Neliö

Neliö
$S$ , alkaen fr. pinnallinen
Ulottuvuus	l²
Yksiköt
SI	m²
GHS	cm²
Huomautuksia
skalaari

Pinta -ala - suppeassa merkityksessä hahmon pinta-ala - numeerinen ominaisuus, joka on otettu käyttöön tietylle tasaisten geometristen hahmojen luokalle (historiallisesti monikulmioille , sitten käsite laajennettiin neliöiksi ) ja jolla on alue [1] . Näistä ominaisuuksista seuraa intuitiivisesti, että kuvion suurempi alue vastaa sen "suurempaa kokoa" (esimerkiksi paperista leikattu suuremman alueen neliö voi peittää kokonaan pienemmän neliön), ja kuvio voidaan arvioida asettamalla sen piirustukseen identtisiä viivoja muodostavien viivojen ruudukko neliöt ( pinta-alayksiköt ) ja laskemalla kuvan sisälle osuneiden neliöiden lukumäärä ja niiden osuudet [2] (oikealla olevassa kuvassa ). Laajassa merkityksessä pinta-alan käsite on yleistetty [1] k - ulotteisiin pintoihin n - ulotteisessa avaruudessa ( euklidisessa tai riemannisessa avaruudessa ), erityisesti kaksiulotteiseen pintaan kolmiulotteisessa avaruudessa .

Historiallisesti pinta-alan laskentaa kutsuttiin kvadratuuriksi . Yksinkertaisten lukujen alueen ominaisarvo seuraa selvästi tämän konseptin käytännössä tärkeistä vaatimuksista ( ks. alla ). Kuvia, joilla on sama pinta-ala, kutsutaan yhtäläisiksi alueiksi.

Yleinen menetelmä geometristen kuvioiden pinta-alan laskemiseksi tarjosi integraalilaskennan . Alueen käsitteen yleistyksestä on tullut joukkomitan teoria , joka soveltuu laajemmalle geometristen esineiden luokalle.

Pinta-alan likimääräiseen laskemiseen he käyttävät käytännössä palettia tai erityistä mittauslaitetta - planimetriä .

Alueen käsitteen määritelmä

Ominaisuudet

Alue on funktio, jolla on seuraavat ominaisuudet [3] [1] :

Positiivisuus, eli alue on ei-negatiivinen ( skalaari ) suure;
Additiivisuus , eli hahmon pinta-ala on yhtä suuri kuin sen muodostavien lukujen pinta-alojen summa, joissa ei ole yhteisiä sisäpisteitä;
Invarianssi, eli yhteneväisten lukujen alueet ovat yhtä suuret;
Normalisoitu, eli yksikköneliön pinta-ala on 1.

Tästä alueen määritelmästä seuraa sen monotonisuus, eli kuvan osan pinta-ala on pienempi kuin koko kuvion pinta-ala [3] .

Figuurien neliöinti

Aluksi alueen määritelmä muotoiltiin monikulmioille , sitten se laajennettiin neliöiksi. Lukua, joka voidaan kirjoittaa monikulmioon ja johon monikulmio voidaan kirjoittaa, kutsutaan neliöhahmoksi, ja molempien monikulmion pinta-alat eroavat mielivaltaisen vähän. Tällaisia lukuja kutsutaan myös Jordanian mitattavissa oleviksi [1] . Tasossa oleville kuville, jotka eivät koostu kokonaislukumäärästä yksikköneliöitä , pinta-ala määritetään käyttämällä rajan kulkua ; vaaditaan, että sekä kuvio että sen raja ovat paloittain sileät [4] . On olemassa neliöimättömiä tasokuvioita [1] . Yllä ehdotettua pinta-alan aksiomaattista määritelmää tasaisten hahmojen tapauksessa täydennetään yleensä konstruktiivisella määritelmällä, jossa pinta-alan varsinainen laskenta suoritetaan paletin avulla. Samaan aikaan tarkempia laskelmia varten myöhemmissä vaiheissa käytetään paletteja, joissa neliön sivun pituus on kymmenen kertaa pienempi kuin edellisen paletin pituus [5] .

Neliön tasokuvan pinta-ala on olemassa ja on ainutlaatuinen. Alueen käsite laajennettuna yleisempiin joukkoihin johti Lebesguen mitattavien joukkojen määrittelyyn , mikä on mittateorian huolenaihe . Tulevaisuudessa syntyy yleisempiä luokkia, joille alueen ominaisuudet eivät takaa sen ainutlaatuisuutta [1] .

Yleinen menetelmä alueen määrittämiseen

Tasokuvan pinta-ala

Käytännössä on useimmiten tarpeen määrittää rajatun hahmon pinta-ala paloittain sileällä rajalla. Matemaattinen analyysi tarjoaa universaalin menetelmän tällaisten ongelmien ratkaisemiseen.

Suorakulmaiset koordinaatit

Intervallin jatkuvan funktion kuvaajan ja vaaka-akselin välissä oleva alue voidaan laskea tämän funktion kiinteänä integraalina : $[a,b]$

S=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx

Kahden jatkuvan funktion kuvaajien välissä oleva alue löytyy näiden funktioiden tiettyjen integraalien erotuksena: $f(x),\,g(x)$ $[a,b]$

$S=\int \limits _{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\,dx$

Napakoordinaatit

Napakoordinaateissa : funktion ja säteiden kuvaajan rajoittama alue lasketaan kaavalla: $r=r(\theta)$ $\theta =\theta _{1},\theta =\theta _{2},\theta _{1}<\theta _{2}$

S={1 \over 2}\int \limits _{{\theta _{1}}}^{{\theta _{2}}}r^{2}(\theta )\,d\theta

Pinta-ala

Palloittain tasaisen pinnan pinta-alan määrittämiseksi kolmiulotteisessa avaruudessa käytetään kohtisuoraa projektiota tangenttitasoihin kussakin pisteessä, minkä jälkeen suoritetaan kulku rajaan. Tämän seurauksena kaarevan pinnan A pinta-ala , jonka vektorifunktio antaa, saadaan kaksoisintegraalilla [1] : ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u,v),$

S=\iint \limits _{A}\left|{\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\mathbf {r}}}{ \partial v}}\right|\,du\,dv.

Sama koordinaateissa:

S=\iint \limits _{A}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\ frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)))\ oikea)^{2))\;{\mathrm {d}}\,u\,{\mathrm {d}}\,v

täällä . ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_ {v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v }\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix ) }x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$

Alueteoria

Alueteoria käsittelee yleistysten tutkimusta, jotka liittyvät k-ulotteisen alueen määritelmän laajentamiseen palasittain tasaisesta upottamisesta yleisempään avaruuteen. Palloittain sileälle upotukselle f pinta-ala määritetään samalla tavalla kuin edellä on esitetty, samalla kun alueella säilyy sellaiset ominaisuudet kuin positiivisuus, additiivisuus , normalisointi sekä joukko uusia.

Pinta-alayksiköt

Metriset yksiköt

neliömetri , johdettu yksikkö kansainvälisestä yksikköjärjestelmästä (SI) ; 1 m² = 1 sa ( santiar );
Neliökilometri , 1 km² = 1 000 000 m²;
Hehtaari , 1 ha = 10 000 m²;
Ar (kudos), 1 a \u003d 100 m²:
Neliödesimetri , 100 dm² = 1 m²;
Neliösenttimetri , 10 000 cm² = 1 m²;
Neliömillimetri , 1 000 000 mm² = 1 m²;
Navetta , 1 b \u003d 10 −28 m².

Venäjän vanhentunut

Neliöversti = 1,13806 km²
Kymmenykset = 10925,4 m²
Heinä = 0,1 kymmenesosaa - heinän niitto mitattiin heinänä
Neliö sazhen = 4,55224 m²

Verolaskelmien maamitat olivat ulvominen, aura, obzha , joiden koko riippui maan laadusta ja omistajan sosiaalisesta asemasta. Siellä oli myös erilaisia paikallisia maamittoja: laatikoita, köyttä, tontteja jne.

Muinainen

Muut

Acre
Paratiisi = 1600 m² (40 m × 40 m).
neliöparsek
Planck-ala ( ) ≈ 2,612099 10 −70 m 2 $S_{P},{\ell }_{{P}}^{{2}}$

Kaavat yksinkertaisimpien lukujen pinta-alojen laskemiseen

Monikulmiot

Kuva	Kaava	Muuttujat
suorakulmainen kolmio	$a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$a$ - kolmion sivun pituus
Suorakulmainen kolmio	${\frac {ab}{2))$	$a$ ja - kolmion jalat $b$
Mielivaltainen kolmio	${\frac {1}{2}}ah$	$a$ - kolmion sivu, - tälle sivulle piirretty korkeus $h$
	${\frac {1}{2}}ab\sin \alpha$	$a$ ja - mitkä tahansa kaksi sivua, - niiden välinen kulma $b$ $\alpha$
	${\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))$ ( Heronin kaava )	$a$ , ja ovat kolmion sivut, on puolikehä $b$ $c$ $s$ $\left(p={\frac {a+b+c}{2}}\oikea)$
	${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{ vmatrix}}$	$(x_{0};y_{0})$ . _ _ $(x_{1};y_{1})$ $(x_{2};y_{2})$
Neliö	$a^2$	$a$ - neliön sivun pituus
Suorakulmio	$ab$	$a$ ja ovat suorakulmion sivujen pituudet (sen pituus ja leveys) $b$
Rombi	${\frac {1}{2}}cd$	$c$ ja ovat rombin diagonaalien pituudet $d$
Suunnikas	$Ah$	$a$ ja - sivun pituus ja sille laskettu korkeus, vastaavasti $h$
Suunnikas	$ab\sin\alpha$	$a$ ja - suunnikkaan viereiset sivut, - niiden välinen kulma $b$ $\alpha$
Trapetsi	${\frac {1}{2}}(a+b)h$	$a$ ja - puolisuunnikkaan pohja, - puolisuunnikkaan korkeus $b$ $h$
Mielivaltainen nelikulmio	${\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos \alpha }}$ ( Brahmaguptan kaava )	$a$ , , , ovat nelikulmion sivut, on sen puolikehä, on nelikulmion vastakkaisten kulmien puolisumma $b$ $c$ $d$ $s$ $\alpha$
Tavallinen kuusikulmio	$a^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	$a$ on kuusikulmion sivun pituus
Tavallinen kahdeksankulmio	$2a^{2}(1+{\sqrt {2)))$	$a$ on kahdeksankulmion sivun pituus
säännöllinen monikulmio	${\frac {P^{2}/n}{4\operaattorin nimi {tg}(\pi /n)))$	$P$ - kehä, - sivujen lukumäärä $n$
Mielivaltainen monikulmio (kupera ja ei-kupera)	${\frac {1}{2}}\left\|\sum _{{i=1}}^{{n}}(x_{{i+1}}-x_{i})(y_{{i+ 1 }}+y_{i})\right\|$ ( puolisuunnikkaan muotoinen menetelmä )	$(x_{i};y_{i})$ ovat monikulmion kärkien koordinaatit siinä järjestyksessä, jossa ne ohitetaan, jolloin viimeinen suljetaan ensimmäisellä: ; jos reikiä on, niiden ohituksen suunta on vastakkainen monikulmion ulkorajan ohitukseen nähden $(x_{{n+1}};y_{{n+1}})=(x_{1};y_{1})$
Mielivaltainen monikulmio (kupera ja ei-kupera)	Monikulmioiden pinta-alojen laskenta Sarronin menetelmällä [6] . On olemassa analyyttinen kaava.	Annettu monikulmion sivujen pituudet ja sivujen atsimuuttikulmat

Ympyrän alueet, sen osat, rajatut ja piirretyt kuviot

Kuva	Kaava	Muuttujat
Ympyrä	$\pi r^{2}$ tai ${\frac {\pi d^{2}}{4}}$	$r$ - säde, - ympyrän halkaisija $d$
ympyrän sektori	${\frac {\alpha r^{2}}{2}}$	$r$ on ympyrän säde, on sektorin keskikulma ( radiaaneina ) $\alpha$
ympyrän segmentti	${\frac {r^{2}}{2}}(\alpha -\sin \alpha )$	$r$ on ympyrän säde, on janan keskikulma ( radiaaneina ) $\alpha$
Ellipsi	$\pi ab$	$a$ , ovat ellipsin pää- ja sivupuoliakselit $b$
Ympyrään piirretty kolmio	${\frac {abc}{4R))$	$a$ , ja ovat kolmion sivut, on rajatun ympyrän säde $b$ $c$ $R$
Ympyrään piirretty nelikulmio	${\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)))$ ( Brahmaguptan kaava )	$a$ , , , ovat nelikulmion sivut, on sen puoliperimetri $b$ $c$ $d$ $s$
Ympyrän ympärille rajattu monikulmio	${\frac {1}{2}}Pr$	$r$ - monikulmioon piirretyn ympyrän säde, - monikulmion kehä $P$
Suorakaiteen muotoinen puolisuunnikkaan muotoinen ympyrän ympäri	$ab$	$a$ , - puolisuunnikkaan pohjat $b$

Avaruudessa olevien kappaleiden pinta-alat

Runko	Kaava	Muuttujat
Oikeanpuoleisen pyöreän sylinterin koko pinta	$2\pi r(r+h)$	$r$ ja ovat säde ja korkeus, vastaavasti $h$
Oikeanpuoleisen pyöreän sylinterin sivupinta	$2\pi rh$	$r$ ja ovat säde ja korkeus, vastaavasti $h$
Oikean pyöreän kartion koko pinta	${\näyttötyyli \pi r(l+r)}$	$r$ ja ovat sivupinnan säde ja generatriisi, vastaavasti $l$
Oikean pyöreän kartion sivupinta	$\pi rl$
Pallon ( pallon ) pinta	$4\pi r^{2}$ tai $\pi d^{2}$	$r$ ja ovat vastaavasti säde ja halkaisija $d$
Suoran prisman sivupinta	$Ph$	$P$ - pohjakehä, - korkeus $h$
Mielivaltaisen prisman kokonaispinta	${\displaystyle 2A_{1}+A_{2))$	$A_{1}$ - pohjapinta- ala - sivupinta-ala $A_{2}$

Historiallinen ääriviiva

Tasokuvioiden pinta-ala

Aluetta pidettiin useiden vuosien ajan ensisijaisena käsitteenä, joka ei vaatinut määrittelyä. Matemaatikkojen päätehtävänä oli pinta-alan laskeminen, kun taas alueen perusominaisuudet tiedettiin [3] . Muinaisessa Egyptissä käytettiin täsmällisiä sääntöjä suorakulmioiden, suorakulmion ja puolisuunnikkaan pinta-alan laskemiseen, mielivaltaisen nelikulmion pinta-ala määritettiin suunnilleen vastakkaisten sivujen parien puolisummien tulona. Tällaisen likimääräisen kaavan käyttö johtuu siitä, että alueet, joiden pinta-ala piti mitata, olivat enimmäkseen suorakaiteen muotoisia ja virhe jäi tässä tapauksessa pieneksi. Matematiikan historioitsija A. P. Yushkevich ehdottaa, että egyptiläiset eivät ehkä tienneet käyttävänsä likimääräistä kaavaa. Rhind-papyruksen tehtävä 50 sisältää kaavan ympyrän alueen laskemiseksi, jonka katsottiin olevan yhtä suuri kuin neliön pinta-ala, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta [7] . Babylonissa käytettiin samoja kaavoja , mutta ympyrän alueen likiarvo oli vähemmän tarkka. Lisäksi babylonialaiset pystyivät likimäärin laskemaan säännöllisten viiden, kuuden ja seitsemän kulmion pinta-alat, joiden sivu oli yhtä suuri. Seksagesimaalijärjestelmässä ne vastasivat 1,40 , 2,37,20 ja 3,41 [8 ] .

Pääasiallinen menetelmä pinta-alan laskemiseksi tässä tapauksessa oli neliön rakentaminen, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin tietyn monikulmiokuvan pinta-ala, erityisesti Euklidesin kirjassa I. 's Beginnings , joka on omistettu suoraviivaisten kuvioiden planimetrialle, on todistettu, että kolmio on yhtä suuri kuin puolikas suorakulmio, jolla on sama kanta ja korkeus [9] . Laajennusmenetelmä, joka perustui siihen, että kaksi samankokoista hahmoa ovat kooltaan yhtä suuria, mahdollisti myös suunnikkaan ja mahdollisten polygonien pinta-alojen laskemisen [5] .

Seuraava askel oli ympyrän, ympyrän sektorin, reikien ja muiden kuvioiden pinta-alojen laskeminen. Laskelmien perustana oli tässä tapauksessa monikulmioiden tyhjennysmenetelmä [1] [5] , josta rajojen teoria on peräisin . Menetelmä koostuu aluesarjan rakentamisesta, joka asteittain lisääntymällä "tyhjentää" vaaditun alueen. Uupumusmenetelmä, joka sai nimensä vasta 1600-luvulla, perustuu Eudoxus-Archimedesin jatkuvuuden aksioomiin ja johtuu Eudoxukselle Knidukselle , joka osoitti sillä, että ympyrän pinta-alat liittyvät toisiinsa, koska ne ovat niiden halkaisijat. Menetelmä on kuvattu Euclid's Elements -kirjassa: Eudoxuksen aksiooma on muotoiltu kirjassa V, ja itse sammutusmenetelmä ja siihen perustuvat suhteet ovat kirjassa XII [9] . Arkhimedes saavutti erityisen täydellisyyden menetelmän soveltamisessa , joka hänen avullaan laski paraabelin segmentin alueen ja muut [10] [11] . Archimedesin teos "Spiraaleista" sisältää monia väitteitä spiraalin eri käänteiden alueista ja niiden suhteista [12] . Archimedes keksi idean käyttää sekä piirrettyjen että rajattujen lukujen alueita tai tilavuuksia tarvittavan alueen tai tilavuuden määrittämiseen [13] .

Intiaanit käyttivät aluksi samaa kaavaa nelikulmion laskemiseen kuin egyptiläiset ja kreikkalaiset. Brahmagupta käytti kaavaa nelikulmioiden pinta-alalle, joka ilmaistaan sen puolikehän suhteen, mikä pätee ympyrään piirretylle nelikulmiolle. Pinta-alan laskentakaavoja ei yleensä todistettu, vaan ne esitettiin visuaalisilla piirroksilla [14] . Brahmaguptan kaava on analogi Heronin kaavalle kolmion pinta-alalle, jonka hän lainasi "Metriikassa" [15] .

Uupumusmenetelmän kehittäminen ja yleistyminen tapahtui vasta 1600-luvulla. Vuonna 1604 Valerio käyttää teosssaan Kolme kirjaa kappaleiden painopisteestä laajasti lausetta, jonka mukaan suunnikasista koostuvien piirrettyjen ja rajattujen kuvioiden alueiden välinen ero voidaan tehdä pienemmäksi kuin mikä tahansa tietty alue [16] . Todellisen läpimurron teki Kepler , jonka piti pystyä laskemaan ellipsin pinta-ala tähtitieteellisiä laskelmia varten. Kepler piti pinta-alaa "suorien summana" ja osoitti [17] , että ellipsiä hallitsee yhden asteen välein . Cavalieri , joka perusteli samanlaista menetelmää, jota kutsutaan " jakamattomien menetelmäksi ", vertasi tasokuvioiden alueita käyttämällä kuvioiden leikkausta yhdensuuntaisilla viivoilla [18] . Antiderivaatin käyttäminen tasohahmon alueen löytämiseen on monipuolisin menetelmä. Antiderivaatan avulla todistetaan Cavalieri-periaate , jonka mukaan kahdella litteällä hahmolla on yhtä suuri pinta-ala, jos kummankin leikkaamalla kiinteän kanssa yhdensuuntaisen suoran saadaan samanpituisia segmenttejä. Periaate tunnettiin jo kauan ennen integraalilaskua [1] [5] . $\int \limits _{0}^{\varphi }\sin xdx=1-\cos \varphi$

Pinta-ala

Archimedes harjoitti kaarevien pintojen alueiden laskemista määrittäen erityisesti pallon pinta-alan [13] . Yleisessä tapauksessa pinta-alan määrittämiseen ei voi käyttää pyyhkäisyä (ei sovellu pallolle) tai monitahoisten pintojen likiarvoa, toisin sanoen sammutusmenetelmän analogia. Jälkimmäisen osoitti Schwartz rakentamalla sylinterin sivusekvenssille sekvenssejä, jotka johtavat erilaisiin tuloksiin (ns. Schwartzin boot ) [1] [19] .

Yleisen menetelmän pinta-alan laskemiseksi 1800- ja 1900-luvun vaihteessa ehdotti Minkowski , joka rakensi jokaiselle pinnalle pienen vakiopaksuuden "vaippakerroksen", jolloin pinta-ala on suunnilleen yhtä suuri kuin tämän tilavuus. kerros jaettuna sen paksuudella. Kulku rajalle, kun paksuus pyrkii nollaan, antaa alueen tarkan arvon. Minkowskin mukaan additiivisuusominaisuus ei kuitenkaan aina täyty alueelle. Tämän määritelmän yleistäminen johtaa Minkowskin ja muiden [20] linjan käsitteeseen .

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Alue // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 4.
↑ Chirkova, Natalya Ivanovna ja Valentina Nikolaevna Zinovjeva. Esineiden aluetta ja sen mittaamista koskevien ajatusten muodostumista alakouluikäisille Arkistokopio 28.4.2019 Wayback Machinessa // Kalugan yliopiston tiedote 1 (2017): 92-97.
↑ 1 2 3 Geometry, 1966 , s. 7-13.
↑ Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - Toim. 6. - M .: FIZMATLIT, 1966. - T. 2. - S. 186-224. – 800 s.
↑ 1 2 3 4 Boltyansky V. Pinta-alan ja tilavuuden käsitteistä. Arkistoitu 5. toukokuuta 2017 paikassa Wayback Machine Kvant , No. 5, 1977, pp.2-9
↑ Khrenov L. S. Monikulmioiden pinta-alojen laskeminen Sarronin menetelmällä // Matem. koulutus. 1936. Numero 6. S. 12-15
↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 30-32.
↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 47-53.
↑ 1 2 Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 111-114.
↑ Exhaustion method // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 2.
↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 101-105.
↑ Boyer & Merzbach, 2010 , s. 127-128.
↑ 1 2 Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 117-124.
↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 197-198.
↑ Boyer & Merzbach, 2010 , s. 172, 219.
↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 131-135.
↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 166-171.
↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 174-181.
↑ V. N. Dubrovsky, Pinta-alan määrittämisessä Arkistokopio 27.6.2017 Wayback Machinessa . Kvantti . 1978. Nro 5. S. 31-34.
↑ V. N. Dubrovsky, Pinta-ala Minkowskin mukaan Arkistoitu 15. helmikuuta 2017 Wayback Machinessa . Kvantti . 1979. Nro 4. S.33-35.

Kirjallisuus

Alkeismatematiikan tietosanakirja. Kirja viisi. Geometria / toimittaneet P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich ja A. Ya. Khinchin. - M .: Nauka, 1966. - 624 s.
Rashevsky PK Riemannin geometria ja tensorianalyysi. Ed. 3., M.: Nauka, 1967.
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - M. : FIZMATLIT, 1960. - T. 2. - 680 s. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Matematiikan historia: 3 osassa / toimittanut A.P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. I: Muinaisista ajoista uuden ajan alkuun.
Matematiikan historia: 3 osassa / toimittanut A. P. Yushkevich. - M . : Nauka, 1970. - T. II: 1600-luvun matematiikka.
Boyer CB, Merzbach UC A History of Mathematics . - John Wiley & Sons, 2010. - 640 s. Arkistoitu 9. heinäkuuta 2019 Wayback Machinessa