Chi-neliöjakauma

jakelu . Pearsonin jakelu $\chi ^{2}$
Todennäköisyystiheys
jakelutoiminto
Nimitys	$\chi ^{2}(k)$ tai ${\displaystyle \chi _{k}^{2))$
Vaihtoehdot	$k>0$ on vapausasteiden lukumäärä
Kuljettaja	$x\in [0;+\infty )$
Todennäköisyystiheys	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)))x^{k/2-1}e^{-x/2}$
jakelutoiminto	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)))$
Odotettu arvo	$k$
Mediaani	noin $k-2/3$
Muoti	0 jos $k<2,$ $k-2,$ $k\geq 2$
Dispersio	${\näyttötyyli 2\,k}$
Epäsymmetriakerroin	${\sqrt {8/k))$
Kurtoosikerroin	$12/k$
Differentiaalinen entropia	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!- \!{\frac {k}{2}}\oikea)\psi \left({\frac {k}{2}}\oikea)$ $\psi (x)=\Gamma '(x)/\Gamma (x).$
Hetkien funktion luominen	$(1-2\,t)^{-k/2}$ , jos $2\,t<1$
ominaista toimintoa	${\näyttötyyli (1-2\,i\,t)^{-k/2}}$

Jakauma (khi-neliö) vapausasteilla $\chi ^{2}$ $k$ - riippumattomien vakionormaalien satunnaismuuttujien neliösumman jakautuminen . $k$

Määritelmä

Olkoon yhdessä riippumattomia vakionormaalit satunnaismuuttujat, eli: . Sitten satunnaismuuttuja $z_{1},\ldots ,z_{k}$ $z_{i}\simN(0,1)$

x=z_{1}^{2}+\ldots +z_{k}^{2}

on khin-neliöjakauma vapausasteilla, eli , tai toisin kirjoitettuna: $k$ $x\sim f_{\chi ^{2}(k)}(x)$

x=\sum \limits _{i=1}^{k}z_{i}^{2}\sim \chi ^{2}(k)

Chi-neliöjakauma on gamma-jakauman erikoistapaus , ja sen tiheys on:

f_{\chi ^{2}(k)}(x)\equiv \Gamma \!\left({k \over 2},{2}\right)={\frac {(1/2) ^{k \over 2}}{\Gamma \!\left({k \over 2}\right)}}\,x^{{k \over 2}-1}\,e^{-{\frac {x}{2}}}

missä on gamma-jakauma ja gammafunktio . $\Gamma \!\left({k/2},2\right)$ $\Gamma \!\vasen({k/2}\oikea)$

Jakelufunktiolla on seuraava muoto:

F_{\chi ^{2}(k)}(x)={\frac {\gamma \left({k \over 2},{x \over 2}\right)}{\Gamma \left({k \yli 2}\oikea)}}

missä ja tarkoittavat täydellistä ja epätäydellistä gammafunktiota, vastaavasti. $\Gamma$ $\gamma$

Khin neliön jakauman ominaisuudet

Khin-neliöjakauma on vakaa summauksen suhteen . Jos ovat riippumattomia, ja , ja , sitten . $Y_{1},Y_{2}$ $Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})$ $Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$ $Y_{1}+Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})$

Määritelmästä on helppo saada khin-neliöjakauman momentit . Jos , niin $Y\sim \chi ^{2}(k)$

\mathbb {E} [Y]=k

\mathrm {D} [Y]=2k

Keskirajalauseen ansiosta suurella vapausasteiden määrällä satunnaismuuttujan jakauma voidaan approksimoida normaaliksi . Tarkemmin $Y\sim \chi ^{2}(k)$ $Y\noin N(k,2k)$

{\frac {Yk}{\sqrt {2k}}}\to N(0,1)

jakelulla osoitteessa .

k\to\infty

Suhde muihin jakeluihin

Jos itsenäiset normaalit satunnaismuuttujat eli: tunnetaan, niin satunnaismuuttuja $X_{1},\ldots,X_{k}$ $X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots ,k;\;\mu$

Y=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}

on jakelu . $\chi ^{2}(k)$

Jos , niin chi-neliöjakauma on sama kuin eksponentiaalinen jakauma : $k = 2$

\chi ^{2}(2)\equiv \mathrm {Exp} (1/2)

Jos , niin on Erlang-jakauma . $X\sim \chi ^{2}(2k)$ $X\sim \operaattorin nimi {Erlang} (k,1/2)$
Jos ja , niin satunnaismuuttuja $Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})$ $Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$

