Kolmioryhmä

Matematiikassa kolmion ryhmä on ryhmä , joka voidaan esittää geometrisesti peräkkäisillä heijastuksilla kolmion sivuilta . Kolmio voi olla tavallinen euklidinen kolmio, pallolla oleva kolmio tai hyperbolinen kolmio . Mikä tahansa kolmioryhmä on symmetriaryhmä yhtenevien kolmioiden parketille kaksiulotteisessa avaruudessa , pallolla tai Lobatševskin tasolla (katso myös artikkeli hyperbolisesta tasosta ).

Määritelmä

Olkoon l , m , n kokonaislukuja , jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin 2. Kolmioryhmä Δ( l , m , n ) on euklidisen avaruuden, kaksiulotteisen pallon, todellisen projektiivitason tai hyperbolisen tason liikeryhmä syntyy heijastuksilla kolmion sivuilta, joiden kulmat ovat π/ l , π/ m ja π/ n (mitattuna radiaaneina ). Heijastumien tulo kahden vierekkäisen sivun suhteen on kiertymä kulmalla, joka on kaksinkertainen näiden sivujen väliseen kulmaan, 2π/ l , 2π/ m ja 2π/ n . Jos heijastukset on merkitty kirjaimilla a , b ja c ja sivujen väliset kulmat syklisessä järjestyksessä, kuten edellä on osoitettu, seuraavat suhteet pätevät:

$a^{2}=b^{2}=c^{2}=1$
$(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1.$

On olemassa lause, jonka mukaan kaikki muut suhteet a, b, c välillä ovat näiden suhteiden seurauksia ja että Δ( l, m, n ) on vastaavan avaruuden diskreetti liikeryhmä. Tämä kolmioryhmä on heijastusryhmä , joka voidaan määrittää

\Delta (l,m,n)=\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc )^{n}=(ca)^{m}=1\rangle .

Tämän tehtävän abstrakti ryhmä on Coxeter-ryhmä , jossa on kolme generaattoria.

Luokitus

Jos luonnolliset luvut l , m , n > 1, täsmälleen yksi klassisista kaksiulotteisista geometrioista (euklidinen, pallomainen tai hyperbolinen) sallii kolmion, jossa on kulmat (π/l, π/m, π/n) ja avaruus on laatoitettu tämän kolmion heijastuksilla. Kolmion kulmien summa määrittää geometrian tyypin Gauss-Bonnet'n kaavan mukaan: avaruus on euklidinen, jos kulmien summa on täsmälleen yhtä suuri kuin π, pallomainen, jos se on suurempi kuin π, ja hyperbolinen, jos se on ehdottomasti pienempi kuin π. . Lisäksi mitkä tahansa kaksi kolmiota, joilla on tietyt kulmat, ovat yhteneviä. Jokainen kolmioryhmä määrittelee laatoituksen, joka on yleensä 2-värinen, joten kahdella vierekkäisellä laatoituksella on eri värit.

Lukujen l , m , n > 1 suhteen on olemassa seuraavat mahdollisuudet.

Euklidinen taso

${\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}=1.$

Kolmioryhmä on jonkin euklidisen tason parketin (tai laatoituksen) ääretön symmetriaryhmä kolmioilla, joiden kulmien summa on π (tai 180°). Permutaatioihin asti kolmois ( l , m , n ) on yksi kolmioista (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3). Vastaavat kolmioryhmät edustavat tapettikuvioiden ryhmää .

(2,3,6)	(2,4,4)	(3,3,3)

Halkaistu kuusikulmainen parketti	Neliöparketti "Tetrakis"	Kolmion muotoinen parketti
Tarkemmat kaaviot nimetyillä kärjeillä. Näyttää kuinka heijastukset toimivat.

Pallo

{\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}>1.

Kolmioryhmä on parketin äärellinen symmetriaryhmä pallomaisten kolmioiden yksikköpallolla eli Möbius-kolmioilla , joiden kulmien summa on suurempi kuin π. Permutaatioon asti kolmoisilla ( l , m , n ) on muoto (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5) tai (2,2, n ), n > 1. Kolmioiden pallomaisia ryhmiä voidaan verrata säännöllisten polyhedrien symmetriaryhmiin kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa: Δ(2,3,3) vastaa tetraedria , Δ(2,3,4) vastaa molempia kuutiota ja oktaedri (heillä on sama symmetriaryhmä), Δ(2,3,5) vastaa sekä dodekaedria , että ikosaedria . Dihedraalisen symmetrian ryhmiä Δ(2,2, n ), n > 1 voidaan ajatella dihedrien perheen symmetriaryhminä , jotka muodostuvat kahdesta identtisestä säännöllisestä n -kulmasta, jotka on liitetty toisiinsa, tai duaalisesti osoedri , joka muodostuu n digonin liitosta .

Säännöllistä monitahoa vastaava pallomainen parketti saadaan jakamalla monitahoinen barysentrisesti ja projisoimalla saadut pisteet ja viivat rajatulle pallolle. Tetraedrillä on neljä pintaa, ja jokainen pinta on tasasivuinen kolmio, joka on jaettu 6 pienempään osaan keskellä leikkaavien mediaanien avulla. Tuloksena oleva laatoitus sisältää 4 × 6 = 24 pallomaista kolmiota (tämä on pallomainen tetrakisheksaedri ).

Nämä ryhmät ovat äärellisiä, mikä vastaa pallon tiiviyttä - pallolla olevien kiekkojen alueet kasvavat säteen suhteen, mutta kattavat lopulta koko pallon.

Kolmion muotoiset tessellaatiot on annettu alla:

(2,2,2)	(2,2,4)	(2,2,6)

(2,3,3)	(2,3,4)	(2,3,5)

Oktaedria ja ikosaedria vastaavat pallomaiset parketit sekä kaksikulmaiset pallolaatoitukset, joissa on parillinen n , ovat keskisymmetrisiä . Siksi jokainen näistä tiivisteistä määrittelee todellisen projektiivitason parketin, elliptisen parketin . Niiden symmetriaryhmä on kolmioiden pallomaisen ryhmän osamäärä keskisymmetrian ( -I ) mukaan, joka on kertaluvun 2 keskielementti. Koska projektiivinen taso on elliptisen geometrian malli , tällaisia ryhmiä kutsutaan elliptisiksi kolmioryhmiksi [1 ] .

Hyperbolinen taso

{\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}<1.

Kolmioryhmä on parketin ääretön symmetriaryhmä hyperbolisten kolmioiden hyperbolisella tasolla, jonka kulmien summa on pienempi kuin π. Kaikki kolmiot, joita ei ole mainittu yllä, edustavat parketteja hyperbolisessa tasossa. Esimerkiksi kolmio (2,3,7) antaa kolmioryhmän (2,3,7) . Tällaisia ryhmiä on äärettömän paljon. Alla on parketit, jotka liittyvät joihinkin pieniin arvoihin.

Perustason kolmioiden Poincarén malli

Esimerkkejä suorakulmaisista kolmioista (2 pq)
(2 3 7)	(2 3 8)	(2 3 9)	(2 3∞)
(2 4 5)	(2 4 6)	(2 4 7)	(2 4 8)	(2 4∞)
(2 5 5)	(2 5 6)	(2 5 7)	(2 6 6)	(2∞∞)
Yleisiä kolmioesimerkkejä (pqr)
(3 3 4)	(3 3 5)	(3 3 6)	(3 3 7)	(3 3∞)
(3 4 4)	(3 6 6)	(3∞∞)	(6 6 6)	(∞∞∞)

Hyperboliset kolmioryhmät ovat esimerkkejä ei-euklidisista kristallografisista ryhmistä , ja ne on yleistetty Gromovin hyperbolisten ryhmien teoriassa .

Von Dyck-ryhmät

Merkitään D ( l , m , n ) alaryhmää , jonka indeksi 2 on Δ(l, m, n) , jonka generaattorien parilliset sanat muodostavat. Tällaisia alaryhmiä kutsutaan joskus "tavallisiksi" kolmioryhmiksi [2] tai von Dyck -ryhmiksi Walther von Dyckin mukaan . Pallomaiset, euklidiset ja hyperboliset kolmiot vastaavat ryhmän elementtejä, jotka säilyttävät kolmioiden suunnan. Projektiivisia (elliptisiä) kolmioita ei voida tulkita tällä tavalla, koska projektiivitasolla ei ole orientaatiota eikä siinä ole "orientaation säilymistä". Heijastukset kuitenkin säilyttävät orientaation paikallisesti (ja mikä tahansa monisto on paikallisesti suuntautuva, koska se on paikallisesti euklidinen). [3]

Ryhmät D ( l , m , n ) määritellään seuraavalla tehtävällä:

D(l,m,n)=\langle x,y\mid x^{l},y^{m},(xy)^{n}\rangle .

Generaattorien suhteen tämä on x = ab, y = ca, yx = cb . Geometrisesti kolme alkiota x , y , xy vastaavat rotaatioita 2π/ l , 2π/ m ja 2π/ n kolmion kolmen kärjen ympärillä.

Huomaa, että D ( l , m , n ) ≅ D ( m , l , n ) ≅ D ( n , m , l ) joten D ( l , m , n ) ei riipu lukujen l , m järjestyksestä. , n .

Von Dyckin hyperbolinen ryhmä on fuksialainen diskreetti ryhmä, joka koostuu hyperbolisen tason orientaatiota säilyttävistä isometrioista .

Päällysparketti

Kolmioryhmät säilyttävät parkettiverkon kolmioilla, eli toiminta- alueen (suorien heijastusten määrittämän kolmion), jota kutsutaan Möbius-kolmioksi , ja ne saadaan kolmioita (2 l ) vastaavien kokonaislukujen ( l , m , n ) avulla. ,2 m ,2 n ) yhteisellä kannella. On myös parketteja, jotka on muodostettu päällekkäisistä kolmioista, jotka vastaavat Schwartzin kolmioita rationaalisilla luvuilla ( l / a , m / b , n / c ), joissa nimittäjät ovat suhteellisen alkulukuja osoittajiin nähden. Tämä vastaa kulmassa a π/ l (vastaavasti) olevia sivuja, mikä vastaa kiertoa 2 a π/ l (vastaavasti), jolla on luokkaa l ja joka on siten identtinen abstraktin ryhmän elementin kanssa, mutta eroaa kun ne esitetään heijastuksina.

Esimerkiksi Schwartzin kolmio (2 3 3) antaa pallolle parketin , jonka tiheys on 1, kun taas kolmio (2 3/2 3) antaa parketin, jonka tiheys on 3, mutta samalla abstraktilla ryhmällä . Näitä peittoparketin symmetrioita ei pidetä kolmioryhminä.

Historia

Kolmioryhmät ovat peräisin ainakin Hamiltonin esityksestä ikosaedriryhmästä kolmion rotaatioryhmänä (2,3,5) vuonna 1856 ikosiaanien artikkelissaan [4] .

Sovellukset

Kolmioryhmät syntyvät aritmeettisessa geometriassa . Kahden elementin S ja T muodostama modulaarinen ryhmä suhteilla S² = (ST)³ = 1 on kolmion rotaatioryhmä (2,3,∞) ja se on kuvattu kaikkiin kolmioryhmiin (2,3, n ) lisäämällä relaatio T n = 1. Yleisemmin kahden elementin S ja T muodostama Hecke-ryhmä H q relaatiolla S 2 = ( ST ) q = 1 (ei relaatiota erikseen T :lle ), on kolmion (2, q , ∞) rotaatioryhmä ja se kartoitetaan kaikkiin kolmioryhmiin (2, q , n ) lisäämällä relaatio T n = 1. Modulaarinen ryhmä on Hecken ryhmä H 3 . Teoriassa dessins d'enfants Belyin funktio mahdollistaa jonkin kolmioryhmää vastaavan Riemannin pinnan laatoituksen .

Kaikki 26 satunnaista ryhmää ovat kolmioryhmien tekijäryhmiä [6] , joista 12 on Hurwitz-ryhmiä (ryhmän tekijäryhmä (2,3,7)).

Katso myös

Schwartzin kolmio
Schwarzin kolmiokartoitus on kolmioiden kartoitus ylempään puolitasoon .
Geometrinen ryhmäteoria

Muistiinpanot

↑ ( Magnus 1974 )
↑ Gross & Tucker, 2001 .
↑ ( Magnus 1974 , s. 65)
↑ Hamilton, 1856 .
↑ Riemannin pintojen platoniset laatoitukset: Modulaarinen ryhmä Arkistoitu 28. lokakuuta 2009 Wayback Machinessa , Gerard Westendorp Arkistoitu 10. maaliskuuta 2011 Wayback Machinessa
↑ ( Wilson 2001 , taulukko 2, s. 7)

Kirjallisuus

Gross, Jonathan L. & Tucker, Thomas W. (2001), 6.2.8 Triangle Groups, Topological graph theory , Courier Dover Publications, s. 279-281 , ISBN 978-0-486-41741-7
Magnus, Wilhelm (1974), II. Epäjatkuvat ryhmät ja kolmioteksellaatiot, Noneuklidiset tesselaatiot ja niiden ryhmät , Academic Press , s. 52-106 , ISBN 978-0-12-465450-1
Wilson, R. A. (2001), The Monster is a Hurwitz group , Journal of Group Theory osa 4 (4): 367–374, doi : 10.1515/jgth.2001.027 , < http://web.mat.bham.ac. uk/RAWilson/pubs/MHurwitz.ps > . Haettu 24. joulukuuta 2017. Arkistoitu 5. maaliskuuta 2012 Wayback Machinessa
Sir William Rowan Hamilton. Muistio uudesta yhtenäisyyden juurijärjestelmästä // Philosophical Magazine . - 1856. - T. 12 . - S. 446 .

Linkit

Robert Dawson Jotkut pallomaiset parketit Arkistoitu 6. lokakuuta 2011 Wayback Machinessa (Näytetään suuri määrä mielenkiintoisia pallolaattoja, joista suurin osa ei ole kolmioryhmäparketteja.)
Elizabeth R Chen -kolmioryhmät Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa (2010)