Kvasisäännöllinen monitahoinen

Kvasisäännöllinen monitahoinen ( latinan sanoista quas (i) "kuin", "jotain vastaavaa" on puolisäännöllinen monitahoinen , jolla on täsmälleen kahdenlaisia säännöllisiä kasvoja , jotka seuraavat vuorotellen kunkin kärjen ympärillä. Nämä polytoopit ovat reunatransitiivisia [ , ja siksi ne ovat askeleen lähempänä säännöllisiä polytooppeja kuin puolisäännöllisiä polytooppeja, jotka ovat vain vertex-transitiivisia .

Lähes säännölliset luvut

(3.3) 2	(3.4) 2	(3.5) 2	(3.6) 2	(3.7) 2	(3.8) 2	(3.∞) 2
$\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 4 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 5 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 6 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 7 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 8 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ \infin \end{Bmatrix}$
r{3,3}	r{3,4}	r{3,5}	r{3,6}	r{3,7	r{3,8	r{3,∞}


Kvasisäännöllisillä monitahoisilla tai laatoilla on täsmälleen kahdenlaisia säännöllisiä pintoja, jotka on järjestetty vuorotellen kunkin kärjen ympärille. Niiden kärkimuodot ovat suorakulmioita .

On olemassa vain kaksi kuperaa kvasisäännöllistä monitahoa, kuutioktaedri ja ikosidodekaedri . Keplerin antamat monitahojen nimet ovat peräisin ymmärryksestä, että niiden pinnat sisältävät kaikki kuution ja oktaedrin kaksoisparin pinnat ja toisessa tapauksessa ikosaedrin ja dodekaedrin kaksoisparin pinnat .

Nämä muodot, joita edustaa pari (säännöllinen polytooppi ja sen duaali), voidaan antaa pystysuoralla Schläfli-symbolilla tai r{p, q} edustamaan sekä säännöllisen {p, q} että duaalin {q, p} pintaa. polytoopit. Tällä symbolilla varustetun kvasisäännöllisen polyhedronin kärkikonfiguraatio on [ pqpq (tai (pq) 2 ). $\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$

Yleisemmin kvasisäännöllisillä kuvioilla voi olla kärkikonfiguraatio (pq) r , joka edustaa r (2 tai useampia) erityyppisiä kasvoja kärjen ympärillä.

Tasossa olevat mosaiikit voivat olla myös lähes säännöllisiä, erityisesti kolmikulmainen laatoitus , jossa on kärkikonfiguraatio (3.6) 2 . Hyperbolisessa tasossa on muita kvasisäännöllisiä laatoitusta , kuten kolmipuolikulmainen laatoitus (3.7) 2 . Tämä sisältää (pq) 2 laatoitukset , joissa 1/p+1/q<1/2.

Joitakin säännöllisiä monitahoja ja laattoja (joissa on parillinen määrä kasvoja kussakin kärjessä) voidaan myös käsitellä näennäissäännöllisinä jakamalla pinnat kahteen ryhmään (ikään kuin olisimme maalannut ne eri väreillä). Säännöllinen luku, jossa on Schläfli-symboli {p, q}, voi olla kvasisäännöllinen ja sillä on kärkikonfiguraatio (pp) q/2 , jos q on parillinen.

Säännölliset ja lähes säännölliset luvut

Suorakulmaiset kolmiot (s. 2) [1]
{3,4} r{3,3}	{4,4} r{4,4}	{5,4} r{5,5}	{6,4} r{6,6}	{7,4} r{7,7}	{8,4} r{8,8}	{∞,4} r{∞,∞}
$\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 4 \\ 4 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 5 \\ 5 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 6 \\ 6 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 7 \\ 7 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 8 \\ 8 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} \infin \\ \infin \end{Bmatrix}$
(3.3) 2	(4.4) 2	(5.5 2	(6.6 2	(7.7 2	(8.8 2	(∞.∞) 2

	Neliönmuotoinen parketti	4. tilaus 5-kulmainen laatoitus	4. asteen kuusikulmainen laatoitus	Neljännen asteen 7-kulmainen laatoitus	4. asteen kahdeksankulmainen laatoitus	4. asteen ∞-kulmalaatoitus
Yleiset kolmiot (s. 3) [2]
{3,6}	{4,6	{5,6	{6,6	{7,6	{8,6	{∞,6}
(3.3) 3	(4.4) 3	(5.5) 3	(6.6) 3	(7.7) 3	(8.8) 3	(∞.∞) 3


Yleiset kolmiot (s. 4)
{3,8	{4,8	{5,8	{6,8	{7,8	{8,8	{∞,8
(3.3) 4	(4.4) 4	(5.5) 4	(6.6) 4	(7.7) 4	(8.8) 4	(∞.∞) 4


Säännöllistä monitahoista tai laatoitusta voidaan pitää lähes säännöllisenä, jos sen jokaisessa kärjessä on parillinen määrä pintoja (ja siksi se voidaan värjätä kahdella värillä niin, että vierekkäisillä pinnoilla on eri värit).

Oktaedria voidaan pitää kvasisäännöllisenä tetraedrina , (3 a .3 b ) 2 , jossa on vuorotellen värilliset kolmiomaiset pinnat. Samoin neliölaatoitusta (4 a .4 b ) 2 voidaan pitää lähes säännöllisenä, kun se on väritetty shakkilaudan tyyliin . Myös kolmiomaisen laatoituksen pinnat voidaan maalata kahdella vaihtoehtoisella värillä, (3 a .3 b ) 3 .

Wytoffin rakennus

Säännölliset ( p \| 2 q ) ja kvasisäännölliset polytoopit ( 2 \| pq ) saadaan Wythoff-konstruktiolla , jossa generaattoripiste on yhdessä perusalueen kolmesta kulmasta. Tämä määrittää yhden reunan perusalueen sisällä.

Coxeter määrittelee kvasisäännöllisen polytoopin polytooppiksi, jonka Wythoff-symboli on muotoa p | qr , ja se on oikein, jos q=2 tai q=r [3] .

Coxeter-Dynkin-kaaviot ovat toinen symbolisen esityksen muoto, jonka avulla voit näyttää kahden kaksoissäännöllisen muodon välisen suhteen:

Schläfli-symboli		Wythoff-symboli
$\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}$	{p, q}	q \| 2p
$\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}$	{q, p}	p \| 2 q
$\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	r{p, q}	2 \| pq

Kupera kvasisäännöllinen polyhedra

On olemassa kaksi kuperaa kvasisäännöllistä monitahoa:

Cuboctahedron , kärkikonfiguraatio (3.4) 2 , Coxeter-Dynkin-kaavio $\begin{Bmatrix} 3 \\ 4 \end{Bmatrix}$
Ikosidodekaedri , kärkikonfiguraatio (3.5) 2 , Coxeter-Dynkin-kaavio $\begin{Bmatrix} 3 \\ 5 \end{Bmatrix}$

Lisäksi oktaedria , joka on myös säännöllinen , ja jonka kärkikonfiguraatio (3.3) 2 , voidaan pitää kvasisäännöllisenä, jos vierekkäisille pinnoille annetaan eri värit. Tässä muodossa sitä kutsutaan joskus tetraedriksi. Muilla kuperilla säännöllisillä polytoopeilla on pariton määrä kasvoja kussakin kärjessä, eikä niitä voida värjätä siten, että reunat ovat transitiivisia. Tetraedrillä on Coxeter-Dynkin-kaavio $\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$ .

Jokainen niistä muodostaa säännöllisen monitahoisen kaksoisparin yhteisen ytimen . Näiden ytimien (kahden) nimet muistuttavat toisiinsa liittyviä kaksoispareja, vastaavasti kuutio + oktaedri ja ikosaedri + dodekaedri . Oktaedri on tetraedrin kaksoisparin ydin , ja tällä tavalla valmistettuna sitä kutsutaan yleensä tetraedriksi .

Oikein	Kaksois oikein	Lähes oikein	Vertex figuuri
Tetraedri {3,3} 3 \| 2 3	Tetraedri {3,3} 3 \| 2 3	Tetratetraedri r{3,3} 2 \| 3 3	3.3.3.3
Kuutio {4,3} 3 \| 24	Oktaedri {3,4} 4 \| 2 3	Cuboctahedron r{3,4} 2 \| 3 4	3.4.3.4
Dodekaedri {5,3} 3 \| 25	Ikosaedri {3,5} 5 \| 2 3	Ikosidodekaedri r{3,4} 2 \| 3 5	3.5.3.5

Kukin näistä näennäissäännöllisistä monitahoista voidaan rakentaa katkaisemalla jompikumpi emosta kokonaan ja katkaisemalla reunat kokonaan, kunnes niistä tulee pisteitä.

Lähes tavalliset laatoitukset

Tätä sarjaa jatkaa kolmikulmainen laatoitus , jossa on kärkikuva 3.6.3.6 , lähes säännöllinen laatoitus , joka perustuu kolmiomaiseen laatoitukseen ja kuusikulmaiseen laatoitukseen .

säännöllinen monikulmio	Kaksois oikein	Lähes oikein	Vertex figuuri
kuusikulmainen laatoitus {6,3} 6 \| 2 3	kolmiolaatoitus { 3,6} 3 \| 26	kolmikulmainen laatoitus r{5,3} 2 \| 3 6	3.6.3.6

Shakkitaulukuvio on lähes säännöllinen neliön laatoituksen väritys kärkikappaleella 4.4.4.4 :

säännöllinen monikulmio	Kaksois oikein	Lähes oikein	Vertex figuuri
{4,4} 4 \| 24	{4,4} 4 \| 24	r{4,4} 2 \| 4 4	4.4.4.4

Kolmiomaista laatoitusta voidaan pitää myös näennäisenä säännöllisenä, jossa kussakin kärjessä on kolme sarjaa vuorottelevia kolmioita, (3.3) 3 :

h{6,3} 3 \| 3 3 =

Hyperbolisella tasolla ( Lobachevsky -taso ) tämä sarja jatkuu edelleen, esimerkiksi kolmikulmainen laatoitus , jossa on kärkikuva 3.7.3.7 , on kvasisäännöllinen laatoitus , joka perustuu 7. asteen kolmiolaatoitukseen ja seitsenkulmaiseen laatoitukseen .

säännöllinen monikulmio	Kaksois oikein	Lähes oikein	Vertex figuuri
Seitsenkulmainen laatoitus {7,3} 7 \| 2 3	Kolmion muotoinen parketti {3,7} 3 \| 27	Kolmikulmainen laatoitus [ r{3,7} 2 \| 3 7	3.7.3.7

Ei-kuperat esimerkit

Coxeter ym. (1954) luokitteli myös joitain tähtikuvioita , joilla on näennäissäännölliset ominaisuudet:

Nämä kaksi polyhedraa perustuvat säännöllisten Kepler-Poinsot-kiintoaineiden kaksoispareihin .

Suuri ikosidodekaedri ja dodekodekaedri : $\begin{Bmatrix} 3 \\ 5/2 \end{Bmatrix}$ $\begin{Bmatrix} 5 \\ 5/2 \end{Bmatrix}$

Oikein	Kaksois oikein	Lähes oikein	Vertex figuuri
Suuri tähtikuvioinen dodekaedri { 5 / 2,3 } 3 \| 2 5/2	Suuri ikosaedri { 3 , 5/2 } 5/2 \| 2 3	Suuri ikosidodekaedri r{ 3 , 5/2 } 2 \| 3 5/2	3,5 / 2,3 . _ 5/2 _ _
Pieni tähtikuvioinen dodekaedri { 5 / 2,5 } 5 \| 2 5/2	Suuri dodekaedri { 5 , 5/2 } 5/2 \| 25	Dodecodecahedron r{ 5 , 5/2 } 2 \| 5 5/2	5,5 / 2,5 . _ 5/2 _ _

Lopuksi on kolme bitrigonaalista -tyyppiä, joiden kärkikuviot sisältävät kolme vuorottelevaa kasvotyyppiä:

Kuva	Polyhedronin nimi Wythoff-symboli Coxeter- kaavio	Vertex figuuri
	Bitriangulaarinen dodekodekaedri [ 3 \| 5/3 5 tai	(5,5/3) 3
	Pieni bittikulmainen ikosidodekaedri [ 3 \| 5/2 3 tai	(3,5/2) 3
	Suuri kaksikulmainen ikosidodekaedri [ 3/2 \| 35 tai	((3.5) 3 )/2

Kvasisäännölliset duaalit

Jotkut kirjoittajat ilmaisevat näkemyksen, että koska kaksoispolyhedreillä kvasisäännöllisillä polyhedreillä on samat symmetriat, näitä kaksoiskappaleita tulisi myös pitää kvasisäännöllisinä, mutta kaikki matemaatikot eivät ole tätä mieltä. Nämä kaksoispolyhedrat ovat transitiivisia reunoihinsa ja pintoihinsa nähden (mutta eivät kärkiensä). Ne ovat reunatransitiivisia katalaanikiinteitä . Kuperat muodot polyhedronin järjestyksen mukaan (kuten yllä):

Rombinen dodekaedri , jossa on kaksi vuorottelevaa kärkeä, 8 kärkeä, joissa on 3 rombista pintaa, ja 6 pistettä, joissa on 4 rombista pintaa.
Rombotriakontaedri , jossa on kahden tyyppisiä vuorottelevia pisteitä, 20 kärkeä kolmella rombisella pinnalla ja 12 kärkeä viidellä rombisella pinnalla.

Lisäksi, koska kuutio on oktaedrin kaksois, säännöllinen kuutio voidaan tehdä kvasisäännölliseksi värittämällä sen kärjet kahdella värillä, jolloin saman reunan kärjet ovat erivärisiä.

Niiden kasvokonfiguraatio on muotoa V3.n.3.n ja Coxeter-Dynkin-kaavio


Kuutio V(3.3) 2	Rombikoodekaedri V(3.4) 2	Rhombotri- akontaedri V(3.5) 2	Rombinen laatoitus V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2

Näille kolmelle lähes säännölliselle kaksoispolyhedralle on ominaista rombisten pintojen läsnäolo.

Tämä rombinen pintarakenne jatkaa V(3.6) 2 , rombista laatoitusta .

Kvasisäännölliset polytoopit 4-ulotteisessa avaruudessa ja kvasisäännölliset hunajakennot

Euklidisessa 4-ulotteisessa avaruudessa säännöllistä hex -solua voidaan pitää kvasisäännöllisenä vuorottelevana tesseraktina , h{4,3,3}, Coxeter-Dynkin-kaaviot :=, joka koostuu vuorotellen tetraedrisistä ja tetraedrisistä soluista . Sen huippukuvio on kvasisäännöllinen tetraedri (oktaedri, jolla on tetraedrisymmetria),.

Ainoat näennäisesti säännölliset hunajakennot euklidisessa 3-avaruudessa ovat vuorottelevat kuutiometriset kennot , h{4,3,4}, Coxeter-Dynkin-kaavio:=, joka koostuu vuorotellen tetraedrisistä ja oktaedrisistä soluista . Niiden kärkiluvut ovat lähes säännöllisiä kuutioktaedreja , [4] .

Hyperbolisessa 3-ulotteisessa avaruudessa kvasisäännölliset hunajakennot ovat vuorottelevia kuutiokennoja 5. kertaluvun , h{4,3,5} Coxeter-Dynkin-kaavioissa:=koostuu vuorotellen tetraedrisistä ja ikosaedrisistä soluista . Huippukuvio on kvasisäännöllinen ikosidodekaedri ,. Niihin liittyvissä parakompakteissa kuudennen kertaluvun vuorottelevissa kuutiomaisissa hunajakennoissa , h{ 4,3,6 } on vuorottelevat tetraedriset ja kuusikulmaiset laatoitussolut, joiden kärkikuvio on kolmiheksagonaalinen laatoitus ..

Kvasisäännölliset polytoopit ja hunajakennot: h{4,p,q}

Avaruus	lopullinen	affiininen	kompakti	Parakompakti
Nimi	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
Nimi	$\left\{3,{3\atop3}\right\}$	$\left\{3,{3\atop4}\right\}$	$\left\{3,{3\atop5}\right\}$	$\left\{3,{3\atop6}\right\}$	$\left\{4,{3\atop4}\right\}$	$\left\{4,{4\atop4}\right\}$
Coxeterin kaavio


Kuva
Vertex- kuvio r{p,3}

Voit vähentää muodon {p,3,4} tai säännöllisten monitahoisten kennojen symmetriaaMitenja saat lähes oikean lomakkeen, luomalla vaihtoehtoisen värityksen {p,3} soluille. Tämä voidaan tehdä euklidisille kuutiokennoille {4,3,4}, joissa on kuutiosolut , kompakteille hyperbolisille kennille {5,3,4}, joissa on dodekaedriset solut , ja parakompakteille hunajakennoille {6,3,4}, joissa on äärelliset kuusikulmaiset laatoituskennot . . Niissä on neljä solua kunkin reunan ympärillä, vuorotellen maalattu kahdella värillä. Niiden kärkihahmot ovat kvasisäännöllisiä tetraedrejä,=.

Säännölliset ja kvasisäännölliset solut: {p,3,4} ja {p,3 1,1 }

Avaruus	Euklidinen 4-ulotteinen	Euklidinen 3-ulotteinen	Hyperbolinen 3-ulotteinen
Nimi	{3,3,4} {3,3 1,1 } = $\left\{3,{3\atop3}\right\}$	{4,3,4} {4,3 1,1 } = $\left\{4,{3\atop3}\right\}$	{5,3,4} {5,3 1,1 } = $\left\{5,{3\atop3}\right\}$	{6,3,4} {6,3 1,1 } = $\left\{6,{3\atop3}\right\}$
Coxeterin kaavio	=	=	=	=
Kuva
Solut {p,3}

Samalla tavalla voidaan puolittaa muotoa {p,3,6} tai säännöllisten hyperbolisten kennojen symmetria.Mitenja saat lähes oikean lomakkeen, jossa asetetaan {p,3} solujen vaihtoehtoinen väritys. Niissä on kuusi solua kunkin reunan ympärillä, vuorotellen maalattu kahdella värillä. Niiden huippukuviot ovat lähes säännöllisiä kolmion muotoisia tessellaatioita ,.

Hyperboliset yhtenäiset hunajakennot : {p,3,6} ja {p,3 [3] }

Näytä	Parakompakti				Ei-kompakti
Nimi	{3,3,6} {3,3 [3] }	{4,3,6} {4,3 [3] }	{5,3,6} {5,3 [3] }	{6,3,6} {6,3 [3] }	{7,3,6} {7,3 [3] }	{8,3,6} {8,3 [3] }	... {∞,3,6} {∞,3 [3] }

Kuva
soluja	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Peruspinta-ala suorakulmaisen kolmion muodossa
↑ Peruspinta-ala yleisen kolmion muodossa
↑ Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, 1954 , s. 401-450.
↑ Coxeter, 1973 , s. 69, 88.

Kirjallisuus

P. Cromwell. Polyhedra. - Yhdistynyt kuningaskunta: Cambridge University Press, 1997. - ISBN 0-521-55432-2 .
HSM Coxeter . Tavalliset polytoopit . – 3. painos. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 . (s. 17 Luku 2.3: Kvasisäännölliset polyhedrat, s. 69 Kvasisäännölliset hunajakennot s. 69
HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller. Uniform polyhedra // Lontoon kuninkaallisen seuran filosofiset tapahtumat. Sarja A. Matemaattiset ja fysiikan tieteet. - The Royal Society, 1954. - T. 246 , no. 916 . — S. 401–450 . — ISSN 0080-4614 . doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 . — . (Osa 7, Säännöllinen ja kvasisäännöllinen monitahoinen p | qr )

Linkit

Weisstein, Eric W. Quasiregular polyhedron (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Uniform polyhedron (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla . Kvasisäännöllinen polyhedra: (pq) r
George Hart, Quasiregular polyhedra Arkistoitu 2. syyskuuta 2013.

Oikein	Kaksois oikein	Lähes oikein	Vertex figuuri
Tetraedri {3,3} 3 \| 2 3	Tetraedri {3,3} 3 \| 2 3	Tetratetraedri r{3,3} 2 \| 3 3	3.3.3.3
Kuutio {4,3} 3 \| 24	Oktaedri {3,4} 4 \| 2 3	Cuboctahedron r{3,4} 2 \| 3 4	3.4.3.4
Dodekaedri {5,3} 3 \| 25	Ikosaedri {3,5} 5 \| 2 3	Ikosidodekaedri r{3,4} 2 \| 3 5	3.5.3.5