Konformaalinen ryhmä

Avaruuden konforminen ryhmä on ryhmä tilan muunnoksia itseensä säilyttäen samalla kulmat. Muodollisesti se on ryhmä muunnoksia, jotka säilyttävät -avaruuden konformisen geometrian .

Jotkut tietyt konformaaliset ryhmät ovat erityisen tärkeitä:

• Konformaalinen ortogonaalinen ryhmä . Jos V  on vektoriavaruus, jonka neliömuoto on Q , niin konforminen ortogonaalinen ryhmä on avaruuden V lineaaristen muunnosten ryhmä T siten, että jokaiselle x :lle V :ssä on olemassa skalaari , joka Merkittävälle neliömuodolle (eli joko positiivinen-definite tai negatiivinen-definite) konforminen ortogonaalinen ryhmä on yhtä suuri kuin ortogonaalinen ryhmä kertaa dilataatioryhmä .

• Pallon konforminen ryhmä , joka on muodostettu inversioilla ympyröiden suhteen. Tämä ryhmä tunnetaan myös nimellä Möbius-ryhmä .
• Euklidisessa avaruudessa n > 2 konforminen ryhmä muodostetaan inversioilla hypersfäärien suhteen .
• Pseudoeuklidisessa avaruudessa konformiryhmä on [1] .

Kaikki konformaaliset ryhmät ovat Lie - ryhmiä .

Kulma-analyysi

Euklidisessa geometriassa ominaisuuden oletetaan olevan standardikulma , mutta pseudoeuklidisessa avaruudessa on myös hyperbolinen kulma [ . Erityisessä suhteellisuusteoriassa nopeuden muutoksen eri referenssipisteet suhteessa muihin referenssipisteisiin liittyvät nopeuteen , hyperboliseen kulmaan. Yksi tapa kuvata Lorentzin tehostetta  on hyperbolinen rotaatio , joka säilyttää nopeuksien välisen kulmaeron. Siten ne ovat konformisia muunnoksia hyperbolisten kulmien suhteen.

Eräs lähestymistapa sopivan konformisen ryhmän kuvaamiseen on jäljitellä Möbius-ryhmää tavallisen kompleksitason konformisena ryhmänä . Pseudoeuklidinen geometria vastaa vaihtoehtoisia kompleksitasoja, joissa pisteet ovat jaettuja kompleksilukuja tai kaksoislukuja tavallisten kompleksilukujen sijaan. Aivan kuten Möbius-ryhmä vaatii Riemannin pallon , kompaktin tilan täydelliseen kuvaukseen, niin vaihtoehtoiset kompleksiset tasot vaativat konformisen mappauksen tiivistämisen täydelliseen kuvaukseen. Kussakin tapauksessa konforminen ryhmä annetaan lineaari-fraktiomuunnoksilla sopivalla tasolla [2] .

Konformaalinen aika-avaruusryhmä

Vuonna 1908 Harry Bateman ja Ebenezer Cunningham [3] , kaksi nuorta tutkijaa Liverpoolin yliopistossa, ilmoittivat ideasta konformisesta aika-avaruusryhmästä [4] [5] [6] (johon viitataan nykyään yleisesti nimellä ) [ 7] . He väittivät, että kinemaattiset ryhmät ovat konformaalisia, koska ne säilyttävät avaruuden neliöllisen muodon ja ovat siten samanlaisia ​​kuin ortogonaaliset muunnokset , joita pidetään isotrooppisena neliömäisenä muotona . Sähkömagneettisen kentän vapaudet eivät ulotu kinemaattisiin liikkeisiin, vaan edellyttävät vain, että ne ovat paikallisesti verrannollisia neliön säilyttäviin muunnoksiin. Harry Batemanin artikkelissa vuonna 1910 hän tutkii muunnoksen Jacobian matriisia , joka säilyttää valokartion ja osoittaa, että transformaatiolla on yhdenmukaisuuden ominaisuus [8] . Bateman ja Cunningham osoittivat, että tämä konformaalinen ryhmä on "suurin ryhmä muunnoksia, jotka jättävät Maxwellin yhtälöt rakenteellisesti muuttumattomiksi" [9] .

Isaac Moiseevich Yaglom vaikutti aika-avaruuden matematiikkaan tarkastelemalla konformaalisia muunnoksia kaksinkertaisina luvuina [10] . Koska kaksoiskappaleilla on renkaan ominaisuudet , mutta ei kentän ominaisuudet , lineaaristen murto-osien muunnokset edellyttävät renkaan yli olevan projektiivisen suoran olevan bijektiivinen kuvaus.

Perinteisesti, Ludwik Silbersteinin (1914) artikkelin mukaan, bikvaternion- rengasta käytetään edustamaan Lorentz-ryhmää . Konformiselle aika-avaruusryhmälle riittää, kun tarkastellaan lineaarisia murtolukumuunnoksia projektiivisella viivalla tämän renkaan yli. Bateman kutsuu tila-aika-konformaalisen ryhmän elementtejä aallon pallomuunnokseksi . Lien pallogeometria absorboi avaruuden neliöllisen muodon erityistutkimuksen .

Muistiinpanot

1. ↑ Vaz, da Rocha, 2016 , s. 140.
2. ↑ Takasu, 1941 , s. 330–8.
3. ↑ Kosyakovin kirjassa - Harry Bateman ja Ebenezer Canningham
4. ↑ Bateman, 1908 , s. 70–89.
5. ↑ Bateman, 1910 , s. 223-264.
6. ↑ Cunningham, 1910 , s. 77–98.
7. ↑ Kosyakov, 2017 , s. 225.
8. ↑ Warwick, 2003 , s. 416–24.
9. ↑ Gilmore, 1994 , s. 349.
10. ↑ Yaglom, 1969 .

Kirjallisuus

• Jayme Vaz Jr., Roldão da Rocha Jr. Johdatus Clifford-algebroihin ja spinoriin. - Oxford University Press, 2016. - S. 140. - ISBN 9780191085789 .
• Tsurusaburo Takasu. Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometri //Keisarillisen akatemian julkaisut . - 1941. - T. 17.
• Harry Bateman . Neliulotteisen tilan konformiset muunnokset ja niiden sovellukset geometriseen optiikkaan // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1908. - T. 7 . - doi : 10.1112/plms/s2-7.1.70 .
• Harry Bateman . Sähködynaamisten yhtälöiden muunnos // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1910. - T. 8 . - doi : 10.1112/plms/s2-8.1.223 .
• Ebenezer Cunningham. Suhteellisuusperiaate elektrodynamiikassa ja sen laajennus // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1910. - T. 8 . — s. 77–98 . - doi : 10.1112/plms/s2-8.1.77 .
• Kosyakov B.P. Johdatus klassiseen hiukkaskenttien teoriaan. - Moskova, Iževsk, 2017. - ISBN 978-5-4344-0450-1 .
• Andrew Warwick. Teorian maisterit: Cambridge ja matemaattisen fysiikan nousu. - Chicago: University of Chicago Press , 2003. - ISBN 0-226-87375-7 .
• Robert Gilmore. Valheryhmät, valhealgebrat ja jotkin niiden sovellukset. - Robert E. Krieger Publishing, 1994. - ISBN 0-89464-759-8 . Ensimmäinen painos 1974
• Galileon suhteellisuusperiaate ja ei-euklidinen geometria. - Moskova: "Nauka", 1969. - (Matematiikan ympyrän kirjasto).

Lue lisää lukemista varten

• Kobayashi Sh . Muunnosryhmät differentiaaligeometriassa. - "Tiede", 1986.
• Isaev A.P., Rubakov V.A. Ryhmien ja symmetrioiden teoria. loppuryhmät. Valheryhmät ja algebrat. - Kustantaja URSS. 2018. 491 s
• Sharpe RW -differentiaaligeometria: Cartanin yleistys Kleinin Erlangen-ohjelmasta. - New York: Springer-Verlag, 1997. - ISBN 0-387-94732-9 .
• Peter Sherk. Joitakin konformisen geometrian käsitteitä // American Mathematical Monthly . - 1960. - T. 67 , no. 1 . - S. 1-30 . - doi : 10.2307/2308920 .