F={\frac {Y_{1}/k_{1}}{Y_{2}/k_{2}}}

on Fisher-jakauma vapausasteilla . ${\näyttötyyli (k_{1}, k_{2})}$

$\chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)$ ( ei-keskeinen khin-neliöjakauma ja ei-keskeisyysparametri ) $\lambda =0$
Jos ja , niin sitten . ( gammajakauma ) $X\sim \chi ^{2}(\nu )\,$ $c>0\,$ $cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,$
Jos sitten ( chi - jakelu ) ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2))$ ${\sqrt {X}}\sim \chi _{k}$
Jos ( Rayleigh-jakauma ), sitten $X\sim \operaattorinimi {Rayleigh} (1)\,$ $X^{2}\sim \chi ^{2}(2)\,$
Jos ( Maxwell -jakauma ), sitten $X\sim \operaattorin nimi {Maxwell} (1)\,$ $X^{2}\sim \chi ^{2}(3)\,$
Jos ja ovat riippumattomia, niin - ( beetajakelu ) $X\sim \chi ^{2}(\nu _{1})\,$ $Y\sim \chi ^{2}(\nu _{2})\,$ ${\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}} {2)))\,$
Jos - ( tasainen jakautuminen ), niin $X\sim \operaattorinimi {U} (0,1)\,$ $-2\log(X)\sim \chi ^{2}(2)\,$
$\chi ^{2}(6)\,$ on Laplace-jakauman muunnos
Jos sitten $X_{i}\sim \operaattorinimi {Laplace} (\mu ,\beta )\,$ $\sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi ^{2}(2n)\,$
khin neliöjakauma - Pareto-jakauman muunnos
t-jakauma - khin neliöjakauman muunnos
T-jakauma voidaan johtaa khin-neliö- ja normaalijakaumasta
Jos ja ovat itsenäisiä, niin . Jos ja eivät ole riippumattomia, sitä ei jaeta khin neliön lain mukaan. $X_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})$ $X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$ $X_{1}+X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})$ $X_{1}$ $X_{2}$ $X_{1}+X_{2}$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Khin-neliijakauman lisäyleistys on ns. ei-keskinen khin neliöjakauma , jota esiintyy joissakin tilastollisissa ongelmissa.

Kvantiilit

Kvantiili on luku (argumentti), jonka jakaumafunktio on yhtä suuri kuin tietty vaadittu todennäköisyys. Karkeasti sanottuna kvantiili on tulos jakaumafunktion käänteisestä, mutta epäjatkuvissa jakautumisfunktioissa on hienouksia.

Historia

Kriteerin $\chi ^{2}$ ehdotti Karl Pearson vuonna 1900 [1] . Hänen töitään pidetään modernin matemaattisen tilaston perustana. Pearsonin edeltäjät piirtivät vain kokeellisia tuloksia ja väittivät niiden olevan oikeita. Artikkelissaan Pearson antoi mielenkiintoisia esimerkkejä tilastojen väärinkäytöstä. Hän osoitti myös, että jotkut rulettipyörän havainnoista (joita hän kokeili kahden viikon ajan Monte Carlossa vuonna 1892) olivat niin kaukana odotetuista taajuuksista, että mahdollisuudet saada ne uudelleen, olettaen, että rulettipyörä on järjestetty tunnollisesti, ovat yhtä suuria kuin yksi./10 29 .

Yleinen keskustelu kriteeristä ja laaja bibliografia löytyy William J. Cochranin katsauspaperista [2] . $\chi ^{2}$

Sovellukset

Khin neliöjakaumalla on lukuisia sovelluksia tilastollisessa päättelyssä, kuten khin neliötestin käyttö ja varianssien estimointi. Sitä käytetään normaalijakautuneen populaation keskiarvon estimointitehtävässä ja regressioviivan kulmakertoimen estimointiongelmassa sen roolin vuoksi Studentin t-jakaumassa . Sitä käytetään varianssianalyysissä .

Seuraavassa on esimerkkejä tilanteista, joissa khin neliöjakauma syntyy normaalista näytteestä:

jos ovat riippumattomia ja tasaisesti jakautuneita satunnaismuuttujia , niin , missä $X_{1},...,X_{n}$ $N(\mu ,\sigma ^{2})$ $\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X)))^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^ {2}$ ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.$
Taulukossa on joitain tilastoja , jotka perustuvat riippumattomiin satunnaismuuttujiin, joiden jakaumat liittyvät khin neliöjakaumaan: $X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,...,k$

Nimi	Tilastot
chi-neliöjakauma	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\oikea)^{2}$
ei-keskinen chi-neliöjakauma	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\oikea)^{2}$
chi-jakelu	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i)){\sigma _{i))}\oikea) ^{2}}}$
ei-keskeinen chi-jakelu	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Taulukko χ 2 ja p -arvoista

Mille tahansa luvulle p välillä 0 ja 1, määritellään p -arvo - todennäköisyys saada tietylle satunnaismuuttujan arvojen jakautumisen todennäköisyysmallille sama tai äärimmäinen tilaston arvo (aritmeettinen keskiarvo, mediaani, jne.), verrattuna havaittuun, edellyttäen, että nollahypoteesi on totta . Tässä tapauksessa se on jakelu . Koska jakaumafunktion arvo pisteessä vastaaville vapausasteille antaa todennäköisyyden saada tätä pistettä pienempi tilastollinen arvo, p -arvo voidaan saada vähentämällä jakaumafunktion arvo yksiköstä. Pieni p -arvo – alle valitun merkitsevyystason – tarkoittaa tilastollista merkitsevyyttä . Tämä riittää hylkäämään nollahypoteesi. Merkitsevien ja ei-merkittävien tulosten erottamiseksi käytetään yleisesti tasoa 0,05. $\chi ^{2}$

Taulukossa on p -arvot vastaaville arvoille ensimmäisille kymmenelle vapausasteelle. $\chi ^{2}$

Vapausasteet ( df )	Arvo [3] $\chi ^{2}$
yksi	0,004	0,02	0,06	0,15	0,46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.63	10.83
2	0.10	0.21	0,45	0,71	1.39	2.41	3.22	4.61	5.99	9.21	13.82
3	0,35	0,58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.81	11.34	16.27
neljä	0,71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
kahdeksan	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
kymmenen	3.94	4.87	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59
p -arvo	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0.10	0,05	0,01	0,001

Nämä arvot voidaan laskea khin neliöjakauman kvantiilin (käänteisjakaumafunktio) avulla [4] . Esimerkiksi kvantiili arvoille p = 0,05 ja df = 7 antaa = 14,06714 ≈ 14,07 , kuten yllä olevassa taulukossa. Tämä tarkoittaa, että seitsemän riippumattoman satunnaismuuttujan kokeelliselle havainnolle nollahypoteesilla "jokaista muuttujaa kuvataan normaalilla standardijakaumalla, jonka mediaani on 0 ja keskihajonnan 1", arvo voidaan saada vain 5 % toteutuksista. Suuremman arvon saamista voidaan yleensä pitää riittävänä syynä hylätä tämä nollahypoteesi. $\chi ^{2}$ $\chi ^{2}$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{7))$ $x_{1}^{2}+...+x_{7}^{2}>14{,}07$

Taulukko pyöristää sadasosiksi; tarkempia taulukoita vapausasteista katso esim. täältä [5] .

Katso myös

Pearsonin sopivuustesti (kriteeri ) $\chi ^{2}$

Muistiinpanot

↑ Pearson K. Kriteeristä, että tietty poikkeamajärjestelmä todennäköisyydestä korreloidun muuttujajärjestelmän tapauksessa on sellainen, että sen voidaan kohtuudella olettaa syntyneen satunnaisotannalla // Philosophical Magazine, Series 5 - Vol. 50 , ei. 302 . - s. 157-175 . - doi : 10.1080/14786440009463897 .
↑ Cochran WG Sopivuuden testi // $\chi ^{2}$ Annals Math. stat. - 1952. - Voi. 23 , ei. 3 . - s. 315-345 .
↑ Chi-Squared Test Arkistoitu 18. marraskuuta 2013 Wayback Machine -taulukossa B.2. DR. Jacqueline S. McLaughlin Pennsylvanian osavaltion yliopistossa. Tämä lähde puolestaan lainaa: RA Fisher ja F. Yates , Statistical Tables for Biological Agricultural and Medical Research, 6. painos, Taulukko IV. Kaksi arvoa on korjattu, 7,82 x 7,81 ja 4,60 x 4,61.
↑ R Opetusohjelma: Chi-neliöjakauma . Käyttöpäivä: 19. marraskuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 16. helmikuuta 2021. (määrätön)
↑ StatSoft: Jakaumataulukot - Chi-neliöjakauma . Haettu 29. tammikuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 26. tammikuuta 2020. (määrätön)

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula