Bolzan pinta

Bolzan pinta ( Bolzan käyrä ) on suvun 2 kompakti Riemannin pinta , jossa on suurin mahdollinen tämän luokan konformisen automorfismiryhmän järjestys, nimittäin ryhmällä GL 2 (3) luokkaa 48. Täydellinen automorfismiryhmä (mukaan lukien heijastukset) ) on puolisuora tulo luokkaa 96. Affine Bolzan pintamalli voidaan saada yhtälön täyttävien pisteiden paikaksi ${\displaystyle GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2))$

y^{2}=x^{5}-x

in . Bolzan pinta on affiinin käyrän tasainen jatke Kaikista suvun 2 hyperbolisista pinnoista Bolzan pinnalla on korkein systoli . Hyperelliptisenä Riemannin pintana se syntyy Riemannin pallon haarautuneena kaksoispeitteenä, jonka haarapisteet ovat palloon piirretyn säännöllisen oktaedrin kuudessa kärjessä , kuten yllä olevasta kaavasta voidaan selvästi nähdä. ${\mathbb C}^{2}$

Kolmion muotoinen pinta

Bolzan pinta on (2,3,8)-kolmiopinta ( Schwarzin kolmio ): Bolzan pinnan määrittelevä fuksialainen ryhmä on ryhmän alaryhmä, jonka muodostavat heijastukset hyperbolisen kulman kolmion sivujen suhteen . Tämä alaryhmä on alaryhmä, jossa on heijastusryhmäindeksi , joka koostuu parillisen määrän heijastuksia tulosta ja jolla on abstrakti esitys generaattoreiden ja suhteiden sekä . Bolzan pinnan määrittelevä fuksialainen ryhmä on myös (3,3,4) kolmioryhmän alaryhmä , joka on kolmioryhmän (2,3,8) indeksin 2 omaava alaryhmä. Ryhmällä (2,3,8) ei ole kvaternionalgebran toteutusta , mutta ryhmällä (3,3,4) on. ${\tfrac {\pi }{2)),{\tfrac {\pi }{3)),{\tfrac {\pi }{8))$ ${\displaystyle s_{2},s_{3},s_{8))$ $s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1$ ${\displaystyle s_{2}s_{3}=s_{8))$ $\Gamma$

Poincarén kiekon vaikutuksesta Bolzan pinnan perusalue on säännöllinen kahdeksankulmio, jonka pisteissä on kulmia $\Gamma$ ${\tfrac {\pi }{4}}$

p_{k}=2^{-{\tfrac {1}{4}}}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+k{\tfrac {\pi } {4}}\oikea)}

missä . Kahdeksankulmion vastakkaiset puolet tunnistetaan fuksialaisen ryhmän toimesta. Matriisit toimivat generaattoreina: $k=0,\ldots ,7$

g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{i{\tfrac {k\pi }{ 4}}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-i{\tfrac {k\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix} }

missä ja , yhdessä niiden käänteisosien kanssa. Generaattorit tyydyttävät suhteen: $\alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$ $k=0,\ldots ,3$

g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1 }g_{3}=1.

Katso myös

Hyperbolinen käyrä
Kleinin kvartsi
Macbeathin pinta

Kirjallisuus

Oskar Bolza. Binäärisekstiikasta lineaarisilla muunnoksilla itseensä // American Journal of Mathematics. - 1887. - T. 10 , no. 1 . - S. 47-70 . - doi : 10.2307/2369402 . — .
Katz M., Sabourau S. Optimaalinen systolinen epäyhtälö suvun kaksi CAT(0)-metriikkaan // Pacific J. Math. . - 2006. - T. 227 , no. 1 . — S. 95–107 . - doi : 10.2140/pjm.2006.227.95 . — arXiv : math.DG/0501017 .
Maclachlan C., Reid A. Hyperbolisten 3-lukujen aritmetiikka. - New York: Springer, 2003. - T. 219. - (Math. Graduate Texts). — ISBN 0-387-98386-4 .

Algebralliset käyrät

Rationaaliset
käyrät

Viidellä pisteellä määritelty kartiomainen
Projektiivinen linja
Rationaalinen normaalikäyrä
Riemannin pallo
Kolmannen kertaluvun epätasoinen käyrä

Elliptiset
käyrät

Analyyttinen teoria	Elliptinen toiminto Elliptinen integraali Perusajatuspari modulaarinen muoto
Aritmeettinen teoria	Pisteiden laskeminen elliptisellä käyrällä Jakopolynomit Hassen lause elliptisistä käyristä Mazurin vääntölause Modulaarinen elliptinen käyrä Modulaarisuuslause Mordell-Weilin lause Nagell-Lutzin lause Supersingulaarinen elliptinen käyrä Shufin algoritmi Shoof-Elkis-Atkin-algoritmi
Sovellukset	Elliptinen kryptografia Primaalisuustesti elliptisellä käyrällä

korkeampi
suku

De Francisin lause
Faltingsin lause
Hurwitzin automorfismilause
Hurwitzin pinta
hyperbolinen käyrä

Tasaiset
kaaret

Lause AF+BG
Bezoutin lause
kaksikantinen
Cayley-Bacharachin lause
kartiomainen leikkaus
Cramerin paradoksi
kuutio
Kiero maatila
Suvun ja käyrän asteen yhdistämisen kaava
Hilbertin kuudestoista ongelma
Nagatan olettamus käyristä
Plückerin kaava
Neljännen asteen tasainen käyrä
Todellinen tasokäyrä

Riemann
pinnat

Belyn lause
Bolzin pinta
Kompakti Riemannin karheus
Lasten piirustus
Abelin differentiaali
Kleinin neliö
Riemmannin olemassaololause
Riemann-Rochin lause
Teichmüller tilaa
Torellin lause

Rakennukset

Kaksoiskäyrä
Napa ja napa
Tasaista jatkoa

Käyrän rakenne

Käyrien jakajat	Abel-Jacobi-kartoitus Brill-Noether teoria Cliffordin lause erityisistä jakajista Adhebrallisen käyrän gonaalisuus Jacobi lajike Riemann-Rochin lause Weierstrassin piste Weylin vastavuoroisuuden laki
Moduulit	ELSV-kaava Gromov-Wittenin invariantti Hodge nippu Riemannin pintamoduulit vakaa käyrä
Morfismit	Hasse–Witt-matriisi Riemannin-Hurwitzin kaava Prima jakotukki Weberin lause
Yksittäisiä pisteitä	Eristetty käyräpiste kaksoispiste Casp delta-invariantti Itsekosketuspiste
Vector niput	Birkhoff-Grothendieckin lause Vakaa vektoripaketti Algebrallisten käyrien vektoriniput