Geometria (Descartes)

Geometria

Nimilehti
yleistä tietoa
Tekijä Rene Descartes
Tyyppi kirjallinen teos
Genre essee
Alkuperäinen versio
Nimi fr.  Geometria
Kieli Ranskan kieli
Julkaisupaikka Leiden
Julkaisuvuosi 1637
Sivut 106
venäläinen versio
Tulkki A. P. Juskevitš
Kommentoija A. P. Juskevitš
Julkaisupaikka M.-L.
kustantamo Gostekhizdat
Julkaisuvuosi 1938
Sivut 297

"Geometria" ( fr.  La Géométrie ) on René Descartesin teos , joka julkaistiin Leidenissä (Hollanti) vuonna 1637 kolmantena liitteenä Descartesin filosofiseen tutkielmaan " Discourse on Method ". Sivumäärä: 106. Tekijän nimeä ei mainittu ensimmäisessä painoksessa. Tämä on Descartesin ainoa teos, joka on omistettu kokonaan matematiikalle; Tekijä piti sitä esimerkkinä yleisten menetelmiensä soveltamisesta. Vuoden 1637 jälkeen Geometry julkaistiin erikseen Discourse on Methodista [1] .

Descartesin "geometriasta" tuli käännekohta uuden matematiikan kehityksessä; se oli hakuteos 1600-luvun suurimmille matemaatikoille. Sen tärkein arvo oli, että kirja sisälsi esittelyn uudesta matematiikan osasta - analyyttinen geometria , joka mahdollisti geometristen ongelmien kääntämisen algebralliseen kieleen koordinaattijärjestelmän avulla ja yksinkertaisti siten huomattavasti niiden tutkimista ja ratkaisemista. Lisäksi Descartes käytti kätevää matemaattista symboliikkaa geometriassa , joka siitä hetkestä lähtien tuli yleisesti hyväksytyksi tieteessä. Lopuksi "geometria" aloitti prosessin, jolla matemaatikoiden huomio siirrettiin numeeristen arvojen tutkimisesta niiden välisten suhteiden tutkimukseen - nykyaikaisessa terminologiassa funktiot [2] .

"Geometriassa" suoritetut vallankumoukselliset matematiikan muutokset antoivat Descartesille mahdollisuuden ratkaista useita ongelmia, joihin vanhoilla menetelmillä ei ollut pääsyä. Karteesinen lähestymistapa toimi perustana Newtonin ja Leibnizin matemaattisen analyysin kehitykselle 1600-luvun loppuun mennessä .

Tausta

Tietyssä mielessä voidaan sanoa, että Descartes käänsi algebran ja geometrian prioriteetit ja korjasi muinaisten kreikkalaisten matemaatikoiden strategisen virheen . 5 -luvulla eKr e. matematiikan perusteiden ensimmäinen kriisi puhkesi [3] - pythagoralaiset havaitsivat, että neliön lävistäjä ei ole verrannollinen sen kylkeen, eli niiden suhdetta ( ) ei voida ilmaista luonnollisella luvulla tai murtoluvulla . Muinaiset matemaatikot eivät kuitenkaan tunnistaneet muita numeerisia kohteita, paitsi luonnollisia lukuja, he eivät pitäneet murto-osaa lukuna, vaan suhdelukuna ( osuus ). Hän onnistui löytämään tien ulos 4. vuosisadalla eKr. e. Eudoxus of Cnidus - hän esitteli numeroiden ohella geometristen suureiden (pituudet, pinta-alat, tilavuudet) käsitteen. Homogeenisille suureille määriteltiin numeeristen operaatioiden kaltaisia ​​aritmeettisia operaatioita . Eudoxuksen teoriaa esitti Eukleides Principian viidennessä kirjassa , ja sitä käytettiin Euroopassa 1600-luvulle asti. Euklides joutui todistamaan uudelleen lukulauseet suureille erikseen, ja suureiden aritmetiikka oli paljon huonompi kuin numeerinen aritmetiikka, jo pelkästään siksi, että se koski vain homogeenisia suureita [4] [5] .

Nykyaikana kävi selväksi, että numeerisen algebran rakentaminen geometrian perusteella oli virhe. Esimerkiksi geometrian näkökulmasta lausekkeilla ja ei ollut edes geometristä tulkintaa ( tulosarvon fyysistä ulottuvuutta ei määritelty) ja siksi niillä ei ollut järkeä; sama koskee negatiivisia lukuja [6] .

Descartes valitsi toisen polun - sen sijaan, että hän pelkisti algebran geometriaksi, hän pelkisti geometrian algebraksi, ja tämä polku osoittautui paljon hedelmällisemmäksi. Tämän mahdollistamiseksi Descartes laajensi luvun käsitettä - se absorboi kaikki reaaliluvut , mukaan lukien irrationaalit , ja on abstrakti , eli erotettu geometriasta [7] . Erillinen geometrisen suuren käsite tulee silloin tarpeettomaksi. Geometrian algebrointi mahdollisti myös geometristen tehtävien yhteisten piirteiden löytämisen, jotka näyttivät olevan täysin riippumattomia [8] [9] .

Yhdessä François Vietan symbolisen algebran ja siihen aikaan hyvin kehittyneen algebrallisen merkintäjärjestelmän kanssa (jonka kehittämiseen Descartes itse osallistui) tämä innovaatio mahdollisti ennennäkemättömän syvyys- ja yleisluontoisten matemaattisten tutkimusten suorittamisen. . Ensimmäistä kertaa Descartes esitti suunnitelman tällaiselle matematiikan uudistukselle 26. maaliskuuta 1619 kirjeessään hollantilaiselle matemaatikolle Isaac Beckmannille . Lisämateriaalia Descartes sai optiikan opintojensa aikana [10] .

Edeltäjät

Descartes ei käytännössä viittaa muiden geometrian tutkijoiden töihin, mikä antoi Wallisille ja useille muille matemaatikoille syyn syyttää häntä muiden algebraistien, erityisesti Harriotin ja Girardin , ideoiden plagioinnista . Descartes rakensi kuitenkin myös toisen tutkielmansa, Dioptriat, ikään kuin kukaan ei olisi opiskellut matemaattista optiikkaa ennen häntä [11] [12] .

Kiistaton vaikutus Descartesiin oli François Viète , symbolisen algebran perustaja. Kuten edellä mainittiin, Descartes alkoi kehittää uudistuksensa pääajatuksia jo vuonna 1619, niin että hän on ohjelmansa keskeisissä kohdissa täysin itsenäinen. Tämän vahvistaa myös hänen laaja kirjeenvaihto. Girard ennen kuin Descartes muotoili algebran peruslauseen (1629), ja Harriot oli ensimmäinen, joka tutki polynomin hajoamista lineaarisiin tekijöihin (1631). Descartes ei käyttänyt Girardin ja Herriotin matemaattista symboliikkaa ja tutustui Harriotin kirjaan Geometrian julkaisun jälkeen. Descartes oli aktiivisesti kirjeenvaihdossa Pierre Fermat'n kanssa , joka voi myös vaatia kunniaa analyyttisen geometrian löytämisestä, mutta Fermatin vaikutus ei näy Descartesin kirjoituksissa. Yksikään edeltäjistä ei ehdottanut niin radikaalia matematiikan uudistusta kuin Descartes [13] [14] .

Descartesin lähestymistavan ideologiset piirteet

Universaali menetelmä ongelmien ratkaisemiseen

Huolimatta analyyttisen geometrian luomisen tärkeydestä, Descartes halusi saavuttaa Geometrian julkaisemisella paljon laajemman tavoitteen - antaa yleisimmän menetelmän matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen. Tämän yleisen (kuten hän uskoi) menetelmän Descartes esittää seuraavasti. Suurin osa matemaattisista ongelmista voidaan viime kädessä pelkistää algebrallisiksi yhtälöiksi tai tällaisten yhtälöiden järjestelmäksi . Siksi ongelman ratkaisu on yksinkertaisesti näiden yhtälöiden juurten laskeminen . Jos ongelmaa ratkaistaessa ei esiinny algebrallisia, vaan muita ( transsendentaalisia ) yhtälöitä, niin heille, Descartes uskoi, ei ole yleistä ratkaisumenetelmää. Varsinaiseen juurien laskemiseen Descartes käyttää graafista menetelmää - juuret saadaan suorien, ympyröiden ja muiden algebrallisten käyrien leikkauspisteinä [15] . Descartes tiesi, että kahden asteen käyrän rakentaminen mahdollistaa joidenkin asteyhtälöiden ratkaisemisen [16] .

Esimerkiksi yhtälön ratkaisemiseksi:

Descartes edusti sitä järjestelmänä:

Ensimmäinen yhtälö antaa paraabelin tasolle (x, z) , toinen antaa ympyrän , ja jäljellä on löytää niiden leikkauspisteet. Descartes osoitti, että viidennen ja kuudennen kertaluvun yhtälöitä on mahdollista ratkaista analogisilla menetelmillä, joille ei ole olemassa Cardanon kaavan kaltaisia ​​algebrallisia kaavoja [17] .

Kaikki yhtälöön sisältyvät lausekkeet, Descartes siirretään vasemmalle puolelle niin, että oikea puoli on aina nolla; tämä tekniikka rajoitti tutkimuksen etsimään vasemman puolen polynomin juuret ja tutkimaan näiden juurien yhteyttä yhtälön kertoimiin [16] .

Lukukäsitteen yleistäminen

Kuten yllä näkyy, Descartes, toisin kuin muinaiset kirjailijat, yhdisti numerot ja geometriset suureet. Samaan aikaan hän erotti kolme tyyppiä lukuja: kokonaisluku , murtoluku ja irrationaalinen ( latinaksi  surdus , kirjaimellisesti: "kuuro"); Descartes ei tehnyt merkittäviä eroja niiden välillä, koska jatkuvien käyrien ja niiden algebrallisten kuvien tutkiminen on ristiriidassa Pythagoraan rationaalilukujen rajoituksen kanssa [18] . Descartes otti myös askeleen kohti negatiivisten lukujen laillistamista kuvaamalla niitä positiivisten lukujen vastakkaisina segmentteinä. Vaikka perinteen mukaan Descartes kutsui negatiivisia juuria edelleen "vääriksi", hän yhdisti ne jo "oikeisiin", eli positiivisiin, yleiseen "todellisten juurien" kategoriaan - asettaen ne vastakkain kuvitteellisten ( monimutkaisten ) juurien kanssa [19] .

Descartesin uudistus tarkoitti kokonais-, murto- ja irrationaalilukujen "oikeuksien tasa-arvoa". Tämän pitkän aikavälin prosessin viimeisteli Newton , joka teoksessa " Universal Aithmetic " (1707) antoi klassisen reaaliluvun määritelmän mittaustuloksen suhteeksi yksikköstandardiin [19] [20] :

Numerolla emme ymmärrä niinkään yksikköjoukkoa kuin jonkin suuren abstraktia suhdetta toiseen samanlaiseen suureen, joka otetaan yksikkönä.

Alkuperäinen teksti  (lat.)[ näytäpiilottaa] Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur ratioem intelligimus.

Analyyttinen geometria

Historioitsijat löysivät koordinaattimenetelmän alun Apolloniuksen Pergalaisen ( 3. vuosisadalla eKr .) "kartioleikkauksista". Descartes kehitti analyyttisen geometrian perusideat viimeistään vuonna 1632. Toinen erinomainen ranskalainen matemaatikko Pierre Fermat kehitti geometristen ominaisuuksien muotoilemisen algebrallisella kielellä samanaikaisesti Descartesin kanssa , mutta hänen töitään ei julkaistu kirjailijan elinaikana. Fermatin lähestymistapa oli samanlainen kuin karteesinen, vaikkakin heikompi kuin jälkimmäinen selkeyden ja esityksen syvyyden suhteen [21] .

Descartesin koordinaattijärjestelmä oli hieman erilainen kuin nykyinen. Descartes kiinnittää koordinaattien origon ja positiivisen koordinaattiakselin tasoon (hän ​​piti vain positiivisia koordinaatteja ja hänen ordinaattinen akselinsa on vaakasuora), projisoi sitten tälle akselille, kohtisuoraan tai eri kiinteässä kulmassa , tutkittavan käyrän pisteet , itse asiassa saamalla toisen koordinaatin ( abskissa ) ulkonevan segmentin pituudeksi. Lisäksi Descartes johtaa tälle käyrälle suhteen, joka yhdistää abskissat ja ordinaatit ( käyräyhtälö ). Sen jälkeen mikä tahansa geometrinen väite tietystä käyrästä voidaan johtaa puhtaasti algebrallisesti käyrän yhtälöstä ilman, että vedotaan piirustuksiin. Muinaista perinnettä kunnioittaen Descartes antaa kuitenkin yleensä geometrisen tulkinnan yhtälöistään. Huomaa, että termit abskissa, ordinaatta, koordinaatti nykyisessä merkityksessä ilmaantuivat paljon myöhemmin Leibnizin kanssa, ja toisen koordinaattiakselin esitteli ensimmäisenä Descartes Claude Rabuelin kommentaattori ( Claude Rabuel , 1669-1728) Geometrian täydennysosassa, joka julkaistiin postuumisti ( 1730) [22] [23] [24] [25] .

Descartes jakoi kaikki jatkuvat käyrät geometrisiin ja mekaanisiin ; edelliset eroavat siinä, että ne voidaan kuvata algebrallisella yhtälöllä . Mekaaniset käyrät, kuten spiraalit tai nelikulmat , jätettiin Descartesin tutkimuksen ulkopuolelle. Hän suoritti kaikkien aikojen ensimmäisen eriasteisten tasoalgebrallisten käyrien luokituksen, jonka myöhemmin korjasi ja täydensi Newton [21] . Descartes tiesi selvästi, että hänen algebrointinsa oli täynnä piilotettua vaaraa - kun tehdään johtopäätöksiä koordinaattikaavasta, on periaatteessa tarpeen tarkistaa joka kerta, että nämä johtopäätökset eivät riipu koordinaattijärjestelmän valinnasta eivätkä ole sattumanvarainen seuraus jonkin nykyisen koordinaattijärjestelmän piirteestä . Descartesin päättely tästä aiheesta loi perustan invarianttien teorialle [9] .

Descartesin merkintä

Descartesin myötä algebrallinen symboliikka sai lähes modernin ilmeen; "Geometria" on historian ensimmäinen kirja, kaavat, jotka nykyaikainen lukija havaitsee vaivattomasti. Descartes ehdotti aakkosten alkukirjaimien käyttöä tunnetuille parametreille : ja tuntemattomille parametreille viimeisiä kirjaimia: Descartes käytti samaa kolmiosaa koordinaattisymboleina kaavioita piirtäessään ; Descartes itse kuitenkin rajoittui tasaisiin käyriin, tilakoordinaattien aktiivinen käyttö alkoi myöhemmin kuin Clairaut [26] [7] .

Descartes muodosti modernin eksponentiomerkinnän , esimerkiksi: eksponentti on muuttujan symbolin oikealla ja yläpuolella . Vuosisadan loppua kohti Newton laajensi tämän merkinnän murto- ja negatiivisiksi eksponenteiksi. F. Cajori luonnehtii karteesista asteiden merkintää menestyneimmäksi ja joustavimmaksi symboliikaksi koko algebrassa - se on yksinkertainen, kompakti ja selkeä, helpottaa muunnoksia ja, mikä osoittautui erityisen tärkeäksi seuraavaksi, se stimuloi asteen laajenemista. käsite eksponentioinnista negatiivisiin, murtolukuihin ja jopa monimutkaisiin eksponenteihin sekä potenssi- ja eksponentiaalifunktion esiintyminen matematiikassa ; kaikkia näitä saavutuksia olisi ollut vaikea saavuttaa käyttämällä 1500-luvun nimityksiä [27] .

Seuraavat tutkijasukupolvet omaksuivat Descartesin algebrallisen symboliikan melkein kokonaan, vain epätavallinen karteesinen yhtäläisyysmerkki korvattiin onnistuneemmalla Robert Recordin symbolilla . Lisäksi poistettiin kertoimia koskevat rajoitukset, joita Descartes piti aina ei-negatiivisina, ja poikkeukset tästä säännöstä heijastettiin erityisellä merkillä [28] . Hollantilainen matemaatikko Johann Hudde salli jo vuonna 1657 kirjaimellisten muuttujien ottaa minkä tahansa merkin arvoja [29] . Newtonin monografia " Universal Aithmetic " (1707) käyttää Descartesin merkintää ja Recordin yhtäläisyysmerkkiä. Algebrallisen merkinnän yhdistäminen valmistui periaatteessa 1600-luvun loppuun mennessä [28] .

Sisältö

"Geometria" on jaettu kolmeen osaan (kirjat). Kirjoittajan lausuntoihin ei yleensä liity tiukkoja todisteita, vaan niitä havainnollistetaan lukuisilla esimerkeillä [16] .

Ensimmäinen kirja: "Ongelmista, jotka voidaan rakentaa käyttämällä vain ympyröitä ja suoria viivoja" . Jo ensimmäisessä luvussa kirjoittaja julistaa: "Kaikki geometrian ongelmat voidaan helposti pelkistää sellaisiksi termeiksi, että niiden rakentamiseksi on silloin tarpeen tietää vain joidenkin suorien pituus." Descartes kuvaa aritmeettisten operaatioiden ja niitä vastaavien geometristen rakenteiden vastaavuutta, tutustuttaa lukijan merkintäjärjestelmäänsä. Lisäksi hän antaa menetelmän yhtälöiden muodostamiseen ratkaistavaan ongelmaan - sinun tarvitsee vain kirjoittaa relaatiotehtävän ehtoon olevat tiedot kaavoilla ja etsiä sitten ratkaisu saatuihin yhtälöihin [30] .

Esimerkkinä menetelmänsä tehokkuudesta Descartes tarkasteli ja ratkaisi Pappuksen klassisen ongelman (tutkielma Pappus "Mathematical Collection", kirja VII): tasossa oleville viivoille on löydettävä tällaisten pisteiden sijainti. jolla näistä pisteistä samoissa kulmissa oleviin viivoihin vedettyjen segmenttien pituuksien tulolla on tietty suhde jäljellä oleviin suoriin vedettyjen segmenttien pituuksien samanlaiseen tuloon. Papp päätti, että haluttu lokus on kartioleikkaus , mutta ei antanut täydellistä todistetta; Descartes ei käsitellyt vain yleistä tapausta, vaan myös erityistilanteita (hän ​​on sijoittanut osan tutkimuksesta toiseen kirjaan) [22] [23] [31] .

Toinen kirja: "Kiertoviivojen luonteesta" . Tämä kirja on omistettu algebran sovelluksille geometriassa. Tässä Descartes esitti yleisen menetelmän algebrallisten käyrien normaalien ja tangenttien piirtämiseksi , jota hän sitten sovelsi tiettyihin optiikkaongelmiin . Differentiaalilaskua ei ole vielä luotu, ja Descartes käyttää epämääräisten kertoimien menetelmää , jota havainnollistetaan esimerkkinä ellipsistä , Dioklesin cissoidista ja ovaalista [32] . Kun Pierre Fermat kertoi Descartesille differentiaalisesta tangenttien piirtämismenetelmästään, yksinkertaisemmasta ja käytännöllisemmästä, hän hylkäsi sen algebran rajojen ylittävänä, vaikka hän itse käytti sykloidin ja logaritmisen spiraalin tutkimuksessa menetelmiä, jotka eivät sovi yhteen. karteesiseen ideologiaan (esimerkiksi jakamattomien menetelmään ) [33] [34] .

Descartes ilmaisi tässä luvussa pessimismin mahdollisuudesta laskea mielivaltaisen käyrän kaaren pituus ("käyrän suoristaminen ", kuten silloin sanottiin): hänen mielestään " suorien ja käyrien välinen suhde on tuntematon ja ajatella, sitä ei voi edes tuntea ihmiset ” [35 ] [36] Tuolloin ei tosiaankaan pystytty suoristamaan yhtäkään käyrää, paitsi ympyrä . Pessimismi osoittautui perusteettomaksi - kaksikymmentä vuotta myöhemmin (vuonna 1657) William Neil suoritti Neilin paraabelin korjauksen , ja vuotta myöhemmin Wren löysi ei-algebrallisen sykloidin kaaren pituuden . Lisäksi matemaattinen analyysi loi yleisen teorian kaaren pituuden löytämiseksi, jota käytettiin välittömästi monenlaisiin käyriin [37] .

Toisen osan lopussa Descartes kirjoittaa: "Uskon nyt, että minulta ei ole jäänyt paitsi mitään, mikä on välttämätöntä kaarevien viivojen tuntemiseen." Itse asiassa analyyttisen geometrian avaamat rajattomat mahdollisuudet olivat vasta alkua uuden geometrian vaikuttavalle kehitykselle [23] .

Kolmas kirja: "Kehollisten tai ylitsepääsevien ruumiillisten tehtävien rakentamisesta" . Kolmannessa kirjassa Descartes hahmotteli tällä ajanjaksolla kertyneet algebran peruslauseet ja yhtälöiden ratkaisumenetelmät, jotka hän yhdisti yhdeksi järjestelmäksi kätevällä yleisellä symboliikalla ja terminologialla. Erityisesti hän muotoili algebran peruslauseen : yhtälöllä voi olla niin monta eri juuria kuin sen aste (Descartes kutsui kompleksisia juuria "imaginaarisiksi" ja kiinnitti niihin vain vähän huomiota) [38] .

Seuraavat ovat (ilman todisteita) Descartesin merkkisääntö positiivisten ja negatiivisten juurien lukumäärän määrittämiseksi polynomin kertoimista ( Lagrange todisti sen tiukasti vasta 1700-luvulla ), sekä säännöt reaalisen sijainnin määrittämiseksi. juuret todellisella akselilla . Sata vuotta edellä Etienne Bezoutia Descartes osoitti, että jos on polynomin juuri , niin tällä polynomilla on tekijä , eli se voidaan esittää muodossa . Descartes pelkistää kulman kolmiosaisen ongelman kuutioyhtälöksi ja ratkaisee sen tavallisella menetelmällään kartioleikkauksia käyttäen [38] .

Descartes ilmaisi mielipiteen, että kolmannen ja korkeamman asteen yhtälöitä ei voida yleisesti ottaen ratkaista kompassilla ja suoraviivalla ; toisin sanoen yleistä kuutioyhtälöä ei voida ratkaista käyttämällä vain neliöjuuria (eikä kuutiojuuria ). Tämä väite osoittautui todeksi, vaikka kirjoittajan perustelut tästä aiheesta eivät ole vakuuttavia eikä niillä ole todistusvoimaa. Mutta Descartes huomautti aivan oikein, että kokonaislukukertoimilla ja johtavalla kertoimella 1 varustetun kuutioyhtälön ratkaisu kompassin ja suoraviivan avulla on mahdollista, jos tällä yhtälöllä on todellinen juuri (joka tietysti on kokonaisluku ). Descartes ratkaisi myös tyhjentävästi samanlaisen kysymyksen 4. asteen yhtälölle rakentamalla sen 3. asteen resolventti [39] [40] .

Historiallinen vaikutus

"Geometrian" päätteeksi Descartes huomautti vitsillä [41] :

Ja toivon, että jälkeläisemme ovat minulle kiitollisia, ei vain siitä, mitä olen täällä selittänyt, vaan myös siitä, mitä olen vapaaehtoisesti jättänyt pois, jotta he voivat löytää sen itse.

Itse asiassa Descartesin työ, varsinkin hänen latinankielisen käännöksensä (1649, Frans van Schoten ) julkaisun jälkeen, sai välittömästi lukuisia kannattajia ja aiheutti monia julkaisuja, joiden kirjoittajat seurasivat Descartesin osoittamaa polkua ja kehittivät aktiivisesti hänen ideoitaan. "Geometria" kesti neljä uusintapainosta Hollannissa ja Saksassa 1600-luvulla. Jokaisen uuden painoksen myötä Descartesin teksti kasvoi laajoilla lisäyksillä ja vaikeiden paikkojen selvennyksellä; jo toinen painos vei kaksi osaa [1] . Descartes itse "geometrian" jälkeen siirtyi jossain määrin pois matematiikasta ja piti parempana metafyysisen luonnonfilosofian kehittämistä (vaikkakin kirjeissä ystäville hän antoi ratkaisun moniin ongelmiin) [33] .

Descartesin ensimmäisiä ideologisia kannattajia olivat van Schoten , Erasmus Bartholin , Johann Hudde , Florimond de Beaune . John Wallisiin (1655) vaikutti epäilemättä Descartes , joka julkaisi tutkielman merkittävällä otsikolla "Yleinen matematiikka tai täydellinen aritmetiikkakurssi" ( Mathesis universalis sive arithmeticum opus integrum , 1657), josta myöhemmin tehtiin tutkielma Algebrasta (1685) . Wallis laajensi algebroinnin jakamattomien menetelmään (aiemmin puhtaasti geometriseen) ja lähestyi integraalilaskua [42] .

Isaac Newton luki nuoruudessaan Descartesin "Geometriaa" ja jopa asetti sen Eukleideen " Alkujen " yläpuolelle . Newtonin " Universaalisessa aritmetiikassa " (1707) algebran erottaminen geometriasta tapahtui lopullisesti [38] [43] [44] . Kuten historioitsija Carl Boyer totesi, Gottfried Leibniz matki varhaisissa analyysijulkaisuissaan , tietoisesti tai ei, karteesisen geometrian tyyliä [45] ; Yhdessä kirjeessään Leibniz nimeää Galileon , Descartesin ja Huygensin opettajiksi [46] .

Vaikka matemaattisen analyysin luominen 1600-luvun lopulla vähensi Descartesin opinnäytetyötä algebrallisen lähestymistavan universaalisuudesta, tämän opinnäytetyön laajentaminen uudelle, analyyttiselle pohjalle säilytti kaiken sen parhaan, mitä Descartesin uraauurtavassa työssä oli. on mahdollista soveltaa menestyksekkäästi uutta matematiikkaa monissa luonnontieteissä [47] .

Julkaisut

Ensimmäiset painokset

Verkkoteksti

Venäjänkielinen käännös

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 Matematiikan historia, II osa, 1970 , s. kolmekymmentä.
  2. ↑ Yushkevich A.P. Descartes ja matematiikka, 1938 , s. 257.
  3. ↑ Matvievskaya G.P. Lukuoppi keskiaikaisessa Lähi- ja Lähi-idässä. - Tashkent: FAN, 1967. - S. 28. - 344 s. Nimestä huolimatta kirja jäljittää lukukäsitteen historiaa vanhimmista ajoista lähtien.
  4. ↑ Kolmogorov A. N. Arvo // Matemaattinen tietosanakirja. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977. - T. 1.
  5. ↑ Matematiikan historia. Muinaisista ajoista uuden ajan alkuun // Matematiikan historia / Toimittanut A.P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M .: Nauka, 1970. - T. I. - S. 78.
  6. ↑ Bashmakova I. G. Luennot matematiikan historiasta antiikin Kreikassa // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nro 11 . - S. 309-323 .
  7. ↑ 1 2 Yushkevich A.P. Descartes ja matematiikka, 1938 , s. 279-282.
  8. ↑ Scott, JF René Descartesin tieteellinen työ. - New York: Garland, 1987. - ISBN 0824046722 .
  9. ↑ 12 Mac Tutor .
  10. ↑ XVI-XVII vuosisatojen algebran historiasta, 1979 , s. 147-148.
  11. ↑ XVI-XVII vuosisatojen algebran historiasta, 1979 , s. 143-144.
  12. ↑ Stillwell D. Matematiikka ja sen historia. - Moskova-Iževsk: Tietotekniikan tutkimuslaitos, 2004. - P. 127. - 530 s.
  13. ↑ Yushkevich A.P. Descartes ja matematiikka, 1938 , s. 205, 227, 290-292.
  14. ↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 211.
  15. ↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 33, 43.
  16. ↑ 1 2 3 Yushkevich A.P. Descartes ja matematiikka, 1938 , s. 281-282.
  17. ↑ Vileitner G., 1960 , s. 58.
  18. ↑ Yushkevich A.P. Descartes ja matematiikka, 1938 , s. 283.
  19. ↑ 1 2 Matematiikan historia, II osa, 1970 , s. 35-36.
  20. ↑ Yushkevich A.P. Descartes ja matematiikka, 1938 , s. 293.
  21. ↑ 1 2 Matematiikan historia, II osa, 1970 , s. 103-104.
  22. ↑ 1 2 Matematiikan historia, II osa, 1970 , s. 106-109.
  23. ↑ 1 2 3 Yushkevich A.P. Descartes ja matematiikka, 1938 , s. 287.
  24. ↑ Geometria, 1938 , s. 215.
  25. ↑ Vileitner G., 1960 , s. 232, 247.
  26. ↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 113.
  27. ↑ Matemaattisten merkintöjen historia, voi. 1, 2007 , §315.
  28. ↑ 1 2 Matematiikan historia, II osa, 1970 , s. 40-46.
  29. ↑ Matemaattisten merkintöjen historia, voi. 2, 2007 , §392.
  30. ↑ Geometria, 1938 , s. neljätoista.
  31. ↑ Vileitner G., 1960 , s. 216-218.
  32. ↑ Yushkevich A.P. Descartes ja matematiikka, 1938 , s. 285.
  33. ↑ 1 2 Yushkevich A.P. Descartes ja matematiikka, 1938 , s. 289.
  34. ↑ Vileitner G., 1960 , s. 218-221.
  35. ↑ Geometria, 1938 , s. 49.
  36. ^ Alkuperäinen ranskalainen lainaus : "la ratio, qui est entre les droites & les courbes n'estant pas connuë, & mesme eli croy ne le pouuant estre par les hommes", katso Descartes, René. Discours de la method ... - 1637. - S. 340.
  37. ↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 191-192.
  38. ↑ 1 2 3 Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 42-45.
  39. ↑ Rybnikov K. A. Matematiikan historia kahdessa osassa. - M .: Toim. Moskovan valtionyliopisto, 1960. - T. I. - S. 135.
  40. ↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 221-223.
  41. ↑ Geometria, 1938 , s. 113.
  42. ↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 228-230.
  43. ↑ Vileitner G., 1960 , s. 222-238.
  44. ↑ Stillwell D. Matematiikka ja sen historia. - Moskova-Iževsk: Tietotekniikan tutkimuslaitos, 2004. - S. 166. - 530 s.
  45. ↑ Boyer C. B. Calculuksen historia ja sen käsitteellinen kehitys. - Dover Publications, inc, 1949. - S. 207-208. — 346 s.
  46. ↑ Filippov M. M. Leibniz: Hänen elämänsä ja työnsä: sosiaalinen, tieteellinen ja filosofinen toiminta. III luku. - Pietari.  : toim. F. Pavlenkova. - 96 s. - ( ZhZL ; numero 129).
  47. ↑ Yushkevich A.P. Descartes ja matematiikka, 1938 , s. 292-293.

Kirjallisuus

Linkit