Kulman kolmiosa

Kulman kolmioleikkaus - ongelma tietyn kulman jakamisesta kolmeen yhtä suureen osaan rakentamalla kompassi ja viivain . Toisin sanoen on tarpeen rakentaa kulman kolmisektorit - säteet, jotka jakavat kulman kolmeen yhtä suureen osaan.

Ympyrän neliöimisen ja kuution kaksinkertaistamisen ongelmien ohella se on yksi klassisista ratkaisemattomista rakennusongelmista, jotka tunnettiin antiikin Kreikasta lähtien .

Vanzel todisti rakentamisen mahdottomuuden vuonna 1837. Tästä huolimatta lehdistössä [1] [2] [3] [4] ja jopa joissakin tieteellisissä aikakauslehdissä [5] julkaistaan ajoittain virheellisiä tapoja suorittaa kulman kolminleikkaus kompassin ja viivaimen avulla.

Ei voida rakentaa

P. L. Vanzel osoitti vuonna 1837, että kulman kolmiosa on ratkaistavissa vain, kun yhtälö $\alpha$

x^{3}-3x-2\cos \alpha =0.

ratkaistavissa neliöradikaaleissa .

Esimerkiksi,

Trisektio on mahdollinen katselukulmille, jos kokonaisluku ei ole jaollinen kolmella. ${2\pi \over n},$ $n$
Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kolmioleikkaus, jonka sivut ovat kokonaislukuja, joiden pituus on yhteisalkulukuja, on mahdollista silloin ja vain, jos hypotenuusa on kokonaisluvun kuutio [6] .

Rakenteet lisätyökaluilla

Vaikka kulman kolminleikkaus ei yleensä ole mahdollista kompassilla ja suoraviivalla, on käyriä , joilla tämä rakenne voidaan tehdä. Pascalin etana tai trisektriksi, quadratrix (kutsuttiin myös trisektriksiksi muinaisina aikoina), Nikomedesen konkoidi , kartioleikkaukset , Archimedesin spiraali [7] .
Trisektio on mahdollista litteällä origamilla rakennettuna . [kahdeksan]

Kulman kolmileikkaus nevsisillä

Archimedes ehdottaa seuraavaa nevsistä käyttävää rakennetta .

Oletetaan, että on olemassa kulma (kuva 1). On tarpeen rakentaa kulma , jonka arvo on kolme kertaa pienempi kuin annettu: . $\alpha =POM$ $\beeta$ $\alpha =3\beta$

Tehdään mielivaltaisen säteen ympyrä, jonka keskusta on pisteessä . Anna kulman sivut leikkaavat ympyrän kohdissa ja . Jatketaan alkuperäisen kulman puolta . Otetaan nevsiksen viivain , asettamalla sille diasteema ja käyttämällä suoraa ohjaimena, pistettä napana ja puoliympyrää kohdeviivana, rakentamme segmentin . Saamme kulman , joka on yhtä kolmas kuin alkuperäisestä kulmasta . $a$ $O$ $P$ $M$ $OM$ $a$ $OM$ $P$ $AB$ $PAM$ $\alpha$

Todiste

Tarkastellaan kolmiota (kuva 2). Koska , Sitten kolmio on tasakylkinen, ja kulmat sen pohjassa ovat yhtä suuret: . Kulma kolmion ulkokulmana on . $ABO$ $AB=BO=a$ $\angle BAO=\angle BAO=\beta$ $\angle PBO$ $ABO$ $2\beta$

Kolmio on myös tasakylkinen, sen pohjan kulmat ovat yhtä suuret ja kulma sen kärjessä . Toisaalta ,. Siksi , mikä tarkoittaa . $BPO$ $2\beta$ $\gamma =180^{\circ }-4\beta$ $\gamma =180^{\circ }-\beta -\alpha$ $180^{\circ }-4\beta =180^{\circ }-\beta -\alpha$ $\alpha =3\beta$

Katso myös

Pascalin etana
Matematiikka antiikin Kreikassa
Morleyn lause on kolmion kulmien kolmisektorien ominaisuus.
Nevsis on rakennusmenetelmä, jonka avulla voit suorittaa kulman kolmiulotteisen leikkauksen (se ei ole ratkaisu klassisen muotoilun ongelmaan, koska kompassin sijaan se käyttää viivainta, joka liukuu pylvään lähellä).

Muistiinpanot

↑ S. Kudrjašov. Eukleideen ongelma // Trud : sanomalehti. - Nuori vartija , 2002. - Nro 073 . (Venäjän kieli)
↑ N. A. Dollezhal . Kulman kolmiosa // Tiede ja elämä . - 1998. - Nro 3 . Arkistoitu alkuperäisestä 29. joulukuuta 2007. (Venäjän kieli)
↑ K. Popov. Kulmakolmio // Nuori teknikko . - 1994. - Nro 12 . - S. 62-64 . Arkistoitu alkuperäisestä 14. heinäkuuta 2014.
↑ Entinen matematiikan opettaja ehdottaa ratkaisua ratkaisemattomaan ongelmaan . venäläinen sanomalehti. Haettu 29. huhtikuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 29. huhtikuuta 2020. (Venäjän kieli)
↑ Žarkov Vjatšeslav Sergeevich. Kulman jakaminen kolmeen yhtä suureen osaan kompassin ja viivaimen avulla (Angle-trisection) // SCI-ARTIKKELI. - 2016. - Nro 31 . Arkistoitu alkuperäisestä 13. lokakuuta 2017.
↑ Chang, Wen D.; Gordon, Russell A. Trisecting kulmat Pythagoraan kolmioissa. amer. Matematiikka. Kuukausi 121 (2014), nro. 7, 625–631.
↑ Kolme kuuluisaa antiikin ongelmaa, 1963 , s. 33-45..
↑ Petrunin A. Tasainen origami ja rakentaminen // Kvant . - 2008. - Nro 1 . - S. 38-40 . (Venäjän kieli)

Kirjallisuus

Belozerov S. E. Viisi kuuluisaa antiikin ongelmaa. Historia ja moderni teoria. - Rostov n/a. , 1975.
Matematiikan historia / Toim. A. P. Juskevitš . - M . : Nauka, 1970. - T. 1. Muinaisista ajoista uuden ajan alkuun.
Prasolov VV Kolme klassista rakennustehtävää . - M .: Nauka, 1992. - T. 62. - 80 s. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ).
Chistyakov V.D. Kolme kuuluisaa antiikin ongelmaa. - M . : Valtio. äh.-ped. RSFSR:n opetusministeriön kustantamo, 1963. - S. 29-45. - 96 s. .
Shchetnikov A. I. Kuinka ratkaisut kolmeen antiikin klassiseen ongelmaan löydettiin? // Matemaattinen koulutus. - 2008. - Nro 4 (48) . - s. 3-15 .
Karpov Nikolay. Laite terävän kulman jakamiseen kolmeen yhtä suureen osaan // V.O.F.E.M. . - 1891. - Nro 130 . - S. 218-219 . (Venäjän kieli)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	J9U : 987007551116505171 LCCN : sh85137916

Matematiikka antiikin Kreikassa
Matemaatikot	Autolycus Anaxagoras Anfimy Apollonius Aristarch Aristaeus Archimedes arkkitehti bion Boethius Bryson of Heracles Gemin Harmaahaikara Hypatia Hipparkhos hippat Hippias Hippokrates Hypsielinen Demokritos Dicaearchus Dinostrat Diocles Diophantus Domnin Evdem Eudoxus Euclid Evtokii Zenodor Seno Sidonista Zeno Eleasta Isidore Callippus Karppi Cleomedes Conon Xenokrates Ctesibius Matemaatikko Lev Marin Menelaus Menechmus Nicomachus nycomedes Papp Perseus Pythagoras Porfiry Posidonius Proclus Ptolemaios Seesteinen Symplicius Sosigen Aleksandrian Theon Smyrnan Theon Theaetetus Timarid Thales Theano Theodore Theodosius Philolaus Chrysippus enopidinen Eratosthenes
traktaatit	Almagest Johdatus aritmetiikkaan Aritmeettinen Archimedesin härkäongelma Hiekanjyvien laskenta Alkuja Tietoja liikkuvasta pallosta Tietoja pallosta ja sylinteristä Arkhimedesen palimpsest Työskentele kartiomaisilla osilla
Vaikutuksen alaisena	Babylonian matematiikka muinainen egyptilainen matematiikka
Vaikutus	eurooppalainen matematiikka Intialainen matematiikka Keskiaikainen islamilainen matematiikka
taulukoita	Kreikkalaisten matemaatikoiden kronologinen taulukko
Tehtävät	Apolloniuksen ongelma Ympyrän neliöinti Kulman kolmiosa Kuution tuplaaminen