4 \u003d 16), tässä tapauksessa 4, eli tetradit). Muunnetaan tetradit tetraditaulukon mukaan:

0000 - 0; 0100 - 4; 1000 - 8; 1100 -C; 0001 - 1; 0101 - 5; 1001 - 9; 1101 - D; 0010 - 2; 0110 - 6; 1010 - A; 1110 - E; 0011 - 3; 0111 - 7; 1011 - B; 1111-F.

Esimerkki:

muunna 101100 2 oktaali - 101 100 → 54 8 heksadesimaali - 0010 1100 → 2C 16 Murto-osa

Murto-osan muuntaminen binäärilukujärjestelmästä lukujärjestelmiin, joiden kanta on 8 ja 16, suoritetaan täsmälleen samalla tavalla kuin luvun kokonaislukuosat, sillä ainoalla poikkeuksella, että jaottelu oktaaveiksi ja tetradeiksi menee desimaalipilkun oikealla puolella puuttuvat numerot on täytetty nollilla oikealle. Esimerkiksi edellä käsitelty luku 1100.011 2 näyttäisi 14.3 8 tai C.6 16 .

Muuntaminen oktaali- ja heksadesimaalijärjestelmistä binäärisiksi [8]

Tämän tyyppiselle toiminnalle on olemassa myös yksinkertaistettu algoritmi, päinvastoin kuin yllä oleva algoritmi.

Oktaalille muunnamme taulukon mukaisesti kolmoisiksi:

0 000 4 100 1001 5101 2010 6 110 3011 7111

Heksadesimaalilukuja varten muunnamme taulukon mukaan kvarteteiksi:

0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 1 0001 5 0101 9 1001 D 1101 2 0010 6 0110 A 1010 E 1110 3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

Esimerkki:

muuttaa 54 8 → 101 100 2 2C 16 → 0010 1100 2

Muunnelmia ja yleistyksiä

Rationaalisten lukujen kirjoittaminen

Rationaalinen luku -aarilukujärjestelmässä esitetään luvun potenssien lineaarisena yhdistelmänä (yleisesti sanottuna äärettömänä) : $x$ $b$ $b$

x = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0, c_1 c_2 \ldots)_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k= 1}^{\infty} c_k b^{-k}

jossa - kokonaislukuosan numerot (ennen erotinta ), - murto-osan numerot (erottimen jälkeen), - kokonaislukuosan numeroiden lukumäärä. $a_{k}$ $c_{k}$ $n$

Ainoastaan rationaaliluvuilla, jotka voidaan esittää muodossa , missä ja ovat kokonaislukuja, eli niillä, jotka kerrottuaan emäksellä äärellisessä määrässä iteraatioita, voivat saada kokonaisluvun, voivat olla äärellisiä -aarilukujärjestelmässä : $b$ $\frac{q}{b^m}$ $m$ $q$ $b$

\frac{q}{b^m} = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b = \sum_{k=0}^{ n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{m} c_k b^{-k},

jossa ja ovat -ary merkinnät, vastaavasti , osamäärä ja jäännös jako . $(a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0)_b$ $(c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b$ $b$ $q$ $b^m$

Rationaaliluvut, joita ei voida esittää muodossa , kirjoitetaan jaksollisina murtolukuina . $\frac{q}{b^m}$

Symmetrinen lukujärjestelmät

Symmetriset (tasapainotetut, merkkinumeroiset) peruslukujärjestelmät eroavat siinä, että niissä ei käytetä numeroita joukosta , vaan joukosta, jossa karkeasti sanottuna kaikki luvut "heijastuvat" suhteessa nollaan. Jotta luvut olisivat kokonaislukuja, niiden on oltava parittomia. Symmetrisissä lukujärjestelmissä luvun etumerkille ei tarvita lisämerkintöjä. [9] Lisäksi laskelmat symmetrisissä järjestelmissä ovat käteviä, koska erityisiä pyöristyssääntöjä ei vaadita - pyöristys lähimpään kokonaislukuun vähenee ylimääräisten bittien yksinkertaisesti hylkäämiseen, mikä vähentää huomattavasti systemaattisia virheitä laskelmissa. $b$ $\{0,1,\ldots ,b-1\}$ $\left\{0-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right),1-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right),\ ldots ,(b-1)-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right)\right\},$ $b$ $b$

Yleisimmin käytetty on symmetrinen numeerinen kolminumerojärjestelmä . Sitä käytetään ternäärilogiikassa ja se toteutettiin teknisesti Setun -tietokoneessa . ${\näyttötyyli \{-1,0,1\}}$

Negatiiviset perusteet

On olemassa paikannusjärjestelmiä, joissa on negatiivinen kanta, jota kutsutaan ei-positiaalisiksi :

−2 - ei-binäärinen lukujärjestelmä ;
−3 — negatiivinen kolmiosainen lukujärjestelmä;
−10 — negatiivinen desimaalilukujärjestelmä.

Ei-kokonaislukukannat

Joskus otetaan huomioon myös paikkalukujärjestelmät, joissa on ei-kokonaislukukannat: rationaalinen , irrationaalinen , transsendentaalinen .

Esimerkkejä tällaisista numerojärjestelmistä ovat:

jossa b = ⅓ - lukujärjestelmä, jolla on rationaalinen murtoluku, jonka avulla voit suorittaa kerto- ja jakooperaatioita kokonaisluvuilla kolmimääräisissä käänteissiirtorekistereissä ,
b = ½ - lukujärjestelmä, jossa on rationaalinen murtoluku ,
jossa b = φ = 1,61… - Bergmanin lukujärjestelmä , jonka irrationaalinen kanta on yhtä suuri kuin " kultainen leikkaus ". [kymmenen]

Monimutkaiset pohjat

Paikkalukujärjestelmien kantakohdat voivat olla myös kompleksilukuja [11] [12] . Samanaikaisesti niissä olevat luvut ottavat arvot jostakin äärellisestä joukosta , joka täyttää ehdot, joiden avulla voit suorittaa aritmeettisia operaatioita suoraan näiden numerojärjestelmien numeroesitysten kanssa.

Erityisesti monimutkaisten kantalukujärjestelmien joukosta voidaan erottaa binääriluvut, joissa käytetään vain kahta numeroa 0 ja 1.

Esimerkkejä

Seuraavaksi kirjoitetaan paikkalukujärjestelmä seuraavassa muodossa , jossa on numerojärjestelmän kanta ja A on numerosarja. Erityisesti sarja A voi näyttää tältä: $\langle \rho,A \rangle$ $\rho$

$B_R = \{ 0, 1, 2,\pisteet, R-1 \},$
$D_R = \{-r_1,-r_1+1,\pisteet, -1,0,1,\pisteet,r_2-1,r_2 \},$ missä ja . Kun sarja muuttuu sarjaksi . $r_1, r_2\geq 0$ $R=r_1+r_2+1$ $r_1=0$ $DR$ $B_R$

Esimerkkejä lukujärjestelmistä, joissa on kompleksikanta, ovat (jäljempänä j - imaginaariyksikkö ):

$\langle \rho=j\sqrt{R},B_R \rangle.$ [12]
- Esimerkki: $\langle \rho=\pm j\sqrt{2},\{0,1\} \rangle;$
$\langle \rho=\sqrt{2}e^{\pm j \pi / 2},B_2 \rangle.$ [yksitoista]
- Esimerkki: $\langle \rho=-1\pm j,\{0,1\} \rangle;$
$\langle \rho=2e^{j \pi / 3}, \{0,1,e^{2j \pi / 3},e^{-2j \pi / 3}\} \rangle;$ [13]
$\langle \rho=\sqrt{R},B_R \rangle,$ jossa , on positiivinen kokonaisluku, joka voi saada useita arvoja annetulle R :lle ; [neljätoista] $\varphi=\pm \arccos{(-\beta/2\sqrt{R})}$ $\beta<\min\{ R, 2\sqrt{R}\}$
$\langle\rho=-R, A_R^2 \rangle,$ jossa joukko koostuu muodon kompleksiluvuista ja luvuista Esimerkiksi: [13] $A_R^2$ $r_m=\alpha_m^1 + j\alpha_m^2$ $\alpha_m \in B_R.$ $\langle -2, \{0,1,j,1+j\} \rangle;$
$\langle \rho=\rho_2^{ },\{0,1\} \rangle,$ missä . [viisitoista] $\rho_2=\begin{cases}(-2)^{1/2} & \mbox{if}\ m\ \mbox{even},\\ j(-2)^{(m-1)/2m} & \mbox{if}\ m\ \mbox{odd}.\end{cases}$

Binäärikompleksilukujärjestelmät

Seuraavat ovat binääristen paikkalukujärjestelmien kantakohdat ja niissä olevien lukujen 2, −2 ja −1 esitykset:

$\rho=2$ : (luonnollinen lukujärjestelmä); $2=(10)_{\rho}$
$\rho=-2$ : , , (ei-paikkalukujärjestelmä); $2=(110)_{\rho}$ $-2=(10)_{\rho}$ $-1=11_{\rho}$
$\rho=-\rho_2$ : , , (lukujärjestelmä, jossa on kompleksinen kanta); $2=(10100)_{\rho}$ $-2=(100)_{\rho}$ $-1=101_{\rho}$
$\rho=j\sqrt{2}$ : , , (lukujärjestelmä, jossa on kompleksinen kanta); $2=(10100)_{\rho}$ $-2=(100)_{\rho}$ $-1=(101)_{\rho}$
$\rho=-1+j$ : , , (lukujärjestelmä, jossa on kompleksinen kanta); $2=(1100)_{\rho}$ $-2=(11100)_{\rho}$ $-1=(11101)_{\rho}$
$\rho ={\frac {-1+j{\sqrt {7}}}{2}}$ : , , (lukujärjestelmä, jossa on kompleksinen kanta). $2=(1010)_{\rho}$ $-2=(110)_{\rho}$ $-1=(111)_{\rho}$