Kurzweil-Henstock integraali

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. kesäkuuta 2014 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 15 muokkausta .

Kurzweil-Henstock- integraali, Riemannnin integraalin yleistys , antaa sinun ratkaista täysin ongelman palauttaa differentioituva funktio sen derivaatasta . Riemannin integraali (mukaan lukien epäsopiva integraali ) eikä Lebesguen integraali eivät anna ratkaisua tähän ongelmaan yleisessä tapauksessa.

Historia

Ensimmäisen integraalin määritelmän, joka mahdollistaa ongelman ratkaisemisen yleisessä tapauksessa, antoi Arnaud Denjoy vuonna 1912. Hän yritti määritellä integraalin, joka mahdollistaisi esimerkiksi nollalla määritellyn funktion derivaatan integroinnin nollaan. Funktio on määritelty ja äärellinen kaikissa pisteissä, mutta ei Lebesgue integroitavissa nollan naapurustossa. Yrittääkseen luoda yleisen teorian Denjoy käytti transfiniittistä induktiota mahdollisille singulaarisuustyypeille, mikä teki määritelmästä melko monimutkaisen. Hieman myöhemmin Nikolai Luzin yksinkertaisti Denjoyn määritelmää, mutta yksinkertaistamisen jälkeenkin tämä määritelmä jäi teknisesti erittäin monimutkaiseksi. Vuonna 1914 Oscar Perron antoi integraalille erilaisen määritelmän, jonka avulla voidaan myös täysin ratkaista funktion palauttamisongelma sen derivaatasta. 10 vuoden kuluttua Pavel Aleksandrov ja Robert Loman loivat Denjoyn ja Perronin integraalit. $f(x)=x^{2}\cos \left({\frac {\pi }{x^{2))}\right)$ $\displaystyle f'(x)$

Vuonna 1957 tšekkiläinen matemaatikko Jaroslav Kurzweil ehdotti uutta integraalin määritelmää, joka myös mahdollisti funktion palauttamisen sen derivaatasta. Hänen määritelmänsä oli muunnos Riemannin integraalin määritelmästä. Tämän integraalin lisäteorian kehitti Ralph Henstock , hänen työnsä jälkeen rakenne tunnetaan Kurzweil-Henstock-integraalina . Tämä integraali on myös identtinen Denjoyn ja Perronin integraalien kanssa ja kattaa siten Lebesgue-integraalin yksiulotteisessa tapauksessa.

Henstock-Kurzweil-integraalin määritelmän yksinkertaisuuden vuoksi jotkut opettajat kannattavat sen sisällyttämistä matemaattisen analyysin alkukurssin ohjelmaan , mutta toistaiseksi tämä idea on toteutettu osittain vain Moskovan valtionyliopiston mekaniikan ja matematiikan osastoilla. ja Saratovin osavaltion yliopisto .

Määritelmä

Kurzweil-Henstock-integraalin määrittelemiseksi otetaan käyttöön useita välikäsitteitä:

kalibrointifunktio (asteikko) on mielivaltainen funktio ; $\delta \colon [a,b]\to (0,\infty )$
janan merkitty osio on äärellinen parien joukko , jossa ja ; $P$ $[a,b]$ $\displaystyle (\xi _{k},[x_{k-1},x_{k}])$ $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b$ $\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]$
merkityn osion sanotaan olevan -ohut (yhdenmukainen kanssa ), jos kaikille alkaen - ; $P$ $\delta$ $\delta$ $\xi _{k}-\delta (\xi _{k})<x_{k-1}\leqslant \xi _{k}\leqslant x_{k}<\xi _{k}+\ delta(\xi _{k})$ $k$ $yksi$ $n$
merkityn osion ja funktion integraalisumma on lauseke: $P$ $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $S(P,f)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})f(\xi _{k})$ .

Funktion sanotaan olevan Kurzweil-Henstock-integraali väliin, jos on olemassa luku (kutsutaan funktion Kurzweil-Henstock-integraaliksi intervallilla ), jolla on seuraava ominaisuus: jokaiselle on olemassa mittarifunktio, joka on sellainen, että mille tahansa osiolle yhteensopiva merkityn osion kanssa . $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $[a,b]$ $minä$ $f$ $[a,b]$ $\varepsilon > 0$ $\delta _{\varepsilon }$ $\delta _{\varepsilon }$ $P$ $|S(P,f)-I|<\varepsilon$

Merkittyjen osioiden kanssa yhteensopivien osioiden olemassaolo tietylle mittarifunktiolle seuraa Cousinin lauseesta . $\delta$ $\delta$

Riemannin integraali on Kurzweil-Henstock-integraalin erikoistapaus, jonka määritelmässä sallitaan vain vakiomittausfunktiot.

Kirjallisuus

Lukashenko T. P., Skvortsov V. A., Solodov A. P. Yleiset integraalit 2010. 280 s. ISBN 978-5-397-00267-7

Linkit

Riemannin väärä integraali ja Henstockin integraali julkaisussa P. Maldonia, VA Skvortsov $R^{n}$ Mat. muistiinpanot, 2005, osa 78, numero 2, sivut 251-258
Yleistetyt integraalit ja Fourier-sarja IA Vinogradova, VA Skvortsov Itogi Nauki. Ser. Matematiikka. Matto. anaali. 1970, 1971, sivut 65-107

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista