Omavektori

Ominaisuusvektori on lineaarialgebran käsite , joka on määritelty mielivaltaiselle lineaarioperaattorille nollasta poikkeavaksi vektoriksi , jonka operaattorin soveltaminen antaa kollineaarisen vektorin - sama vektori kerrottuna jollain skalaariarvolla (joka voi olla 0) . Skalaaria, jolla ominaisvektori kerrotaan operaattorilla, kutsutaan annettua ominaisvektoria vastaavan lineaarisen operaattorin ominaisarvoksi (tai ominaisarvoksi ). Yksi lineaarisen operaattorin esityksistä on neliömatriisi, joten ominaisvektorit ja ominaisarvot määritellään usein tällaisten matriisien käytön yhteydessä [1] [2] .

Ominaisuusvektorin ja ominaisarvon [3] käsitteet ovat yksi lineaarialgebran avainkäsitteitä, joiden pohjalle rakennetaan monia konstruktioita. Tämä johtuu siitä, että monet lineaarioperaattoreihin liittyvät suhteet yksinkertaistuvat merkittävästi operaattorin ominaisvektorien perusteella rakennetussa koordinaattijärjestelmässä. Lineaarisen operaattorin ominaisarvojen joukko (operaattorin spektri ) luonnehtii operaattorin tärkeitä ominaisuuksia ilman viittausta mihinkään tiettyyn koordinaattijärjestelmään. Näistä syistä ominaisvektoreilla on suuri käytännön merkitys. Joten esimerkiksi ominaisvektoreita löytyy usein mekaniikasta, kvanttiteoriasta ja niin edelleen. Erityisesti spin-projektiooperaattorilla mielivaltaisella akselilla on kaksi ominaisarvoa ja niitä vastaavat ominaisvektorit.

Lineaarisen vektoriavaruuden käsite ei rajoitu "puhtaasti geometrisiin" vektoreihin, vaan se yleistyy erilaisiin objektijoukkoon, kuten funktioavaruuksiin (joissa lineaariset differentiaali- ja integraalioperaattorit toimivat). Tällaisten avaruuksien ja operaattoreiden kohdalla puhutaan operaattoreiden ominaisfunktioista .

Tiettyä ominaisarvoa vastaavan lineaarisen operaattorin kaikkien ominaisvektorien joukkoa, jota on täydennetty nollavektorilla , kutsutaan tämän operaattorin ominaisaliavaruudeksi [4] .

Optimaalisten algoritmien etsiminen ominaisarvojen laskemiseksi tietylle lineaarioperaattorille on yksi laskennallisen matematiikan tärkeimmistä ongelmista .

Määritelmät

Lineaarisen muunnoksen ominaisvektori , jossa on lineaarinen tila kentän päällä , on nollasta poikkeava vektori , joten joillekin . $A\kaksoispiste L\-L$ $L$ $K$ $x\in L$ $\lambda \in K$ $\ax=\lambda x$

Lineaarisen muunnoksen ominaisarvo ( ominaisarvo ) on luku , jolle on olemassa ominaisvektori, eli yhtälöllä on nollasta poikkeava ratkaisu . $A$ $\lambda \in K$ $ax=\lambda x$ $x\in L$

Yksinkertaisesti sanottuna ominaisvektori on mikä tahansa nollasta poikkeava vektori , jonka operaattori kuvaa sille kollineaariseen vektoriin , ja vastaavaa skalaaria kutsutaan operaattorin ominaisarvoksi . $x$ $\lambda x$ $A$ $\lambda$

Tietyn ominaisarvon (tai tätä lukua vastaavan ) lineaarisen muunnoksen oma aliavaruus (tai ominaisaliavaruus ) on kaikkien tiettyä ominaisarvoa vastaavien ominaisvektorien joukko täydennettynä nollavektorilla. Merkitään ominaisarvoa vastaava oikea aliavaruus merkillä ja identiteettioperaattori . Määritelmän mukaan oikea aliavaruus on operaattorin ydin , eli joukko vektoreita, jotka tämä operaattori on kohdistanut nollavektoriin: $A$ $\lambda \in K$ $x\in L$ $\lambda$ $E_{\lambda }$ $minä$ $A-\lambda \cdot I,$

E_{\lambda }=\ker(A-\lambda \cdot I)

Lineaarisen muunnoksen juurivektori tietylle ominaisarvolle on nollasta poikkeava vektori siten, että jollekin luonnolliselle luvulle : $A$ $\lambda \in K$ $x\in L$ $m$

(A-\lambda \cdot I)^{m}x=0

Jos on pienin sellaisista luonnollisista luvuista (eli ), niin sitä kutsutaan juurivektorin korkeudeksi . $m$ $(A-\lambda \cdot I)^{m-1}x\neq 0$ $m$ $x$

