Ydin (lineaarinen algebra)

Lineaarisen kuvauksen ydin on sellainen kuvausalueen lineaarinen aliavaruus , jonka jokainen elementti on kuvattu nollavektoriin [1] [2] . Nimittäin, jos lineaarinen kuvaus on annettu kahden vektoriavaruuden V ja W välillä , niin kuvauksen L ydin on avaruuden V kaikkien elementtien vektoriavaruus siten, että , missä tarkoittaa nollavektoria W :stä [3] tai enemmän. muodollisesti: $L\colon V\to W$ $\mathbf{v}$ $L(\mathbf {v} )=\mathbf {0}$ $\mathbf {0}$

\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}.

Ominaisuudet

Kartan L ydin on alueen V lineaarinen aliavaruus [4] . Lineaarisessa kuvauksessa V :n kahdella elementillä on sama kuva W :ssä, jos ja vain jos niiden ero on L : n ytimessä : $L\colon V\to W$

L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\iff L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2 })=\mathbf {0} .

Tästä seuraa, että kuva L on isomorfinen avaruuden V osamääräavaruuden kanssa ytimen suhteen:

\operaattorin nimi {im} (L)\cong V/\ker(L).

Tapauksessa, jossa V on äärellinen -ulotteinen , tämä tarkoittaa arvo- ja vikalausetta :

\dim(\ker L)+\dim(\operaattorinimi {im} L)=\dim(V),

missä arvolla tarkoitamme kuvauksen L kuvan mittaa ja vialla kuvauksen L ytimen mittaa [5] .

Jos V on esi-Hilbert-avaruus , osamääräavaruus voidaan tunnistaa V - avaruuden ortogonaalisella komplementilla . Tämä on yleistys riviavaruuden tai matriisikuvan lineaarisista operaattoreista. $V/ker(L)$ $ker(L)$

Sovellus moduuleille

Ytimen käsite on järkevä myös moduulihomomorfismeille , jotka ovat vektoriavaruuksien yleistyksiä, joissa skalaarit ovat renkaan elementtejä , eivät kenttää . Yhdistelmän laajuus on moduuli, jonka ydin muodostaa alimoduulin . Tässä ytimen arvon ja ulottuvuuden käsitteet ovat valinnaisia.

Funktionaalisessa analyysissä

Jos ja ovat topologisia vektoriavaruuksia , ja on äärellisulotteinen, niin lineaarinen operaattori on jatkuva silloin ja vain, jos kuvauksen ydin on avaruuden suljettu aliavaruus . $V$ $W$ $W$ $L\colon V\to W$ $L$ $V$

Esitys matriisikertolaskuna

Harkitse lineaarista kartoitusta, jota edustaa kokomatriisi , jossa on kertoimet kentästä (yleensä tai ), eli toimitaan sarakevektoreilla, joissa on elementtejä kentästä . Tämän lineaarisen kuvauksen ydin on yhtälön ratkaisujen joukko , jossa ymmärretään nollavektorina . Matriisiytimen dimensiota kutsutaan matriisin defektiksi . Operaatioiden muodossa sarjoissa , $A$ $m\ kertaa n$ $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbf {x}$ $n$ $K$ $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ $\mathbf {0}$ $A$ $A$

\operaattorin nimi {N} (A)=\operaattorin nimi {nolla} (A)=\operaattorin nimi {ker} (A)=\vasen\{\mathbf {x} \in K^{n}|A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.

Matriisiyhtälö vastaa homogeenista lineaariyhtälöjärjestelmää :

A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;\left\{{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+ \;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\ ;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\; &&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\; +\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}\right.

Sitten matriisin ydin on sama kuin yllä olevan homogeenisen yhtälön joukon ratkaisu. $A$

Alitilan ominaisuudet

Kentän päällä olevan matriisin ydin on lineaarinen aliavaruus . Toisin sanoen matriisin ytimellä joukko on seuraavat kolme ominaisuutta: $m\ kertaa n$ $A$ $K$ $K^n$ $A$ $\operaattorin nimi {nolla} (A)$

$\operaattorin nimi {nolla} (A)$ sisältää aina nollavektorin, koska . $A\mathbf {0} =\mathbf {0}$
Jos ja , niin sitten . Tämä seuraa matriisin kertolaskujen jakautumisominaisuudesta. $\mathbf {x} \in \operaattorinimi {nolla} (A)$ $\mathbf {y} \in \operaattorin nimi {nolla} (A)$ $\mathbf {x} +\mathbf {y} \in \operaattorin nimi {nolla} (A)$
Jos a on skalaari , niin koska . $\mathbf {x} \in \operaattorinimi {nolla} (A)$ $c$ $c\in K$ $c\mathbf {x} \in \operaattorin nimi {nolla} (A)$ $A(c\mathbf {x} )=c(A\mathbf {x} )=c\mathbf {0} =\mathbf {0}$

Rivivälimatriisi

Tulo voidaan kirjoittaa vektorien pistetulona seuraavasti: $A\mathbf {x}$

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.

Tässä ovat matriisin rivit . Tämä tarkoittaa, että se kuuluu matriisin ytimeen, jos ja vain, jos vektori on ortogonaalinen (pystysuora) matriisin jokaiseen rivivektoriin nähden (koska ortogonaalisuus määritellään skalaarituloksi, joka on yhtä suuri kuin nolla). ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{m))$ $A$ $\mathbf {x}$ $A$ $\mathbf {x}$ $A$

Matriisin riviavaruus eli coimage on matriisin rivivektorien lineaarinen jänneväli . Yllä mainituista syistä matriisiydin on riviavaruuden ortogonaalinen komplementti . Eli vektori sijaitsee matriisin ytimessä silloin ja vain, jos se on kohtisuorassa mihin tahansa matriisin riviavaruuden vektoriin nähden . $A$ $A$ $A$ $\mathbf {x}$ $A$ $A$

Matriisin riviavaruuden mittaa kutsutaan matriisin arvoksi ja matriisin ytimen dimensiota matriisin puutteeksi . Nämä suureet liittyvät arvo- ja vikalauseeseen $A$ $A$ $A$ $A$

\operaattorin nimi {sijoitus} (A)+\operaattorin nimi {tyhjäys} (A)=n.

[5]

Vasen tyhjä välilyönti (cokernel)

Matriisin vasen nollaavaruus tai kokerneli koostuu kaikista vektoreista siten, että , missä tarkoittaa matriisin transponointia . Matriisin vasen nolla-avaruus on sama kuin matriisin ydin . Matriisin vasen nolla-avaruus on ortogonaalinen matriisin sarakeavaruuteen nähden ja on kaksoisviiva siihen liittyvän lineaarisen muunnoksen kokerneliin nähden. Matriisin ydin, riviavaruus, sarakeavaruus ja vasen nolla-avaruus ovat neljä perusaliavaruutta , jotka liittyvät matriisiin . $A$ $\mathbf {x}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}A=\mathbf {0} ^{T))$ $T$ $A$ $A^{T}$ $A$ $A$ $A$ $A$

Epähomogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät

Ytimellä on myös tärkeä rooli epähomogeenisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa:

A\mathbf {x} =\mathbf {b} \;\;\Leftrightarrow \;\;\left\{{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+ \;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1 }&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vpisteet \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_ {2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}.\\\end{alignedat}}\right.

Olkoot vektorit ja sitten yllä olevan yhtälön ratkaisuja $\mathbf {u}$ $\mathbf{v}$

A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} .

Siten järjestelmän minkä tahansa kahden ratkaisun ero on matriisin ytimessä . $A\mathbb {x} =\mathbb {b}$ $A$

Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa yhtälön ratkaisu voidaan ilmaista kiinteän ratkaisun ja ytimen jonkin elementin summana . Eli yhtälön ratkaisujen joukko on $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $\mathbf{v}$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

\left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operaattorinimi {nolla} (A)\ oikea\}.

