Oikea kartta (graafiteoria)

Säännöllinen kartta on suljetun pinnan symmetrinen laatoitus . Tarkemmin sanottuna oikea kartta on kaksiulotteisen moniston (kuten pallo , torus tai todellinen projektiotaso ) hajoaminen topologisiin levyihin siten, että jokainen lippu (vertex-edge-face -kohtauskolmio voidaan kääntää mille tahansa muulle lipulle symmetriamuunnoshajotuksella . Säännölliset kartat ovat tietyssä mielessä säännöllisten polyhedrien topologinen yleistys . Karttojen teoria ja niiden luokittelu liittyy Riemannin pintojen teorioihin , Lobatševskin geometria ja Galois'n teoria . Säännölliset kaaviot luokitellaan niiden vastaavan pinnan suuntautuvuuden , alla olevan kaavion tai ryhmän automorfismin mukaan .

Yleiskatsaus

Oikeat kartat määritellään ja tutkitaan yleensä kolmella tavalla: topologisesti ryhmäteorian kannalta ja graafiteorian kannalta.

Topologinen lähestymistapa

Topologian näkökulmasta kartta on 2-soluinen hajotelma suljetusta kompaktista 2-jaostosta.

Kartan M suku g saadaan Eulerin relaatiosta , joka on yhtä suuri kuin , jos kartta on suuntautuva, ja , jos kartta on suuntautumaton. Kriittinen seikka on se tosiasia, että mille tahansa suuntautuvalle suvulle, paitsi torukselle, on rajallinen (nollasta poikkeava) määrä oikeita karttoja. ${\näyttötyyli \chi (M)=|V|-|E|+|F|}$ $2-2g$ $2-g$

Ryhmäteorian lähestymistapa

Permutaatioryhmien teorian näkökulmasta säännöllisen kartan M esitykset ovat transitiivinen permutaatioryhmä C vapailla involuutioilla generoidulla lippujoukolla , jossa on kolme kiinteää pistettä , jotka täyttävät ehdon . Tässä määritelmässä pinnat ovat kiertoradat , reunat ovat kiertoradat ja kärjet ovat kiertoradat . Abstraktimmin minkä tahansa säännöllisen kaavion ryhmäautomorfismi on kolmioryhmän <2,m,n> ei- degeneroitunut homomorfinen kuva . $\Omega$ ${\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2))$ $(r_{0}r_{2})^{2}=I$ $F=\langle r_{0},r_{1}\rangle$ $E=\langle r_{0},r_{2}\rangle$ $V=\langle r_{1},r_{2}\rangle$

Graafiteorian lähestymistapa

Graafiteorian näkökulmasta kartta on kuutiograafi , jonka reunat on värjätty siniseksi, keltaiseksi ja punaiseksi siten, että se on yhdistetty, jokainen kärki kohtaa kunkin värin reunojen kanssa ja keltaisten syrjäisten reunojen pituus on 4. Huomaa, että se on tasokuvaaja tai graafikoodattu kartta ( englanniksi graph-encoded map , GEM) kartasta, joka on määritetty lippujoukossa kärkipisteiksi ja joka ei ole kaavion G=(V,E) luuranko. kartta. Yleisessä tapauksessa . $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Omega$ $|\Omega |=4|E|$

Kartta M on oikea silloin ja vain, jos Aut(M) toimii säännöllisesti lippuihin. Säännöllisen kartan Aut( M ) on transitiivinen M :n kärjeillä, reunoilla ja pinnoilla . Kartan M sanotaan olevan peilisymmetrinen silloin ja vain, jos Aut( M ) on säännöllinen ja sisältää automorfismin , joka kiinnittää sekä v :n kärjet että f :n pinnat, mutta kääntää reunojen suunnan. Tavallisen kaavion, joka ei ole peilisymmetrinen, sanotaan olevan kiraalinen . $\phi$

Esimerkkejä

Suuri dodekaedri on säännöllinen kartta, jossa on viisikulmaiset pinnat suvun 4 suuntautuvalla pinnalla.
Puolikuutio on säännöllinen kartta tyyppiä {4,3} projektiivitasolla .
Puolidodekaedri on säännöllinen kartta, joka on muodostettu upottamalla Petersenin graafi viisikulmaisesti projektitiiviseen tasoon.
p- Osoedri on säännöllinen kartta tyyppiä {2,p}. Huomaa, että osohedrat eivät tässä mielessä ole abstrakteja polyhedraja . Erityisesti ne eivät täytä timantin ominaisuuksia .
Dyck-kartta on säännöllinen kartta, jossa on 12 oktaedria suvun 3 pinnalla. Alla oleva Dyck-graafi voi myös muodostaa säännöllisen 16 kuusikulmion kartan torukselle.

Alla olevassa taulukossa on täydellinen luettelo oikeista kaavioista pinnoille, joilla on positiivinen Euler-ominaisuus , χ-pallo ja projektiotaso [1] .

χ	g	Schläfli	Huiput	kylkiluut	kasvot	Ryhmä	Tilaus	Kaavio	Huomautuksia
2	0	{p,2}	s	s	2	C 2 × Dihp _	4p _	Cp _	Dihedron
2	0	{2,p}	2	s	s	C 2 × Dihp	4p _	p -taitto K 2	Osohedron
2	0	{3,3}	neljä	6	neljä	S4_ _	24	K4 _	Tetrahedron
2	0	{4,3}	kahdeksan	12	6	C2 × S4 _	48	K4 × K2 _ _	Kuutio
2	0	{3,4}	6	12	kahdeksan	C2 × S4 _	48	K 2,2,2	Oktaedri
2	0	{5,3}	kaksikymmentä	kolmekymmentä	12	C2 × A5 _ _	120		Dodekaedri
2	0	{3,5}	12	kolmekymmentä	kaksikymmentä	C2 × A5 _	120	K6 × K2 _ _	ikosaedri
yksi	n1	{2p,2}/2	s	s	yksi	Dih 2p _	4p _	Cp _	Puoliedri [2]
yksi	n1	{2,2p}/2	2	s	s	Dih 2p _	4p _	p -taitto K 2	Semihosehedron [2]
yksi	n1	{4,3}/2	neljä	6	3	S4_ _	24	K4 _	Puolikuutio
yksi	n1	{3,4}/2	3	6	neljä	S4_ _	24	2x K 3	Puolioktaedri
yksi	n1	{5,3}/2	kymmenen	viisitoista	6	A5 _	60	Petersenin kreivi	Semidodekaedri
yksi	n1	{3,5}/2	6	viisitoista	kymmenen	A5 _	60	K6 _	Puolikosaedri

Alla olevissa kuvissa on kolme 20 tavallisesta kortista kolminkertaisessa toruksessa ja niiden Schläfli-symbolit .

{6,4}
{4,8}
{8,4}

Toroidaalinen polyhedra

Mosaiikkiesimerkkejä

{4.4} 1.0 (v:1, e:2, f:1)	{4.4} 1.1 (v:2, e:4, f:2)	{4.4} 2.0 (v:4, e:8, f:4)	{4.4} 2.1 (v:5, e:10, f:5)	{4.4} 2.2 (v:8, e:16, f:8)
{3.6} 1.0 (v:1, e:3, f:2)	{3.6} 1.1 (v:3, e:9, f:6)	{3.6} 2.0 (v:4, e:8, f:8)	{3.6} 2.1 (v:7, e:21, f:14)	{3.6} 2.2 (v:12, e:36, f:24)
{6.3} 1.0 (v:2, e:3, f:1)	{6.3} 1.1 (v:6, e:9, f:3)	{6.3} 2.0 (v:8, e:8, f:4)	{6.3} 2.1 (v:14, e:21, f:7)	{6.3} 2.2 (v:24, e:36, f:12)

Säännölliset kartat ovat olemassa toroidimuotoisina monitahoina euklidisten laattojen äärellisten osien muodossa, jotka on kiedottu duosylinterin pintaan litteänä toruksena . Ne on merkitty nimellä {4,4} b , c , kun ne liittyvät neliön muotoiseen laattaan {4,4} [3] , kun ne liittyvät kolmiomaiseen laattaan {3,6} ja {6,3 } b . c kun se on yhdistetty kuusikulmainen laatoitus {6,3}. Indeksit b ja c ovat kokonaislukuja [4] . On olemassa 2 erikoistapausta ( b ,0) ja ( b , b ), joilla on peilisymmetria, vaikka yleiset tapaukset ovat olemassa kiraalisissa pareissa ( b , c ) ja ( c , b ). $\{3,6\}_{b,c}$

Säännölliset kartat, joiden muoto on {4,4} m ,0, voidaan esittää äärellisinä säännöllisinä vinoina monitahoina {4,4| m }, joka ymmärretään m × m duoprisman neliömäisinä pinnoina mitattuna 4.

Alla on esimerkki {4,4} 8,0 :sta, joka on kartoitettu shakkilaudan tasaisesta levystä sylinteriksi ja sitten torukseksi. Projisointi sylinteristä torukselle vääristää geometriaa 3D:ssä, mutta voidaan tehdä ilman vääristymiä 4D:ssä.

