Trapetsi

Puolisuunnikas ( toisesta kreikasta τραπέζιον - " taulukko " sanasta τράπεζα - " pöytä ") on kupera nelikulmio , jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaisia ja kaksi muuta sivua eivät ole yhdensuuntaisia [1] . Usein viimeinen ehto jätetään pois puolisuunnikkaan määritelmästä (katso alla). Yhdensuuntaisia vastakkaisia sivuja kutsutaan puolisuunnikkaan kantaviksi ja kahta muuta sivuiksi. Mediaaniviiva on jana, joka yhdistää sivujen keskipisteet.

Määritelmän muunnelmia

Trapetsille on toinenkin määritelmä.

Puolisuunnikas on kupera nelikulmio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset [2] [3] . Tämän määritelmän mukaan suunnikas ja suorakaide ovat puolisuunnikkaan erikoistapauksia. Tätä määritelmää käytettäessä suurin osa tasakylkisen puolisuunnikkaan merkeistä ja ominaisuuksista lakkaa kuitenkin olemasta totta (koska suunnikkaasta tulee sen erikoistapaus). Kaavan Yleiset ominaisuudet -osiossa annetut kaavat pätevät molempiin puolisuunnikkaan määritelmiin.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Trapetsin elementit

Rinnakkaisia vastakkaisia puolia kutsutaan puolisuunnikkaan kantaviksi.
Kahta muuta puolta kutsutaan sivuiksi .
Sivujen keskipisteitä yhdistävää janaa kutsutaan puolisuunnikkaan keskiviivaksi .
Kulma puolisuunnikkaan pohjassa on sen sisäkulma, jonka kanta muodostaa sivun kanssa.

Trapetsiumtyypit

Puolisuunnikkaan , jonka sivut ovat yhtä suuret, kutsutaan tasakylkiseksi puolisuunnikkaaksi (harvemmin tasakylkiseksi [4] tai tasakylkiseksi [5] puolisuunnikkaan).
Puolisuunnikasta, jonka sivuilla on suorat kulmat, kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi .

Tasakylkinen puolisuunnikas
Suorakaiteen muotoinen puolisuunnikkaan muotoinen

Ominaisuudet

Puolisuunnikkaan keskiviiva on yhdensuuntainen kantaan nähden ja on yhtä suuri kuin puolet niiden summasta. [7]
Jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan lävistäjien keskipisteet, on yhtä suuri kuin puolet kantojen erosta ja sijaitsee keskiviivalla.
Kantojen kanssa yhdensuuntainen ja diagonaalien leikkauspisteen kautta kulkeva segmentti jaetaan jälkimmäisellä puoliksi ja se on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan kantojen pituuksien harmoninen keskiarvo . ${\frac {2xy}{x+y}}$
Ympyrä voidaan piirtää puolisuunnikkaan, jos puolisuunnikkaan kantajen pituuksien summa on yhtä suuri kuin sen sivujen pituuksien summa.
Puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspiste, sen sivujen jatkeiden leikkauspiste ja kantajen keskipisteet ovat samalla suoralla.
Jos kulmien summa puolisuunnikkaan jossakin kannassa on 90°, niin sivusivujen jatkeet leikkaavat suorassa kulmassa, ja kantajen keskipisteitä yhdistävä jana on yhtä suuri kuin kantojen eron puolikas . .
Trapetsin lävistäjät jakavat sen 4 kolmioon. Kaksi niistä, jotka sijaitsevat tukien vieressä, ovat samanlaisia. Kahdella muulla, sivujen vieressä, on sama alue.
Jos kantojen suhde on , niin kantojen vieressä olevien kolmioiden pinta-alojen suhde on . $K$ $K^{2}$
Puolisuunnikkaan korkeus määritetään kaavalla:

h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}+ba\oikea) ^{2}}}

missä on suurempi pohja, on pienempi pohja ja ovat sivut.

b

a

c

d

Puolisuunnikkaan diagonaalit ja ovat suhteessa sivuihin suhteella: $d_{1}$ $d_{2}$

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}

Ne voidaan ilmaista selkeästi:

d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

Jos päinvastoin sivut ja lävistäjät tunnetaan, niin kanta ilmaistaan kaavoilla:

a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}

b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}

ja tunnetuilla jalustoilla ja lävistäjällä sivut ovat seuraavat:

c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

Jos korkeus on tiedossa , niin

h

d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2))))}={\sqrt {h^{2 }+\vasen(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\oikea)^{2}}}

d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2))))}={\sqrt {h^{2 }+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\oikea)^{2}}}

Newtonin puolisuunnikkaan viiva osuu sen keskiviivaan .

Tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen

Puolisuunnikas on tasakylkinen, jos ja vain jos jokin seuraavista vastaavista ehdoista täyttyy:

kantajen keskipisteiden läpi kulkeva suora on kohtisuorassa kantaan nähden (eli se on puolisuunnikkaan symmetria-akseli);
ylhäältä suurempaan pohjaan laskettu korkeus jakaa sen kahteen segmenttiin, joista toinen on yhtä suuri kuin puolet kantojen summasta, toinen on puolet kantajen erosta;
kulmat missä tahansa pohjassa ovat yhtä suuret;
vastakkaisten kulmien summa on 180°;
diagonaalien pituudet ovat yhtä suuret;
ympyrä voidaan kuvata tämän puolisuunnikkaan ympärille;
tämän puolisuunnikkaan kärjet ovat myös joidenkin antiparallelogrammin kärjet .

sitä paitsi

jos tasakylkisessä puolisuunnikkaan lävistäjät ovat kohtisuorassa, niin korkeus on puolet kantajen summasta.

Kaiverretut ja rajatut ympyrät

Jos puolisuunnikkaan kantojen summa on yhtä suuri kuin sivujen summa, siihen voidaan kirjoittaa ympyrä . Mediaaniviiva on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin sivujen summa jaettuna kahdella (koska puolisuunnikkaan mediaaniviiva on yhtä suuri kuin puolet kantojen summasta).
Puolisuunnikkaan sen sivu näkyy piirretyn ympyrän keskeltä 90° kulmassa.
Jos puolisuunnikkaan voidaan piirtää ympyrään, niin se on tasakylkinen.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan rajatun ympyrän säde:

R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(pb)(pc)(p-d_{1})))}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2 }}{4-\left({\frac {ba}{c}}\oikea)^{2}}}}

missä on sivupuoli, on suurempi kanta, on pienempi kanta, ovat tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalit.

p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c

b

a

d_{1}=d_{2}

Jos , Sitten ympyrän säde voidaan kirjoittaa tasakylkisen puolisuunnikkaan $a+b=2c$

r={\frac {h}{2}}={\frac {\sqrt {ab}}{2}}

Jos säteinen ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan ja se jakaa sivupuolen kosketuspisteen mukaan kahdeksi segmentiksi - ja - niin . $r$ $v$ $w$ $r={\sqrt {vw))$

Alue

Tässä ovat trapetsille ominaiset kaavat. Katso myös mielivaltaisten nelikulmioiden alueen kaavat .

Jos ja ovat kantaa ja ovat korkeuksia, aluekaava on : $a$ $b$ $h$

S={\frac {(a+b)}{2}}h

Tapauksessa - keskiviiva ja - korkeus, pinta -alakaava : $m$ $h$

S=\displaystyle mh

Huomautus: Yllä olevat kaksi kaavaa ovat ekvivalentteja, koska puolet kantajen summasta on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan keskiviiva:

m={\frac {(a+b)}{2}}

Kaava, jossa ovat kantakohdat ja puolisuunnikkaan sivut: $a<b$ $c$ $d$

S={\frac {a+b}{4(ba)}}{\sqrt {(a+c+db)(a+dbc)(a+cbd)(b+c+da)))).

tai

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{ 2}}{ba}}+ba\oikea)^{2}}}

Keskiviiva jakaa kuvan kahteen puolisuunnikkaan, joiden alueet liittyvät toisiinsa [8] $m$

{\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3a+b}{a+3b}}

Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala, jonka ympyrän säde on , ja kulma pohjassa : $r$ $\alpha$

S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}

Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala:

S=(bc\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(a+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }

missä on sivu, on suurempi pohja, on pienempi pohja, on kulma suuremman alustan ja sivun välillä [9] .

c

b

a

\gamma

Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala sen sivujen läpi

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}(ba)^{2}}}

Historia

Sana "suunnikkaan muotoinen" tulee muun kreikan kreikan sanasta. τραπέζιον "taulukko" (lyhennetty sanasta τράπεζα "taulukko"), tarkoittaa taulukkoa. Venäjän kielessä sana "ateria" (ruoka) tulee tästä sanasta.

Muistiinpanot

↑ Matemaattinen tietosanakirja . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1988. - S. 587 .
↑ Kaikki perusmatematiikka . Haettu 6. heinäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 9. heinäkuuta 2015. (määrätön)
↑ Wolfram MathWorld . Haettu 6. heinäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 19. huhtikuuta 2015. (määrätön)
↑ Kirjoittajaryhmä. Nykyaikainen opiskelijoiden hakuteos. 5-11 luokalla. Kaikki kohteet . - Litraa, 2015-09-03. - S. 82. - 482 s. — ISBN 9785457410022 .
↑ M. I. Skanavi. Alkeinen matematiikka . - 2013. - S. 437. - 611 s. — ISBN 9785458254489 .
↑ Nelisivut . Arkistoitu 16. syyskuuta 2015 Wayback Machineen
↑ Geometria Kiseljovin mukaan Arkistoitu 1. maaliskuuta 2021 Wayback Machinessa , § 99.
↑ Zaitsev V.V., Ryzhkov V.V., Skanavi M.I. Alkeinen matematiikka. 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M.: Nauka, 1974. - 592 s.
↑ Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakoulujen opiskelijoille 1986. S. 184

Monikulmiot

Sivujen lukumäärän mukaan

Monogon
Bigon
Kolmio
Nelikulmainen
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsenkulmio
Kahdeksankulmio
viisikulmio
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Kolmetoista
tetradecagon
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsemäntoista
kahdeksankulmio
Nineteenagon
Dodecagon
Kaksikymmentäyksipuolinen
Kaksikymmentäkaksi kulma
Twentytrigon
Kaksikymmentänelikulmainen
Kaksikymmentä viisikulmio
Kaksikymmentä kahdeksankulmio
Tridecagon
Thirty-Biagon
Neljäkymmentäneliö
Neljäkymmentä kaksikulmio
helluntailainen
helluntailainen
Kuusikulmio
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ fi
Millagon
Kymmenentuhattagon
Satatuhatosa
Milliogon
ääretön

oikea

kupera	Kolmio Neliö Pentagon Kuusikulmio Seitsenkulmio Kahdeksankulmio viisikulmio tetradecagon Seitsemäntoista 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
tähti	Pentagrammi Heksagrammi Heptagrammi Octagram ( Lakshmin tähti ) Enneagrammi Dekagrammi Endekagrammi Dodecagram

kolmiot

Nelikulmat

Katso myös