Geometrisesti tämä tarkoittaa, että yhtälön ratkaisujoukko muodostetaan siirtämällä rinnakkain matriisiydin vektoriin . Katso myös Fredholm Alternative . $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $A$ $\mathbf{v}$

Kuva

Alla on yksinkertainen esitys matriisin ytimen laskemisesta (katso Gaussin laskenta alta saadaksesi menetelmän, joka sopii paremmin monimutkaisempiin laskelmiin). Kuvassa käsitellään myös merkkijonoavaruuksia ja niiden suhdetta ytimeen.

Harkitse matriisia

A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.

Tämän matriisin ydin koostuu kaikista vektoreista , joille ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3))$

{\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0 \end{bmatrix}},

joka voidaan ilmaista homogeenisena lineaariyhtälöjärjestelmänä , ja : $x$ $y$ $z$

{\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned))

Samat yhtälöt voidaan kirjoittaa matriisimuotoon:

\left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].

Gaussin menetelmää käyttämällä matriisi voidaan pienentää seuraavasti:

\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].

Matriisin muuntaminen yhtälöiksi antaa:

{\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}

Ytimen elementit voidaan ilmaista parametrimuodossa seuraavasti:

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\ quad ({\teksti{jos))\quad c\in \mathbb {R} )

Koska on vapaa muuttuja , joka kulkee kaikkien reaalilukujen yli, tämä lauseke voidaan vastaavasti kirjoittaa uudelleen seuraavasti: $c$

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.

Matriisin ydin on täsmälleen näiden yhtälöiden ratkaisujoukko (tässä tapauksessa linja , joka kulkee origon kautta ). Tässä vektori (−1,−26,16) T muodostaa matriisin ytimen perustan . Matriisivika on 1. $A$ $\mathbb {R} ^{3}$ $A$ $A$

Seuraavat pistetuotteet ovat nollia:

{\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad {\text{ and }}\quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\mathrm {,}

joka osoittaa, että matriisin ydinvektorit ovat ortogonaalisia matriisin jokaiseen rivivektoriin nähden . $A$ $A$

Näiden kahden (lineaarisesti riippumattoman) rivivektorin lineaarinen jänneväli on vektoriin nähden ortogonaalinen taso . ${\näyttötyyli (-1,-26,16)^{T))$

Koska matriisin arvo on 2, matriisin ytimen dimensio on 1 ja matriisin dimensio on 3, meillä on esitys rank- ja vikalauseesta. $A$ $A$ $A$

Esimerkkejä

Jos , niin kuvauksen ydin on homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisujen joukko . Kuten yllä olevassa kuvassa, jos on operaattori: ${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n))$ $L$ $L$

L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+ 3x_{3})

, silloin operaattorin L ydin on järjestelmän ratkaisujen joukko

{\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1} &\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}

Olkoon kaikkien jatkuvien reaalifunktioiden vektoriavaruus välillä [0,1 ] . Määritellään sääntö $C[0,1]$ $L\colon C[0,1]\to \mathbb {R}$

L(f)=f(0,3){\text{.))\,

Tällöin L :n ydin koostuu kaikista funktioista , joille .

f\in C[0,1]

f(0,3)=0

Olkoon kaikkien äärettömästi differentioituvien funktioiden vektoriavaruus ja olkoon differentiaatiooperaattori : $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $D\colon C^{\infty }(\mathbb {R} )\to C^{\infty }(\mathbb {R} )$

D(f)={\frac {df}{dx}}{\text{.}}

Tällöin D :n ydin koostuu kaikista funktioista , joiden derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, eli kaikista vakiofunktioista .

C^{\infty }(\mathbb {R} )

Antaa olla suora tulo äärettömästä määrästä kopioita , ja antaa olla siirtooperaattori ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty ))$ $\mathbb {R}$ ${\displaystyle s\colon \mathbb {R} ^{\infty }\to \mathbb {R} ^{\infty ))$

s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ){\ teksti{.}}

Tällöin operaattorin s ydin on yksiulotteinen aliavaruus, joka koostuu kaikista vektoreista .

{\näyttötyyli (x_{1},0,0,\pisteet )}

Jos on pre-Hilbert-avaruus ja on aliavaruus , ortogonaalinen projektioydin on ortogonaalinen komplementti . $V$ $W$ $V\to W$ $W$ $V$

Gauss-laskelmat

Matriisin ytimen kanta voidaan laskea Gaussin menetelmällä .

Tätä tarkoitusta varten, kun matriisi on annettu , rakennetaan ensin rivilaajennettu matriisi , jossa on identiteettimatriisi . $m\ kertaa n$ $A$ $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right],$ $E$ $n\ kertaa n$

Jos lasketaan matriisin sarakeportainen muoto Gaussin menetelmällä (tai millä tahansa muulla sopivalla menetelmällä), saadaan matriisi Matriisin ytimen perusta koostuu matriisin nollasta poikkeavista sarakkeista siten, että matriisin vastaavat sarakkeet a ovat nollia . $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right].$ $A$ $C$ $B$

Itse asiassa laskenta voidaan lopettaa heti, kun matriisi ottaa sarakeportaisen muodon - loppu laskenta koostuu sarakkeiden muodostaman vektoriavaruuden perustan muuttamisesta, jonka yläosa on nolla.

Kuvittelemme esimerkiksi sitä

A=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\,\right].

Sitten

{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\ 0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline

Jos ylempi osa pelkistetään sarakkeiden operaatioilla porrastettuun muotoon, saadaan

{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0 \\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&1}oikea.

Matriisin kolme viimeistä saraketta ovat nollia. Siksi matriisin kolme viimeistä vektoria , $B$ $C$

\left[\!\!{\begin{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left [\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\ !{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]

ovat matriisiytimen perusta . $A$

Todiste siitä, että menetelmä laskee ytimen: koska sarakeoperaatiot vastaavat oikeanpuoleista kertolaskua käännettävällä matriisilla, se tosiasia, että pelkistys tarkoittaa, että on olemassa käännettävä matriisi , jolla on askelmuoto . Sitten ja Sarakevektori kuuluu matriisin ytimeen (eli ) jos ja vain jos missä Koska sillä on porrastettu muoto, jos ja vain jos nollasta poikkeavat elementit vastaavat matriisin nollasarakkeita Kertomalla kertomalla voimme päätellä, että tämä tapahtuu jos ja vain silloin, kun on lineaarinen yhdistelmä matriisin vastaavista sarakkeista $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]$ $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$ $P$ $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]P=\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C \end{array}}\right],$ $B$ $AP=B,$ $IP=C,$ $AC=B.$ $v$ $A$ $Av=0$ $Bw=0,$ $w=P^{-1}v=C^{-1}v.$ $B$ $Bw=0$ $w$ $b.$ $C$ $v=cw$ $C.$

Numeeriset laskelmat

Ytimen laskentatehtävä tietokoneessa riippuu kertoimien luonteesta.

Tarkat kertoimet

Jos matriisin kertoimet annetaan tarkkoina lukuina, matriisin askelmuoto voidaan laskea Bareis-algoritmilla , joka on tehokkaampi kuin Gaussin menetelmä. Vielä tehokkaampaa on käyttää modulo-vertailua ja kiinalaista jäännöslausetta , jotka pelkistävät ongelman useisiin samankaltaisiin ongelmiin rajallisten kenttien yli (mikä vähentää kokonaislukujen kertolaskujen epälineaarisen laskennallisen monimutkaisuuden tuottamaa ylijäämää).

Äärillisen kentän kertoimille Gaussin menetelmä toimii hyvin, mutta suurille matriiseille, joita esiintyy kryptografiassa ja Gröbner -kannan laskemisessa , tunnetaan parempia algoritmeja, joilla on lähes sama laskennallinen monimutkaisuus , mutta jotka ovat nopeampia ja sopivampia nykyaikaisiin tietokonelaitteisiin . .

Liukulukulaskelmat

Matriiseille, joiden elementit ovat liukulukuja , ytimen laskeminen on järkevää vain matriiseille, joiden rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin sen järjestys - pyöristysvirheiden vuoksi , liukulukumatriiseilla on lähes aina täysi arvo , jopa kun ne ovat likiarvo matriisista, jolla on monia alempia arvoja. Jopa täyden asteen matriisilla sen ydin voidaan laskea vain, kun se on hyvin ehdoiteltu , eli sillä on alhainen ehtoluku [6] .

Ja hyvin ehdollistetun täyden asteen matriisissa Gaussin menetelmä ei toimi oikein: pyöristysvirheet ovat liian suuria mielekkään tuloksen saamiseksi. Koska matriisiytimen laskenta on erikoistapaus homogeenisen lineaariyhtälöjärjestelmän ratkaisemisessa, ydin voidaan laskea millä tahansa algoritmilla, joka on suunniteltu ratkaisemaan homogeenisia järjestelmiä. Edistyksellinen ohjelmisto tähän tarkoitukseen on Lapack- kirjasto .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Korkeamman matemaattisen ammattislangin lopullinen sanasto - Nolla . Math Vault (1. elokuuta 2019). Haettu: 9.12.2019. (määrätön)
↑ Weisstein, Eric W. Kernel . mathworld.wolfram.com . Haettu: 9.12.2019. (määrätön)
↑ Ydin (nullspace) | Loistava Math & Science Wiki . brilliant.org . Haettu: 9.12.2019. (määrätön)
↑ Tässä artikkelissa käsitelty lineaarinen algebra on vakiintunut matemaattinen tieteenala, josta löytyy monia kirjoja. Lähes koko artikkelin materiaali löytyy Layn ( Lay, 2005 ), Meyerin ( Meyer, 2001 ) ja Strangin luennoista.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Rank-Nullity Lause . mathworld.wolfram.com . Haettu: 9.12.2019. (määrätön)
↑ Arkistoitu kopio . Haettu 14. huhtikuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 29. elokuuta 2017. (määrätön)

Kirjallisuus

Sheldon Jay Axler. Lineaarinen algebra tehty oikein. – 2. - Springer-Verlag, 1997. - ISBN 0-387-98259-0 .
Gilbert Strang. Lineaarinen algebra ja sen sovellus. - Moskova: Mir, 1980.
David C Lay. Lineaarinen algebra ja sen sovellukset. – 3. - Addison Wesley, 2005. - ISBN 978-0-321-28713-7 .
Carl D Meyer. Matriisianalyysi ja sovellettu lineaarinen algebra. - Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2001. - ISBN 978-0-89871-454-8 .
David Poole. Lineaarinen algebra: Moderni johdanto. – 2. — Brooks/Cole, 2006. — ISBN 0-534-99845-3 .
Howard Anthony. Alkeinen lineaarinen algebra (sovellusversio). – 9. - Wiley International, 2005.
Steven J. Leon. Lineaarinen algebra sovelluksilla . – 7. - Pearson Prentice Hall, 2006.
Serge Lang . Lineaarialgebra. - Springer, 1987. - ISBN 9780387964126 .
Lloyd N. Trefethen, David III Bau. Numeerinen lineaarinen algebra . - SIAM, 1997. - ISBN 978-0-89871-361-9 .

Linkit

Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Kernel of a Matrix , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Khan Academy , Johdatus matriisin nolla-avaruuteen

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajoaminen LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

Muut