Tietyn ominaisarvon lineaarimuunnoksen juurialiavaruus on kaikkien annettua ominaisarvoa vastaavien juurivektorien joukko, jos tätä joukkoa täydennetään nollavektorilla. Merkitään ominaisarvoa λ vastaava juurialiavaruus merkillä . Määritelmän mukaan: $A$ $\lambda \in K$ $x\in L$ $V_{\lambda }$

V_{\lambda }=\bigcup _{m=1}^{\infty }\ker(A-\lambda \cdot I)^{m}=\bigcup _{m=1}^{\infty }V_{m,\lambda }

Historia

Ominaisarvot otetaan yleensä käyttöön lineaarisen algebran yhteydessä, mutta historiallisesti ne syntyivät toisen asteen muotojen ja differentiaaliyhtälöiden tutkimuksesta .

XVIII vuosisadalla Euler , tutkiessaan ehdottoman jäykän kappaleen pyörimisliikettä , havaitsi pääakseleiden merkityksen, ja Lagrange osoitti, että pääakselit vastaavat inertiamatriisin ominaisvektoreita . 1800-luvun alussa Cauchy käytti Eulerin ja Lagrangen työtä luokitellakseen toisen asteen pinnat ja yleistääkseen tulokset korkeampiin asteisiin. Cauchy loi ominaisarvolle myös termin "ominainen juuri" ( ranska: racine caractéristique ). Tämä termi on säilytetty matriisin ominaispolynomin yhteydessä [5] [6] .

1900-luvun alussa Hilbert tutki integraalioperaattoreiden ominaisarvoja pitäen jälkimmäistä äärettömän kokoisina matriiseina [7] . Vuonna 1904 Hilbert alkoi käyttää termejä ominaisarvot ja ominaisvektorit viittaamaan ominaisarvoihin ja ominaisvektoreihin saksalaisen sanan eigen ( oma ) perusteella [8] . Myöhemmin nämä termit siirrettiin myös englannin kieleen korvaten aiemmin käytetyt "oikea arvo" ja "oikea vektori" [9] .

Ominaisuudet

Yleinen tapaus

Aliavaruutta kutsutaan lineaarisen muunnoksen invariantiksi aliavaruudeksi ( -invariantti aliavaruus ), jos: $V\alajoukko L$ $A$ $A$

AV\subseteq V

Lineaarioperaattorin ominaisaliavaruudet , juurialiavaruudet ja aliavaruudet ovat -invariantteja . $E_{\lambda }$ $V_{\lambda }$ $V_{m,\lambda }$ $A$ $A$

Ominaisvektorit ovat juuri (korkeudet 1): ; $E_{\lambda }\subseteq V_{\lambda }$

Juurivektorit eivät saa olla ominaisvektoreita: esimerkiksi matriisin antaman kaksiulotteisen avaruuden muuntamiseksi:

A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

(AE)^{2}=0

, ja kaikki vektorit ovat juuria, jotka vastaavat ominaisarvoa , mutta niillä on yksi ominaisvektori (jopa kertomalla luvulla).

yksi

A

Eri ominaisarvoille juurialiavaruuksilla (ja siten ominaisarvoilla) on triviaali (nolla) leikkauspiste:

V_{\lambda }\bigcap V_{\mu }=\{0\}

jos .

\lambda \neq \mu

Menetelmä ominaisarvojen löytämiseksi itseadjoint-operaattoreille ja singulaariarvojen löytämiseksi normaalioperaattorille on annettu Courant-Fisher-lauseen avulla .

Äärillisulotteiset lineaariavaruudet

Valitsemalla kanta dimensiaaliseen lineaariseen avaruuteen , voidaan liittää neliömatriisi lineaarimuunnokseen ja määrittää sille matriisin ominaispolynomi : $n$ $L$ $A\kaksoispiste L\-L$ $n\ kertaa n$

{\displaystyle P_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda \cdot I)=\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\lambda ^{k))

Ominaisuuspolynomi ei riipu perusteella in . Sen kertoimet ovat operaattoriinvariantteja . Erityisesti , eivät riipu perustan valinnasta. $L$ $A$ $a_{0}=\det \,A$ $a_{n-1}=\operaattorinimi {tr} \,A$

Ominaisarvot ja vain ne ovat matriisin ominaispolynomin juuria. Erillisten ominaisarvojen määrä ei voi ylittää matriisin kokoa. Jos valitsemme operaattorin ominaisvektorit kantavektoreiksi, niin tällaisessa kannassa oleva matriisi tulee diagonaaliksi ja operaattorin ominaisarvot ovat diagonaalissa. Huomaa kuitenkin, että jokainen matriisi ei salli ominaisvektorien kantaa (yleistä rakennetta kuvaa normaali Jordan-muoto ). Positiivisen määrätyn symmetrisen matriisin tapauksessa ominaisarvojen ja ominaisvektorien löytäminen ei ole muuta kuin vastaavan ellipsin puoliakselien suuntien ja pituuksien löytäminen . $A$ $A$

