Suorakaide menetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 17.5.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Suorakulmiomenetelmä on menetelmä yhden muuttujan funktion numeeriseen integrointiin , joka koostuu integrandin korvaamisesta nolla-asteen polynomilla, eli vakiolla, jokaisessa alkeissegmentissä. Jos tarkastelemme integrandin kuvaajaa, menetelmä koostuu kaavion alla olevan pinta-alan likimääräisestä laskemisesta laskemalla yhteen äärellisen määrän suorakulmioita, joiden leveys määräytyy vastaavan naapuriintegroinnin välisen etäisyyden mukaan. solmut ja korkeus integrandin arvon mukaan näissä solmuissa. Algebrallinen tarkkuusjärjestys on 0. (Keskimmäisten suorakulmioiden kaavalle se on 1).

Jos segmentti on alkeisosa eikä sitä osioida enempää, integraalin arvo voidaan löytää kohteesta $\left[a,b\right]$

Vasemman suorakulmion kaava : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin f(a)(ba).$
Oikean suorakulmion kaava : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin f(b)(ba).$
Suorakulmioiden kaava (keskikoko): $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f\left({\frac {a+b}{2}}\right)(ba).$

Yhdistetyt kvadratuurikaavat

Siinä tapauksessa, että integrointisegmentti jaetaan perussegmenteiksi, yllä olevia kaavoja sovelletaan kuhunkin näistä perussegmenteistä kahden naapurisolmun välillä. Tuloksena saadaan yhdistetyt kvadratuurikaavat $n$

Vasemmille suorakulmioille : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin \sum _{{i=0}}^{{n-1}}f(x_{i})(x_{{i+ 1 }}-x_{i}).$
Oikealle suorakulmiolle : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin \sum _{{i=1}}^{n}f(x_{i})(x_{i}-x_{{i -yksi}}).$
Keskikokoisille suorakulmioille : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin \sum _{{i=0}}^{{n-1}}f\left({\frac {x_{i}+ x_{{i+1}}}{2}}\oikea)(x_{{i+1}}-x_{i})=\summa _{{i=1}}^{n}f\left( {\frac {x_{{i-1}}+x_{i}}{2}}\oikea)(x_{i}-x_{{i-1}}).$

Kaavaa, jossa lasketaan arvo kahden solmun välisessä keskipisteessä, voidaan käyttää vain, kun integrandi on määritelty analyyttisesti tai jollain muulla tavalla, joka mahdollistaa arvon laskemisen mielivaltaisessa pisteessä. Tehtävissä, joissa funktio annetaan arvotaulukon avulla, jää vain laskea keskiarvo vasemman ja oikeanpuoleisen suorakulmion kaavoilla laskettujen integraalien välillä, mikä johtaa yhdistettyyn kvadratuuritrapetsikaavaan .

Koska yhdistetyt kvadratuurikaavat eivät ole mitään muuta kuin Riemmannin integraalin määritelmään sisältyviä summia , ne konvergoivat integraalin tarkkaan arvoon. Vastaavasti likimääräisillä kaavoilla saadun tuloksen tarkkuus kasvaa kasvaessa. $n\to\infty$ $n$

Yhdistetyt kaavat yhtenäisille ruudukoille

Yhtenäinen ruudukko voidaan kuvata seuraavilla kaavoilla:

x_{i}=a+ih,\qquad h={\frac {ba}{n)),

missä on ruudukon askel. $h$

Tasaisille ruudukoille suorakaidekaavat voidaan kirjoittaa seuraavina Cotesin kaavoina :

Vasemman suorakulmion yhdistelmäkaava : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin h\sum _{{i=0}}^{{n-1}}f_{i}=h(f_{0}+ f_{1}+\ldots +f_{{n-1}}).$
Suorakulmioiden yhdistelmäkaava : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin h\sum _{{i=1}}^{{n}}f_{i}=h(f_{1}+f_{ 2}+\ldots +f_{{n}}).$
Keskimmäisten suorakulmioiden yhdistelmäkaava : I.e. vastaa puolisuunnikkaan kaavaa. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin h({\frac {f_{0}}{2}}+f_{1}+\ldots +f_{{n-1} }+{\frac {f_{{n}}}{2}}).$

Menetelmävirhe

Oikean ja vasemman suorakulmion kaavoissa virhe on

E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}.

Suorakulmioiden kaavalle (keskikokoinen)

E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}.

Oikean ja vasemman suorakulmion yhdistelmäkaavat yhtenäisellä ruudukolla:

E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}\cdot n={\frac {f'(\xi )}{2}}(ba) h.

Suorakulmioiden yhdistekaavalla:

E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}\cdot n={\frac {f''(\xi )}{24}}( ba)h^{2}.

Toteutusesimerkki

Keskimääräisten suorakulmioiden kaava analyyttisesti annetulle funktiolle, kirjoitettu C:llä

double InFunction ( double x ) { //Integraalinen funktio paluu synti ( x ); } double CalcIntegral ( double a , double b , int n ) { kaksinkertainen tulos = 0 , h = ( b - a ) / n ; for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { tulos += InFunction ( a + h / 2 + i * h ); } tulos *= h ; palauttaa tuloksen ; }

Katso myös

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista