Skalaarituote

Pistetulo (joskus kutsutaan sisätuloksi ) - kahden vektorin operaation tulos , joka on skalaari , eli luku , joka ei riipu koordinaattijärjestelmän valinnasta . Käytetään vektorien pituuden ja niiden välisen kulman määrittämiseen.

Yleensä vektorien skalaarituloa varten käytetään jotakin seuraavista merkinnöistä. $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}

tai yksinkertaisesti

\mathbf {a} \mathbf {b}

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle

ja toista merkintää käytetään tilavektoreiden kvanttimekaniikassa [1] .

\langle a|b\rangle ;

Yksinkertaisimmassa tapauksessa , nimittäin äärellisulotteisen todellisen euklidisen avaruuden tapauksessa, he käyttävät toisinaan nollasta poikkeavien vektorien skalaaritulon "geometristä" määritelmää ja näiden vektorien pituuksien tulona kosinin kanssa. niiden välinen kulma [2] : $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta ).

Vastaava määritelmä: skalaaritulo on ensimmäisen vektorin toiseen vektorin projektion pituuden ja toisen vektorin pituuden tulo (katso kuva). Jos ainakin yksi vektoreista on nolla, niin tulo katsotaan nollaksi [3] .

Sisätulon käsitteellä on myös suuri määrä yleistyksiä erilaisille vektoriavaruuksille , eli vektorijoukoille, joissa on yhteen- ja skalaarikertoja . Yllä oleva skalaaritulon geometrinen määritelmä olettaa alustavan määritelmän vektorin pituuden ja niiden välisen kulman käsitteille. Nykymatematiikassa käytetään käänteistä lähestymistapaa: skalaaritulo määritellään aksiomaattisesti ja sen kautta pituudet ja kulmat [4] . Erityisesti sisätulo määritellään tensorialgebrassa kompleksisille vektoreille , moniulotteisille ja äärettömän ulottuvuuden avaruksille .

Pistetulolla ja sen yleistyksillä on erittäin suuri rooli vektorialgebrassa , monimuototeoriassa , mekaniikassa ja fysiikassa. Esimerkiksi voiman työ mekaanisen siirtymän aikana on yhtä suuri kuin voimavektorin ja siirtymävektorin skalaaritulo [5] .

Määritelmä ja ominaisuudet

Sanotaan, että skalaaritulo määritellään todellisessa tai kompleksisessa vektoriavaruudessa, jos jokaiselle vektoriparille osoitteesta on osoitettu numero siitä numerokentästä , jonka yli annetaan seuraavat aksioomat. $L$ $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $L$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $L,$

Avaruuden mille tahansa kolmelle elementille ja mille tahansa luvulle yhtälö on tosi: (skalaaritulon lineaarisuus suhteessa ensimmäiseen argumenttiin). $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b}$ $\mathbb {L}$ $\alpha ,\beta$ $(\alpha \mathbf {a} _{1}+\beta \mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} _{1},\mathbf {b} )+\beta (\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )$
Kaikille tasa-arvo on totta , missä pylväs tarkoittaa monimutkaista konjugaatiota . $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\overline {(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )))$
Kaikille meillä on: , ja vain (skalaaritulon positiivinen definiteness ja ei-degeneraatio). $\mathbf {a}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geqslant 0$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$ $\mathbf {a} =0$

Huomaa, että Aksiooma 2 viittaa siihen, että se on reaaliluku. Siksi Axiom 3 on järkevä skalaaritulon monimutkaisista (yleisessä tapauksessa) arvoista huolimatta. Jos aksiooma 3 ei täyty, tuotetta kutsutaan määrittelemättömäksi tai määrittelemättömäksi . $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )$

Jos ei vain , niin tuotetta kutsutaan kvasiskalariksi [6] . $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$ $\mathbf {a} =0$

Näistä aksioomista saadaan seuraavat ominaisuudet:

reaalivektorien kommutatiivisuus : _ _ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {a} );$
jakavuus lisäyksen suhteen :ja $(\mathbf {a} +\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\mathbf {c} )+(\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ $(\mathbf {c} ,\mathbf {a} +\mathbf {b} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} )+(\mathbf {c} ,\mathbf {b} ) ;$
involuutiolineaarisuus suhteessa toiseen argumenttiin :(todellisen argumentin tapauksessayksinkertaisesti lineaarisuus toisen argumentin suhteen). $(\mathbf {a} ,(\alpha _{1}\mathbf {b} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {b} _{2}))={\overline {\ alfa _{1))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _{1})+{\overline {\alpha _{2))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _ {2});$ $L$
$(\alpha \mathbf {a} ,\beta \mathbf {b} )=\alpha {\overline {\beta ))(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ (joka on sama kuin oikealla ). $\alpha \beta (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $L$

On myös ominaisuuksia, jotka eivät liity näihin aksioomeihin:

ei -assosiatiivisuus suhteessa kertomiseen vektorilla [7] ':; $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\mathbf {c} \neq \mathbf {a} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$
ortogonaalisuus : kaksi nollasta poikkeavaa vektoria a ja b ovat ortogonaalisia silloin ja vain jos ( a , b ) = 0 (määritelmät alla ).

Kommentti. Kvanttifysiikassa skalaaritulo (aaltofunktioiden, jotka ovat kompleksiarvoisia) määritellään tavallisesti lineaariseksi toisessa argumentissa (eikä ensimmäisessä), vastaavasti, ensimmäisessä argumentissa se on involuutiottomasti lineaarinen. Sekaannusta ei yleensä ole, koska kvanttifysiikan perinteinen pistetulon merkintätapa on myös erilainen: , ts. argumentit erotetaan putkella pilkun sijaan, ja hakasulkeet ovat aina kulmasulkuja. $\langle \phi |\psi \rangle$

Määritelmä ja ominaisuudet euklidisessa avaruudessa

Reaalivektorit

Dimensionaalisessa todellisessa euklidisessa avaruudessa vektorit määritellään niiden koordinaattien avulla - reaalilukujoukkojen ortonormaalilla perusteella . Voit määrittää vektorien skalaaritulon seuraavasti [4] : $n$ $n$ $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\dots a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\dots b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\pisteet +a_ {n}b_{n}.

Varmennus osoittaa, että kaikki kolme aksioomaa täyttyvät.

Esimerkiksi vektorien ja skalaaritulo lasketaan seuraavasti: ${\näyttötyyli (1,3,-5)}$ ${\näyttötyyli (4,-2,-1)}$

{\begin{aligned}\ (1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{tasattu}}

Voidaan todistaa [8] , että tämä kaava vastaa määritelmää projektioiden tai kosinin suhteen: $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta ).$

Monimutkaiset vektorit

Kompleksisille vektoreille määrittelemme samalla tavalla [9] : $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\dots a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\dots b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k))}=a_{1} {\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}.

Esimerkki (kohde ): $n = 2$ $(1+i,2)\cdot (2+i,i)=(1+i)\cdot ({\overline {2+i)))+2\cdot {\overline {i))= (1+i)\cpiste (2-i)+2\cpiste (-i)=3-i.$

Ominaisuudet

Pistetulon yleisten ominaisuuksien lisäksi moniulotteisille euklidisille vektoreille pätee seuraava:

toisin kuin tavallinen skalaarikerto, jossa jos ab = ac ja a ≠ 0, niin b on yhtä suuri kuin c , tämä ei pidä paikkaansa vektorin skalaarikertolaskussa: jos a b = a c eli a (b − c) = 0 , niin yleisesti tapaus a ja b − c ovat vain ortogonaalisia; mutta vektorib − c ' ei yleensä ole yhtä suuri kuin 0 , eli b ≠ c ;
tulosääntö : differentioituville vektorifunktioille a ( t ) ja b ( t ) relaatio ( a ( t ), b ( t ))′ = a ′( t ) ⋅ b ( t ) + a ( t ) ⋅ b ′ ( t ) [10] ;
vektorien välisen kulman arvio: kaavassa etumerkki määräytyy vain kulman kosinin mukaan (vektorinormit ovat aina positiivisia). Siksi pistetulo on suurempi kuin 0, jos vektorien välinen kulma on terävä, ja pienempi kuin 0, jos vektorien välinen kulma on tylpä; $(\mathbf {\mathbf {a} } ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$
vektorin projektio yksikkövektorin määrittelemään suuntaan : $\mathbf {a}$ $\mathbf {e}$ $a_{e}=(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}$ , koska $|\mathbf {e} |=1;$
suunnikkaan pinta-ala, joka ulottuu kahdella vektorilla ja on yhtä suuri kuin $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ ${\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2 }}}.$

