Tuo käyrä

Bring-käyrä (kutsutaan myös Bring-pinnaksi ) on käyrä , jonka antaa

Käyrän nimen antoi Klein [1] Erland Samuel Bringin mukaan, joka tutki samanlaista rakennetta vuonna 1786 Lundin yliopistossa esitellyn väitöskirjan väitöskirjassa .

Käyrän automorfismit ovat luokkaa 120 oleva symmetrinen ryhmä S 5 , joka on annettu 5 koordinaatin permutaatioilla . Tämä on suurin mahdollinen neljännen tyypin kompleksisen käyrän automorfismien ryhmä.

Käyrä voidaan toteuttaa pallon kolminkertaisena peitteenä , joka on haarautunut 12 pisteessä, ja se on Riemannin pinta , joka liittyy pieneen tähtikuvioiseen dodekaedriin . Pinnalla on 4 sukua. Täysi symmetriaryhmä (mukaan lukien heijastukset) on suoratulo , jonka järjestys on 240.

Perusalue ja systole

Bring-käyrä saadaan Riemannin pintana tunnistamalla hyperbolisen kuusikulmion sivut (katso peruspolygoni ), sen piirustus näkyy oikealla. Kaksikolmio (pinta-ala , Gauss-Bonnet-kaavan mukaan ) voidaan asettaa käyttämällä 240 (2,4,5) kolmiota. Toiminnot, jotka siirtävät yhden näistä kolmioista toiseen, antavat täydellisen ryhmän pinnan automorfismeja (mukaan lukien heijastukset). Jos heijastukset jätetään huomioimatta, saadaan edellä mainitut 120 automorfismia. Huomaa, että 120 on pienempi kuin 252, suurin mahdollinen suuntaa säilyttävien automorfismien lukumäärä suvun 4 pinnalle Hurwitzin automorfismilauseen mukaan . Siksi Bring-pinta ei ole Hurwitz-pinta . Tämä sanoo myös, että suvun 4 Hurwitz-pintaa ei ole.

Täydellä symmetriaryhmällä on seuraava esitys:

missä on identiteettitoiminto, on kertaluokkaa 5 oleva kierto peruspolygonin keskipisteen ympärillä, on kertaluvun 2 kierto siinä kärjessä, jossa 4 (2,4,5) kolmiota kohtaavat laatoituksessa, ja se on heijastus todellinen akseli. Tästä esityksestä voidaan laskea informaatio Bring-pinnan symmetriaryhmän lineaarisesta esityksestä GAP :n avulla . Erityisesti ryhmässä on neljä yksiulotteista, neljä neliulotteista, neljä viisiulotteista ja kaksi kuusiulotteista pelkistymätöntä esitystä, ja meillä on

odotetusti.

Pinnan systolella on pituus

Kuten Klein-kvartinen, Bring-pinta ei maksimoi systolin pituutta kompaktien Riemannin pintojen joukossa topologisessa kategoriassaan (eli saman suvun pintojen joukossa), vaikka automorfismiryhmän koko maksimoi. Systolia (ilmeisesti) maksimoi pinta, joka on merkitty M4:ksi Schmutzin paperissa [2] . M4 systolen pituus on

ja sen kerroin on 36.

Spektriteoria

Bring-pinnan spektristä tiedetään vähän , mutta tämä tutkimuslinja voi olla kiinnostava. Bolzan pinnalla ja Kleinin kvartiksilla on suurimmat symmetriaryhmät suvun 2 ja 3 negatiivisen kaarevuuden omaavien kompaktien Riemannin pintojen joukossa, ja sitten oletettiin, että ne maksimoivat ensimmäisen positiivisen ominaisarvon laplalaisen spektrissä. Tämän olettamuksen tueksi on vahva numeerinen näyttö, erityisesti Bolzan pinnan tapauksessa, vaikka tiukka todiste on edelleen avoin ongelma. Näin ollen voidaan kohtuudella olettaa, että Bring-pinta maksimoi Laplace-operaattorin ensimmäisen positiivisen ominaisarvon (topologisen luokan pintojen joukossa).

Katso myös

• Bolzan pinta
• Kleinin kvartsi
• Macbeathin pinta
• Hurwitzin kolme ensimmäistä

Muistiinpanot

1. ↑ Klein, 2003 , s. 157.
2. ↑ Schmutz, 1993 .

Kirjallisuus

• Erland Samuel Bring, Sven Gustaf Sommelius. Meletemata quædam mathematica circa transformationem æquationem algebraicarum. - Lundin yliopisto, 1786. - (Promotionschrift).
• Edge WL Bringin käyrä // London Mathematical Societyn lehti. - 1978. - T. 18 , no. 3 . — S. 539–545 . — ISSN 0024-6107 . - doi : 10.1112/jlms/s2-18.3.539 .
• Felix Klein. Luentoja ikosaedrista ja viidennen asteen yhtälöiden ratkaisusta . - New York: Dover Publications , 2003. - (Dover Phoenix Editions). — ISBN 978-0-486-49528-6 .
• Riera G., Rodriguez R. Bringin käyrän jaksomatriisit // Pacific J. Math.. - 1992. - Vol. 154 , no. 1 . — S. 179–200 . - doi : 10.2140/pjm.1992.154.179 .
• Schmutz P. Riemannin pinnat lyhimmällä geodeettisella maksimipituudella // GAFA. - 1993. - Osa 3 , numero. 6 . — S. 564–631 . - doi : 10.1007/BF01896258 .
• Matthias Weber. Keplerin pieni tähtikuvioinen dodekaedri Riemannin pintana  // Pacific J. Math .. - 2005. - T. 220 . — S. 167–182 . - doi : 10.2140/pjm.2005.220.167 .