QR-hajotus

$QR$ -matriisin hajottaminen - matriisin esitys unitaarisen (tai ortogonaalisen matriisin ) ja ylemmän kolmiomatriisin tulona . QR-hajotus on perusta yhdelle menetelmälle ominaisvektorien ja matriisilukujen löytämiseksi – QR-algoritmille [1] .

Määritelmä

Kokomatriisi , jossa , monimutkaisilla elementeillä voidaan esittää muodossa $A$ $n \ kertaa m$ $n\geqslant m$

A = QR,

jossa on matriisi, jonka koko on ortonormaalit sarakkeet, ja on ylempi kolmiomatriisi , jonka koko on . Sillä matriisi on yhtenäinen . Jos lisäksi on ei- degeneroitu , niin -hajotelma on ainutlaatuinen ja matriisi voidaan valita niin, että sen diagonaaliset alkiot ovat positiivisia reaalilukuja. Tietyssä tapauksessa, kun matriisi koostuu reaaliluvuista , matriisit ja voidaan myös valita reaalisiksi, lisäksi se on ortogonaalinen [2] . $K$ $n \ kertaa m$ $R$ $m \ kertaa m$ $n=m$ $K$ $A$ $QR$ $R$ $A$ $K$ $R$ $K$

Analogisesti, jos on matriisi, jonka koko on , jossa , niin se voidaan hajottaa muodossa $A$ $n \ kertaa m$ $n\leqslant m$

A=LP,

jossa järjestysmatriisi on alemman kolmion muotoinen ja kokomatriisissa on ortonormaalit rivit [1] . $L$ $n$ $P$ $n \ kertaa m$

Algoritmit

$QR$ -hajoaminen voidaan saada eri menetelmillä. Se voidaan helpoimmin laskea Gram-Schmidt-prosessin sivutuotteena [2] . Käytännössä tulisi käyttää muunnettua Gram-Schmidt-algoritmia , koska klassisen algoritmin numeerinen stabiilisuus on huono [3] .

Vaihtoehtoiset algoritmit -laajennuksen laskemiseksi perustuvat Householder-heijastuksiin ja Givensin rotaatioihin [4] . $QR$

Esimerkki QR-hajotuksesta

Harkitse matriisia :

${\mathsf {\mathrm {A} }}=$ ${\begin{pmatrix}1&2&4\\3&3&2\\4&1&3\end{pmatrix}}$

Merkitään annetun matriisin sarakevektoreilla. Saamme seuraavan joukon vektoreita: $a_{1},a_{2},a_{3}$ ${\mathsf {\mathrm {A} )).$

$a_{1}={\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix)),$ $a_{2}={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix)),$ $a_{3}={\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}}$

Seuraavaksi käytämme Gram-Schmidt-ortogonalisointialgoritmia ja normalisoimme tuloksena olevat vektorit, saamme seuraavan joukon:

$e_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}\\{ \frac {4{\sqrt {26}}}{26}}\end{pmatrix}},$ $e_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}\\{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}} \\-{\frac {34{\sqrt {3614}}}{3614}}\end{pmatrix}},$ $e_{3}={\begin{pmatrix}{\frac {9{\sqrt {139}}}{139}}\\-{\frac {7{\sqrt {139}}}{139} }\\{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}$

Muodostamme saaduista vektoreista matriisin Q sarakkeiden mukaan laajennuksesta: $e_{1},e_{2},e_{3}$

$Q={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}&{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}&{\frac {9{ \sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}&{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}}&- {\frac {7{\sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {4{\sqrt {26}}}{26}}&-{\frac {34{\sqrt {3614}} }{3614}}&{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}.$ Tuloksena oleva matriisi on ortogonaalinen , mikä tarkoittaa sitä $Q^{-1}=Q^{T}.$

Etsitään matriisi lausekkeesta : $R$ $R=Q^{-1}A=Q^{T}A$

$R={\begin{pmatrix}{\sqrt {26}}&3{\sqrt {\frac {2}{13}}}+{\frac {9}{\sqrt {26}}}&11{ \sqrt {\frac {2}{13}}}\\0&20{\sqrt {\frac {2}{1807}}}+{\frac {99}{\sqrt {3614}}}&56{\sqrt { \frac {2}{1807}}}\\0&0&{\frac {31}{\sqrt {139}}}\end{pmatrix}}$ on haluttu ylempi kolmiomatriisi .

Sai eron . $A = QR$

Muistiinpanot

↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , s. 114.
↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , s. 112.
↑ Horn ja Johnson, 1990 , s. 116.
↑ Horn ja Johnson, 1990 , s. 117.

Kirjallisuus

Horn, R.A. , Johnson CR Matrix analysis . - Cambridge University Press , 1990. - ISBN 0-521-30586-1 .

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

Muut