Kosinilause reaaliavaruudessa

Kosinilause on helppo johtaa pistetulon avulla. Olkoon kolmion sivut vektorit a , b ja c , joista kaksi ensimmäistä muodostavat kulman θ , kuten oikealla olevassa kuvassa näkyy. Sitten seuraamalla skalaaritulon ominaisuuksia ja määritelmää kosinin suhteen:

${\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {sininen}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf { \color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {punainen } }a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&=|\mathbf {\color {red}a} |^{2}-\mathbf { \color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +|\mathbf {\color { sininen}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {red}a} |^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color { sininen }b} +|\mathbf {\color {blue}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {red}a} |^{2}+|\mathbf {\väri {sininen } b} |^{2}-2|\mathbf {\väri {punainen}a} |{\cdot }|\mathbf {\color {blue}b} |\cos \mathbf {\väri {violetti}\theta } .\\\end{tasattu}}$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Nykyaikaisessa aksiomaattisessa lähestymistavassa, jo vektorien skalaaritulon käsitteen pohjalta, otetaan käyttöön seuraavat johdannaiskäsitteet [11] :

Vektorin pituus , joka yleensä ymmärretään sen euklidiseksi normiksi :

|\mathbf {a} |={\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )))

(Termia "pituus" käytetään yleensä äärellisulotteisiin vektoreihin, mutta kaarevan polun pituutta laskettaessa sitä käytetään usein äärettömän ulottuvuuden avaruudessa).

Euklidisen avaruuden (erityisesti euklidisen tason)kahden nollasta poikkeavan vektorin välinen kulma on luku, jonka kosini on yhtä suuri kuin näiden vektorien skalaaritulon suhde niiden pituuksien (normien) tuloon: $\varphi$

\cos \varphi ={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\ (0\leqslant \varphi \leqslant \pi ).

Nämä määritelmät antavat meille mahdollisuuden säilyttää kaava: ja yleisessä tapauksessa. Kosinin kaavan oikeellisuuden takaa Cauchyn ja Bunyakovskyn epäyhtälö [12] : $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\varphi )$

Kaikille vektoriavaruuden elementeille, joissa on skalaaritulo, pätee seuraava epäyhtälö: $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$

\vert (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\vert ^{2}\leqslant (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b } )

Jos avaruus on pseudoeuklidinen , kulman käsite määritellään vain vektoreille, jotka eivät sisällä isotrooppisia viivoja vektorien muodostaman sektorin sisällä. Tässä tapauksessa itse kulma esitetään lukuna, jonka hyperbolinen kosini on yhtä suuri kuin näiden vektorien skalaaritulon moduulin suhde niiden pituuksien tuloon (normit):

|(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operaattorinimi {ch} \varphi .

Ortogonaaliset (pystysuorat) ovat vektoreita, joiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla. Tämä määritelmä koskee mitä tahansa tilaa, jolla on positiivinen määrätty sisätulo. Esimerkiksi ortogonaaliset polynomit ovat itse asiassa ortogonaalisia (tämän määritelmän merkityksessä) toistensa suhteen jossain Hilbert-avaruudessa.
Avaruutta (todellista tai kompleksista), jolla on positiivinen ja määrätty sisätulo, kutsutaan pre-Hilbert-avaruudeksi .
- Tässä tapauksessa äärellisulotteista reaaliavaruutta, jonka skalaaritulo on positiivinen, kutsutaan myös euklidiseksi ja kompleksista hermiitistä tai unitaariavaruutta .
Tapaus, jossa skalaaritulo ei ole etumerkkivarma, johtaa ns. välilyönnit, joissa on määrittelemätön metriikka . Skalaaritulo näissä tiloissa ei enää luo normia (ja se otetaan yleensä käyttöön lisäksi). Äärillisulotteista reaaliavaruutta, jolla on määrittelemätön metriikka, kutsutaan pseudoeuklidiseksi (tällaisen avaruuden tärkein erikoistapaus on Minkowskin avaruus ). Äärettömän ulottuvuuden avaruuksien joukossa, joissa on määrittelemätön metriikka, Pontryagin -avaruuksilla ja Kerin-avaruuksilla on tärkeä rooli .

Historia

Skalaaritulon esitteli W. Hamilton vuonna 1846 [13] samanaikaisesti vektoritulon kanssa kvaternionien yhteydessä - vastaavasti kahden kvaternionin tulon skalaari- ja vektoriosa, joiden skalaariosa on nolla [14] ] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Jollakin alueella Ω neliöintegroitavissa olevien mitattavien reaali- tai kompleksisten funktioiden avaruudessa voidaan ottaa käyttöön positiivinen-tarkka skalaaritulo:

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }f(x){\overline {g(x)))d\Omega

Käytettäessä ei-ortonormaalia emästä, skalaaritulo ilmaistaan vektorikomponentteina metrisen tensorin mukana [15] : $g_{ij}$

{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g_{ij}a^{i}b^{j))

Samanaikaisesti itse metriikka (tarkemmin sanottuna sen esitys tietyssä kannassa) on kytketty tällä tavalla kantavektoreiden skalaarituloihin : $f_{i}\$

g_{ij}=(\mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j})

Samanlaisia skalaaritulon konstruktioita voidaan ottaa käyttöön myös äärettömän ulottuvuuden avaruudessa, esimerkiksi funktioavaruuksissa:

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}K(x_{1},x_{2 })f(x_{1})g(x_{2})d(\Omega _{1}\times \Omega _{2})

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }K(x)f(x)g(x)d\Omega

jossa K on positiivinen määrätty, ensimmäisessä tapauksessa symmetrinen argumenttien permutaatioon nähden (kompleksille x - hermiittinen) funktio (jos tarvitset tavallista symmetristä positiivista-määräistä skalaarituloa).

Yksinkertaisin äärellisulotteisen skalaaritulon yleistys tensorialgebrassa on konvoluutio toistuvien indeksien yli.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Hall B.C. Kvanttiteoria matemaatikoille . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xvi + 553 s. - (Matematiikan graduate Texts. Vol. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8 . Arkistoitu 31. tammikuuta 2016 Wayback Machinessa - s. 85.
↑ Tämä tarkoittaa pienintä vektorien välistä kulmaa, joka ei ylitä $\pi.$
↑ Vektorialgebra // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1977. - T. 1. - S. 634.
↑ 1 2 Gelfand, 1971 , s. 30-31.
↑ Targ S. M. Voimantyö // Physical Encyclopedia / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - T. 4. - S. 193-194. - 704 s. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ Kudrjavtsev L. D. Matemaattinen analyysi. II osa. - M., Higher School , 1970. - s. 316.
↑ Weisstein, Eric W. Dot Tuote arkistoitu 29. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa . MathWorldistä - Wolfram-verkkoresurssi.
↑ Calculus II - Dot Product . tutorial.math.lamar.edu . Haettu 9. toukokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 9. toukokuuta 2021. (määrätön)
↑ Gelfand, 1971 , s. 86.
↑ Stewart, James (2016), Calculus (8 painos), Cengage , jakso 13.2.
↑ Gelfand, 1971 , s. 34.
↑ §9.5. Lineaariset avaruudet sisätulolla: Euklidinen ja unitaarinen
↑ Crowe MJ : Vektorianalyysin historia - Vektorijärjestelmän idean kehitys . - Courier Dover Publications, 1994. - S. 32. - 270 s. — ISBN 0486679101 . Arkistoitu 6. maaliskuuta 2019 Wayback Machinessa
↑ Hamilton WR on Quaternions; tai Algebran uudesta mielikuvitusjärjestelmästä // Philosophical Magazine. 3. sarja. - Lontoo, 1846. - T. 29 . - S. 30 .
↑ Gelfand, 1971 , s. 240.

Kirjallisuus

Gelfand I. M. Luennot lineaarisesta algebrasta. - 4. painos - M .: Nauka, 1971. - 272 s.

Linkit

Emelin A. Vektorien skalaaritulo . Haettu: 14.11.2019. (määrätön)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Iso venäläinen

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu