Puolisuunnikkaan muotoinen menetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. helmikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Puolisuunnikasmenetelmä on menetelmä yhden muuttujan funktion numeeriseen integrointiin , joka koostuu integrandin korvaamisesta jokaisessa alkeissegmentissä ensimmäisen asteen polynomilla, eli lineaarisella funktiolla. Funktion kaavion alla oleva pinta-ala on approksimoitu suorakaiteen muotoisilla puolisuunnikkaan muotoisilla puolisuunniksilla . Algebrallinen tarkkuusjärjestys on 1.

Jos segmentti on alkeisosa eikä sitä osioida enempää, integraalin arvo voidaan löytää kaavalla $\left[a,b\right]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {f(a)+f(b)}{2}}(ba)+E(f),\qquad E(f) )=-{\frac {f''(\xi )}{12}}\left(ba\oikea)^{3}.

Tämä on yksinkertainen kaavan sovellus puolisuunnikkaan pinta-alalle - puolet kantajen summasta, jotka tässä tapauksessa ovat funktion arvot segmentin ääripisteissä korkeudella. (integrointisegmentin pituus). Alkeissegmentin approksimaatiovirhe voidaan estimoida toisen derivaatan maksimin kautta

\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {\left(ba\right)^{3}}{12}}\max _{x\in [a,b]}\left |f''(x)\oikea|

(tapaukset, joissa segmentti jaetaan n osaan, katso alla olevat yhdistekaavat).

Yhdistelmäkaava

Jos segmentti jaetaan integrointisolmuilla , niin että ja , ja puolisuunnikkaan kaavaa sovelletaan jokaiseen alkeisosaan , summaus antaa puolisuunnikkaan yhdistelmäkaavan $\left[a,b\right]$ $x_{i}$ $i=0,1,\ldots ,n$ $x_{0}=a$ $x_{n}=b$ $[x_{i},x_{i+1}]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin \sum _{{i=0}}^{{n-1}}{\frac {f(x_{i})+f (x_{{i+1}})}{2}}(x_{{i+1}}-x_{{i}})=

={\frac {f(a)}{2}}(x_{1}-a)+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n-1} {f(x_{i})}(x_{i+1}-x_{i-1})+{\frac {f(b)}{2}}(b-x_{n-1}).

Cotesin kaava

Tasaisen ruudukon tapauksessa , jossa on ruudukon vaihe, yhdistetty puolisuunnikkaan kaava on yksinkertaistettu: $x_{j}=a+jh$ $h=(ba)/n$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=h\left({\frac {f_{0}+f_{n}}{2}}+\sum _{{i=1} }^{{n-1}}f_{i}\right)+E_{n}(f),

ja virheelle seuraava arvio pitää paikkansa:

E_{n}(f)=-{\frac {f''(\xi )}{12}}(ba)h^{2}.

Ominaisuudet

Puolisuunnikkaan menetelmä konvergoi nopeasti värähteleville funktioille, koska jaksovirhe kumoutuu.
Menetelmä saadaan laskemalla aritmeettinen keskiarvo oikean ja vasemman suorakulmion kaavojen soveltamisen tulosten välillä .

Katso myös

Kirjallisuus

Demidovich B.P. , Maron I.A. Laskennallisen matematiikan perusteet. - 2. - Phys-Mat. Lit., 1963. - S. 659.

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista