Hilbertin kymmenes ongelma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Hilbertin kymmenes tehtävä on yksi 23 ongelmasta , jotka David Hilbert ehdotti 8. elokuuta 1900 II kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa . Se koostuu universaalin menetelmän löytämisestä mielivaltaisen algebrallisen diofantiiniyhtälön ratkottavuuden määrittämiseksi . Tämän ongelman algoritmisen ratkaisemattomuuden todistaminen kesti noin kaksikymmentä vuotta, ja Juri Matiyasevitš valmistui vuonna 1970 [1] [2] .

Ongelman selvitys

Hilbertin raportissa kymmenennen ongelman muotoilu on lyhin kaikista:

Annetaan diofantiiniyhtälö mielivaltaisilla tuntemattomilla ja kokonaislukujen rationaalisilla numeerisilla kertoimilla. Ilmoita menetelmä, jolla on mahdollista äärellisen määrän operaatioiden jälkeen määrittää, onko tämä yhtälö ratkaistavissa rationaalisilla kokonaisluvuilla [3] .

Alkuperäinen teksti (saksa)[ näytäpiilottaa] Eine Diophantische Gleichung mit irgend welchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlencoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittelst einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden läßt, ob die lözen rationalen is zahlen lözen rationalen .

Muodollisesti puhumme muodon yhtälöiden kokonaisluku [5] ratkaisusta

P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,

jossa on polynomi kokonaislukukertoimilla ja kokonaislukueksponenteilla [6] . Yhtälön aste on yhtä suuri kuin polynomin aste . $P$ $P$

Kaikista 23 ongelmasta se on ainoa ratkaistavuuden ongelma [7] . Ilmeisesti Hilbert uskoi, että haluttu menetelmä on olemassa ja se löydetään ennemmin tai myöhemmin [8] . Kysymys siitä, ettei tällaista menetelmää olisi periaatteessa olemassa, ei tullut esille Hilbertin aikana [9] [10] .

Tausta

Algebrallisten yhtälöiden kokonaislukuratkaisu on kiinnostanut matemaatikoita muinaisista ajoista lähtien. Esimerkiksi yhtälöön kiinnitettiin paljon huomiota : jos sen ratkaisu olisi luonnollisten lukujen joukko , niin Pythagoraan lauseen käänteisellä lauseella voitaisiin saada suorakulmainen kolmio pituusosista [11] . Euclid antoi kaavat tämän yhtälön kaikkien kokonaislukuratkaisujen löytämiseksi [12] . Joitakin toisen asteen yhtälötyyppejä ja niiden järjestelmiä tarkasteli Diophantus Aleksandrialainen [13] , hänen teoksiaan käyttivät myöhemmin Leonhard Euler , Pierre Fermat , Joseph Louis Lagrange , Carl Friedrich Gauss ja muut lukuteoriaan osallistuvat matemaatikot . Erityisesti Fermat esitti kuuluisan hypoteesinsa . Vuoteen 1768 mennessä Lagrange oli täysin tutkinut kysymyksen kokonaislukuratkaisuista mille tahansa toisen asteen yhtälölle kahdessa tuntemattomassa [14] . $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ $x_{0},y_{0},z_{0}$ $x_{0},y_{0},z_{0}$

1800-luvulla monet matemaatikot, jotka ratkaisivat Fermatin viimeisen lauseen , yrittivät tutkia diofantiiniyhtälöitä, joiden aste oli korkeampi kuin toinen. Siitä huolimatta tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen ongelma jäi avoimeksi : yleistä menetelmää ei saatu, vain erityisiä menetelmiä löydettiin tietyntyyppisille yhtälöille. Todennäköisimmin Hilbert epäili, että tämän alueen lisätutkimus johtaisi yksityiskohtaisten ja syvien teorioiden luomiseen, jotka eivät rajoittu diofantiiniyhtäloihin, ja tämä sai hänet luettelemaan ongelman raporttiinsa [9] .

Ratkaisuhistoria

Etsi algoritmi

1940-luvulle asti tutkittiin kymmenennestä ongelmasta, jotta löydettiin tarvittava algoritmi ainakin joillekin diofantiiniyhtälöiden luokille. Muutama vuosi Hilbertin raportin jälkeen, vuonna 1908, Axel Thue osoitti, että Thue-yhtälössä kahdelle tuntemattomalle ei voi olla äärettömän monta kokonaislukuratkaisua [15] . Vuonna 1938 Turalf Skolem julkaisi menetelmän diofantiiniyhtälöiden tutkimiseksi muodossa, jossa on epätäydellinen hajoava muoto ( pelkistymätön polynomi , joka laajenee rationaalilukujen alalla lineaaristen tekijöiden tuloksi ) , joka täyttää tietyt ehdot [16] . Thuen tuloksesta huolimatta jopa yhtälöt, joissa oli kaksi tuntematonta, uhmasivat matemaatikoiden ponnisteluja (algoritmi yhtälöiden ratkaisemiseksi yhdellä tuntemattomalla seuraa Bézoutin lauseesta ). $P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,$ $P$ $m$ $m>n$

1930-luvun puolivälissä algoritmin käsite formalisoitiin, ja myös ensimmäiset esimerkit matemaattisen logiikan algoritmisesti ratkaisemattomista joukoista ilmestyivät . Tärkeä hetki oli Andrei Markovin ja Emil Postin (toisistaan riippumatta) todiste Thuen ongelman ratkaisemattomuudesta vuonna 1947 [17] [18] . Tämä oli ensimmäinen todiste algebrallisen ongelman ratkaisemattomuudesta. Se, samoin kuin diofantiiniyhtälöiden tutkijoiden kohtaamat vaikeudet, johtivat oletukseen, että Hilbertin vaatimaa algoritmia ei ole olemassa. Hieman aikaisemmin, vuonna 1944, Emil Post kirjoitti jo yhdessä kirjoituksessaan, että kymmenes ongelma " anelee ratkaisemattomuuden todistetta" [ 19] .

Davisin hypoteesi

Postin sanat inspiroivat opiskelijaa Martin Davisia etsimään todisteita siitä, että kymmenes ongelma oli ratkaisematon. Davis siirtyi kokonaislukujen formuloinnista luonnollisten lukujen muotoiluun, mikä on luonnollisempaa algoritmien teorialle [20] . Nämä ovat kaksi eri tehtävää, mutta jokainen niistä tiivistyy toiseen. Vuonna 1953 hän julkaisi artikkelin, jossa hän hahmotteli tavan ratkaista kymmenennen luonnollisten lukujen ongelma [21] .

Davis yhdessä klassisten diofantiiniyhtälöiden kanssa harkitsi niiden parametrista versiota:

P(a_{1},\ldots ,a_{n},x_{1},\ldots ,x_{m})=0,

jossa polynomi kokonaislukukertoimilla voidaan jakaa kahteen osaan - parametreihin ja muuttujiin.Yhtälöllä voi olla ratkaisu yhdelle parametriarvojoukolle, toiselle ratkaisuja ei välttämättä ole olemassa. Davies valitsi joukon , joka sisältää kaikki parametriarvot ( -t), joille yhtälöllä on ratkaisu: $P$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$ $x_{1},\ldots ,x_{m}.$ $M$ $n$

\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\in M\Longleftrightarrow \exists x_{1},\ldots ,x_{m}\colon P(a_{1},\ldots , a_{n},x_{1},\ldots ,x_{m})=0.

Hän kutsui tällaista merkintää joukon diofantiiniksi, ja itse joukkoa kutsuttiin myös Diofantiiniksi . Kymmenennen tehtävän ratkaisemattomuuden osoittamiseksi tarvittiin vain osoittaa, että mikä tahansa numeroitu joukko on Diofantiini eli osoittaa mahdollisuus muodostaa yhtälö, jolla olisi luonnolliset juuret vain kaikille tähän numeroitavaan joukkoon kuuluville: koska numeroituja joukkoja on ratkaisemattomia , jolloin ratkaisematon joukko perustaksi otettaessa olisi mahdotonta saada yleistä menetelmää, joka määrittäisi yksitellen, onko yhtälöllä luonnolliset juuret tässä joukossa. Kaikki tämä johti Davisin seuraavaan hypoteesiin: $x_{1},\ldots ,x_{m}$ $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ $M$ $n$

Diofantin ja numeroitavien joukkojen käsitteet ovat yhtenevät. Tämä tarkoittaa, että joukko on diofantiini, jos ja vain jos se on numeroitavissa.

Davis otti myös ensimmäisen askeleen - hän osoitti, että mikä tahansa lueteltava joukko voidaan esittää seuraavasti: $M$

\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\in M\Longleftrightarrow \exists z\forall y<z\exists x_{1},\ldots ,x_{m}\colon P( a_{1},\ldots ,a_{n},x_{1},\ldots ,x_{m},y,z)=0.

Tätä esitystä kutsutaan "Davisin normaalimuodoksi". Tuolloin hän ei pystynyt todistamaan arveluaan päästämällä eroon universaalista kvantorista .

Robinsonin hypoteesi

Davisista riippumatta Julia Robinson alkoi työskennellä kymmenennen ongelman parissa samoina vuosina . Aluksi hän yritti todistaa Alfred Tarskin olettamuksen, jonka mukaan kahden kaikkien potenssien joukko ei ole diofantiini, mutta se ei onnistunut [22] . Sen jälkeen Robinson siirtyi tutkimaan kysymystä siitä, onko kolmioista koostuva joukko diofantiinia . Hän ei löytänyt diofantiiniesitystä eksponentiooperaatiolle, mutta siitä huolimatta hän osoitti työssään [23] riittävän ehdon sen olemassaololle: ${\näyttötyyli \{a,b,c=a^{b}\}}$

\{u,v\}\in R\Longleftrightarrow \exists x_{1},\ldots ,x_{m}\colon P(u,v,x_{1},\ldots ,x_{m}) =0,

lisäksi:

jos , niin $\{u,v\}\in R$ $u<v^{v},$
sillä sellaisia on olemassa ja $k$ $u$ $v$ $\{u,v\}\in R$ $u>v^{k}.$

Robinson kutsui suhdetta ja " eksponentiaalista kasvuriippuvuutta ", mutta myöhemmin tätä riippuvuutta alettiin kutsua hänen kunniakseen - "Robinson-riippuvuus", "Robinson-predikaatit" tai yksinkertaisesti "JR". $u$ $v$

Joining Forces

Vuonna 1958 Martin Davis ja Hilary Putnam julkaisivat [24] , jossa Robinsonin tuloksen perusteella he tarkastelivat eksponentiaali-diofantiiniyhtälöiden luokkaa, jolla on muoto:

E_{L}(x_{1},\ldots ,x_{m})=E_{R}(x_{1},\ldots ,x_{m}),

missä ja ovat eksponentiaaliset polynomit, eli lausekkeet, jotka on saatu muuttujista ja rationaaliluvuista käyttämällä yhteen- , kerto- ja eksponentiooperaatioita , ja osoittivat myös diofantiiniesityksen tällaisille yhtälöille. Davisin ja Putnamin todisteissa oli kuitenkin aukko - he käyttivät olettamusta mielivaltaisen pitkien , vain alkuluvuista koostuvien aritmeettisten progressioiden olemassaolosta ( Green-Tao -lause ), joka todistettiin vasta vuonna 2004. $E_{L}$ $E_{R}$

Vuonna 1961 Julia Robinson pystyi täyttämään tämän aukon . Heidän yhteisessä työssään [25] saatiin eksponentiaalinen diofantiiniesitys mille tahansa numeroitavasta joukosta:

\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\in M\Longleftrightarrow \exists x_{1},\ldots ,x_{m}\colon E_{L}(a_{1}, \ldots ,a_{n},x_{1},\ldots ,x_{m})=E_{R}(a_{1},\ldots ,a_{n},x_{1},\ldots ,x_{ m}).

Yksi työn seurauksista oli mahdollisuus pelkistää mikä tahansa eksponentiaalinen diofantiiniyhtälö eksponentiaaliseksi diofantiiniyhtälöksi, jossa on kiinteä määrä muuttujia (vähintään kolme [26] ).

Daviesin, Putnamin ja Robinsonin tuloksen siirtämiseksi "tavallisiin" diofantiiniyhtälöihin piti todistaa, että kolmiosista koostuva joukko on diofantiini. Sitten olisi mahdollista, lisätuntemattomien lisäämisen kustannuksella, kääntää eksponentiaalisesti diofantininen esitys diofantiniseksi esitykseksi: ${\näyttötyyli \{a,b,c=a^{b}\}}$

c=a^{b}\Longleftrightarrow \exists x_{1},\ldots ,x_{m}\colon P(a,b,c,x_{1},\ldots ,x_{m})= 0.

Toisin sanoen Davis-oletuksen täydelliseksi todistamiseksi oli tarpeen todistaa vain yksi tietty tapaus siitä, tai tarkemmin sanottuna, todistaa Robinson-oletus (löytää polynomi , joka täyttää kaikki ehdot). $P(u,v,x_{1},\ldots ,x_{m})$

Huolimatta kahden parametrin diofantiiniyhtälöiden syvällisestä tutkimuksesta Diophantuksen ajoista lähtien, ei tuolloin ollut tunnettua yhtälöä, joka ilmaisi eksponentiaalisen kasvun riippuvuutta. Myös yritykset rakentaa se keinotekoisesti epäonnistuivat.

Vaikuttaa

Vuonna 2008 sai ensi- iltansa George Csicseryn ohjaama tunnin mittainen dokumentti Julia Robinson ja Hilbert's Tenth Problem . Elokuva on omistettu Julia Robinsonille ja hänen panokselleen kymmenennen ongelman ratkaisussa [27] . Elokuva sai arvosteluja ja arvosteluja amerikkalaisilta matemaattisilta lehdiltä ja yhteisöiltä [28] [29] .

Muistiinpanot

↑ Yu. V. Matiyasevitš . Numeroitavien joukkojen diofantiiniominaisuus // Neuvostoliiton tiedeakatemian raportit. - 1970. - T. 191 , nro 2 . - S. 279-282 .
↑ Yu. V. Matiyasevitš . Hilbertin kymmenes ongelma . - M. : Nauka: Fysikaalinen ja matemaattinen kirjallisuus, 1993. - 223 s. — (Matemaattinen logiikka ja matematiikan perusteet; numero 26). — ISBN 502014326X . (linkki ei saatavilla)
↑ Käännös Hilbertin raportista saksasta - M. G. Shestopal ja A. V. Dorofeev , julkaistu kirjassa Hilbert's Problems / toim. P.S. Aleksandrova . - M .: Nauka, 1969. - S. 39. - 240 s. — 10 700 kappaletta. Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 13. marraskuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 17. lokakuuta 2011. (määrätön)
↑ David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (saksa) . — Raportin teksti, jonka Hilbert luki 8. elokuuta 1900 II kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa Pariisissa. Haettu 27. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 8. huhtikuuta 2012.
↑ "Rational Integer" on synonyymi sanalle "kokonaisluku", katso Weisstein, Eric W. Rational Integer (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ V. I. Igoshin. § 36. Ratkaisemattomat algoritmiset ongelmat // Matemaattinen logiikka ja algoritmien teoria. - M . : Akatemia, 2004. - S. 375. - 448 s. - 5100 kappaletta. — ISBN 5-7695-1363-2 .
↑ Juri Matiyasevitš. Hilbertin kymmenes tehtävä : Mitä voimme tehdä diofantiiniyhtälöillä . Haettu 27. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 10. huhtikuuta 2012.
↑ Tämän todistaa myös tehtävän sanamuoto positiivisessa mielessä: "man soll ein Verfahren angeben" ("ilmoita toiminnan suunta", eikä esimerkiksi "ilmoita, onko menettelyä olemassa").
↑ 1 2 Yu. I. Khmelevsky. Hilbertin kymmenestä ongelmasta // Hilbertin ongelmat / toim. P.S. Aleksandrova . - M .: Nauka, 1969. - S. 141-153. – 240 s. — 10 700 kappaletta. Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 13. marraskuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 17. lokakuuta 2011. (määrätön)
↑ F. P. Varpakhovsky, A. N. Kolmogorov . Hilbertin kymmenennen tehtävän ratkaisusta // Kvant . - 1970. - Nro 7 . - S. 38-44 .
↑ A. A. Bolibrukh . Hilbertin kymmenes tehtävä: Diofantiiniyhtälöt // Hilbertin tehtävät (100 vuotta myöhemmin) . - M .: MTSNMO , 1999. - 24 s. - ( Kirjasto "Mathematical Education" , numero 2). - 3000 kappaletta.
↑ Simon Singh. Liite 5. Eukleideen todiste äärettömän määrän Pythagoraan kolmoiskappaleiden olemassaolosta // Fermat's Last Theorem = Fermat's last theorem / käännös. englannista. Yu. A. Danilova. – MTsNMO , 2000.
↑ Diophantus Aleksandrialainen . Aritmetiikka ja kirja monikulmioluvuista / per. muun kreikkalaisen kanssa Yu N. Veselovski. - M .: Nauka, 1974. - 328 s. - 17 500 kappaletta. Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 13. marraskuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 25. joulukuuta 2009. (määrätön)
↑ Leonard Eugene Dickson. Numeroteorian historia . - 1920. - Osa II: Diophantine Analysis. (Englanti)
↑ A. ti . Bemerkungen über gewisse Annäherungsbrüche algebraischer Zahlen // Videnskabs-selskabets Skrifter I Math.-Naturv. luokkaa. - 1908. - Nro 3 . - S. 1-34 .
↑ Thoralf Skolem. Diofantische Gleichungen. - Berliini: Springer, 1938. - 128 s.
↑ Markovin artikkeli - A. A. Markov . Joidenkin algoritmien mahdottomuus assosiatiivisten järjestelmien teoriassa // Neuvostoliiton tiedeakatemian raportit. - M. , 1947. - T. 55 , no. 7 . - S. 587-590 . , katso myös A. A. Markovin monografia . Algoritmien teoria // Neuvostoliiton tiedeakatemian matemaattisen instituutin julkaisut. V. A. Steklova. - M. - L .: Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1954. - T. 42 . - S. 3-375 .
↑ Postin tulos julkaistiin EL Postin artikkelissa . Torin ongelman rekursiivinen ratkaisemattomuus // Symbolisen logiikan lehti. - 1947. - Voi. 12 , ei. 1 . - s. 1-11 .
↑ Emil Leon Post . Rekursiivisesti numeroitavat positiivisten kokonaislukujen joukot ja niiden päätösongelmat // Bulletin of the American Mathematical Society. - 1944. - Voi. 50 , iss. 5 . - s. 284-316 .
↑ Amerikkalaisessa matemaattisessa perinteessä 0 on luonnollinen luku.
↑ Martin Davis. Aritmeettiset ongelmat ja rekursiivisesti numeroitavat predikaatit // Symbolisen logiikan lehti. - 1953. - Voi. 18 , ei. 1 . - s. 33-41 .
↑ Yu. V. Matiyasevitš . Hilbertin kymmenes tehtävä: Diofantiiniyhtälöt 2000-luvulla // Mathematical Events of the Twentieth Century = Mathematical events of the XX century / toim. A.A. Bolibruch , Yu. S. Osipov , Ya. G. Sinai . - Berliini: Springer , 2006. - S. 185-214. — 545 s. — ISBN 3-540-23235-4 . (Englanti)
↑ Julia Robinson. Eksistentiaalinen määritettävyys aritmetiikassa // Transactions of the American Mathematical Society. - 1952. - Voi. 72 , no. 3 . - s. 437-449 .
↑ Martin Davis, Hilary Putnam. Hilbertin kymmenennen tehtävän reductions // Symbolisen logiikan lehti. - 1958. - Voi. 23 , ei. 2 . - s. 183-187 .
↑ Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson. Päätösongelma eksponentiaalisille diofantiiniyhtälöille // Annals of Mathematics. - 1961. - Voi. 74 , nro. 3 . - s. 425-436 .
↑ Yu. V. Matiyasevitš . Kolmen tuntemattoman eksponentiaali-diofantiiniyhtälöiden algoritminen ratkaisemattomuus // Algoritmien teorian ja matemaattisen logiikan tutkimukset / toim. A. A. Markov ja V. I. Khomich. - M . : Nauka, 1979. - Numero. 3 . - S. 69-78 .
↑ "Julia Robinsonin ja Hilbertin kymmenes ongelma " . - ZALA-elokuvat. Haettu 27. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 10. huhtikuuta 2012.
↑ Carol Wood. Elokuva-arvostelu: Julia Robinson ja Hilbertin kymmenes tehtävä // Notices of the American Mathematical Society. - 2008. - Voi. 55 , nro. 5 . - s. 573-575 . — ISSN 00029920 .
↑ Margaret A. M. Murray. Oma elokuva // College Mathematics Journal. — Washington, DC: Mathematical Association of America , 2009. — Voi. 40 , ei. 4 . - s. 306-310 . — ISSN 07468342 .

Kirjallisuus

Yu. V. Matiyasevitš . Hilbertin kymmenes ongelma . - M . : Nauka, 1993. - ISBN 502014326X . (linkki ei saatavilla)
F. P. Varpakhovsky, A. N. Kolmogorov . Hilbertin kymmenennen tehtävän ratkaisusta // Kvant . - 1970. - Nro 7 . - S. 38-44 .
Yu. I. Khmelevsky. Hilbertin kymmenestä ongelmasta // Hilbertin ongelmat / toim. P.S. Aleksandrova . - M .: Nauka, 1969. - S. 141-153. – 240 s. — 10 700 kappaletta. Arkistoitu 17. lokakuuta 2011 Wayback Machinessa
K. M. Podnieks. Luku 4. Hilbertin kymmenes tehtävä // Gödelin lauseen ympärillä . - Riika: Zinatne, 1992. - 191 s.
Yu. V. Matiyasevitš . Hilbertin kymmenes tehtävä: Diofantiiniyhtälöt 2000-luvulla // Mathematical Events of the Twentieth Century = Mathematical events of the XX century / toim. A.A. Bolibruch , Yu. S. Osipov , Ya. G. Sinai . - Berliini: Springer , 2006. - S. 185-214. — 545 s. — ISBN 3-540-23235-4 . (Englanti)
Hilbertin kymmenes tehtävä: suhteet aritmeettiseen ja algebralliseen geometriaan. Työpaja Hilbertin kymmenestä ongelmasta: suhteet aritmeettiseen ja algebralliseen geometriaan, 2.–5. marraskuuta 1999, Gentin yliopisto, Belgia / toim. Jan Denef, Leonard Lipshitz, Thanases Pheidas, Jan Van Geel. – Nykymatematiikka. - 2000. - T. 270. - 367 s. - ISBN 0-8218-2622-0 . (Englanti)

Linkit

Maxim Vsemirnov, Juri Matiyasevitš. Hilbertin kymmenennen ongelman sivu . Haettu 27. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 10. huhtikuuta 2012.
Hilbertin 10. tehtävä: Matemaattisten löytöjen historia (linkki ei saatavilla) . Haettu 27. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 16. joulukuuta 2010. (määrätön)
Juri Matiyasevitš. Hilbertin kymmenes tehtävä : Mitä voimme tehdä diofantiiniyhtälöillä . Haettu 27. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 10. huhtikuuta 2012.
Zhi Wei Sun. Hilbertin kymmenestä ongelmasta ja siihen liittyvistä aiheista ( 14. huhtikuuta 2000). Haettu 29. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 10. huhtikuuta 2012.
Panu Raatikainen. Yksinkertaisimman diofantiiniesityksen ongelma . Haettu 29. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 10. huhtikuuta 2012.

Hilbertin ongelmia
yksi 2 3 neljä 5 6 7 kahdeksan 9 kymmenen yksitoista 12 13 neljätoista viisitoista 16 17 kahdeksantoista 19 kaksikymmentä 21 22 23 ( 24 )