Matriisin karakteristinen polynomi

Matriisin ominaispolynomi on polynomi , joka määrittää sen ominaisarvot .

Määritelmä

Tietylle matriisille , jossa on identiteettimatriisi , on polynomi in , jota kutsutaan matriisin ominaispolynomiksi (joskus myös sekulaariseksi yhtälöksi ) . $A$ $\chi (\lambda )=\det(A-\lambda E)$ $E$ $\lambda$ $A$

Karakterisen polynomin arvo on, että matriisin ominaisarvot ovat sen juuria. Todellakin, jos yhtälöllä on nollasta poikkeava ratkaisu, niin matriisi on degeneroitunut ja sen determinantti on yhtä suuri kuin nolla. $Av=\lambda v$ $(A-\lambda E)v = 0$ $A-\lambda E$ $\det(A-\lambda E)=\chi (\lambda )$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Matriisia kutsutaan matriisin ominaismatriisiksi . $A-\lambda E$ $A$
Yhtälöä kutsutaan ominaismatriisiyhtälöksi . _ $\chi (\lambda )=0$ $A$
Graafin ominaispolynomi on sen viereisyysmatriisin karakteristinen polynomi .

Ominaisuudet

Matriisissa ominaispolynomilla on aste . $n\ kertaa n$ $n$
Kaikki matriisin ominaispolynomin juuret ovat sen ominaisarvoja .
Hamilton-Cayleyn lause : jos on matriisin ominaispolynomi, niin. $\chi (\lambda)$ $A$ $\chi (A) = 0$
Samankaltaisten matriisien ominaispolynomit ovat yhtäpitäviä: . $\chi _{{ABA^{{-1}}}}=\chi _{{B}}$
Käänteimatriisin ominaispolynomi: . $\chi _{A^{-1}}(\lambda )={\frac {(-\lambda )^{n}}{\det A}}\chi _{A}(1/\lambda )$

Todiste:

${\begin{aligned}{\det A}\cdot \chi _{A^{-1}}(\lambda )&={\det A}\cdot \det(A^{-1}- \lambda E)=\det(A(A^{-1}-\lambda E))\\&=\det(E-\lambda A)=(-1)^{n}\det(\lambda AE )\\&=(-\lambda )^{n}\det(A-(1/\lambda )E)=(-\lambda )^{n}\chi _{A}(1/\lambda )\ loppu{tasattu}}$

Jos ja ovat kaksi matriisia , niin . Tämä tarkoittaa erityisesti, että heidän tuotteensa ja . $A$ $B$ $n\ kertaa n$ $\chi _{{AB}}\,=\,\chi _{{BA}}$ ${\mathrm {tr}}\,(AB)={\mathrm {tr}}\,(BA)$ $\det(AB)=\det(BA)$
Yleisemmässä muodossa, jos on matriisi , ja on matriisi , ja , joten ja ovat neliömatriiseja, joiden mitat ja vastaavasti, niin: $A$ $m\ kertaa n$ $B$ $n\ kertaa m$ $m<n$ $AB$ $BA$ $m$ $n$

\chi _{{BA}}(\lambda )\,=\,\lambda ^{{nm}}\,\chi _{{AB}}(\lambda )

Linkit

V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina. Korkeampi matematiikka. Lineaarinen algebra . — Ivanovo State Power Engineering University. Arkistoitu 23. joulukuuta 2008 Wayback Machinessa

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu