Saccherin nelikulmio

Saccherin nelikulmio on nelikulmio , jonka kaksi yhtä suurta sivua ovat kohtisuorassa kantaan nähden. Nimetty Girolamo Saccherin mukaan, joka käytti sitä teoksessaan Euclid Cleansed of All Stains ( Euclides ab omni naevo vindicatus , julkaistu ensimmäisen kerran vuonna 1733). Saccheri yritti tässä työssään todistaa viidennen postulaatin käyttämällä " vastakohtaisesti " -menetelmää.

Aiemmin, 1000-luvun lopulla, Sakkerin nelikulmiota harkitsi myös Omar Khayyam [1] .

Saccherin nelikulmion sivut ja ovat yhtä pitkiä ja kohtisuorassa kantaan nähden . Kulmia kohdassa ja kutsutaan ylemmiksi kulmiksi , kahta muuta kulmaa kutsutaan alemmiksi .

Saccherin nelikulmion hyödyllinen ominaisuus on, että sen sisältävän tason tyyppi määräytyy yksiselitteisesti vastauksen perusteella vain yhteen kysymykseen:

Ovatko yläkulmat oikeat, tylpät vai terävät?

Osoittautuu, että kun yläkulmat ovat oikeat, viides postulaatti täyttyy tasossa , kun ne ovat teräviä, taso on hyperbolinen ja kun ne ovat tylppä, taso on elliptinen (joitakin lisämuutoksia postulaatteihin [ 2] ).

Saccheri toivoi, että tylpäiden ja terävien kulmien tapaukset johtivat ristiriitaan Eukleideen aksioomien kanssa. Hän osoitti tämän tylpäiden kulmien tapauksessa, ja kuten hänestä näytti, myös terävien kulmien tapauksessa (mikä oli ilmeisen väärin) [3] .

Historia

Omar Khayyam käsitteli Sakkerin nelikulmiota ensimmäisen kerran 1000-luvun lopulla [1] . Toisin kuin monet ennen ja jälkeen häntä, Khayyam ei yrittänyt todistaa viidettä postulaattia sellaisenaan, hän luotti vastaavaan postulaattiin "filosofin periaatteista" ( Aristoteles ):

Kaksi lähentyvää suoraa leikkaavat toisiaan, eikä ole mahdollista, että kaksi lähentyvää suoraa hajoaa siihen suuntaan, jonka ne aiemmin konvergoivat [4] .

Khayyam tarkasteli kaikkia kolmea mahdollisuutta Saccherin nelikulmion yläkulmiin ja osoitti joukon lauseita. Hän (oikein) kiisti tylyt ja akuutit tapaukset postulaattinsa perusteella ja päätteli tästä klassisen Eukleideen postulaatin.

600 vuotta myöhemmin Giordano Vitale käytti Saccherin nelikulmiota todistaakseen, että jos kolme pistettä ovat yhtä kaukana pohjasta ja huipulta , ne ovat kaikkialla samalla etäisyydellä.

Saccheri itse ehdotti postulaatin pitkässä todistuksessaan, että yläkulmat ovat teräviä, minkä jälkeen hän epäilemättä päätteli tästä monia Lobatševskin geometrian lauseita . Kirjan lopussa hän teki virheen ja joutui kuvitteelliseen ristiriitaan, josta hän päätteli pystyneensä todistamaan viidennen postulaatin.

Ominaisuudet

Antaa olla Saccherin nelikulmio pohjalla . Seuraavat ominaisuudet pätevät missä tahansa hyperbolisessa geometriassa [5] :

Kaava

Vakiona kaareutuvassa hyperbolisessa tasossa Saccherin nelikulmion yläpuoli voidaan ilmaista sivun ja pohjan muodossa kaavalla

[6]

Esimerkkejä

Hyperbolinen taso hyväksyy joidenkin Saccherin nelikulmien laatoitukset:


Symmetria *3322
Symmetria *∞∞22

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 Boris Abramovitš Rozenfelʹd. Ei-euklidisen geometrian historia: Geometrisen avaruuden  käsitteen kehitys . — Abe Shenitzerin käännös. - Springer, 1988. - s. 65. - ISBN 0-387-96458-4 .
  2. ↑ Coxeter, 1998 , s. yksitoista.
  3. ↑ Faber, 1983 , s. 145.
  4. ↑ Boris A Rosenfeld, Adolf P Youschkevitch (1996), Geometry, s. 467 julkaisussa Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the History of Arabic science , Routledge, ISBN 0-415-12411-5 .
  5. ↑ Faber, 1983 , s. 146-147.
  6. ↑ P. Buser ja H. Karcher.

Kirjallisuus