Trigonometriset identiteetit

Trigonometriset identiteetit ovat matemaattisia lausekkeita trigonometrisille funktioille , jotka ovat voimassa kaikille argumentin arvoille ( määritelmän yleisestä alueesta ). Tässä artikkelissa annetaan vain identiteetit trigonometristen perusfunktioiden kanssa, mutta myös harvoin käytetyille trigonometrisille funktioille on tunnisteita .

Trigonometriset peruskaavat

Ei.	Kaava	Kelvolliset argumenttiarvot
1.1	$\operaattorinimi {sin}^{2}\alpha +\operaattorinimi {cos}^{2}\alpha =1$	$\forall \alpha$ (eli mikä tahansa α : n arvo )
1.2	$\operaattorinimi {tg}^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operaattorinimi {sec}^{2}\alpha$	$\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n$ klo $n\in \mathbb {Z}$
1.3	$\operaattorinimi {ctg}^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operaattorinimi {cosec}^{2}\alpha$	$\alpha \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
1.4	$\operaattorinnimi {tg} \alpha \cdot \operaattorinnimi {ctg} \alpha =1$	$\alpha \neq {\frac {\pi n}{2)),\quad n\in \mathbb {Z}$

Kaava (1.1) on seuraus Pythagoraan lauseesta .
Kaavat (1.2) ja (1.3) saadaan kaavasta (1.1) jakamalla ja vastaavasti. $\cos ^{2}\alpha$ $\sin ^{2}\alpha$
Kaava (1.4) seuraa tangentin ja kotangentin määritelmistä.

Kaavat argumenttien lisäämiseen ja vähentämiseen

Ei.	Argumenttien yhteen- ja vähennyskaavat
2.1	$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
2.2	$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
2.3	$\operaattorinimi {tg}\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operaattorinimi {tg}\alpha \pm \operaattorinimi {tg}\beta }{1\mp \operaattorinimi {tg}\alpha \operaattorinimi {tg}\beta }}$
2.4	$\operaattorinimi {ctg}\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operaattorinimi {ctg}\alpha \operaattorinimi {ctg}\beta \mp 1}{\operaattorinimi {ctg}\beta \pm \operaattorinimi {ctg}\alpha }}$

Kaava (2.3) saadaan jakamalla (2.1) luvulla (2.2) ja kaava (2.4) jakamalla (2.2) luvulla (2.1) .

Kaavojen johtaminen

\sin(\alpha +\beta ),\ \cos(\alpha +\beta )

Kuvassa 1 esittää neljä suorakulmaista kolmiota: ABC, ABD, AOC, BOD.

Se on hyväksytty $AB=1,\angle DAC=\alpha ,\angle DAB=\beta ;$

Rakenteen mukaan: $\angle ABC=90-\alpha -\beta ;\angle ABD=90-\beta ;$

Sitten: $\angle OBD=\angle ABD-\angle ABO=\alpha ;$

Kolmiosta ABD:

BD=\sin \beta ;AD=\cos \beta ;

BOD-kolmiosta:

OB={\frac {BD}{\cos \alpha }}={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha ));

OD=OB\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha ))

Koska O sijaitsee segmentillä AD:

AO=AD-OD=\cos \beta -{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha ))={\frac {\cos \alpha \cdot \cos \ beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}

Sitten heti:

\cos(\alpha +\beta )=AC=AO\cdot \cos \alpha =\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta

Kolmiosta AOC:

OC=AO\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha}}

Näin ollen:

\sin(\alpha +\beta )=BC=OB+OC={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha ))+{\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \ alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}=

\sin \alpha \cdot \cos \beta +{\frac {\sin \beta \cdot (1-\sin ^{2}\alpha )}{\cos \alpha ))=\sin \alpha \ cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta

Q.E.D .

Kaksoiskulma- ja puolikulmakaavat

Kaksoiskulmakaavat johdetaan kaavoista (2.1) - (2.4) , jos β on yhtä suuri kuin α :

Ei.	Kaksoiskulmakaavat
3.1	$\operaattorinnimi {sin} 2\alpha =2{\sin \alpha }\ {\cos \alpha }={\frac {2\operaattorinnimi {tg} \alpha }{1+\operaattorinnimi {tg} ^{ 2}\alpha}}$
3.2	$\operaattorin nimi {cos}2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }$ $\operaattorinimi {cos}2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }$
3.3	$\operaattorinimi {tg}2\alpha ={\frac {2\operaattorinnimi {tg}\alpha }{1-\operaattorinimi {tg}^{2}\alpha }}$
3.4	$\operaattorinimi {ctg}2\alpha ={\frac {\operaattorinnimi {ctg}^{2}\alpha -1}{2\operaattorinimi {ctg}\alpha }}$

Huomautuksia

kaavalle : $\operaattorinimi {tg}2\alpha$

$\alpha \not ={\frac {\pi }4}+{\frac {\pi }2}n,n\in {\mathbb Z},$
$\alpha \not ={\frac {\pi }2}+\pi n,n\in {\mathbb Z},$

kaavalle : $\operaattorinimi {ctg}2\alpha$ $\alpha \not ={\frac {\pi }2}+\pi n,n\in {\mathbb Z}.$

