Delta-toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14. helmikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 12 muokkausta .

Deltafunktio (tai delta-mitta, δ -funktio, δ -Dirac-funktio, Dirac-delta, yksikköimpulssifunktio ) on yleistetty funktio , jonka avulla voit tallentaa pisteen toiminnan sekä fyysisten suureiden (massa, varaus, lämmönlähteen intensiteetti, voima jne. ), keskitetty tai kohdistettu yhteen kohtaan.

Esimerkiksi yksiulotteisen euklidisen avaruuden pisteessä a sijaitsevan yksikköpistemassan m tiheys kirjoitetaan käyttämällä -funktiota muodossa Delta-funktio soveltuu myös kuvaamaan varauksen, massan jne. jakautumista pinnoilla tai viivoilla . . $\R^1,$ $\delta$ $m\delta(xa).$

Yleisestä kirjoitusmuodosta huolimatta -funktio ei ole reaalimuuttujan funktio, vaan se määritellään yleistyneeksi funktioksi : jatkuvaksi lineaarifunktioksi differentioituvien funktioiden avaruudessa. Voit ottaa käyttöön derivaatan δ-funktiolle, joka on myös yleistetty funktio, ja integraalin, joka määritellään Heaviside-funktioksi . On helppo löytää tavallisia klassisia funktioita, jotka konvergoivat heikosti -funktioon. $\delta (x),x\in \mathbb {R} ,$ $\delta$ $\delta$

Yksiulotteiset ja moniulotteiset deltafunktiot voidaan erottaa toisistaan, mutta jälkimmäinen voidaan esittää yksiulotteisten funktioiden tulona määränä, joka on yhtä suuri kuin sen tilan dimensio, jolle moniulotteinen funktio määritellään.

Esitteli englantilainen fyysikko Paul Dirac .

Määritelmät

Deltafunktion käsitteestä on erilaisia näkemyksiä. Tuloksena olevat esineet ovat tarkasti ottaen erilaisia, mutta niillä on useita yhteisiä ominaispiirteitä. Kaikki alla esitetyt rakenteet yleistyvät luonnollisesti suurempien tilojen tapauksiin . $(\R^n,\n>1)$

Yksinkertainen määritelmä

Yhden reaalimuuttujan deltafunktio (Dirac-funktio) voidaan määritellä funktioksi , joka täyttää seuraavat ehdot: $\delta(x)$

$\delta(x)=\left\{\begin{matrix} +\infty, & x=0, \\ 0, & x\ne 0; \\ \end{matrix}\right.$
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,dx=1.$

Toisin sanoen tämä funktio ei ole yhtä suuri kuin nolla vain siinä kohdassa, jossa se kääntyy äärettömyyteen niin, että sen integraali minkä tahansa naapuruston kohdalla on yhtä suuri kuin 1. Tässä mielessä deltafunktion käsite on samanlainen kuin pisteen fyysiset käsitteet. massa tai pistevaraus . Integraalin ymmärtämiseksi on hyödyllistä kuvitella tietty kuvio tasolle , jonka pinta- ala on yksikkö , esimerkiksi kolmio . Jos pienennämme tämän kolmion kantaa ja lisäämme korkeutta niin, että pinta-ala pysyy muuttumattomana, niin rajoitettavassa tapauksessa saamme kolmion, jolla on pieni kanta ja erittäin suuri korkeus. Oletuksena sen pinta-ala on yhtä suuri kuin yksikkö, jonka integraali osoittaa. Kolmion sijasta voit käyttää mitä tahansa kuviota yleisyyden menettämättä. Samanlaiset ehdot pätevät delta-funktioille, jotka on määritetty $x=0$ $x=0$ $\mathbb{R}^n.$

Näitä yhtäläisyyksiä ei yleensä pidetä deltafunktion määritelmänä, mutta monissa fysiikan oppikirjoissa se on määritelty tällä tavalla, ja tämä riittää deltafunktion tarkkaan määrittelyyn. Huomaa, että tämä deltafunktion määritelmä merkitsee seuraavaa yhtäläisyyttä

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(xy)f(x)\,dx=f(y)

(suodatusominaisuus) mille tahansa funktiolle f . Itse asiassa pisteen ominaisuuden vuoksi tämän integraalin arvo ei muutu, jos funktio korvataan funktiolla , joka on yhtä suuri pisteessä ja jolla on mielivaltaisia arvoja muissa pisteissä. Otetaan esimerkiksi , sitten otetaan se pois integraalimerkistä ja käyttämällä deltafunktion määritelmän toista ehtoa saadaan haluttu yhtäläisyys. $\delta(xy)=0$ $x\ney$ $f(x)$ $\tilde{f}(x)$ $f(x)$ $x=y$ $\tilde{f}(x)=f(y)=\operaattorinimi {const}$ $f(y)$

Deltafunktion derivaatat ovat myös yhtä suuria kuin 0 melkein kaikkialla ja ne muuttuvat at . $\pm\infty$ $x=0$

Klassinen määritelmä

Deltafunktio määritellään lineaariseksi jatkuvaksi funktionaaliseksi jossakin funktioavaruudessa ( testifunktioiden avaruudessa ). Tavoitteesta ja halutuista ominaisuuksista riippuen tämä voi olla funktioiden tila kompaktilla tuella , äärettömyyteen nopeasti pienenevien funktioiden tila, monikanavan sileät funktiot , analyyttiset funktiot jne . Jotta voidaan määritellä deltafunktion derivaatat, joilla on hyvä ominaisuudet , kaikissa tapauksissa pääfunktioiden katsotaan olevan äärettömästi differentioituvia, myös pääfunktioiden avaruuden tulee olla täydellinen metriavaruus . Katso aiheeseen liittyvästä artikkelista yleisten funktioiden yleinen lähestymistapa . Tällaisia yleisiä funktioita kutsutaan myös jakaumaksi .

Harkitsemme yksinkertaisinta vaihtoehtoa. Perusfunktioiden avaruutena tarkastelemme kaikkien välin äärettömästi differentioituvien funktioiden tilaa. Jakso konvergoi, jos missä tahansa kompaktissa joukossa funktiot konvergoivat tasaisesti kaikkien niiden derivaattojen kanssa: ${\mathcal {E}}$ $\varphi_n\in\mathcal{E}$ $\varphi\in\mathcal{E}$ $K\in\R$ $\varphi_n$ $\varphi$

\lim_{n\to\infty}\varphi_n=\varphi\iff\sup_j\sup_{x\in K}\left|\varphi^{(j)}_n(x)-\varphi^{(j)} (x)\right|\xrightarrow{n\to\infty}\,0.

Tämä on paikallisesti kupera mitattava avaruus. Määrittelemme delta-funktion funktionaaliseksi sellaiseksi, että $\delta\in\mathcal{E}^\prime$

\forall\varphi\in\mathcal{E}:\;\lang\delta;\;\varphi\rang=\varphi(0).

Jatkuvuus tarkoittaa, että jos , niin . Tässä on funktion funktion arvo . $\varphi_n\to\varphi$ $\lang\delta;\;\varphi_n\rang\to\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\varphi$

Colombo delta-funktio

Delta-funktion kanssa työskentelevälle integraalilausekkeelle voidaan antaa merkitys, joka on lähellä intuitiivista yleistettyjen Colombo -funktioiden algebran teorian puitteissa ( englanniksi Colombeau algebra ) [1] .

Olkoon joukko äärettömästi differentioituvia funktioita kompaktilla tuella, eli ei ole yhtä suuri kuin nolla vain rajoitetussa joukossa. Harkitse joukkoa toimintoja $\mathcal{D}$ $f\kaksoispiste\R\to\R$

\mathcal{A}=\left\{\varphi\in\mathcal{D}\,\bigg|\int_\R\varphi(x)\,dx=1,\;\int_\R x\varphi(x )\,dx=0\right\}.

