Dirichlet-merkki

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. marraskuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Dirichlet-testi on lause , joka osoittaa riittävät edellytykset virheellisten integraalien konvergenssille ja äärettömien sarjojen summatetavuudelle . Nimetty saksalaisen matemaatikon Lejeune Dirichlet'n mukaan .

Dirichlet-testi väärien integraalien konvergenssille

Harkitse funktioita ja määritellään väli , , Ja joilla on singulaarisuus (ensimmäisen tai toisen tyyppinen) kohdassa. Olkoon seuraavat ehdot täyttyvät: $f$ $g$ $[a; b)$ $a\in {\mathbb {R}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $b$

integraali, jolla on ylempi muuttujan raja, on määritelty kaikille ja rajoitettu arvoon ; $\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ $x\in[a; b)$ $[a; b)$
toiminto on monotoninen päällä ja . $g(x)$ $[a; b)$ $\lim _{x\to b-}g(x)=0$

Sitten lähentyy. $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

Todiste

Harkitse joidenkin integraalia (oletamme ilman yleisyyden menetystä ). Koska se on monotoninen , se on integroitavissa siihen ja siten integroitavissa integroitavien toimintojen tuotteena. $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt$ $x_{1},x_{2}\in [a;b)$ ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2))$ $g(t)$ ${\näyttötyyli [x_{1};x_{2}]}$ $f(t)g(t)$ ${\näyttötyyli [x_{1};x_{2}]}$

$f(t)$ — integroitava — yksitoikkoinen. Toisen keskiarvolauseen ehdot täyttyvät ja on olemassa sellainen piste , että $g(t)$ $\xi \in [x_{1};x_{2}]$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt=g(x_{1})\int \limits _{x_{1} }^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt

Toiminto on rajoitettu arvoon , mikä tarkoittaa, että on olemassa sellainen, että , . Sitten: $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt$ ${\näyttötyyli [a;b)}$ $M\geq 0$ $\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|\leq M$ $\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq M$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|=\left|g(x_{1})\ int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t) \,dt\oikea|\leq |g(x_{1})|\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\oikea|+|g( x_{2})|\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\oikea|\leq |g(x_{1})|M+|g( x_{2})|M=M(|g(x_{1})|+|g(x_{2})|)

$g(x)$ motonisesti pyrkii nollaan, joten se on rajoitettu toisaalta , ja toisaalta . Sitten ja $g(a)$ $0$ $|g(x_{2})|\leq |g(x_{1})|$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{1})|

$g(x)\to 0$ , joka määritelmän mukaan tarkoittaa

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\colon |g(x)|<\varepsilon

Sitten ( ota pienempi tai yhtä suuri kuin ) $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b)$ $x_{1}$ $x_{2}$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\leq 2M|g(x_{1})|<2M\varepsilon

joka ei ole mitään muuta kuin Cauchyn kriteeri väärän integraalin konvergenssille.

Etumerkki voidaan muotoilla myös tapaukseen, jossa singulaarisuus on pisteessä . Antaa , ja määritellään . Tässä tapauksessa ehtoja muutetaan seuraavasti: $a$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \))$ $b\in \mathbb {R}$ $f$ ${\näyttötyyli (a;b]}$

integraali alemmalla muuttujan rajalla on määritelty kaikille ja rajoitettu arvoon ; $\int \limits _{x}^{b}f(t)\,dt$ $x \in (a; b]$ $(a;b]$
$g(x)$ on monotoninen päällä ja . $(a;b]$ $\lim _{x\to a+}g(x)=0$

Sitten lähentyy. $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

Se ei myöskään ole välttämätöntä . Jos , niin konvergenssi vastaa konvergenssia . $a<b$ $a>b$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=-\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\, dx$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$ $\int \limits _{b}^{a}f(x)g(x)\,dx$

Jos integraali täyttää Dirichlet-kriteerin ehdot, niin seuraava arvio pätee sen jäännökselle:

|r_{\xi }|=\left|\int \limits _{\xi }^{b}f(t)g(t)\,dt\oikea|\leq 2M|g(\xi ) |

Tässä on mielivaltainen luku väliltä, ja se on luku, jolla integraali ylemmän muuttujan rajan kanssa on rajoitettu. Tätä arviota käyttämällä voidaan arvioida väärän integraalin arvo oikealla integraalilla millä tahansa ennalta määrätyllä tarkkuudella. $\xi$ $M$

Dirichlet-kriteeri Abelin-tyyppisten sarjojen konvergenssille

Määritelmä (Abel-tyyppinen sarja)

Sarjaa , jossa ja sekvenssi on positiivinen ja monotoninen (tietystä paikasta alkaen, ainakin sanan laajimmassa merkityksessä), kutsutaan Abel-tyyppiseksi sarjaksi . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$ $|B_{n}|=\left|\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}\right|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$ $\{a_{n}\}$

Lause (Dirichlet-testi Abelin-tyyppisten sarjojen konvergenssille)

Olkoon seuraavat ehdot täyttyvät:

Osasummien sarja on rajoitettu, eli . $B_{n}=\summa _{{k=1}}^{n}b_{k}$ $\exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$
$a_{n}\geqslant a_{{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$ .
$\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ .

Sitten sarja yhtyy. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$

Dirichlet-testi Abelin-sarjan konvergenssille on analoginen Dirichlet-testin kanssa ensimmäisen tyyppisen virheellisen integraalin konvergenssille.
On helppo nähdä, että Leibnizin kriteeri vuorottelevien sarjojen konvergenssille on tämän lauseen erikoistapaus, nimittäin:

\sum _{{n=1}}^{\infty }(-1)^{{n+1}}c_{n},\quad c_{n}>0,\;c_{{n+1} }\leqslant c_{n}\quad \forall n\in \mathbb{N} ,\quad \lim _{{n\to \infty }}c_{n}=0;

b_{n}=(-1)^{n+1}\Rightarrow |B_{n}|=\left|\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+ 1 }\right|\leqslant 1\quad \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow

Leibniz-sarjan konvergenssi Dirichlet-testin perusteella.

Abelin tyyppisen sarjan loppuosan arvio
Tarkastellaan sarjaa ja täyttyvät Dirichlet-kriteerin ehdot. Sitten tehdään seuraava arvio: . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$ $|r_{n}|=\left|\sum _{{k=n+1}}^{\infty }a_{k}b_{k}\right|\leqslant 2Ma_{{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$
Todistus Dirichlet-kriteeristä seuraa Abel-muunnosta .

Dirichlet-kriteeri väärän integraalin tasaiselle konvergenssille parametrin kanssa

Olkoon funktio ja määritelty joukossa , ja oletetaan, että joidenkin pisteiden integraalilla on singulaarisuus pisteessä . Olkoon seuraavat ehdot täyttyvät: $f$ $g$ $[a;b)\times Y$ $a\in {\mathbb {R}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$ $y\in Y$ $b$

integraali, jolla on ylempi muuttujan raja, on määritelty kaikille ja tasaisesti rajattu ; $\int \limits _{a}^{x}f(t,y)\,dt$ $x\in[a; b)$ $y\in Y$ $[a;b)\times Y$
toiminto on monotoninen jokaiselle betonille ja . $g(x,y)$ $x$ $[a; b)$ $y\in Y$ $g(x,y)\rightrightarrows 0$ $x\to b-$

Sitten konvergoi tasaisesti. $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)g(x,y)\,dx$

Todiste

Todistus on lähes identtinen integraalin kanssa ilman parametria. Korjaamme ja tarkastelemme edelleen funktioita ja yhden muuttujan funktioina . Heille teemme kaiken samalla tavalla kuin todistuksessa integraaleille ilman parametria, paitsi että otamme saman kaikille (tämä voidaan tehdä täysin rajatulla tavalla). Tule $y\in Y$ $f(x,y)$ $g(x,y)$ $x$ $M$ $y\in Y$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\oikea|\leq 2M|g(x_{ 1},y)|

$g(x,y)$ pyrkii tasaisesti nollaan. Kirjoitamme yhtenäisen konvergenssin määritelmän:

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\forall y\in Y\colon |g(x,y)|< \varepsilon

Sitten $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2},\forall y\in Y$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\leq 2M|g(x_{1},y)| <2M\varepsilon

Pääsimme Cauchyn kriteeriin väärän integraalin tasaiselle konvergenssille parametrin kanssa.

Katso myös

Abelin merkki

Kirjallisuus

A. K. Boyarchuk "Monimutkaisen muuttujan funktiot: teoria ja käytäntö" Korkeamman matematiikan hakuteos. T.4 M.: Pääkirjoitus URSS, 2001. - 352s.

Sarjojen lähentymisen merkkejä
Kaikille riveille	Tarpeellinen kunto Cauchyn kriteeri	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Merkkipositiivisille sarjoille	Pääkriteeri Vertailumerkki Kummerin merkki Gaussin merkki Cauchyn radikaali merkki Integroitu ominaisuus D'Alembertin merkki voiman merkki logaritminen merkki Raaben merkki Bertrandin merkki Jametin merkki Schlömilchin merkki Ermakovin merkki Lobatševskin merkki teleskooppinen merkki Sapogovin merkki
Vuorotteleville sarjoille	Leibnizin merkki
Lomakkeen riveille $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelin merkki Dedekindin merkki Dubois-Reymond merkki Dirichlet-merkki
Toiminnallisiin sarjoihin	Weierstrass-kyltti
Fourier -sarjaan	Dini merkki Vallée Poussinin merkki Jordanin merkki Jung merkki Salem merkki Lebesguen merkki Lebesgue-Gergen merkki Martsinkevitšin merkki