Kosinin (3.2) kaksoiskulmakaavasta johdetaan puolikulmakaavat:

Ei.	Puolikulmakaavat
3.5	$\sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2))$
3.6	$\cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2))$
3.7	$\operaattorinnimi {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }$

Kolmoiskulmakaavat

Kolmoiskulmakaavat johdetaan kaavoista (2.1) - (2.4) , jos β on 2α:

Ei.	Kolmoiskulmakaavat
4.1	$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha$
4.2	$\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha$
4.3	$\operaattorinimi {tg}3\alpha ={\frac {3\operaattorinimi {tg}\alpha -\operaattorinimi {tg}^{3}\alpha }{1-3\operaattorinnimi {tg}^{2}\alpha } }$
4.4	$\operaattorinimi {ctg}3\alpha ={\frac {3\operaattorinnimi {ctg}\alpha -\operaattorinnimi {ctg}^{3}\alpha }{1-3\operaattorinimi {ctg}^{2}\alpha } }$

Huomautuksia

kaavalle : kaavalle : ; $\operaattorinimi {tg}3\alpha$ $\alpha \not ={\frac {\pi }6}+{\frac {\pi }3}n,n\in {\mathbb Z}$
$\operaattorinimi {ctg}3\alpha$ $\alpha \not ={\frac {\pi }3}n+\pi n,n\in {\mathbb Z}$

Vähennyskaavat

Astevähennyskaavat johdetaan kaavoista (3.2) :

Ei.	Sinus	Ei.	Kosini
5.1	$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$	5.5	$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$
5.2	$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4))$	5.6	$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4))$
5.3	$\sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8))$	5.7	$\cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8))$
5.4	$\sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16))$	5.8	$\cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16))$

Ei.	Työ
5.9	$\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8))$
5.10	$\sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32))$
5.11	$\sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128))$
5.12	$\sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512))$

Kaavat funktioiden tulon muuntamiseksi

Ei.	Funktioiden muunnoskaavat
6.1	$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2))$
6.2	$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2))$
6.3	$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2))$

Kaavojen johtaminen funktioiden tulojen muunnokseen

Kaavat funktioiden tulon muuntamiseksi johdetaan argumenttien (2.1) ja (2.2) lisäyskaavoista. Esimerkiksi kaavasta (2.1) seuraa:

\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \ alfa\sin\beta=

=2\sin \alpha \cos \beta

Tuo on:

\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2))

on kaava (6.2).

Loput kaavat funktioiden tulojen muunnokselle johdetaan samalla tavalla.

Kaavat funktioiden summien muuntamiseen

Ei.	Kaavat funktioiden summan muuntamiseen
7.1	$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2))\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2))$
7.2	$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2))\cos {\frac {\alpha -\beta }{2))$
7.3	$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2))\sin {\frac {\alpha -\beta }{2))$
7.4	$\operaattorin nimi {tg}\alpha \pm \operaattorin nimi {tg}\beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta ))$
7.5	$\operaattorin nimi {ctg}\alpha \pm \operaattorin nimi {ctg}\beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta ))$

Kaavojen johtaminen funktioiden summan muuntamiseksi

Kaavat funktioiden summan muuntamiseksi johdetaan funktioiden (6.1)–(6.3) tulojen muunnoskaavoista substituutiolla:

\alpha ={\frac {\alpha '+\beta '}{2))

\beta ={\frac {\alpha '-\beta '}{2))

Korvataan nämä lausekkeet kaavaan (6.1):

\sin {\frac {\alpha '+\beta '}{2}}\sin {\frac {\alpha '-\beta '}{2}}={\frac {\cos \beta '-\cos \ alfa '}{2}}

, tuo on

\cos \alpha '-\cos \beta '=-2\sin {\frac {\alpha '+\beta '}{2}}\sin {\frac {\alpha '-\beta '}{2}}

— Alkuluvut jätetään pois, saadaan kaava (7.3).

Loput kaavat sinin ja kosinin summan muunnokselle johdetaan samalla tavalla. Kaavasta (2.3) seuraa:

\operaattorinimi {tg}\alpha +\operaattorinimi {tg}\beta =\operaattorinimi {tg}(\alpha +\beta )(1-\operaattorinimi {tg}(\alpha )\operaattorinimi {tg}(\beta )) =

={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta ))

={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beeta}}

, tuo on

\operaattorinimi {tg}\alpha \pm \operaattorinimi {tg}\beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta ))\qquad \qquad

on kaava (7.4).

Muunnetaan 3 eri kulman sinien summa tuloksi kohdassa $\alpha +\beta +\gamma =360^{\circ }\colon$

\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2))\sin {\frac {\beta }{2))\sin {\frac {\gamma }{2))

(7.6).

Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen

$\sinx=a.$

Jos – todellisia ratkaisuja ei ole.

|a|>1

Jos - ratkaisu on numero muodossa missä

|a|\leqslant 1

x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n,

n\in \mathbb {Z} .

$\cosx=a.$

Jos – todellisia ratkaisuja ei ole.

|a|>1

Jos - ratkaisu on muodon numero

|a|\leqslant 1

x=\pm \arccos a+2\pi n,~n\in \mathbb {Z} .

$\operaattorin nimi {tg} \,x=a.$

Ratkaisu on muodon numero

x={\text{arctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .

$\operaattorinimi {ctg} \,x=a.$

Ratkaisu on muodon numero

x={\text{arcctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .

Universaali trigonometrinen substituutio

Alla olevilla identiteeteillä on järkeä vain, kun tangentilla on järkeä (eli milloin ). $\alpha \neq \pi +2\pi n$

$\sin \alpha ={\frac {2\,{\operaattorin nimi {tg}}\,{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operaattorinimi {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2))))$	$\cos \alpha ={\frac {1-\operaattorinimi {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operaattorinimi {tg}^{{2}}{\ frac {\alpha }{2)))$
$\operaattorinimi {tg}\,\alpha ={\frac {2\,{\operaattorinnimi {tg}}\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operaattorinimi {tg}^{{2 }}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\operaattorinimi {ctg}\,\alpha ={\frac {1-\operaattorinimi {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operaattorinnimi {tg}} \,{\frac {\alpha }{2)))$
$\sec \alpha ={\frac {1+\operaattorinimi {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operaattorinimi {tg}^{{2}}{\ frac {\alpha }{2)))$	$\csc \alpha ={\frac {1+\operaattorinimi {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2))}{2\,{\operaattorinnimi {tg} }\,{\ frac {\alpha }{2}}}}}$

Samanlaiset suhteet pätevät kotangentille ( ): $\alpha \neq 2\pi n$

$\sin \alpha ={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{1+{\text{ctg}}^{2}{\ frac {\alpha }{2}}}}}$	$\cos \alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{{\text{ctg}}^{2}{ \frac {\alpha }{2}}+1}}$
${\text{tg}}~\alpha ={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{ 2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}$	${\text{ctg}}~\alpha ={\frac ({\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{2~{\text{ ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sec \alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}{{\text{ctg}}^{2}{ \frac {\alpha }{2}}-1}}$	$\csc \alpha ={\frac {1+{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2~{\text{ctg}}~{\ frac {\alpha }{2}}}}}$

Apuargumentti (kaavat harmonisten värähtelyjen lisäämiseksi)

Kahden samalla taajuudella olevan harmonisen värähtelyn summa on jälleen harmoninen värähtely . Erityisesti,

a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\varphi ),

jossa ja eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti, on kulma, jota kutsutaan apuargumentiksi ja joka löytyy yhtälöjärjestelmästä: $a,b\in \mathbb {R} ,$ $a$ $b$ $\varphi$

\left\{{\begin{matrix}\sin \varphi ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2)))),\\\cos \varphi = {\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2)))).\end{matrix}}\right.

Huom . Yllä olevasta järjestelmästä seuraa, että sitä ei kuitenkaan voida aina olettaa (lisätietoja täältä ). On tarpeen ottaa huomioon merkit ja määrittää, mihin neljännekseen kulma kuuluu $a\neq 0$ $\mathrm {tg} \,\varphi \,=\,{\tfrac {b}{a}}$ $\varphi ={\text{arctg}}~{\tfrac {b}{a}}$ $a$ $b,$ $\varphi.$

Trigonometristen funktioiden esitys monimutkaisessa muodossa

Eulerin kaava sanoo, että mille tahansa reaaliluvulle pätee seuraava yhtäläisyys: $x$

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

missä on luonnollisen logaritmin kanta , $e$

i

on kuvitteellinen yksikkö .

Eulerin kaavan avulla voit määrittää funktiot seuraavasti : $\sin x$ $\cos x$

\sin x={\frac {e^{{ix}}-e^{{-ix}}}{2i}},\qquad \qquad \cos x={\frac {e^{{ix}}+ e^{{-ix}}}{2}}.

Tästä seuraa siis

\operaattorinimi {tg} \,x=-i{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \ qquad \operaattorinimi {ctg} \,x=i{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},

\sec x={\frac {2}{e^{{ix}}+e^{{-ix}}}},\qquad \qquad \operaattorin nimi {cosec}\,x={\frac {2i}{ e^{{ix}}-e^{{-ix}}}}.

Kaikki nämä identiteetit voidaan analyyttisesti yleistää mihin tahansa monimutkaiseen arvoon.

Katso myös

Trigonometria
Kenraali	Trigonometrian yleiskatsaus Tarina Käyttö Toiminnot Käänteinen Harvoin käytetty Yleistetty trigonometria
Hakemisto	Identiteetit Tarkat vakiot taulukoita yksikköympyrä
Lait ja lauseet	Sinilause Pythagoraan lause Kosinilause Tangenttilause Kotangenttilause Kolmioiden ratkaiseminen
Matemaattinen analyysi	Trigonometrinen korvaaminen Integraalit ( käänteisfunktiot ) Johdannaiset