Yleistetty funktio on ekvivalenssiluokka funktioita, jotka ovat äärettömästi differentioituvia x :n suhteen kullekin ja jotka täyttävät tietyn moderaatioehdon (olettaen , että kaikki sen derivaatat x :n suhteen kasvavat melko hitaasti kohdassa ). Kahden funktion oletetaan olevan ekvivalentteja if , jossa on toinen funktioluokka, jolla on kasvurajoituksia as $R\colon\mathcal{A}\times\R\to\R,$ $R\colon(\varphi,\;x)\mapsto R(\varphi,\;x),$ $\varphi\in\mathcal{A}$ $\varphi_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}\varphi(x\varepsilon^{-1}),$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepsilon\-0$ $R_1-R_2\in\mathcal{N}$ $\mathcal{N}$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepsilon\-0.$

Deltafunktio määritellään Colombo-lähestymistavan etuna on, että sen yleiset funktiot muodostavat kommutatiivisen assosiatiivisen algebran, kun taas käsitteet integraatio, differentiaatio, rajat, parillinen arvo pisteessä ulottuvat luonnollisesti yleistettyjen funktioiden joukkoon. Tässä mielessä deltafunktio voidaan todellakin nähdä funktiona, joka on yhtä suuri kuin 0 kaikkialla paitsi pisteessä 0 ja yhtä suurena kuin ääretön nollassa, koska Colombon teoria sisältää äärettömän suurten ja äärettömän pienten lukujen teorian, joka on samanlainen kuin epästandardi analyysi . . $\delta(\varphi,\;x)=\varphi(-x).$

Egorovin lähestymistapa

Samanlainen teoria yleistetyistä funktioista esiteltiin Yu. V. Egorovin työssä [2] . Vaikka se ei vastaa Colombon teoriaa, suunnittelu on paljon yksinkertaisempi ja sillä on suurin osa halutuista ominaisuuksista.

Yleistetty funktio on sekvenssien ekvivalenssiluokka . Sekvenssejä pidetään ekvivalentteina, jos minkä tahansa kompaktin joukon sekvenssien funktiot ovat yhtenevät jostain numerosta alkaen: $f=(f_1,\;f_2,\;\ldots),\;f_i\in C^\infty(\R).$ $f$ $\tilde f$ $\Omega\Subset\R$ $\Omega$

f\sim\tilde f\iff\forall\Omega\Subset\R\ \exists N\ \forall k>N\colon f_k|_\Omega={\tilde f}_k|_\Omega.

Kaikenlaiset sekvenssien operaatiot (kerto-, yhteen-, integrointi-, erottelu-, kokoonpano-, ...) on määritelty komponentti kerrallaan. Esimerkiksi joukkointegraali I määritellään sekvenssin ekvivalenssiluokiksi

\int_I f(x)\,dx=[(a_1,\;a_2,\;\ldots)],\;a_i=\int_I f_i(x)\,dx.

Kaksi yleistettyä funktiota ovat heikosti yhtä suuria, jos jollekin äärettömän tasaiselle funktiolle $\varphi$

\lim_{k\to\infty}\int_I(f_k(x)-{\tilde f}_k(x))\varphi(x)\,dx=0.

Tässä tapauksessa deltafunktio määräytyy millä tahansa delta-muotoisella sekvenssillä (katso alla ), kaikki tällaiset yleistyneet funktiot ovat heikosti samanarvoisia.

Ominaisuudet

Delta-funktio on parillinen .
Deltafunktion integraali minkä tahansa nollan sisältävän intervallin yli, eli välin, jonka muoto on ja ovat mielivaltaisia reaalipositiivisia lukuja, on yhtä suuri kuin 1. $(-a_1,\;a_2),$ $a_{1}$ $a_{2}$
$x\delta^\prime(x)=-\delta(x).$
$\delta(f(x))=\sum_k\frac{\delta(x-x_k)}{|f'(x_k)|}$ , missä ovat funktion yksinkertaiset nollat . $x_k$ $f(x)$

Yksiulotteisen deltafunktion antiderivaata on Heaviside -funktio :

\theta (x)=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}0,&x<0,\\1,&x\geqslant 0.\\\end{array} }\oikea.

Delta-funktion suodatusominaisuus:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).

δ-funktio heikkona rajana

Päästää $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.$

Sitten sarja

f_n(x)=nf(nx)

konvergoi heikosti -funktioon . $\delta$

Integroitavan funktion valinta, jonka kiinteä integraali on yhtä suuri kuin 1 alueella välillä - on mielivaltainen. $f(x),$ ${\displaystyle {-\infty ))$ ${\displaystyle {+\infty ))$

Esimerkiksi, kuten voit valita funktion sinc : antamalla järjestyksen: $f(x)$ $f(x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x)),$

f_{n}(x)=n{\frac {\sin(n\pi x)}{n\pi x))={\frac {\sin(n\pi x)}{\pi x }}.

Jos vaaditaan, että kaikki sekvenssin funktiot ovat kaikkialla positiivisia, voidaan valita esimerkiksi normalisoitu Gaussin funktio tai mikä tahansa muu kaikkialla ei-negatiivinen funktio, jonka integraali on 1:

f(x)=\frac1{\sqrt{\pi}}e^{-x^2},

f_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-(nx)^2}.

Integraaliesitys

Monissa sovelluksissa delta-funktion integroitu esitys osoittautuu käteväksi:

\delta(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}\,d\omega.

Todiste

Harkitse integraalia

I(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\,d\omega,

(yksi)

joka voidaan tulkita rajaksi

I(t)=\lim _{N\to \infty }I_{N}(t),

missä

I_N(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-N}^N e^{i\omega t}\,d\omega=\frac{1}{\pi}N\ frac{\sin{tN}}{tN}.

(2)

On tiedossa, että

\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt=\pi.

(3)

Kohdan (3) perusteella yhtäläisyys on tosi: $N$

\int\limits_{-\infty}^{\infty}I_N(t)\,dt=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin{tN }}{tN}\,d(tN)=1.

(neljä)

Voidaan osoittaa ( katso yllä ), että N :n rajoittamattomalla kasvulla funktiolle (2) kaikki delta-funktion ominaisuudet osoittautuvat todeksi, ja tietyssä mielessä se pyrkii $\delta(t).$

Delta-funktion johdannainen

Deltafunktion derivaatan määritelmän mukaan : $\delta(x)$

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(xa)\,dx=-f^\prime(a)

(integraation laajentaminen osittain deltafunktion sisältäviin integrandeihin).

Samoin deltafunktion n: nnelle derivaatalle:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(xa)\,dx.

Ja n - kertaisen integroinnin jälkeen saamme lopulta:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=\left.(-1)^n\frac{\partial^nf (x)}{\osittainen x^n}\oikea|_{x=a}.

Deltafunktion johdannaiselle pätee seuraava identiteetti:

f(x)\delta^\prime(x)=f(0)\delta^\prime(x)-f^\prime(0)\delta(x),

joka voidaan saada erottamalla tuote . $f(x)\delta(x)$

Fourier-muunnos

Tässä osiossa sovelletaan yksikkökerroinsopimusta vastaavaa normalisointia käänteismuunnoksessa, eli pitää mielessä $f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d \omega.$
Tämän osan kaavoilla on vastaavat analogit moniulotteiselle Fourier-muunnokselle.

Fourier-muunnosta voidaan soveltaa delta-funktioon :

F\left\{\delta(t-t_0)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0)\cdot e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot t_0}.

Siten deltafunktion spektri (Fourier-muunnos), jonka keskipiste on , on "aalto" taajuusavaruudessa, jolla on "jakso" . Erityisesti nollaan keskitetyn deltafunktion spektri (Fourier-muunnos) on vakio (löysässä mielessä "aalto", jolla on äärettömän suuri "jakso"): $t_0$ $\frac{2\pi}{t_0}$

F\left\{\delta(t)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot 0} = \frac{1} {\sqrt{2\pi}}.

Sen mukaisesti delta-funktio on päinvastoin puhtaan harmonisen funktion tai vakion Fourier-muunnos.

Moniulotteisten deltafunktioiden esitys erilaisissa koordinaattijärjestelmissä

N - ulotteisessa avaruudessa karteesisissa koordinaateissa (ortonormaali kanta):

\int\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\,d^nx=1;

\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)=\delta(x_1)\delta(x_2)\ldots\delta(x_n).

2D-avaruudessa:

\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^2(x,\;y)\,dx\,dy=1;

\delta^2(ax,\;by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^2(x,\;y);

\delta^2(x,\;y)=\delta(x)\delta(y).

Napakoordinaateissa:

\delta^2(r,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{2\pi\left|r\right|}

- siirtämätön suhteessa origoon (singulaarisuuden ollessa r = 0 ),

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)}{|r|}

— jossa singulaarisuus on yleisasemassa r = 0 , laajennetaan nollalla.

(r_0,\;\varphi_0);

3D-avaruudessa:

\iiiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^3(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1;

\delta^3(x,\;y,\;z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z).

Sylinterimäisessä koordinaattijärjestelmässä :

\delta^3(r,\;\theta,\;z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{2\pi r}

— siirtämätön suhteessa origon suhteen (singulaarisuus on ),

r = 0, \; z = 0

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)\delta(z-z_0)}{|r|}

— jossa singulaarisuus on yleisasemassa r = 0 , laajennetaan nollalla.

(r_0,\;\varphi_0,\;z_0);

Pallomaisessa koordinaattijärjestelmässä :

\delta^3(r,\;\theta,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{4\pi r^2}

- siirtämätön suhteessa origoon (singulaarisuuden ollessa r = 0 ). Kaavoissa, joiden origossa on singulaarisuus, käytetään usein kaksi kertaa suurempia kertoimia (1/π lieriömäiselle ja polaariselle, 1/2π pallomaiselle). Tämä johtuu siitä, että integrointituloksen oletetaan olevan kaksi kertaa pienempi, jos singulaaripiste on täsmälleen integrointivälin rajalla.

Fyysinen tulkinta

Varauspisteen lähellä kenttä on ääretön, kentän Taylor-sarjat eivät konvergoidu, joten käyttöön otetaan erikoisfunktioita. Yksi tällainen toiminto on delta-funktio. Kysymys pistevarautuneen hiukkasen kentästä on verrattain monimutkainen, joten tarkastelkaamme ensin yksinkertaisempaa esimerkkiä.

Instant Boost

Antaa hiukkasen, joka pystyy liikkumaan suoraa linjaa pitkin mitättömän kestävän törmäyksen jälkeen , yhtäkkiä nopeutta. Esitetään itseltämme kysymys: kuinka laskea kehon saavuttama kiihtyvyys? Rakennetaan kaavio nopeuden muutoksista ajan myötä. Kaavio näyttää tältä:

Tämä kuvaaja on melkein kaikkialla Heaviside-funktion kaaviossa . Heaviside-funktion derivaatta on yksikködeltafunktio, jonka kuvaaja voidaan tavanomaisesti kuvata

Tämä kaavio näyttää äärettömän kiihtyvyyden hetkellisen kiihtyvyyden kanssa. Yleisesti ottaen törmäyskiihtyvyys voidaan kirjoittaa muodossa

a(t)=\nu\delta(t-t_a).\

Materiaalipisteen massa/varaus

Jos sinun on löydettävä tietyn tiheysjakauman (tai varaustiheyden ) kokonaismassa (kokovaraus ), joka sisältää jatkuvan komponentin lisäksi myös pistemassat (varaukset), niin se on kätevää kaavan sijaan, joka ottaa erikseen ottaa huomioon jatkuva lopullinen tiheys ja erilliset lisäykset: ${\displaystyle \rho _{\mathrm {jatkuu} ))$

{\displaystyle M=\int \rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )\,dV+\sum _{i}m_{i))

missä on kyseessä olevan elementin sijainnin sädevektori (tarkkuuden vuoksi nimitykset vastaavat massaa, eivät varausta), on helppo kirjoittaa: $\mathbf {x}$

M=\int \rho (\mathbf {x} )\,dV

tarkoittaa, että se sisältää sekä jatkuvia että deltamaisia eli geometrisiin pisteisiin keskittyviä komponentteja (yksi jokaiselle pisteobjektille ): $\rho(\mathbf{x})$ $mi$

\rho (\mathbf {x} )=\rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )+\sum _{i}m_{i}\delta (\mathbf {x} - \mathbf {x} _{i})

Muita esimerkkejä

Delta-funktiota käytetään matemaattisessa fysiikassa ratkaistaessa ongelmia, jotka sisältävät niputettuja suureita. Kvanttimekaniikan puoliklassisessa rajassa ( ) aaltofunktiot lokalisoidaan aaltopaketteihin, joissa on delta-tyyppiset (eli rajassa deltafunktion muotoiset) verhot, ja niiden lokalisoinnin alueet liikkuvat klassisia lentoratoja pitkin Newtonin yhtälöt . $\hbar\rightarrow 0$
Yksikön Fourier-muunnos on deltafunktio. Tämä mahdollistaa kätevämmin ja matemaattisemmin tiukemmin muotoiltuja erilaisia Fourier-muunnukseen liittyviä ongelmia, joita on hyvin lukuisia: aaltooptiikka, akustiikka ja värähtelyteoria. Kvanttimekaniikassa aaltofunktioiden Fourier-muunnoksilla on ensiarvoisen tärkeä perustavanlaatuinen ja tekninen rooli; tätä varten Dirac esitteli ensimmäisen kerran deltafunktion.
Deltafunktiot näyttelevät jatkuvan spektrin omaavan operaattorin ominaisfunktioita esityksissä, joissa tämä operaattori on diagonaalinen. Siten ne toimivat perustana operaattorin diagonaalisessa esityksessä.
Tärkeä delta-funktioiden sovellus on niiden osallistuminen Greenin lineaaristen operaattorien funktioiden laitteistoon. Lineaariselle operaattorille , joka toimii yleisissä funktioissa monisarjan yli , yhtälöllä, joka määrittää Greenin funktion lähteen kanssa pisteessä, on muoto $L$ $M$ $g$ $x_0,$

L\,g(x,\;x_0)=\delta(x-x_0).

Erityisen yleistä on tämän laitteen soveltaminen Laplace-operaattoriin (sähköstaattinen, lämmönjohtavuus, diffuusio, mekaaninen elastisuusteoria) ja sitä vastaaviin operaattoreihin, kuten d'Alembert-operaattoriin (akustiikka, sähködynamiikka, kvanttikenttäteoria, jossa Greenin funktiolla on usein erityinen nimi propagator ).

Vihreän laplalaisen funktio on funktio , joten $\mathbb {R} ^{3}$ $1/r$

\Delta\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r}),

missä on etäisyys koordinaattien alkupisteeseen. Tätä tosiasiaa käytetään todistamaan, että skalaaripotentiaalin lauseke

r

\Phi (\mathbf {x} )=\int {\frac {\varrho (\mathbf {x} ^{\prime })}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^ {\alkuluku }\oikea|}}\,d^{3}x^{\alkuluku }

täyttää Poissonin yhtälön :

\Delta\Phi=-4\pi\varrho.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Colombeau JF Elementary Johdanto uusiin yleisiin funktioihin. - Amsterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 s. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Egorov Yu. V. Yleistettyjen funktioiden teoriasta // Uspekhi Mat. - 1990. - T. 45 , no. 5 (275) . - S. 3-40 .

Kirjallisuus

Dirac P. A. M. Kvanttimekaniikan perusteet / Per. englannista. - M. , 1932 (uusipainoksia on monia).
Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin lyhyt kurssi. - Osa 2. - ISBN 5-9221-0185-4 .
Weisstein, Eric W. Delta Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Hermander L. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden analyysi. - Osa 1.
Hermander L. Lineaariset osittaiset differentiaalioperaattorit.
Gel'fand I. M., Shilov G. E. Yleiset toiminnot ja toiminnot niihin.
Krasnopevtsev EA Fysiikan matemaattiset menetelmät. Valitut kysymykset.