Yhden muuttujan neliöfunktio

Neliöfunktio on muodon toisen asteen kokonainen rationaalinen funktio , jossa ja . Toisen asteen funktioyhtälö sisältää neliötrinomin . Toisen asteen funktion kuvaaja on paraabeli . Monet neliöfunktion kaavion ominaisuudet liittyvät jollain tapaa paraabelin huipulle, mikä määrää suurelta osin graafin sijainnin ja ulkonäön. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a \neq 0$ $a,b,c\in \mathbb {R}$

Yleiskatsaus tärkeimmistä ominaisuuksista

Monet neliöfunktion ominaisuudet riippuvat kertoimen arvosta . Seuraava taulukko antaa yleiskatsauksen toisen asteen funktion pääominaisuuksista [1] . Niiden todisteita tarkastellaan artikkelissa asianomaisissa osissa. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a$

Omaisuus	$a>0$	$a<0$
Toiminnan laajuus	$D(f)=\mathbb {R}$
Joukko funktioarvoja	$E(f)=\left[-{\frac {b^{2}-4ac}{4a));+\infty \right)$	$E(f)=\left(-\infty ;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$
Funktiopariteetti	Tasainen toiminto ; ei parillinen eikä pariton $b = 0$ $b\neq 0$
Toiminnan jaksotus	Ei-jaksollinen toiminto
Toiminnan jatkuvuus	Kaikkialla jatkuva toiminta, ei epäjatkuvuuspisteitä
Toimintojen nollia	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ , jos todellisia nollia ei ole, jos $D=b^{2}-4ac\geq 0$ $D=b^{2}-4ac<0$
Toimintaraja klo $x\to \pm \infty$	$f(x)\to +\infty$ klo $x\to \pm \infty$	$f(x)\to -\infty$ klo $x\to \pm \infty$
Toiminnan erottuvuus	Kaikkialla kerroin erottuva: $f'(x)=2ax+b,f''(x)=2a,f'''(x)=0$
Äärimmäiset pisteet (Absolute Extreme)	$x_{min}={\frac {-b}{2a))$ (minimi)	$x_{max}={\frac {-b}{2a))$ (enimmäismäärä)
Tiukan monotonisuuden intervallit	vähenee kasvaa $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a))\right]$ $\left[-{\frac {b}{2a));+\infty \right)$	kasvaa pienenee $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a))\right]$ $\left[-{\frac {b}{2a));+\infty \right)$
Funktion kuperuus	Kaikkialla alaspäin kupera funktio	Kaikkialla kupera funktio
Käännepisteet	Ei käännepisteitä
Toiminnan rajoitus	Rajoitettu alhaalta	Rajoitettu ylhäältä
Funktion suurin arvo	Ei mitään (rajoittamaton ylhäältä)	$y_{max}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a))$
Funktion pienin arvo	$y_{min}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a))$	Ei mitään (rajoittamaton alhaalta)
Positiiviset funktioarvot	$(-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$	${\näyttötyyli (x_{1};x_{2})}$
Negatiiviset funktioarvot	${\näyttötyyli (x_{1};x_{2})}$	$(-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$

Kertoimien vaikutus kaaviomuunnokseen

Normaali merkintä toisen asteen funktion yhtälölle

Reaalilukuja , ja toisen asteen funktion yleisessä merkinnässä kutsutaan sen kertoimet. Tässä tapauksessa kerrointa kutsutaan yleensä vanhemmiksi, ja kerroin on ilmainen. Kunkin kertoimen muuttaminen johtaa tiettyihin paraabelin muunnoksiin . $a$ $b$ $c$ $a$ $c$

Kertoimen arvon perusteella voidaan päätellä, mihin suuntaan sen haarat on suunnattu (ylös tai alas) ja arvioida sen laajenemis- tai puristusaste suhteessa y- akseliin : $a$

Jos , niin paraabelin haarat on suunnattu ylöspäin, eli sen kärki sijaitsee alla. $a>0$
Jos , niin paraabelin haarat on suunnattu alaspäin, eli sen kärki sijaitsee päällä. $a<0$
Jos , niin paraabeli puristuu y-akselia pitkin, eli se näyttää leveämmältä ja litteämmältä. $|a|<1$
Jos , niin paraabeli on venytetty y-akselia pitkin, eli se näyttää kapeammalta ja jyrkemmältä. $|a|>1$

Kertoimen arvon vaikutus voidaan yksinkertaisimmin havainnollistaa muodon neliöfunktiolla , eli tapauksessa ja . Siinä tapauksessa neliöfunktio muuttuu lineaariseksi funktioksi . $a$ ${\displaystyle f(x)=ax^{2))$ $b = 0$ $c = 0$ $a = 0$

Muutos kertoimessa johtaa paraabelin siirtymiseen sekä suhteessa abskissa -akseliin että suhteessa ordinaattiseen akseliin . Kun arvoa kasvatetaan yhdellä, paraabeli siirtyy vasemmalle ja samanaikaisesti alas. Pienentäminen yhdellä siirtää paraabelia oikealle ja samanaikaisesti ylös. Tällaiset muunnokset selittyvät sillä, että kerroin luonnehtii paraabelin tangentin kaltevuutta ordinaatta-akselin leikkauspisteessä (eli kohdassa ). $b$ $b$ $1/2a$ ${\näyttötyyli (2b+1)/4a}$ $b$ $1/2a$ $(2b-1)/4a$ $b$ $x=0$

Kerroin luonnehtii paraabelin yhdensuuntaista translaatiota suhteessa y-akseliin (eli ylös tai alas). Nostamalla tämän kertoimen arvoa yhdellä, paraabeli siirtyy 1 ylöspäin. Vastaavasti, jos kerrointa pienennetään yhdellä, myös paraabeli siirtyy alaspäin 1:llä. Koska kerroin vaikuttaa myös paraabelin kärjen sijaintiin, on pelkän kertoimen arvon perusteella mahdotonta arvioida, sijaitseeko kärki x-akselin ylä- vai alapuolella. $c$ $c$ $b$ $c$

Neliöfunktion kirjoittaminen paraabelin kärjen koordinaatteina

Mikä tahansa neliöfunktio voidaan saada venyttämällä/puristamalla ja rinnakkain kääntämällä yksinkertaisinta neliöfunktiota . Joten muodon funktion kuvaaja saadaan puristamalla (at ) tai venyttämällä (at ) funktion kuvaajaa ajoittain , mitä seuraa sen rinnakkaissiirto yksiköillä oikealle ja yksiköillä ylös (jos nämä arvot ovat negatiiviset luvut, sitten vastaavasti vasemmalle ja alas). Ilmeisesti, kun muunnos on tehty, funktion paraabelin huippu siirtyy pisteestä pisteeseen . Tämä seikka antaa toisen tavan laskea mielivaltaisen toisen asteen funktion paraabelipisteen koordinaatit tuomalla sen yhtälö muotoon , jonka avulla näet välittömästi paraabelipisteen koordinaatit - . $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f(x)=x^{2}$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $a<0$ $a>0$ $f(x)=x^{2}$ $a$ $x_{0}$ $y_0$ $f(x)=x^{2}$ $(0;0)$ $(x_{0};y_{0})$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $(x_{0};y_{0})$

Muodon mielivaltaisen neliöfunktion muuntaminen muodoksi mahdollistaa täysneliön valintamenetelmän käyttämällä lyhennetyn binomiaalisen kertolaskukaavoja : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$

f(x)=ax^{2}+bx+c

=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x\right)+c

=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\ frac {b^{2}}{4a^{2}}}\oikea)+c

=a\cdot \left(x^{2}+2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}} }\oikea)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c

=a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac }{4a}}

=a\cdot \left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}

=a\cdot \left(x-x_{0}\right)^{2}+y_{0}

, missä ja

x_{0}={\frac {-b}{2a))

y_{0}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a))