Oikeat kartat nolla -Euler-ominaisuudella [5]

g	Schläfli	Huiput	kylkiluut	kasvot	Ryhmä	Tilaus	Huomautuksia
yksi	{4,4} b ,0 n = b 2	n	2n _	n	[4,4] ( b ,0)	8n _	Litteä toroidinen monitahoinen Sama kuin {4,4 \| b }
yksi	{4,4} b , b n = 2 b 2	n	2n _	n	[4,4] ( b , b )	8n _	Litteä toroidinen monitahoinen Sama kuin täysin katkaistu {4,4 \| b }
yksi	{4,4} b , c n = b 2 + c 2	n	2n _	n	[4,4]+ ( b , c )	4n _	Tasomainen kiraalinen toroidinen monitahoinen
yksi	{3,6} b , 0 t = b 2	t	3 t	2 t	[3,6] ( b ,0)	12 t	Litteä toroidinen monitahoinen
yksi	{3,6} b , b t =2 b 2	t	3 t	2 t	[3,6] ( b , b )	12 t	Litteä toroidinen monitahoinen
yksi	{3,6} b , c t = b 2 + bc + c 2	t	3 t	2 t	[3,6]+ ( b , c )	6 t	Tasomainen kiraalinen toroidinen monitahoinen
yksi	{6,3} b , 0 t = b 2	2 t	3 t	t	[3,6] ( b ,0)	12 t	Litteä toroidinen monitahoinen
yksi	{6,3} b , b t =2 b 2	2 t	3 t	t	[3,6] ( b , b )	12 t	Litteä toroidinen monitahoinen
yksi	{6,3} b , c t = b 2 + bc + c 2	2 t	3 t	t	[3,6]+ ( b , c )	6 t	Tasomainen kiraalinen toroidinen monitahoinen

Yleensä säännöllinen toroidinen polytooppi { p , q } b , c voidaan määritellä, jos p tai q ovat parillisia, vaikka vain yksi euklidinen edellä voi olla toroidisena polytooppina ulottuvuudessa 4. Tapauksessa {2 p , q } polut ( b , c ) voidaan määritellä kasvo-reuna-pinnaksi viivalla, kun taas kaksoismuodoissa { p ,2 q } polut ( b , c ) voidaan ajatella kärki-reuna-vertexiksi.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Coxeter, Moser, 1980 .
↑ 1 2 Carlo Sequin. Symmetrinen upotus matalan suvun ei-suuntautuviin säännöllisiin karttoihin . Berkeleyn yliopisto . Haettu 5. maaliskuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 23. syyskuuta 2015. (määrätön)
↑ Coxeter ja Moser 1980 , s. 8.3 Kartat tyyppiä {4,4} toruksella.
↑ Coxeter ja Moser 1980 , s. 8.4 Kartat tyyppiä {3,6} toruksella.
↑ Coxeter ja Moser 1980 , s. Luku 8, Tavalliset kartat , 8.3 Kartat tyyppiä {4,4} toruksella, 8.4 Kartat tyyppiä {3,6} tai {6,3} toruksella.

Kirjallisuus

Coxeter HSM, Moser WOJ . – 4. - Springer Verlag, 1980. - Vol. 14. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). - ISBN 978-0-387-09212-6 . Käännös:
- G.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Elementtien luominen ja diskreettien ryhmien suhteiden määrittely / Käännös V.A. Churkin, toimittanut Yu.I. Merzlyakova .. - Moskova: "Nauka" Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1980.
Jack van Wijk. Suljettujen pintojen symmetrinen laatoitus: tavallisten karttojen visualisointi // Proc. SIGGRAPH (ACM Transactions on Graphics). - 2009. - T. 28 , no. 3 . - S. 12 . - doi : 10.1145/1531326.1531355 . Arkistoitu alkuperäisestä 9. kesäkuuta 2011.
Marston Conder, Peter Dobcsany. Pienen suvun kaikkien säännöllisten karttojen määrittäminen // Journal of Combinatorial Theory, Series B. - 2001. - V. 81 , no. 2 . - S. 224-242 . - doi : 10.1006/jctb.2000.2008 .
Roman Nedela. Kartat, Hyperkartat ja niihin liittyvät aiheet . – 2007.
Andrew Vince. Kartat // Graafiteorian käsikirja. – 2004.
Ulrich Brehm, Egon Schulte. Polyhedral Maps // Diskreetin ja laskennallisen geometrian käsikirja. – 2004.