Elliptinen yhtälö

Elliptiset yhtälöt ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöiden luokka , jotka kuvaavat paikallaan olevia prosesseja.

Määritelmä

Tarkastellaan toisen asteen skalaariosittaisdifferentiaaliyhtälön yleistä muotoa funktion suhteen : $u:R^{n}\rightarrow R$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\ldots ,x_{n})

Tässä tapauksessa yhtälö kirjoitetaan symmetriseen muotoon, eli: . Sitten ekvivalentti yhtälö neliömuodossa : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

missä . Matriisia kutsutaan pääkertoimien matriisiksi . Jos matriisin kaikilla ominaisarvoilla on sama etumerkki, yhtälö on elliptistä tyyppiä [1] . Toinen, vastaava määritelmä: yhtälöä kutsutaan elliptiseksi, jos se voidaan esittää seuraavasti: $A=A^{T}$
$A$
$A$

Lu=f(x_{1},\ldots ,x_{{n}})

missä on elliptinen operaattori . $L$

Elliptiset yhtälöt vastustetaan parabolisia ja hyperbolisia , vaikka tämä luokitus ei ole tyhjentävä.

Elliptisten yhtälöiden ratkaiseminen

Elliptisten yhtälöiden analyyttiseen ratkaisuun tietyissä reunaehdoissa käytetään Fourier-muuttujien erotusmenetelmää , Greenin funktiomenetelmää ja potentiaalimenetelmää .

Esimerkkejä elliptisistä yhtälöistä

Matemaattisessa fysiikassa elliptiset yhtälöt syntyvät ongelmissa, jotka pelkistyvät vain tilakoordinaateiksi : joko mikään ei riipu ajasta (stationaariset prosessit), tai se on jotenkin suljettu pois.

Laplacen yhtälö ja Poissonin yhtälö kuvaavat erilaisia stationaarisia fyysisiä kenttiä.
Schrödingerin yhtälön stationäärinen analogi , kun oletetaan harmoninen aikariippuvuus.
Maxwellin yhtälöistä johdetut yhtälöt . Sellaiset saadaan olettaen, että sähkömagneettinen kenttä joko ei muutu ajan kuluessa tai muuttuu harmonisen lain mukaan. Yksi tällaisilla oletuksilla saaduista yhtälöistä on Helmholtzin yhtälö .
Stokes-yhtälö on Navier-Stokes- yhtälöjärjestelmän kiinteä analogi tasaista virtausta varten.

Sekä monet muut kiinteät hyperbolisten ja parabolisten yhtälöiden analogit.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Tikhonov A.N. , Samarsky A.A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt. - 5. painos - Moskova: Nauka, 1977.

Matemaattinen fysiikka

Yhtälöiden tyypit

Yhtälötyypit

Reunaehdot

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Diffuusio ja konvektio	Lämpöyhtälö Diffuusioyhtälö Mason-Weaverin yhtälö
Hydrodynamiikka	Siirtoyhtälö Navier-Stokes yhtälöt Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb yhtälö Pyörreyhtälö Burgers yhtälö Matalan veden yhtälöt Korteweg-de Vriesin yhtälö
Sähkömagnetismi	Maxwellin yhtälöt Helmholtzin yhtälö Landau-Lifshitzin yhtälö Seulottu Poisson-yhtälö
Kvanttimekaniikka	Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Rarita-Schwinger yhtälö Hartreen yhtälö Diracin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö
Yleiset mallit	Jatkuvuusyhtälö aaltoyhtälö Fokker-Planck yhtälö Poissonin yhtälö

Ratkaisumenetelmät

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät

Yhtälötutkimus

liittyvät aiheet