Vertailemalla differentiaalimenetelmällä laskettuja arvoja ( katso artikkelin vastaava osa) voidaan myös varmistaa, että ne ovat paraabelipisteen koordinaatteja. Tietyissä tapauksissa ei ole lainkaan tarpeen muistaa annettuja hankalia kaavoja, vaan on kätevämpää suorittaa polynomin muunnos joka kerta suoraan haluttuun muotoon. Tietyssä esimerkissä tämä menetelmä näyttää tältä: $x_{0}$ $y_0$

f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x^{2}+4\cdot x\right)+5

=2\cdot \left(x^{2}+4\cdot x+4-4\right)+5

=2\cdot \left(\left(x+2\right)^{2}-4\right)+5

=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-8+5

=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3\Rightarrow S(-2;-3)

Tämän menetelmän haittana on sen vaivalloisuus, varsinkin jos sulkujen seurauksena joudut työskentelemään murtolukujen kanssa . Se vaatii myös tiettyä taitoa käsitellä lyhennettyjä kertolaskukaavoja .

Yllä tarkasteltu yleinen todiste johtaa kuitenkin yksinkertaisempaan tapaan laskea paraabelipisteen koordinaatit käyttämällä kaavoja ja . Esimerkiksi samalle funktiolle meillä on: $x_{0}={\frac {-b}{2a))$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f(x)=2x^{2}+8x+5$

x_{0}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-8}{2\cdot 2}}=-2

y_{0}=f(-2)=2\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+5=-3\Rightarrow S(-2;-3)

Siten ,. $f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3$

Funktion

Neliöfunktion nollien lukumäärä

Neliöfunktio on kokonainen toisen asteen rationaalinen funktio, joten sen reaalialueella voi olla enintään kaksi nollaa . Jos kyseessä on laajennus kompleksialueelle , voidaan sanoa, että neliöfunktiossa on joka tapauksessa täsmälleen kaksi kompleksista nollaa, jotka voivat olla tiukasti reaalilukuja tai sisältää imaginaariyksikön .

Voit määrittää toisen asteen funktion nollien lukumäärän ratkaisematta vastaavaa toisen asteen yhtälöä laskemalla erottimen . Samanaikaisesti sen laskennassa on useita muunnelmia: tavallinen (aina sovellettavissa), pelkistetty (kätevä parillisen kertoimen tapauksessa ) ja alennettu (sovellettava vain pelkistetylle polynomille). Tässä tapauksessa numeeriset arvot vaihtelevat kussakin tapauksessa, mutta erottajan etumerkki on sama vaihtelusta riippumatta. $b$

Täysin syrjivä	Vähentynyt syrjintä	Vähentynyt syrjintä
$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=x^{2}+px+q$
$D=b^{2}-4ac$	$D=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac$	$D=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q$

Erottajan laskennasta riippumatta seuraavat väittämät pitävät paikkansa:

Jos , niin funktiolla on yksi monikertaisuuden 2 nolla, joka on sama kuin paraabelipisteen abskissa; $D = 0$
Jos , niin funktiossa on kaksi todellista nollaa ja paraabeli leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä; $D>0$
Jos , niin funktiolla ei ole todellisia nollia (sen molemmat nollat ovat kompleksilukuja), ja sen kuvaaja sijaitsee kokonaan abskissa-akselin yläpuolella (jos ) tai kokonaan sen alapuolella (jos ). $D<0$ $a>0$ $a<0$

Esimerkiksi funktiolle, joka käyttää erottimen standardikaavaa, saamme: $f(x)=2x^{2}+8x+5$

D=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 2\cdot 5=64-40=24>0

Tämä tarkoittaa, että tällä funktiolla on kaksi todellista nollaa, eli sen paraabeli leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä.

Neliöfunktion nollien laskentamenetelmät

Neliöfunktion nollien löytäminen pelkistetään toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi , jossa . Tietylle neliöfunktiolle parhaiten soveltuva menetelmä riippuu suurelta osin sen kertoimista. Kaikissa erikoistapauksissa erikoiskaavojen ja menetelmien lisäksi sovelletaan aina yleiskaavaa. Kaikissa luetelluissa kaavoissa, jotka sisältävät neliöjuuren , on pidettävä mielessä, että jos juurilauseke on negatiivinen luku , niin toisen asteen funktiolla ei ole nollia todellisella alueella, vaan siinä on kaksi kompleksista nollaa. $ax^{2}+bx+c=0$ $a \neq 0$

Yleisimmässä tapauksessa käytetään universaalia kaavaa:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Annetun muodon yhtälön tapauksessa , jossa johtava kerroin on yksi, käytetään yksinkertaistettua kaavaa: $x^{2}+px+q=0$ $a$

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q} }

Saat pelkistetyn muodon yleisestä jakamalla alkuperäisen yhtälön . Samalla tietysti ja .

ax^{2}+bx+c=0

a

p=b/a

q=c/a

Jos kyseessä on epätäydellinen toisen asteen yhtälö , yhtälö saa potenssimuodon . Siksi käyttämällä tehoyhtälöiden ratkaisumenetelmiä saamme : $b = 0$ $ax^{2}+c=0$

{\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {\frac {-c}{a))))

Epätäydellisen toisen asteen yhtälön tapauksessa yhtälö saa muodon , ja sen ratkaisemiseen on kätevää käyttää faktorointimenetelmää . Ottamalla sen pois suluista, saamme . Meillä on siis: $c = 0$ $ax^{2}+bx=0$ $kirves$ $ax(x+b/a)=0$

x_{1}=0

x_{2}={\frac {-b}{a))

Neliöfunktion pariteetti ja symmetria

Symmetria y-akselin ympärillä

Neliöfunktio on kokonainen toisen asteen rationaalinen funktio, joten sille pätevät kaikki koko rationaalisen funktion vastaavat ominaisuudet. Erityisesti se on parillinen vain, jos sen polynomi sisältää vain parilliset eksponentit , ja pariton, jos se sisältää vain parittomat eksponentit. Tästä seuraa, että mikään neliöfunktio ei voi olla pariton, koska sille on alun perin asetettu ehto ja siksi se sisältää aina parillisen eksponentin 2. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$

Lisäksi on selvää, että neliöfunktio on parillinen vain, jos ei ole eksponenttia 1, mikä tarkoittaa . Tämä tosiasia on helppo todistaa suoraan. Joten on selvää, että funktio on parillinen, koska se on totta: $b = 0$ $f(x)=ax^{2}+c$

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+c=ax^{2}+c=f(x)

, eli .

f(-x)=f(x)

Siten neliöfunktio on symmetrinen y-akselin suhteen vain, kun . Kertoimien erityiset arvot eivät vaikuta tähän tosiasiaan ollenkaan. Erityisesti se voi olla myös yhtä suuri kuin nolla, eli se puuttuu kaavan syötöstä. Tässä tapauksessa paraabelin kärki osuu yhteen koordinaattijärjestelmän origon kanssa. $b = 0$ $a$ $c$ $c$

Kaikissa muissa tapauksissa neliöfunktio ei ole parillinen eikä pariton, eli se on yleisen muodon funktio. Tämä voidaan myös helposti osoittaa käyttämällä funktion pariteetin määritelmää :

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cpiste (-x)+c=ax^{2}-bx+c\neq f(x)

, eli .

f(-x)\neq f(x)

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cpiste (-x)+c=ax^{2}-bx+c=-(-ax^{2}+ bx-c)\neq -f(x)

, eli .

f(-x)\neq -f(x)

Aksiaalinen symmetria yleensä

Samanaikaisesti minkä tahansa toisen asteen funktion kuvaajalla on aksiaalinen symmetria. Kuten tiedät, jos yhtäläisyys on totta jollekin funktiolle jollekin luvulle , niin tämän funktion kuvaajalla on aksiaalinen symmetria suhteessa suoraan . Suhteessa neliöfunktioon tällainen luku on sen paraabelin kärjen abskissa . Siten minkä tahansa toisen asteen funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suuntaisen akselin suhteen, joka kulkee paraabelin huipun kautta, ja funktion symmetria-akseli on suora . $f(x)$ $x_{0}\in \mathbb {R}$ $f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)$ $f(x)$ $x = x_0$ $x_{0}$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $x=-b/2a$

Tämän tosiasian todistaminen ei myöskään ole vaikeaa:

f(x_{0}+x)=f(x+x_{0})=f\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)=a\left(x-{ \frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)+c

=a\left(x^{2}-2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ oikea)+b\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)+c

=ax^{2}-bx+{\frac {b^{2}}{4a}}+bx-{\frac {b^{2}}{2a}}+c=ax^{2} -{\frac {b^{2}}{4a}}+c=ax^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Muunnos johtaa samanlaiseen tulokseen:

f(x_{0}-x)=f(-x+x_{0})=f\left(-x-{\frac {b}{2a}}\right)=\dotsb =ax^ {2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Näin ollen funktion kuvaaja on symmetrinen suoran suhteen . $f\left({\frac {-b}{2a}}+x\right)=f\left({\frac {-b}{2a}}-x\right)$ $x={\frac {-b}{2a}}$

Paraabelin kärjen laskeminen funktion nollien avulla

Koska paraabelin symmetria-akseli kulkee aina sen kärjen kautta, on selvää, että myös neliöfunktion nollat ovat aina symmetrisiä paraabelin kärjen abskissan suhteen. Tämä tosiasia tekee helpoksi laskea paraabelipisteen koordinaatit käyttämällä funktion tunnettuja nollia. Reaalilukujen alalla tämä menetelmä toimii vain, kun paraabeli ylittää abskissa-akselin tai koskettaa sitä, eli siinä on nollia todellisesta alueesta.

Siinä tapauksessa, että toisen asteen funktiolla on vain yksi nolla ( kerrannaisuudella 2), se on ilmeisesti itse paraabelin kärki. Jos paraabelissa on nollia ja , niin sen kärjen abskissa voidaan helposti laskea funktion nollien aritmeettiseksi keskiarvoksi . Huippupisteen ordinaatti lasketaan korvaamalla sen abskissa funktion alkuperäiseen yhtälöön: $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{0}$

x_{0}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}

y_{0}=f(x_{0})

Tämä menetelmä on erityisen kätevä, kun toisen asteen funktio on annettu tekijämuodossa. Joten esimerkiksi funktion paraabelilla on kärkipiste, jolla on seuraavat koordinaatit: $f(x)=2(x-1)(x+3)$

x_{0}={\frac {1+(-3)}{2}}=-1

y_{0}=f(-1)=2(-1-1)(-1+3)=-8

Tässä tapauksessa funktion yhtälöä ei tarvitse edes muuttaa yleiseen muotoon.

Tutkimus differentiaali- ja integraalianalyysimenetelmillä

Johdannainen ja antijohdannainen

Kuten mikä tahansa koko rationaalinen funktio, neliöfunktio on differentioitavissa koko määritelmänsä alueella . Sen derivaatta löytyy helposti käyttämällä alkeellisia differentiaatiosääntöjä: . Näin ollen näemme, että toisen asteen funktion derivaatta on lineaarinen funktio , joka joko tiukasti monotonisesti kasvaa (jos ) tai tiukasti monotonisesti pienenee (if ) koko määritelmäalueen yli. On myös helppo nähdä, että , mikä tarkoittaa, että kerroin alkuperäisen funktion yhtälössä on yhtä suuri kuin paraabelin kaltevuus origossa. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f'(x)=2ax+b$ $a>0$ $a<0$ $f'(0)=b$ $f'(0)=b$

Neliöfunktio, kuten mikä tahansa koko rationaalinen funktio, on myös integroitavissa koko määrittelyalueensa yli . Sen antijohdannainen on ilmeisesti kuutiofunktio :

F(x)=\int (ax^{2}+bx+c)dx={\frac {a}{3}}x^{3}+{\frac {b}{2}}x ^{2}+cx+d

, missä .

d\in \mathbb {R}

Monotonisuus ja ääripisteet

Ilmeisesti paraabelin huippu on sen korkein tai alin piste, eli neliöfunktion absoluuttinen ääripiste (minimi ja maksimi ). Siksi paraabelin kärjen abskissa jakaa funktion määritelmäalueen kahteen monotoniin , joista toisella funktio kasvaa ja toisella pienenee. Differentiaalilaskennan menetelmiä käyttämällä tätä tosiasiaa käyttämällä voidaan helposti johtaa yksinkertainen kaava yleisen yhtälön antaman paraabelin kärjen koordinaattien laskemiseksi kertoimien kautta. $a>0$ $a<0$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Ekstreemumin olemassaolon välttämättömän ja riittävän ehdon mukaan saamme: . Samalla jos . Funktio on vakiofunktio , jossa on ja . Siten välttämätön ja riittävä kriteeri ääripään olemassaololle täyttyy kohdassa . Siksi meillä on kärjen koordinaatit: $f'(x)=2ax+b$ $f'(x) = 0$ $x=-b/2a$ $f''(x)=2a$ $f''>0$ $a>0$ $f''<0$ $a<0$ $x_{0}=-b/2a$

x_{0}={\frac {-b}{2a))

y_{0}=f(x_{0})=a\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+b\left({\frac {-b} {2a}}\right)+c={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Paraabelin yläosa jakaa neliöfunktion alueen kahteen monotoniseen väliin: ja . Sillä , ensimmäisen funktio on tiukasti monotonisesti laskeva ja toisessa tiukasti monotonisesti kasvava. Tapauksessa asia on juuri päinvastoin. $\left(-\infty ;{\frac {-b}{2a))\right)$ $\left({\frac {-b}{2a));+\infty \right)$ $a>0$ $a<0$

Tässä tapauksessa et voi muistaa näitä kaavoja ollenkaan, vaan käytä yksinkertaisesti joka kerta ääripään olemassaolokriteereitä jokaiselle tietylle neliöfunktiolle. Tai on suositeltavaa muistaa vain kaava paraabelin kärjen abskissan laskemiseksi. Sen ordinaatta on helppo laskea korvaamalla laskettu abskissa tiettyyn funktioyhtälöön. $x_{0}=-b/2a$

Esimerkiksi funktiolle saamme: $f(x)=2x^{2}+8x+5$

x_{0}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-8}{2\cdot 2}}=-2

y_{0}=f(-2)=2\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+5=-3\Rightarrow S(-2;-3)

Siten tämän funktion paraabelin kärjellä on koordinaatit . Tässä tapauksessa funktio pienenee tiukasti monotonisesti aikavälillä ja kasvaa tiukasti monotonisesti intervallilla $(-2;-3)$ $(-\infty ;-2)$ $(-2;+\infty )$

Kupera- ja käännepisteet

Koska toisen asteen funktion toinen derivaatta on vakio lineaarinen funktio , sillä ei ole käännepisteitä , koska sen arvo on vakio, ja näin ollen riittävä kriteeri ei täyty millekään sen pisteelle. Lisäksi on selvää, että , alkuperäinen neliöfunktio on kaikkialla konveksi alaspäin (johtuen siitä, että sen toinen derivaatta on kaikkialla positiivinen), ja , se on kaikkialla konveksi ylöspäin (sen toinen derivaatta on kaikkialla negatiivinen). $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f''(x)=2a$ $a>0$ $a<0$

Neliöfunktion käännettävyys

Koska neliöfunktio ei ole tiukasti monotoninen, se on peruuttamaton . Koska mikä tahansa jatkuva funktio voidaan kuitenkin kääntää sen tiukan monotonisuuden intervalleilla, niin mille tahansa neliöfunktiolle on olemassa kaksi käänteistä funktiota , jotka vastaavat sen kahta monotonisuusväliä. Neliöfunktion käänteisarvot kullakin sen monotonisuusvälillä ovat aritmeettisen neliöjuuren funktiot [2] .

Aritmeettinen neliöjuurifunktio on siis välin neliöfunktion käänteisfunktio . Vastaavasti funktio on käänteinen intervallin funktiolle . Kuvaajat funktioista ja ovat symmetrisiä toisilleen suoran suhteen . $f^{-1}(x)={\sqrt {x}}$ $f(x)=x^{2}$ $[0, +\infty)$ $f^{-1}(x)=-{\sqrt {x))$ $f(x)=x^{2}$ $(-\infty ;0]$ $f(x)$ $f^{-1}(x)$ $y=x$

Käänteisfunktioiden löytämiseksi mielivaltaiselle neliöfunktiolle on kätevämpää esittää se muodossa , jossa on sen paraabelin kärki. Seuraavaksi käytämme tunnettua menetelmää käänteisten funktioiden löytämiseen - vaihdamme muuttujat ja ilmaisemme uudelleen : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $(x_{0};y_{0})$ $x$ $y$ $y$ $x$

{\displaystyle y=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))

x=a(y-x_{0})^{2}+y_{0}

{\displaystyle x-y_{0}=a(y-x_{0})^{2))

{\frac {x-y_{0}}{a}}=(y-x_{0})^{2}

\pm {\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}=y-x_{0}

\pm {\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}=y

Siten välin käänteisarvo on funktio . $f(x)$ $[x_{0};+\infty )$ $f^{-1}(x)={\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}$

Intervalleilla käänteinen on funktio . $(-\infty ;x_{0}]$ $f(x)$ $f^{-1}(x)=-{\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}$

Esimerkiksi funktiolle , jossa on kärkipiste , saamme: $f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3$ $(-2;-3)$

f^{-1}(x)={\sqrt {\frac {x+3}{2))}-2

välissä .

[-2;+\infty )

f^{-1}(x)=-{\sqrt {\frac {x+3}{2))}-2

välissä .

(-\infty ;-2]

Esimerkkejä ulkonäöstä käytännössä

Vapaasti putoavan kappaleen korkeuden riippuvuus ajasta.
Ympyrän alueen riippuvuus sen lineaarisista mitoista (esimerkiksi säteestä ).
Etäisyyden riippuvuus ajasta tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä.
Paineen riippuvuus virtauksesta (keskipakopumpun paineominaisuus).

Yleistys

Yleistys monien muuttujien tapaukseen toimii toisen asteen pinnoina , yleensä tällainen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

f({\vec {x)))={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {x}}+c

Tässä: on neliömuotoisen matriisi , on vakiovektori , on vakio. Funktion ominaisuudet, kuten yksiulotteisessa tapauksessa, määritetään pääkertoimella - matriisilla . $A$ ${\vec {b}}$ $c$ $A$

Katso myös

Affiini neliöfunktio

Muistiinpanot

↑ Neliöfunktio // Suuri koulun tietosanakirja. - M . : "Venäjän tietosanakirjakumppanuus", 2004. - S. 118-119.
↑ Rolf Baumann. Quadratwutzelfunktion // Algebra: Potenzfunktionen, Exponential- und Logarithmusgleichungen, Stochastik: [ saksa. ] . - München: Mentor, 1999. - T. 9. - S. 17-19. — 167 s. — ISBN 3-580-63631-6 .

Kirjallisuus

Scanavi M.I. Neliön trinomin kuvaaja // Alkeinen matematiikka. - 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M. , 1974. - S. 130-133. — 592 s.
Kaplan I.A. Kolmanneskymmeneskolmas käytännön oppitunti (neliöfunktion ääriarvo) // Korkeamman matematiikan käytännön oppitunteja. - 3. painos - Kharkov, 1974. - S. 449-451.