Yleisen suhteellisuusteorian matemaattinen muotoilu

Tässä artikkelissa käsitellään yleisen suhteellisuusteorian matemaattista perustaa .

Lähtöpaikat

Intuitiivinen havaintomme kertoo meille, että aika-avaruus on säännöllistä ja jatkuvaa, eli siinä ei ole "aukkoja". Matemaattisesti nämä ominaisuudet tarkoittavat, että aika-avaruus mallinnetaan tasaisella 4-ulotteisella differentioituvalla moninaisella , eli 4-ulotteisella avaruudella, jonka kunkin pisteen lähialue muistuttaa paikallisesti neliulotteista euklidista avaruutta . Tasaisuus tarkoittaa tässä riittävää erilaisuutta, sen astetta määrittelemättä. $M_4$

Koska lisäksi erityisen suhteellisuusteorian lait täyttyvät hyvällä tarkkuudella , tällaiselle monistolle voidaan antaa Lorentzian metriikka eli ei-degeneroitunut metriikkatensori , jolla on allekirjoitus (tai vastaavasti ). Tämän merkitys paljastuu seuraavassa osiossa. $\{-,+,+,+\}$ $\{+,-,-,-\}$

Avaruuden geometria

HUOM. Tämä artikkeli noudattaa Misnerin, Thornen ja Wheelerin klassisia merkkikonventioita [1]

Tämä artikkeli hyväksyy myös Einsteinin yleissopimuksen toistuvien indeksien summaamisesta.

Metrinen tensori

Differentioituva monisto [2] M, jolla on Lorentzin metrinen tensori g , on siis Lorentzin monisto , joka muodostaa pseudo-Riemannilaisen moniston erikoistapauksen ("Lorentzilaisten" määritelmä tarkennetaan myöhemmin tekstissä; katso Lorentzian-metrinen osa alla ).

Otetaan jokin koordinaattijärjestelmä pisteen läheisyydestä ja olkoon paikallinen kanta moniston tangenttiavaruudessa pisteessä . Tangenttivektori kirjoitetaan sitten kantavektoreiden lineaarisena yhdistelmänä: $x^{\mu}$ $P$ ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ $T_xM$ $M$ $x\in M$ $\mathbf w \in T_xM$

\mathbf{w} \ = \w^{\mu} \ \mathbf{e}_{\mu}.

Tässä tapauksessa suureita kutsutaan vektorin w kontravarianteiksi komponenteiksi . Metrinen tensori on silloin symmetrinen bilineaarinen muoto : $\w^{\mu}$ $\mathbf g$

\mathbf g \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ dx^{\mu}\ \otimes \ dx^{\nu},

jossa tarkoittaa duaalia kotangenttiavaruuden kantaan nähden , eli lineaarisia muotoja on , siten, että: $dx^{\mu}$ ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ $T_x^*M$ $T_{x}M$

dx^{\nu} ({\mathbf e}_{\mu}) \ =\ \delta_{\mu}^{\nu}.

Lisäksi oletetaan, että metrisen tensorin komponentit muuttuvat jatkuvasti aika-avaruudessa [3] . $g_{\mu\nu}(x)$

Metrinen tensori voidaan siis esittää todellisella 4x4 symmetrisellä matriisilla :

g_{\mu\nu} \ = \ g_{\nu\mu}.

Yleensä missä tahansa todellisessa 4x4-matriisissa on a priori 4 x 4 = 16 itsenäistä elementtiä. Symmetriaehto pienentää tämän luvun 10:een: itse asiassa on 4 diagonaalista elementtiä, joihin meidän on lisättävä (16 - 4) / 2 = 6 poikkeavaa diagonaalista elementtiä. Tensorissa on siis vain 10 itsenäistä komponenttia. $g_{\mu \nu }$

Pistetuote

Metrinen tensori määrittelee moniston kullekin pisteelle pseudoskalaaritulon (" pseudo- " siinä mielessä, että pseudoeuklidisessa ei ole positiivista määritystä siihen liittyvällä neliömuodolla (vektorin neliö; katso Lorentzin metriikka) jakotukin tangentti pisteessä . Jos ja ovat kaksi vektoria , niiden pistetulo kirjoitetaan seuraavasti: $x \ in M$ $M^{}$ $x$ $T_{x}M$ $\mathbf u$ ${\mathbf v}$ $T_{x}M$

\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf g (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ g_{\mu \nu} \ u^{\mu } \ v^{\nu}

Erityisesti ottaen kaksi kantavektoria saadaan komponentit:

g_{\mu \nu} \ = \ \mathbf g ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \ cdot {\mathbf e}_{\nu}

Huomaa: jos suuret osoittavat vektorin w kontravariantteja komponentteja , voimme myös määritellä sen kovarianssikomponentit seuraavasti: $w^{\mu}$

w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}.

Elementary distance - interval

Tarkastellaan pisteen ja äärettömän lähellä olevan pisteen välistä alkeissiirtymävektoria: . Tämän vektorin invariantti infinitesimaalinormi on reaaliluku, jota merkitään ja jota kutsutaan välin neliöksi ja joka on yhtä suuri: $d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \mathbf e_{\mu}$ $P^{}$ $| \epsilon^{\mu} | \ll 1$ $ds^2$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ \epsilon^{\mu} \\epsilon^{\nu}

Jos määrittelemme elementaarisen siirtymävektorin komponentit "fysikaalisella tavalla" , pituuden (intervallin) ääretön neliö kirjoitetaan muodollisesti seuraavasti: $\epsilon^{\mu} = dx^{\mu}$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}

Huomio : tässä kaavassa, kuten myös jatkossa, on reaaliluku, joka tulkitaan fyysisesti koordinaatin "äärettömäksi muutokseksi" eikä differentiaalimuodoksi! $dx^{\mu}$ $x^{{\mu ))$

Lorentzin metriikka

Tarkennetaan nyt ilmaisua "Lorentzian" (tarkemmin paikallisesti Lorentzian), mikä tarkoittaa, että metrinen tensorilla on allekirjoitus (1,3) ja se vastaa paikallisesti ensimmäisessä järjestyksessä erityissuhteellisuusteorian Lorentzian metriikkaa . Ekvivalenssiperiaate sanoo, että gravitaatiokenttä on mahdollista "pyyhkiä" paikallisesti valitsemalla paikallisesti inertiakoordinaatisto. Matemaattiselta kannalta tällainen valinta on uudelleenmuotoiltu hyvin tunnetusta lauseesta mahdollisuudesta pelkistää neliömuoto pääakseleiksi.

Tällaisessa paikallisesti inertiaalisessa koordinaattijärjestelmässä pisteen invariantti voidaan kirjoittaa seuraavasti: $X^{\alpha}$ $ds^2$ $P$

ds^2 \ = \ \eta_{\alpha \beta } \ dX^{\alpha } \ d X^{\beta } \ = \ - \ c^2 \, dT^2 \, + \, dX^2 \, + \, dY^2 \, + \, dZ^2,

missä on Minkowskin aika-avaruusmetriikka ja tämän pisteen pienessä ympäristössä $\eta_{\alpha\beta}$

ds^2 \ = \ (\eta_{\alpha \beta}+\delta_{\alpha \beta }) \ dX^{\alpha } \ d X^{\beta },

jossa on pienin toisen kertaluvun pienuus koordinaattien poikkeamissa pisteestä , eli . Hyväksymällä Misnerin, Thornen ja Wheelerin merkit, meillä on [1] : $\delta_{\alpha\beta}$ $P$ $\delta_{\alpha\beta}|_{P}=0,\ \left.\frac{\partial \delta_{\alpha\beta)){\partial X^\alpha}\right|_{P}= 0$

\eta_{\alpha \beta} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -1, \, +1, \, +1, \, +1 \, )

Seuraavia tavanomaisia käytäntöjä käytetään alla:

Kreikan indeksit vaihtelevat välillä 0 - 3. Ne vastaavat avaruus-aikaisia määriä.
Latinalaiset indeksit vaihtelevat välillä 1-3. Ne vastaavat suureiden spatiaalisia komponentteja aika-avaruudessa.

Esimerkiksi 4-paikkainen vektori kirjoitetaan paikalliseen inertiaan koordinaattijärjestelmään seuraavasti:

X^{\alpha} \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{i} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} X^ {0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{matriisi} \oikea) \ = \ \left( \begin{matrix} c \, T \\ X \\ Y \\ Z \end{matriisi} \oikea).

Huomio : itse asiassa äärelliset, eivät äärettömän pienet, koordinaattien lisäykset eivät muodosta vektoria. Niiden vektori syntyy vain homogeenisessa avaruudessa, jossa on nollakaarevuus ja triviaali topologia.

Moniston Lorentzilainen luonne varmistaa siten, että pseudoeuklidisen avaruuden kussakin pisteessä olevilla tangenteilla on pseudo - skalaaritulot ("pseudo-" siinä mielessä, että siihen liittyvällä neliömuodolla (neliövektori) ei ole positiivista määritystä. ) kolmella ehdottomasti positiivisella ominaisarvolla (vastaa avaruutta) ja yhdellä tiukasti negatiivisella ominaisarvolla (vastaa aikaa). Erityisesti "oikean ajan" perusväli, joka erottaa kaksi peräkkäistä tapahtumaa, on aina: $M^{}$ $M^{}$

d \tau^2 \ = \ - \frac{ds^2}{c^2} \ > \ 0.

Yleiset käsitteet affiinisesta kytkennästä ja kovarianttiderivaatasta

Yleensä affiiniyhteys on operaattori , joka yhdistää tangenttikynästä peräisin olevan vektorikentän tämän kynän endomorfismikenttään . Jos on tangenttivektori pisteessä , se on yleensä merkitty $\nabla$ $\mathbf V$ $TM$ $\nabla \mathbf V$ ${\mathbf w} \in T_xM$ $x \ in M$

\nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V(x) \ = \ \nabla \mathbf V(x,\mathbf w).

Sen sanotaan olevan vektorin " kovarianttiderivaata " suunnassa . Oletetaan lisäksi, että se täyttää lisäehdon: meillä on mille tahansa funktiolle f $\nabla_{\mathbf w} \mathbf V$ $\mathbf V$ ${\mathbf w}$ $\nabla \mathbf V$

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

Kovarianttiderivaata täyttää seuraavat kaksi lineaarisuusominaisuutta:

lineaarisuus w :ssä , eli mikä tahansa vektorien w ja u sekä reaalilukujen a ja b kentät , meillä on:

\nabla_{(a \mathbf w + b \mathbf u)} \mathbf V \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ b \ \nabla_{\mathbf u} \mathbf V.

lineaarisuus V :ssä , eli riippumatta vektorien X ja Y kentät ja reaaliluvut a ja b , meillä on:

\nabla_{\mathbf w} (a\mathbf X + b\mathbf Y) \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf X \ + b \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf Y.

Kun kovarianttiderivaata on määritelty vektorikentille, se voidaan laajentaa tensorikenttiin Leibnizin säännön avulla : jos ja ovat mitkä tahansa kaksi tensoria, niin määritelmän mukaan: ${\mathbf T}$ $\mathbf S$

\nabla_{\mathbf w}(\mathbf T \otimes \mathbf S) \ = \ (\nabla_{\mathbf w} \mathbf T )\otimes \mathbf S \ + \ \mathbf T \otimes(\nabla_{\ mathbf w} \mathbf S)

Tensorikentän kovarianttiderivaata vektoria w pitkin on jälleen samantyyppinen tensorikenttä.

Mittariin liittyvä yhteys

Voidaan todistaa, että metriikkaan liittyvä yhteys, Levi-Civita [1] yhteys, on ainoa yhteys, joka edeltävien ehtojen lisäksi lisäksi varmistaa, että mille tahansa TM:n vektorien X , Y, Z kentille.

$\nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g( \mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z)$ ( metrisuus - ei-metrisyyden tensori on yhtä suuri kuin nolla).

$\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y]$ , jossa on X:n ja Y: n Lie-kommutaattori (ei vääntöä — vääntötensori on nolla). $[\mathbf X,\mathbf Y]$

Kuvaus koordinaatteina

Vektorin kovarianttiderivaata on vektori, joten se voidaan ilmaista kaikkien kantavektoreiden lineaarisena yhdistelmänä:

\nabla_{\mathbf w} V \ = \ \left[ \, \nabla_{\mathbf w} V \, \right]^\rho \ \mathbf e_\rho \ = \ \Gamma^\rho \ \mathbf e_ \rho,

missä ovat kovarianttiderivaatan vektorikomponentit suunnassa (tämä komponentti riippuu valitusta vektorista w ). $\Gamma^\rho$ $\mathbf e_\rho$

Kovarianttiderivaatan kuvaamiseksi riittää, että se kuvataan kullekin kantavektorille suunnassa . Määrittelemme sitten Christoffel-symbolit (tai yksinkertaisesti Christoffel-symbolit) riippuen kolmesta indeksistä [4] $\mathbf e_\nu$ $\mathbf e_\mu$ $\Gamma^\rho {}_{\mu \nu},$

\nabla_{\mu} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \nabla_{{\mathbf e}_{\mu)) {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \Gamma^\ rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho

Levi-Civita-yhteydelle on ominaista sen Christoffel-symbolit. Yleisen kaavan mukaan

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

vektorille V :

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \nabla_{\mu} (V^\nu \mathbf e_\nu) \ = \ V^\nu \ (\nabla_{\mu} \mathbf e_\nu ) \ + \ dV^\nu(\mathbf e_\mu) \ \mathbf e_\nu.

Kun tiedämme sen , saamme: $dV^\nu (\mathbf e_\mu) = \partial_\mu V^\nu$

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ V^\nu \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho \ + \ \partial_\mu V^\ nu \ \mathbf e_\nu

Tämän kaavan ensimmäinen termi kuvaa koordinaattijärjestelmän "deformaatiota" kovarianttiderivaatan suhteen ja toinen - vektorin V koordinaattien muutoksia . Summaamalla tyhmiä indeksejä voimme kirjoittaa tämän suhteen uudelleen muotoon

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \left[ \, V^\rho \ \Gamma^\nu {}_{\mu \rho} \ + \ \partial_\mu V^\nu \, \ oikea] \ \mathbf e_\nu

Tästä saamme tärkeän kaavan komponenteille:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}^{\nu} \ = \ \left[ \, \nabla_{\mu} \mathbf{V} \, \right]^{\nu} \ = \ \partial_ {\mu} V^{\nu} \ + \ \Gamma_{~ \mu \rho}^{\nu} \ V^{\rho }

Leibnizin kaavaa käyttämällä se voidaan osoittaa samalla tavalla, että:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}_{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V_{\nu} \ - \ \Gamma_{~ \mu \nu}^{\rho } \ V_{ \rho}.

Näiden komponenttien eksplisiittistä laskemista varten Christoffel-symbolien lausekkeet on määritettävä metriikasta. Ne on helppo saada kirjoittamalla seuraavat ehdot:

\nabla_{\mu} \ \mathbf{g}_{\nu \rho} \ = \ 0.

Tämän kovarianttijohdannaisen laskeminen johtaa

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ g^{\mu \nu} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right),

missä ovat yhtälöiden määrittelemät "käänteisen" metrisen tensorin komponentit $g^{\mu \nu}\$

g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho

Christoffel-symbolit ovat "symmetrisiä" [5] alaindeksien suhteen: $\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma}=\Gamma^\mu {}_{\sigma \rho}.\$

Huomautus: joskus myös seuraavat symbolit määritellään:

\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right)

vastaanotettu muodossa:

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ g^{\mu \nu} \ \Gamma_{\nu \rho \sigma}

Riemannin kaarevuustensori

Riemannin kaarevuustensori R on 4. valenssitensori, joka on määritelty mille tahansa vektorikentille X, Y, Z alkaen M.

\mathbf R(\mathbf X,\mathbf Y)\mathbf Z \ = \ \nabla_{\mathbf X} \, (\nabla_{\mathbf Y} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \ , (\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{[\mathbf X,\mathbf Y]} \mathbf Z\; .

Sen komponentit ilmaistaan eksplisiittisesti metrisistä kertoimista:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \partial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \partial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \partial^2_{ \nu \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \partial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \ sigma } \oikea) \ +

+ \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ - \ \Gamma^\lambda {} _{ \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right)\;.

Tämän tensorin symmetria:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ R_{ \rho \sigma \mu \nu }\;,

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{ \nu \mu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;.

Se täyttää myös seuraavan suhteen:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ + \ R_{ \mu \sigma \nu \rho } \ + \ R_{ \mu \rho \sigma \nu } \ = \ 0.

Ricci kaarevuustensori

Ricci - tensori on valenssitensori 2, jonka määrittääRiemannin kaarevuustensorin konvoluutio

R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma } \ R_{\rho \mu \sigma \nu} \ = \ R^\sigma_{~ \mu \sigma \nu} \; .

Sen komponentit nimenomaisesti Christoffel-symbolien kautta:

R_{\mu \nu} \ = \ \partial_{\rho } \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu} \ - \ \partial_{\nu} \Gamma^{\rho } {} _{\mu \rho } \ + \ \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu } \Gamma^{\sigma } {}_{\rho \sigma } \ - \ \Gamma^{\ sigma} {}_{\mu \rho}\Gamma^{\rho} {}_{\nu \sigma} \; .

Tämä tensori on symmetrinen: . $R_{\mu\nu} \ = \ R_{\nu \mu} \$

Skalaarikaarevuus

Skalaarikaarevuus on invariantti, jonka määrittää Ricci-tensorin konvoluutio metriikan kanssa

R \ = \ g^{\mu \nu} \ R_{\mu \nu} \ = \ R^\nu_{~ \nu}.

Einsteinin yhtälöt

Gravitaatiokenttäyhtälöt, joita kutsutaan Einsteinin yhtälöiksi , kirjoitetaan muodossa

R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu},

tai niin

G_{\mu \nu }\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4))}\ T_{\mu \nu },

missä on kosmologinen vakio , on valon nopeus tyhjiössä, on gravitaatiovakio , joka esiintyy myös Newtonin yleisen gravitaatiolaissa, on Einsteinin tensori ja on energiamäärän tensori . $\lambda$ $c$ $G$ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2))\,g_{\mu \nu }\,R$ $T_{\mu\nu}$

Symmetrisellä tensorilla on vain 10 itsenäistä komponenttia, Einsteinin tensoriyhtälö tietyssä koordinaattijärjestelmässä vastaa 10 skalaariyhtälön järjestelmää. Tämä 10 kytketyn epälineaarisen osittaisdifferentiaaliyhtälön järjestelmä on useimmissa tapauksissa erittäin vaikea oppia. $g_{\mu\nu}$

Energia-momenttitensori

Energia-momenttitensori voidaan kirjoittaa todelliseksi 4x4 symmetriseksi matriisiksi:

T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_ {12} & T_{13} \\ T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix}\right).

Se sisältää seuraavat fyysiset määrät:

T 00 - tilavuusenergiatiheys . Sen on oltava positiivista .
T 10 , T 20 , T 30 ovat liikemääräkomponenttien tiheydet .
T 01 , T 02 , T 03 ovat energiavirran komponentteja .
3 x 3 puhtaasti tilakomponenttien alimatriisi:

T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31 } & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right)

on impulssivirtojen matriisi . Nestemekaniikassa diagonaaliset komponentit vastaavat painetta ja muut komponentit viskositeetin aiheuttamia tangentiaalivoimia (jännitykset tai vanhan terminologian mukaan jännitykset) .

Lepotilassa olevan nesteen energia-momenttitensori pienenee diagonaalimatriisiksi , jossa on massatiheys ja hydrostaattinen paine. ${\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)$ ${\rho}$ $s$

Muistiinpanot

↑ 1 2 C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler ; Gravitation , Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0 . tai C. MIZNER, C. THORNE, J. WHEELER. PAINOVAISUUS. osa I-III. M. Mir, 1977.
↑ Seuraavassa emme kirjoita kaikkialle indeksiä 4, joka määrittää jakotukin "M" mittasuhteen.
↑ Tarkemmin sanottuna niiden on oltava vähintään luokkaa C².
↑ Varoitus, Christoffel-symbolit eivät ole tensoreita.
↑ Sana "symmetrinen" on lainausmerkeissä, koska nämä indeksit eivät alkuperänsä vuoksi ole tensoreita.

Painovoiman teoriat

Vakiopainovoimateoriat

Vaihtoehtoiset painovoimateoriat

Painovoiman kvanttiteoriat

Yhtenäiset kenttäteoriat

klassinen fysiikka

Newtonin painovoimateoria

Relativistinen fysiikka

Yleinen suhteellisuusteoria
- Matemaattinen muotoilu
- Hamiltonin muotoilu

periaatteet

Klassikko

Relativistinen

Moniulotteinen

jouset

muu

Poikkeuksellisen yksinkertainen teoria kaikesta