Jos lukukenttä on algebrallisesti suljettu (esimerkiksi kompleksilukujen kenttä ), ominaispolynomi hajoaa lineaaristen tekijöiden tuloksi: $n$

P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}\prod _{i=1}^{n}(\lambda -\lambda _{i})

missä ovat ominaisarvot; jotkut niistä voivat olla samanarvoisia. Ominaisarvon moninkertaisuus on niiden tekijöiden lukumäärä, jotka ovat yhtä suuret karakteristisen polynomin laajennuksessa lineaarisiksi tekijöiksi (kutsutaan myös ominaisarvon algebralliseksi moninkertaisuudeksi ). $\lambda _{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda -\lambda _{i},$

Juuriavaruuden ulottuvuus on yhtä suuri kuin ominaisarvon monikerta. $V_{\lambda _{i}}$

Vektoriavaruus hajoaa juurialiavaruuksien suoraksi summaksi ( Jordan -muotolauseen mukaan ): $L$

L=\bigoplus _{\lambda _{i}}V_{\lambda _{i}}

jossa summa on yli kaikkien ominaisarvojen .

\lambda _{i}

A

Ominaisarvon geometrinen monikertaisuus on vastaavan ominaisaliavaruuden ulottuvuus ; ominaisarvon geometrinen monikertaisuus ei ylitä sen monikertaisuutta, koska $\lambda _{i}$ $E_{\lambda _{i}}$ $E_{\lambda _{i}}\subseteq V_{\lambda _{i}}$

Normaalioperaattorit ja niiden alaluokat

Kaikki normaalioperaattorin juurivektorit ovat ominaisvektoreita. Eri ominaisarvoja vastaavan normaalioperaattorin ominaisvektorit ovat ortogonaalisia, eli jos , ja , niin (tämä ei pidä paikkaansa mielivaltaiselle operaattorille). $A$ $ax=\lambda x$ $Ay=\mu y$ $\lambda \neq \mu$ $(x,y)=0$

Kaikki itseadjoint-operaattorin ominaisarvot ovat todellisia, anti-hermiittisen operaattorin ominaisarvot ovat kuvitteellisia ja unitaarioperaattorin kaikki ominaisarvot sijaitsevat yksikköympyrässä . $|\lambda |=1$

Äärillisulotteisessa tapauksessa kaikkia ominaisarvoja vastaavien normaalioperaattorin ominaisaliavaruuksien dimensioiden summa on yhtä suuri kuin matriisin mitta, ja vektoriavaruus hajoaa ominaisaliavaruuksien ortogonaaliseksi summaksi: ${\displaystyle A\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n))$

L=\bigoplus _{\lambda _{i}}E_{\lambda _{i}}

jossa summa on yli kaikkien ominaisarvojen ja ovat keskenään ortogonaalisia eri . Tämä ominaisuus normaalioperaattorille over äärellisulotteisessa tapauksessa on ominaista: operaattori on normaali silloin ja vain, jos sen matriisilla on diagonaalimuoto jossain ortonormaalissa perustassa . $\lambda _{i}$ $A$ $E_{\lambda _{i}}$ $\lambda _{i}$ $\mathbb {C}$

Positiiviset matriisit

Neliömäistä reaalimatriisia kutsutaan positiiviseksi, jos kaikki sen elementit ovat positiivisia: . $n\ kertaa n$ $A=(a_{{ij}})$ $a_{ij}>0$

Perronin lause ( Perron–Frobenius-lauseen erikoistapaus ): Positiivisella neliömatriisilla on positiivinen ominaisarvo , jonka algebrallinen monikertaisuus on 1 ja joka ylittää tiukasti tämän matriisin minkä tahansa muun ominaisarvon itseisarvon. Ominaisuusarvo vastaa ominaisvektoria , jonka kaikki koordinaatit ovat ehdottomasti positiivisia. Vektori on ainoa ominaisvektori (luvulla kertomiseen asti), jolla on ei-negatiiviset koordinaatit. $A$ $r$ $r$ $e_{r}$ $e_{r}$ $A$

Ominaisuusvektori voidaan laskea suorilla iteraatioilla : valitaan mielivaltainen alkuvektori positiivisilla koordinaatteilla, seuraava elementti annetaan rekursiivisella kaavalla: $e_{r}$ $v_{0}$

v_{k+1}={\frac {Av_{k}}{\|Av_{k}\|}}

saadaan sekvenssi , joka konvergoi normalisoituun ominaisvektoriin . $v_{{k}}$ $e_{r}/\|e_{r}\|$

Toinen suoran iteraatiomenetelmän sovellusalue on positiivisesti määrättyjen symmetristen operaattoreiden ominaisvektorien etsiminen.

Ominaisarvoepäyhtälöt

Schurin epäyhtälö : matriisin ominaisarvoille : ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n))$ $A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots ,n}$

\sum _{i=1}^{n}|\lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^ {2}=\|A\|_{F}^{2}

lisäksi tasa-arvo saavutetaan jos ja vain jos on normaalimatriisi [10] . $A$

Matriisin ominaisarvoille , joissa matriisit ovat hermiittisiä , meillä on: $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ $A=B+iC$ $B, C$

\sum _{i=1}^{n}|\Re \lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|b_{ij} |^{2}

ja [11] .

\sum _{i=1}^{n}|\Im \lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|c_{ij} |^{2}

Hermiittiset matriisit ja niiden ominaisarvot nousevassa järjestyksessä: anna: at ja at [11] . $A, B$ $C=A+B$ $\alpha _{1}\leqslant ...\leqslant \alpha _{n},\beta _{1}\leqslant ...\leqslant \beta _{n},\gamma _{1}\leqslant .. .\leqslant \gamma _{n}$ $\gamma _{i}\geqslant \alpha _{i}+\beta _{i-j+1}$ $i\geqslant j$ $\gamma _{i}\leqslant \alpha _{i}+\beta _{i-j+n}$ $i\leqslant j$

Muistiinpanot

↑ Herstein (1964 , s. 228,229)
↑ Nering (1970 , s. 38)
↑ Joskus käytetään synonyymejä termejä: ominaisuusvektori ja operaattorin tunnusluku .
↑ Ei pidä sekoittaa lineaarisen vektoriavaruuden oikeaan aliavaruuteen - mikä tahansa muu aliavaruus kuin triviaaleja aliavaruuksia , eli itse tästä avaruudesta ja nolla-avaruudesta.
↑ Kline, 1972 , s. 807–808.
↑ Augustin Cauchy (1839) "Mémoire sur l'intégration des équations lineaires" (Muistokirja lineaaristen yhtälöiden integroinnista), Comptes rendus , 8 : 827-830, 845-865, 889-907, 931-93. s. 827: Arkistoitu 7. kesäkuuta 2019 Wayback Machinelle "On sait d'ailleurs qu'en suivant la méthode de Lagrange, on obtient pour valeur générale de la variable prinicipale une fonction dans laquelle entrent avec la variable principale les'quune racinese que j'appellerai l' équation caractéristique , le degré de cette équation étant précisément l'order de l'équation différentielle qu'il s'agit d'intégrer."
↑ Kline, 1972 , s. 1063.
↑ David Hilbert (1904). Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integrallgleichungen. (Erste Mitteilung)" Arkistoitu 5. marraskuuta 2018, Wayback Machine , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse , pp. 49-91.
↑ Aldrich, John (2006), "Omaarvo, ominaisfunktio, ominaisvektori ja vastaavat termit", julkaisussa Jeff Miller (toim.), Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics Arkistoitu 23. joulukuuta 2017 Wayback Machinessa
↑ Lineaarialgebran tehtävät ja lauseet, 1996 , s. 206.
↑ 1 2 Lineaarialgebran tehtäviä ja lauseita, 1996 , s. 207.

Kirjallisuus

Gantmakher F. R. . Matriisi teoria. -M.: Nauka, 1966. - 576 s. — ISBNISBN 5-9221-0524-8.
Wilkinson D. H. Algebrallinen ominaisarvoongelma. - M .: Nauka, 1970. - 564 s. — ISBN 978-5-458-25464-9 .
Gelfand I. M. . Luentoja lineaarisesta algebrasta. -M.: Dobrosvet, KDU, 2009. - 320 s. -1000 kappaletta. -ISBN 978-5-98227-625-4.
Faddeev D.K. Luennot algebrasta. -M.: YOYO Media, 2012. - 416 s. -ISBN 978-5-458-25543-1.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. -M.: Fizmatlit, 2009. - 512 s. -ISBN 978-5-9221-1139-3.
Prasolov VV Lineaarialgebran tehtävät ja lauseet. - M .: Nauka, 1996. - 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .
Ikramov Kh. D. Epäsymmetrinen ominaisarvoongelma. - M .: Nauka, 1991. - 240 s. — ISBN 5-02-014462-2 .
Herstein, IN (1964), Topics In Algebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
Horn, Roger A. & Johnson, Charles F. (1985), Matrix-analyysi , Cambridge University Press, ISBN 0-521-30586-1
Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2. painos), New York: Wiley
Kline, Morris (1972), Matemaattinen ajattelu muinaisista ajoista nykyaikaan , Oxford University Press, ISBN 0-19-501496-0

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu