Simpsonin kaava

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 28. joulukuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 19 muokkausta .

Simpsonin kaava (myös Newton -Simpson [1] ) viittaa numeerisiin integrointitekniikoihin . Se on nimetty brittiläisen matemaatikon Thomas Simpsonin (1710-1761) mukaan.

Menetelmän ydin on segmentin integrandin approksimaatiossa toisen asteen interpolaatiopolynomilla , eli segmentin funktion kuvaajan approksimaatiossa paraabelilla. Simpsonin menetelmän virheluokka on 4 ja algebrallinen tarkkuus 3. $[a,b]$ $p_{2}(x)$

Kaava

Simpsonin kaava on segmentin toisen asteen interpolaatiopolynomin integraali : $[a,b]$

{\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\int \limits _{{a}}^{{b}}{p_{2}(x)}dx}= {\frac {ba}{6}}{\left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)},

missä , ja ovat funktion arvot vastaavissa pisteissä (jalan päissä ja sen keskellä). $fa)$ $f((a+b)/2)$ $f(b)$

Tarkkuus

Edellyttäen, että segmentin funktiolla on neljäs derivaatta , Giuseppe Peanon löytämän kaavan mukaan virhe on yhtä suuri: $f(x)$ $[a,b]$ $E(f)$

E(f)=-{\frac {(ba)^{5}}{2880}}{{f^{{(4)}}(\zeta ))),\ \ \ \zeta \in [a, b].

Koska arvo on usein tuntematon, virheen arvioinnissa käytetään seuraavaa epäyhtälöä: $\zeta$

\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)^{5}}{2880}}\max \limits _{{x\in [a,b]}}{\left|f ^{{(4)}}(x)\oikea|}.

Esitys Runge-Kutta-menetelmän muodossa

Simpsonin kaava voidaan esittää Runge-Kutta-menetelmän taulukkona seuraavasti:

{\begin{array}{c|ccc}0&&&\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&&\\1&-1&2&\\\hline &{\frac { 1}{6}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{6}}\end{array}}

Yhdistelmäkaava (Cotes-kaava)

Integraalin tarkempaa laskemista varten intervalli jaetaan samanpituisiin alkeissegmentteihin ja Simpsonin kaavaa sovelletaan yhdistelmäsegmentteihin. Jokainen yhdistesegmentti koostuu viereisestä alkeissegmenttien parista. Alkuperäisen integraalin arvo on yhdistelmäsegmenttien integrointitulosten summa: $[a,b]$ $N = 2n$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin {\frac {h}{3}}\left[f(x_{0})+2\sum _{j= 1}^{N/2-1}f(x_{2j})+4\summa _{j=1}^{N/2}f(x_{2j-1})+f(x_{N}) \oikea],

missä on askelkoko ja niiden yhdistesegmenttien vuorottelevat rajat ja keskipisteet, joihin Simpsonin kaavaa sovelletaan. Yksi samanlainen yhdistesegmentti koostuu kahdesta perussegmentistä . Jos siis vedetään yhtäläisyyksiä yksinkertaisen Simpsonin kaavan kanssa, niin tässä tapauksessa sen segmentin keskiosasta, johon Simpsonin kaavaa sovelletaan, tulee .

h={\frac {ba}{N}}

x_{j}=a+jh

{\näyttötyyli [x_{j-1},x_{j+1}]}

{\näyttötyyli [x_{j-1},x_{j}],[x_{j},x_{j+1}]}

x_{j}

Yleensä yhtenäiselle ruudukolle tämä kaava kirjoitetaan muilla merkinnöillä (segmentti on jaettu segmenteiksi) muodossa

[a,b]

N

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+ 2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{{N-1)))+f(x_{N}){\bigg ] }.

Kaava voidaan myös kirjoittaa käyttämällä vain funktion tunnettuja arvoja, eli solmujen arvoja:

{\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\frac {h}{3}}\cdot \sum _{{k=1,2}}^{{N- 1}}\vasen[f(x_{{k-1}})+4f(x_{k})+f(x_{{k+1}})\oikea]

jossa tarkoittaa, että indeksi muuttuu yhdestä askeleella kaksi.

k = 1,2

Kokonaisvirhe integroinnin aikana segmentillä , jossa on askel (tässä tapauksessa erityisesti , ) määritetään kaavalla [2] : $E(f)$ $[a,b]$ $x_{i}-x_{{i-1}}=h$ $x_{0}=a$ $x_{N}=b$

\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{2880}}h^{4}\max \limits _{{x\in [a,b]}}|f^{ {(4)}}(x)|

Jos on mahdotonta arvioida virhettä neljännen derivaatan maksimiarvolla (esimerkiksi sitä ei ole tietyllä aikavälillä tai se pyrkii äärettömään), voidaan käyttää karkeampaa estimaattia:

\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{288}}h^{3}\max \limits _{{x\in [a,b]}}|f^{ {(3)}}(x)|

Simpsonin komposiittikaavan todentaminen kapeiden piikkien integroinnin tapauksessa

Simpsonin yhdistekaava epäonnistuu virhetestissä kapeiden (pieni määrä pisteitä huippua kohti) piikin kaltaisten funktioiden tapauksessa, koska se on paljon vähemmän tehokas [3] kuin puolisuunnikkaan sääntö. Nimittäin saman virheen saavuttamiseksi kuin puolisuunnikkaan säännön tapauksessa Simpsonin yhdistelmäsääntö vaatii 1,8 kertaa enemmän pistettä. Simpsonin yhdistesääntöintegraali voidaan hajottaa kahden integraalin superpositioon: 2/3 puolisuunnikkaan integraalista vaiheessa h ja 1/3 keskisuorakulmion säännöstä vaiheessa 2h, ja Simpsonin yhdistesäännön virhe vastaa toista termi. On mahdollista rakentaa tyydyttävä Simpsonin säännön muunnos laskemalla keskiarvo tämän säännön kaavioista, jotka saadaan siirtämällä summakehystä yhden pisteen verran, ja saadaan seuraavat säännöt [3] :

∫ a b f ( x ) d x ≈ h 24 [ − f ( x − yksi ) + 12 f ( x 0 ) + 25 f ( x yksi ) + 24 ∑ i = 2 n − 2 f ( x i ) + 25 f ( x n − yksi ) + 12 f ( x n ) − f ( x n + yksi ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin {\tfrac {h}{24}}\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0) })+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\oikea]}

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin {\tfrac {h}{24}}\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0) })+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\oikea]

joissa käytetään arvoja, jotka ylittävät integrointivälin rajan, tai ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 24 [ 9 f ( x 0 ) + 28 f ( x yksi ) + 23 f ( x 2 ) + 24 ∑ i = 3 n − 3 f ( x i ) + 23 f ( x n − 2 ) + 28 f ( x n − yksi ) + 9 f ( x n ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\oikea]}

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\oikea]

joissa integrointivälin ulkopuolisia arvoja ei käytetä. Toisen säännön soveltaminen kolmen pisteen osaan tuottaa Simpsonin säännön 1/3, 4 pisteen osaan - 3/8.

Näissä säännöissä integrointivälin pisteiden painot ovat yhtä, eroja havaitaan vain osan päissä. Nämä säännöt voidaan yhdistää Euler-Maclaurin-kaavaan edellyttäen, että ensimmäinen derivaatta otetaan huomioon ja niitä kutsutaan ensimmäisen asteen Euler-Maclaurin-säännöiksi [3] . Sääntöjen ero on siinä, miten ensimmäinen derivaatta lasketaan integrointivälin reunoilla. Ensimmäisten derivaattojen ero integrointiosion reunoilla ottaa huomioon toisen derivaatan panoksen funktion integraaliin. Euler-Maclaurin-kaavaa voidaan käyttää edellä olevien ensimmäisen asteen sääntöjen tapaan kolmannen, viidennen ja korkeamman asteen integrointisääntöjen muodostamiseen.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Newton-Simpsonin kaava (pääsemätön linkki) . Haettu 14. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 22. toukokuuta 2010. (määrätön)
↑ Numeeriset menetelmät / N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, G. M. Kobelkov. - 4. painos - M. : BINOM, Laboratory of Knowledge, 2006. - S. 122. - 636 s. — ISBN 5-94774-396-5 .
↑ 1 2 3 Integrointisääntöjen vertailu erittäin kapeiden kromatografisten piikkien tapauksessa // Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. – 15.8.2018 — Voi. 179 . — s. 22–30 . — ISSN 0169-7439 . - doi : 10.1016/j.chemolab.2018.06.001 .

Kirjallisuus

Kostomarov DP , Favorskiy AP Johdatusluennot numeerisista menetelmistä . M.: Logos, 2004. 184 s. ISBN 5-94010-286-7
Petrov IB , Lobanov AI Laskennallisen matematiikan luentoja. M.: Intuit, Binom, 2006. 523 s. ISBN 5-94774-542-9

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista