Matemaattinen malli

Matemaattinen malli  on matemaattinen esitys todellisuudesta [1] , yksi mallin muunnelmista järjestelmänä , jonka tutkiminen mahdollistaa tiedon saamisen jostain muusta järjestelmästä. Erityisesti matemaattisen mallin on tarkoitus ennustaa todellisen kohteen käyttäytymistä, mutta se edustaa aina sen idealisointiastetta [B: 1] .

Matemaattisena mallintamisena kutsutaan sekä itse toimintaa että hyväksyttyjen menetelmien ja tekniikoiden kokonaisuutta matemaattisten mallien rakentamiseen ja tutkimiseen.

Kaikki luonnon- ja yhteiskuntatieteet , jotka käyttävät matemaattista laitteistoa, harjoittavat itse asiassa matemaattista mallintamista: ne korvaavat tutkimuskohteen sen matemaattisella mallilla ja tutkivat sitten jälkimmäistä. Matemaattisten menetelmien avulla kuvataan pääsääntöisesti ihanteellinen kohde tai prosessi, joka on rakennettu mielekkään mallinnuksen vaiheessa . Matemaattisen mallin yhdistäminen todellisuuteen tapahtuu empiiristen lakien , hypoteesien , idealisointien ja yksinkertaistamisten ketjun avulla.

Määritelmät

Matemaattinen malli  on likimääräinen kuvaus jostain ulkomaailman ilmiöluokista, ilmaistuna matemaattisilla symboleilla. [B:2]

Ljapunovin mukaan matemaattinen mallintaminen on epäsuoraa käytännöllistä tai teoreettista esineen tutkimusta, jossa ei suoraan tutkita meitä kiinnostavaa kohdetta, vaan jotain apukeinotekoista tai luonnollista järjestelmää (mallia), joka on objektiivisessa vastaavuudessa kohteen kanssa. tunnettu, joka pystyy korvaamaan sen tietyiltä osin ja antamaan tutkimuksen aikana lopulta tietoa mallinnetusta kohteesta itsestään [B: 3] .

Muissa versioissa matemaattinen malli määritellään alkuperäisen objektin objektin korvikkeena, joka tarjoaa tutkimuksen joidenkin alkuperäisen ominaisuuksien [B: 4] "vastaavana" esineelle, joka heijastaa matemaattisessa muodossa sen eniten. tärkeät ominaisuudet - lait , joita se noudattaa, sen osien luontaiset yhteydet" [B: 5] , yhtälöjärjestelmänä tai aritmeettisena suhteena tai geometrisena kuviona tai näiden yhdistelmänä, jonka tutkiminen matematiikan tulisi vastata kysymyksiin, jotka esitetään reaalimaailman objektin tietyn ominaisuusjoukon ominaisuuksista [B: 6] joukona matemaattisia suhteita, yhtälöitä, epäyhtälöitä, jotka kuvaavat prosessin, kohteen tai järjestelmän tärkeimpiä malleja. tutkimus [B: 7] .

Automaattisissa ohjausjärjestelmissä säätimen toiminta-algoritmin määrittämiseen käytetään matemaattista mallia. Tämä algoritmi määrittää, kuinka ohjaustoimintoa tulee muuttaa isäntälaitteen muutoksesta riippuen, jotta ohjaustavoite saavutetaan. [B:8]

Mikään määritelmä ei voi täysin kattaa matemaattisen mallintamisen tosielämän toimintaa . Tästä huolimatta määritelmät ovat hyödyllisiä, koska ne pyrkivät tuomaan esiin tärkeimmät ominaisuudet.

Mallien universaalisuus

Tärkeimmillä matemaattisilla malleilla on yleensä tärkeä universaalisuuden ominaisuus : olennaisesti erilaisia ​​todellisia ilmiöitä voidaan kuvata samalla matemaattisella mallilla. Esimerkiksi harmoninen oskillaattori kuvaa jousen kuorman käyttäytymisen lisäksi myös muita värähtelyprosesseja, usein täysin erilaisia: heilurin pieniä värähtelyjä, nesteen pinnan vaihteluita muotoillussa astiassa tai virran voimakkuuden muutos värähtelevässä piirissä. Siten tutkimalla yhtä matemaattista mallia tutkimme kerralla kokonaista luokkaa sen kuvaamia ilmiöitä. Juuri tämä matemaattisten mallien ilmaisemien lakien isomorfismi tieteellisen tiedon eri segmenteissä johti Ludwig von Bertalanffyn luomaan " yleisen järjestelmäteorian ".

Samalla on muistettava, että malli itsessään on objekti ja sillä voi olla joitain omia ominaisuuksia, jotka eivät liity mallinnettavaan todelliseen kohteeseen; Kuitenkin on julkaisuja jopa arvostetuissa aikakauslehdissä, joissa tutkitaan juuri niitä monimutkaisten matemaattisten mallien ominaisuuksia, jotka eivät liity mallinnettavaan kohteeseen. [B:9]

Mallien luokitus

Mallien muodollinen luokittelu

Mallien muodollinen luokittelu perustuu käytettyjen matemaattisten työkalujen luokitukseen. Usein rakennettu dikotomioiden muodossa . Esimerkiksi yksi suosituimmista dikotomioista [2] :

ja niin edelleen. Jokainen rakennettu malli on lineaarinen tai epälineaarinen, deterministinen tai stokastinen, ... Luonnollisesti myös sekatyypit ovat mahdollisia: keskittyneet yhdessä suhteessa (parametrien suhteen), hajautetut mallit toisessa jne.

Luokittelu objektin esitystavan mukaan

Muodollisen luokituksen ohella mallit eroavat tavasta, jolla ne edustavat objektia:

Rakennemallit edustavat kohdetta järjestelmänä , jolla on oma laite ja toimintamekanismi. Funktionaaliset mallit eivät käytä tällaisia ​​esityksiä ja heijastavat vain kohteen ulkoisesti havaittua käyttäytymistä (toimintaa). Äärimmäisessä ilmaisussaan niitä kutsutaan myös "musta laatikko" -malleiksi . [6] Yhdistetyt mallit ovat myös mahdollisia, joita joskus kutsutaan " harmaaksi laatikkomalleiksi ".

Merkitykselliset ja muodolliset mallit

Melkein kaikki matemaattisen mallintamisen prosessia kuvaavat kirjoittajat osoittavat, että ensin rakennetaan erityinen ideaalirakenne, mielekäs malli [7] . Tässä ei ole vakiintunutta terminologiaa, ja muut kirjoittajat kutsuvat tätä ideaalista objektia käsitteelliseksi malliksi [8] , spekulatiiviseksi malliksi [B: 10] [9] tai esimalliksi [10] . Tässä tapauksessa lopullista matemaattista konstruktiota kutsutaan muodolliseksi malliksi tai yksinkertaisesti matemaattiseksi malliksi, joka on saatu tämän sisältömallin formalisoinnin tuloksena (esimalli). Mielekäs malli voidaan rakentaa käyttämällä valmiita idealisaatioita, kuten mekaniikassa, jossa ideaaliset jouset, jäykät kappaleet, ideaaliset heilurit, elastiset väliaineet jne. tarjoavat valmiita rakenneosia mielekkääseen mallinnukseen. Kuitenkin niillä tiedon aloilla, joilla ei ole täysin valmiita formalisoituja teorioita ( fysiikka , biologia , taloustiede , sosiologia , psykologia ja useimmat muut alueet), mielekkäiden mallien luomisesta tulee paljon monimutkaisempaa.

Mielekäs mallien luokittelu

Peierls [11] luokittelee fysiikassa ja laajemmin luonnontieteissä käytetyt matemaattiset mallit . A. N. Gorbanin ja R. G. Khleboprosin kirjassa [ 12] tätä luokitusta analysoidaan ja laajennetaan. Tämä luokittelu keskittyy ensisijaisesti mielekkään mallin rakentamisvaiheeseen.

Hypoteesi

Ensimmäisen tyypin mallit - hypoteesit ( "tämä voisi olla" ), "edustavat ilmiön koekuvausta, ja kirjoittaja joko uskoo sen mahdollisuuteen tai pitää sitä jopa totta." Peierlsin mukaan näitä ovat esimerkiksi Ptolemaios-malli aurinkokunnasta ja Kopernikaaninen malli ( keplerin kehittämä ), Rutherfordin atomimalli ja Big Bang -malli .

Tieteen mallihypoteeseja ei voida todistaa lopullisesti, voidaan puhua vain niiden kumoamisesta tai kiistämättömyydestä kokeen tuloksena [13] .

Jos ensimmäisen tyypin malli rakennetaan, tämä tarkoittaa, että se tunnistetaan tilapäisesti todeksi ja voidaan keskittyä muihin ongelmiin. Tämä ei kuitenkaan voi olla tutkimuksen pointti, vaan vain väliaikainen tauko: ensimmäisen tyypin mallin tila voi olla vain väliaikainen.

Fenomenologinen malli

Toinen tyyppi, fenomenologinen malli ( "käyttäydymme ikään kuin…" ) sisältää ilmiön kuvausmekanismin, vaikka tämä mekanismi ei ole tarpeeksi vakuuttava, sitä ei voida riittävästi vahvistaa saatavilla olevilla tiedoilla tai se on huonosti yhdenmukainen käytettävissä olevien teorioiden kanssa. ja kertynyt tieto kohteesta. Siksi fenomenologisilla malleilla on tilapäisten ratkaisujen asema. Uskotaan, että vastausta ei vielä tiedetä, ja "oikeiden mekanismien" etsimistä on jatkettava. Peierls viittaa esimerkiksi alkuainehiukkasten kalorimalliin ja kvarkkimalliin toiseen tyyppiin.

Mallin rooli tutkimuksessa voi muuttua ajan myötä, voi tapahtua, että uudet tiedot ja teoriat vahvistavat fenomenologisia malleja ja ne nousevat hypoteesin asemaan. Samoin uusi tieto voi vähitellen joutua ristiriitaan ensimmäisen tyypin mallien-hypoteesien kanssa, ja ne voidaan siirtää toiseen. Siten kvarkkimalli on vähitellen siirtymässä hypoteesien kategoriaan; Fysiikan atomismi syntyi väliaikaisena ratkaisuna, mutta historian kuluessa se siirtyi ensimmäiseen tyyppiin. Mutta eetterimallit ovat siirtyneet tyypistä 1 tyyppiin 2, ja nyt ne ovat tieteen ulkopuolella.

Yksinkertaistamisen idea on erittäin suosittu mallien rakentamisessa. Mutta yksinkertaistaminen on eri asia. Peierls erottaa mallinnuksen kolme tyyppiä yksinkertaistamista.

Arviointi

Kolmas mallityyppi on approksimaatiot ( "pidämme jotain erittäin suurta tai hyvin pientä" ). Jos tutkittavaa järjestelmää kuvaavia yhtälöitä on mahdollista rakentaa, se ei tarkoita, että ne voitaisiin ratkaista edes tietokoneen avulla. Yleinen tekniikka tässä tapauksessa on approksimaatioiden käyttö (tyypin 3 mallit). Niiden joukossa on lineaarisia vastemalleja . Yhtälöt korvataan lineaarisilla. Vakioesimerkki on Ohmin laki .

Jos käytämme ideaalikaasumallia kuvaamaan riittävän harvinaisia ​​kaasuja, niin tämä on tyypin 3 malli (likiarvo). Suuremmilla kaasutiheyksillä on myös hyödyllistä kuvitella yksinkertaisempi ideaalikaasutilanne kvalitatiivista ymmärtämistä ja arviointia varten, mutta silloin se on jo tyyppiä 4.

Yksinkertaistaminen

Neljäs tyyppi on yksinkertaistaminen ( "jätämme joitain yksityiskohtia pois selvyyden vuoksi" ), tässä tyypissä hylätään yksityiskohdat, jotka voivat vaikuttaa tulokseen huomattavasti, eivätkä aina hallittavasti. Samat yhtälöt voivat toimia tyypin 3 (approksimaatio) tai tyypin 4 (joitakin yksityiskohtia selvyyden vuoksi jättämättä) mallina riippuen ilmiöstä, jota mallia käytetään tutkimaan. Jos siis käytetään lineaarisia vastemalleja monimutkaisempien mallien puuttuessa (eli ei-lineaarisia yhtälöitä ei linearisoida, vaan objektia kuvaavia lineaarisia yhtälöitä yksinkertaisesti etsitään), niin nämä ovat jo fenomenologisia lineaarisia malleja , ja ne kuuluvat seuraava tyyppi 4 (kaikki epälineaariset yksityiskohdat " jätetty pois selvyyden vuoksi).

Esimerkkejä: ihanteellisen kaasumallin soveltaminen ei-ideaaliseen malliin, van der Waalsin tilayhtälö , useimmat kiinteän olomuodon , neste- ja ydinfysiikan mallit . Polku mikrokuvauksesta suuresta määrästä hiukkasista koostuvien kappaleiden (tai väliaineiden) ominaisuuksiin on hyvin pitkä. Monet yksityiskohdat on jätettävä pois. Tämä johtaa neljännen tyypin malleihin.

Heuristinen malli

Viides tyyppi on heuristinen malli ( "ei ole kvantitatiivista vahvistusta, mutta malli auttaa syvempään käsitykseen asian olemuksesta" ), tällainen malli säilyttää vain laadullisen samankaltaisuuden todellisuuden kanssa ja antaa ennusteita vain "järjestyksessä suuruus". Tyypillinen esimerkki on keskimääräinen vapaan polun approksimaatio kineettisessä teoriassa . Se antaa yksinkertaisia ​​kaavoja viskositeetin , diffuusion ja lämmönjohtavuuden kertoimille , jotka ovat suuruusjärjestyksessä todellisuuden mukaisia.

Mutta kun rakennetaan uutta fysiikkaa, ei saada heti mallia, joka antaa ainakin laadullisen kuvauksen kohteesta - viidennen tyypin malli. Tässä tapauksessa mallia käytetään usein analogisesti , heijastaen todellisuutta ainakin jollain tavalla.

Analogia

Kuudes tyyppi on analoginen malli ( "otetaan huomioon vain jotkut ominaisuudet" ). Peierls antaa historian analogioiden käytöstä Heisenbergin ensimmäisessä ydinvoimien luonnetta käsittelevässä artikkelissa [14] .

Ajatuskoe

Seitsemäs mallityyppi on ajatuskoe ( "pääasia on kumota mahdollisuus" ). Einstein käytti usein tämäntyyppistä simulaatiota, erityisesti yksi näistä kokeista johti erityisen suhteellisuusteorian rakentamiseen . Oletetaan, että klassisessa fysiikassa seuraamme valoaaltoa valonnopeudella. Tarkkailemme sähkömagneettista kenttää , joka muuttuu avaruudessa ajoittain ja muuttuu ajassa vakiona . Maxwellin yhtälöiden mukaan näin ei voi olla. Tästä Einstein päätteli: joko luonnonlait muuttuvat, kun vertailukehys muuttuu, tai valon nopeus ei riipu viitekehyksestä , ja valitsi toisen vaihtoehdon.

Mahdollisuuden esittely

Kahdeksas tyyppi on osoitus mahdollisuudesta ( "pääasia on näyttää mahdollisuuden sisäinen johdonmukaisuus" ), tällaiset mallit ovat myös ajatuskokeita kuvitteellisilla kokonaisuuksilla, jotka osoittavat, että väitetty ilmiö on perusperiaatteiden mukainen ja on sisäisesti johdonmukainen. Tämä on tärkein ero tyypin 7 malleista, jotka paljastavat piilotetut ristiriidat.

Yksi tunnetuimmista näistä kokeista on Lobatševskin geometria . ( Lobatševski kutsui sitä "kuvitteelliseksi geometriaksi".) Einstein-Podolsky-Rosenin paradoksi suunniteltiin ajatuskokeeksi kvanttimekaniikan epäjohdonmukaisuuden osoittamiseksi, mutta se muuttui ajan mittaan suunnittelemattomalla tavalla tyypin 8 malliksi - mahdollisuuden esittelyksi. tiedon kvanttiteleportaatiosta .

Sisältöluokitus perustuu matemaattista analyysiä ja laskelmia edeltäviin vaiheisiin. Peierlsin mukaan kahdeksan mallityyppiä ovat kahdeksan tyyppiä mallinnuksen tutkimusasemaa.

Mallinnettavan järjestelmän monimutkaisuus

[B: 11] [B: 12] ehdotettiin erottamaan kolme järjestelmien monimutkaisuuden tasoa: yksinkertaiset fyysiset, monimutkaiset fyysiset ja biologiset järjestelmät, ja todettiin, että useimmissa tapauksissa monimutkaisempien järjestelmien pelkistämistä yksinkertaisempiin ei voida hyväksyä. .

Kovat ja pehmeät mallit

Akateemikko A. A. Andronov [B: 1] erotti kolme mallin epävakautta, jotka liittyvät pienten muutosten tekemiseen järjestelmään: 1) epävakaus alkuolosuhteiden muutokseen (Ljapunovin vakausehdon rikkominen), 2) epävakaus pieniin muutoksiin parametrit, jotka eivät johda järjestelmän vapausasteiden lukumäärän muutokseen ja 3) epävakautta pieniin parametrimuutoksiin, jotka aiheuttavat muutoksen järjestelmän vapausasteiden lukumäärässä. Järjestelmät, joissa on epävakautta pieniin muutoksiin parametreissa järjestelmän vapausasteiden lukumäärän muutoksella, oli tapana nimetä " ei- karkeiksi ". Myöhemmin niitä kutsuttiin "koviksi" malleiksi.

Harmoninen oskillaattori  on esimerkki "kovasta" mallista; se saadaan todellisen fyysisen järjestelmän vahvan idealisoinnin tuloksena:

,

jossa tarkoittaa toista derivaattia ajan suhteen: . Muodollisen luokituksen mukaan tämä malli on lineaarinen, deterministinen, dynaaminen, keskittynyt, jatkuva. Sen rakentamisprosessissa tehtiin monia oletuksia (ulkoisten voimien puuttumisesta, kitkan puuttumisesta, poikkeamien pienuudesta jne.), jotka eivät todellisuudessa välttämättä toteudu.

Todellisuuden suhteen tämä on useimmiten tyypin 4 yksinkertaistamismalli ("jätämme pois joitain yksityiskohtia selvyyden vuoksi"), koska joitain olennaisia ​​universaaleja piirteitä on jätetty pois (esimerkiksi hajoaminen ). Jossain likiarvossa (esim. kun kuorman poikkeama tasapainosta on pieni, vähäkitkaisena, ei liian pitkäksi ajaksi ja tietyissä muissa olosuhteissa) tällainen malli kuvaa varsin hyvin todellista mekaanista järjestelmää, koska hylätyt tekijät sillä on vähäinen vaikutus sen käyttäytymiseen. Mallia voidaan kuitenkin jalostaa ottamalla huomioon joitain näistä tekijöistä. Tämä johtaa uuteen malliin, jolla on laajempi (joskin jälleen rajoitettu) soveltamisala.

Pienet häiriöt muuttavat laadullisesti harmonisen oskillaattorin ominaisuuksia. Esimerkiksi jos lisäämme oikealle puolelle pienen termin (kitka) (  - joku pieni parametri), niin saamme eksponentiaalisesti vaimentuneet värähtelyt, jos muutamme lisätermin etumerkkiä, kitka muuttuu pumppaukseksi ja värähtelyksi amplitudi kasvaa eksponentiaalisesti.

Jäykän mallin sovellettavuuden ratkaisemiseksi on ymmärrettävä, kuinka merkittäviä ovat tekijät, jotka olemme laiminlyöneet. On tarpeen tutkia pehmeitä malleja, jotka on saatu jäykän pienellä häiriöllä. Harmoniselle oskillaattorille ne voidaan antaa esimerkiksi seuraavalla yhtälöllä:

.

Tässä  on jokin toiminto, joka voi ottaa huomioon kitkavoiman tai jousen jäykkyyskertoimen riippuvuuden sen venytysasteesta. Toiminnon selkeä muoto ei kiinnosta meitä tällä hetkellä.

Jos todistetaan, että pehmeän mallin käyttäytyminen ei poikkea olennaisesti kovan mallin käyttäytymisestä (riippumatta häiritsevien tekijöiden eksplisiittisestä muodosta, jos ne ovat tarpeeksi pieniä), ongelma rajoittuu kovan mallin tutkimiseen. Muuten jäykän mallin tutkimuksessa saatujen tulosten soveltaminen vaatii lisätutkimusta.

Jos järjestelmä säilyttää laadullisen käyttäytymisensä pienessä häiriössä, sen sanotaan olevan rakenteellisesti vakaa. Harmoninen oskillaattori on esimerkki rakenteellisesti epävakaasta (ei-karkeasta) järjestelmästä. [B:13] Tätä mallia voidaan kuitenkin soveltaa tutkimusprosesseihin rajoitetuilla aikaväleillä.

Matemaattisen mallinnuksen suorat ja käänteiset ongelmat

Matemaattiseen mallintamiseen liittyy monia ongelmia. Ensinnäkin on tarpeen keksiä mallinnettavan kohteen peruskaavio, toistaa se tämän tieteen idealisaatioiden puitteissa. Joten junavaunu muuttuu eri materiaaleista valmistettujen levyjen ja monimutkaisempien runkojen järjestelmäksi, jokaiselle materiaalille määritellään sen standardi mekaaninen idealisointi (tiheys, kimmomoduulit, vakiolujuusominaisuudet), minkä jälkeen matkan varrella laaditaan yhtälöt. Jotkut yksityiskohdat hylätään merkityksettöminä, tehdään laskelmia, verrataan mittauksiin, mallia jalostetaan ja niin edelleen. Matemaattisten mallinnustekniikoiden kehittämisen kannalta on kuitenkin hyödyllistä purkaa tämä prosessi sen tärkeimpiin osatekijöihin.

Perinteisesti matemaattisiin malleihin liittyy kaksi pääasiallista ongelmaluokkaa: suora ja käänteinen.

Suora tehtävä : mallin rakenne ja kaikki sen parametrit katsotaan tunnetuiksi, päätehtävänä on tutkia mallia hyödyllisen tiedon saamiseksi kohteesta. Mitä staattista kuormitusta silta kestää? Miten se reagoi dynaamiseen kuormaan (esimerkiksi sotilaskomppanian marssiin tai junan kulkuun eri nopeuksilla), kuinka lentokone ylittää äänivallin, hajoaako se lepatusta - nämä ovat tyypillisiä esimerkkejä suorasta tehtävästä. Oikean suoran ongelman asettaminen (oikean kysymyksen esittäminen) vaatii erityistaitoa. Jos oikeita kysymyksiä ei kysytä, silta voi romahtaa, vaikka sen käyttäytymiselle on rakennettu hyvä malli. Joten vuonna 1879 Isossa-Britanniassa Firth of Tayn poikki romahti metallinen rautatiesilta , jonka suunnittelijat rakensivat sillan mallin, laskivat sen hyötykuorman 20-kertaiseksi turvamarginaaliksi, mutta unohtivat jatkuvasti puhaltavat tuulet. noissa paikoissa. Ja puolentoista vuoden kuluttua se romahti. [viisitoista]

Yksinkertaisimmassa tapauksessa (esimerkiksi yksi oskillaattoriyhtälö) suora ongelma on hyvin yksinkertainen ja pelkistyy tämän yhtälön eksplisiittiseksi ratkaisuksi.

Käänteinen ongelma : monia mahdollisia malleja tunnetaan, on tarpeen valita tietty malli objektia koskevien lisätietojen perusteella. Useimmiten mallin rakenne tunnetaan ja joitain tuntemattomia parametreja on määritettävä. Lisätiedot voivat koostua empiirisista lisätiedoista tai kohteen vaatimuksista ( suunnitteluongelma ). Lisätietoa voi tulla käänteisongelman ratkaisuprosessista riippumatta ( passiivinen havainnointi ) tai sen ratkaisemisen yhteydessä erityisesti suunnitellun kokeen tulos ( aktiivinen havainnointi ).

Yksi ensimmäisistä esimerkeistä käänteisen ongelman virtuoosista ratkaisusta, jossa hyödynnetään mahdollisimman paljon saatavilla olevaa dataa, oli Newtonin menetelmä kitkavoimien rekonstruoimiseksi havaituista vaimennetuista värähtelyistä.

Toinen esimerkki on matemaattiset tilastot . Tämän tieteen tehtävänä on kehittää menetelmiä havainto- ja kokeellisen datan tallentamiseen, kuvaamiseen ja analysointiin massasatunnaisten ilmiöiden todennäköisyysmallien rakentamiseksi [B: 14] . Toisin sanoen mahdollisten mallien joukkoa rajoittavat todennäköisyysmallit. Tietyissä ongelmissa mallien joukko on rajallisempi.

Tietokonesimulaatiojärjestelmät

Matemaattisen mallintamisen tukemiseksi on kehitetty tietokonematemaattisia järjestelmiä, esimerkiksi Maple , Mathematica , Mathcad , MATLAB , VisSim , [B: 15] ja Scilab jne. Niiden avulla voit luoda muodollisia ja lohkomalleja sekä yksinkertaisista että monimutkaisista prosesseista. ja laitteet ja muuttaa malliparametreja helposti simuloinnin aikana. Lohkomalleja edustavat lohkot (useimmiten graafiset), joiden sarja ja kytkentä määritellään mallikaaviossa.

Esimerkkejä

Malthus malli

Malthuksen ehdottaman mallin mukaan kasvuvauhti on verrannollinen nykyiseen väestön kokoon , eli sitä kuvaa differentiaaliyhtälö:

,

jossa  on tietty parametri, jonka määrittää syntyvyyden ja kuolleisuuden välinen ero. Tämän yhtälön ratkaisu on eksponentiaalinen funktio . Jos syntyvyys ylittää kuolleisuuden ( ), väestön koko kasvaa loputtomasti ja erittäin nopeasti. Todellisuudessa näin ei voi tapahtua rajallisten resurssien vuoksi. Kun tietty kriittinen populaatiokoko saavutetaan, malli lakkaa olemasta riittävä, koska se ei ota huomioon rajallisia resursseja. Malthus-mallin jalostus voi toimia logistisena mallina , jota kuvaa Verhulstin differentiaaliyhtälö :

,

missä  on "tasapaino" väestön koko, jossa kuolleisuus kompensoi täsmälleen syntyvyyden. Populaatiokoko tällaisessa mallissa pyrkii tasapainoarvoon , ja tämä käyttäytyminen on rakenteellisesti vakaata.

Bonhoeffer-van der Pol -malli

Richard FitzHughin vuoden 1961 artikkelissa [A:2] ehdotettua mallia pidetään yleisesti klassisena esimerkkinä nopeiden ja hitaiden järjestelmien käsitteellisten mallien tutkimuksesta . Kanonisessa muodossaan se on kirjoitettu [A: 3] nimellä

.

Richard FitzHugh johti tämän mallin van der Pol -yhtälön yleistyksen ja saksalaisen kemistin Karl-Friedrich Bonhoefferin ehdottaman mallin tuloksena . Vaikka van der Pol -yhtälö (ja vastaava järjestelmä) on käsitteellinen rajasyklimalli , Bonhoeffer-van der Pol -yhtälö (ja vastaava järjestelmä) luokitellaan autoaaltoprosessien käsitteelliseksi malliksi . Sen pohjalta on luotu suuri määrä muodollisesti kineettisiä aihemalleja kemiallisista ja biologisista värähtelyjärjestelmistä.

Predator-Prey system

Oletetaan, että tietyllä alueella elää kahdenlaisia ​​eläimiä : kaneja (syövät kasveja ) ja kettuja (syövät kaneja). Olkoon kanien määrä, kettujen määrä . Käyttämällä Malthus -mallia tarvittavin korjauksin, ottaen huomioon kettujen syömän kanin, päädymme seuraavaan järjestelmään, joka kantaa Lotka-Volterra-mallin nimeä :

Tämän järjestelmän käyttäytyminen ei ole rakenteellisesti vakaata : pieni muutos mallin parametreissa (esimerkiksi ottaen huomioon kanien tarvitsemat rajalliset resurssit) voi johtaa laadulliseen käyttäytymisen muutokseen .

Joillekin parametriarvoille tällä järjestelmällä on tasapainotila, kun kanien ja kettujen lukumäärä on vakio. Tästä tilasta poikkeaminen johtaa kaniinien ja kettujen lukumäärän asteittain vaimeneviin vaihteluihin .

Myös päinvastainen tilanne on mahdollinen, kun pienikin poikkeama tasapainoasennosta johtaa katastrofaalisiin seurauksiin, aina yhden lajin täydelliseen sukupuuttoon asti. Kysymykseen, mikä näistä skenaarioista on toteutumassa, Volterra-Lotka-malli ei anna vastausta: tässä tarvitaan lisätutkimusta.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ "Todellisuuden matemaattinen esitys" (Encyclopaedia Britanica)
  2. ↑ Mallin pelkistys ja karkearakeisuusmenetelmät monimittakaisille  ilmiöille . Springer, Complexity-sarja, Berliini-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4 . Haettu 18. kesäkuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 18. kesäkuuta 2013.
  3. ↑ ”Teoriaa pidetään lineaarisena tai epälineaarisena sen mukaan, onko se lineaarinen vai epälineaarinen matemaattinen laitteisto, mitä lineaarisia tai epälineaarisia matemaattisia malleja se käyttää. ... jälkimmäistä kieltämättä. Moderni fyysikko, jos hän satuisi määrittelemään uudelleen niin tärkeän kokonaisuuden kuin epälineaarisuus, toimisi todennäköisesti eri tavalla, ja pitäessään parempana epälineaarisuutta tärkeimpänä ja yhteisenä kahdesta vastakohdasta, määrittelisi lineaarisuuden "epälineaariseksi" lineaarisuus". Danilov Yu. A. , Luennot epälineaarisesta dynamiikasta. Alkuperäinen esittely. Synergia: menneisyydestä tulevaisuuteen. Ed.2. — M.: URSS, 2006. — 208 s. ISBN 5-484-00183-8
  4. ↑ Anishchenko, 1997 , "Dynaamisia järjestelmiä, jotka on mallinnettu äärellisellä määrällä tavallisia differentiaaliyhtälöitä, kutsutaan niputetuiksi tai pistejärjestelmiksi. Niitä kuvataan äärellisulotteisen vaiheavaruuden avulla ja niille on ominaista äärellinen määrä vapausasteita. Yhtä ja samaa järjestelmää eri olosuhteissa voidaan pitää joko keskittyneenä tai hajautettuna. Hajautettujen järjestelmien matemaattiset mallit ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, integraaliyhtälöitä tai tavallisia yhtälöitä, joissa on hidastettu argumentti. Hajautetun järjestelmän vapausasteiden määrä on ääretön, ja sen tilan määrittämiseen tarvitaan ääretön määrä dataa.
  5. ↑ 1 2 3 Sovetov, 2001 , “Riippuen järjestelmän S tutkittavien prosessien luonteesta, kaikki mallinnuksen tyypit voidaan jakaa deterministiseen ja stokastiseen, staattiseen ja dynaamiseen, diskreettiin, jatkuvaan ja diskreetti-jatkuvaan. Deterministinen mallinnus näyttää deterministisiä prosesseja, toisin sanoen prosesseja, joissa oletetaan satunnaisten vaikutusten puuttumista; stokastinen mallinnus näyttää todennäköisyysprosesseja ja tapahtumia. … Staattista mallinnusta käytetään kuvaamaan kohteen käyttäytymistä milloin tahansa, kun taas dynaaminen mallinnus heijastaa objektin käyttäytymistä ajan kuluessa. Diskreettiä mallinnusta käytetään kuvaamaan prosesseja, jotka oletetaan diskreeteiksi, vastaavasti jatkuvalla mallinnuksella voidaan heijastaa jatkuvia prosesseja järjestelmissä ja diskreetti-jatkuvaa mallinnusta käytetään tapauksissa, joissa halutaan korostaa sekä diskreettien että jatkuvien prosessien läsnäoloa.
  6. ↑ Myshkis, 2007 , Yleensä mallinnettavan kohteen rakenne (laite) heijastuu matemaattiseen malliin , tämän objektin komponenttien ominaisuuksiin ja yhteyksiin, jotka ovat olennaisia ​​tutkimuksen kannalta; tällaista mallia kutsutaan rakenteelliseksi. Jos malli heijastaa vain sitä, miten kohde toimii - esimerkiksi kuinka se reagoi ulkoisiin vaikutuksiin -, sitä kutsutaan toiminnalliseksi tai kuvaannollisesti mustaksi laatikoksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia.
  7. ↑ Myshkis, 2007 , ”Ilmeinen, mutta tärkein alkuvaihe matemaattisen mallin rakentamisessa tai valinnassa on saada mahdollisimman selkeä käsitys mallinnettavasta kohteesta ja jalostaa sen sisältömallia epävirallisten keskustelujen pohjalta. Tässä vaiheessa ei kannata säästää aikaa ja vaivaa, siitä riippuu pitkälti koko tutkimuksen onnistuminen. Useammin kuin kerran tapahtui, että matemaattisen ongelman ratkaisemiseen käytetty huomattava työ osoittautui tehottomaksi tai jopa hukkaan, koska asian tähän puoleen ei kiinnitetty riittävästi huomiota. 35.
  8. ↑ Neuvostoliitot, 2001 , “ Järjestelmän käsitteellisen mallin kuvaus. Tässä järjestelmämallin rakentamisen alivaiheessa: a) käsitteellinen malli M kuvataan abstraktein termein ja käsittein; b) mallin kuvaus annetaan käyttäen tyypillisiä matemaattisia kaavioita; c) hypoteesit ja oletukset hyväksytään lopulta; d) todellisten prosessien approksimointimenettelyn valinta mallia rakennettaessa perustellaan.», s. 93.
  9. ↑ Myshkis, 2006 , luku 2.
  10. ↑ Samarsky, 2001 , "Mallin rakentaminen alkaa esineen tai ilmiön sanallisella ja semanttisella kuvauksella. … Tätä vaihetta voidaan kutsua esimallin muotoiluksi.”, s. 25.
  11. ↑ Peierls R. Mallinteko fysiikassa. — Contemp. Phys., tammi/helmikuu 1980, v. 21, s. 3-17; Käännös: R. Peierls, Fyysisten mallien rakentaminen, UFN, 1983, nro 6.
  12. ↑ Gorban A. N., Khlebopros R. G. , Darwinin demoni: Idea optimaalisuudesta ja luonnollisesta valinnasta . - M: Tiede. Päällikkö toim. Fys.-Math. lit., 1988. - 208 s. - (Tieteen ja teknologian kehityksen ongelmat) - ISBN 5-02-013901-7 (luku " Mallinteko " Arkistoitu 7. lokakuuta 2008 Wayback Machinessa )
  13. ↑ "Meillä on aina kyky kumota teoria, mutta huomaa, että emme voi koskaan todistaa, että se on oikea. Oletetaan, että esität onnistuneen hypoteesin, lasket mihin se johtaa ja huomaat, että kaikki sen seuraukset vahvistetaan kokeellisesti. Tarkoittaako tämä, että teoriasi on oikea? Ei, se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että et onnistunut kumoamaan sitä.”
    Feynman P. , Fysikaalisten lakien luonne. Kirjasto "Quantum", numero 62. - M .: Nauka, toim. toinen, tarkistettu, 1987; Luento 7. Uusia lakeja etsimässä. Arkistoitu 5. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
  14. ↑ "Tämä tapahtui neutronin löytämisen jälkeen , ja vaikka W. Heisenberg itse ymmärsi, että ytimiä voidaan kuvata neutroneista ja protoneista koostuvana , hän ei silti päässyt eroon ajatuksesta, että neutronin pitäisi lopulta koostua protonista ja elektroni . Tässä tapauksessa syntyi analogia neutroni-protonijärjestelmän vuorovaikutuksen ja vetyatomin ja protonin vuorovaikutuksen välillä. Tämä analogia johti hänet siihen johtopäätökseen, että neutronin ja protonin välillä täytyy olla vuorovaikutuksen vaihtovoimia, jotka ovat analogisia järjestelmän vaihtovoimien kanssa, jotka johtuvat elektronin siirtymisestä kahden protonin välillä. ... Myöhemmin kuitenkin todistettiin neutronin ja protonin välisten vuorovaikutusvoimien olemassaolo, vaikka ne eivät täysin tyhjentäneet kahden hiukkasen välistä vuorovaikutusta... Mutta samaa analogiaa noudattaen W. Heisenberg tuli johtopäätös, että kahden protonin välillä ei ole ydinvoimia, ja olettaa kahden neutronin välistä repulsiota. Molemmat viimeksi mainitut johtopäätökset ovat ristiriidassa myöhempien tutkimusten tulosten kanssa.
  15. ↑ Science-Building arkistoitu 23. toukokuuta 2009 the Wayback Machine , Technical Encyclopedia

Kirjallisuus

Kirjat

  1. ↑ 1 2 Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Värähtelyteoria. - 2. painos, tarkistettu. ja korjattu - M . : Nauka , 1981. - 918 s.
  2. ↑ Matemaattinen tietosanakirja / Ch. toim. Prokhorov Yu. V. . - M . : Sov. Encyclopedia, 1988. - 847 s.
  3. ↑ Novik I. B. Kyberneettisen mallintamisen filosofisista kysymyksistä . - M . : Tieto, 1964.
  4. ↑ Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A. Järjestelmän mallinnus: Proc. yliopistoja varten . - 3. painos, tarkistettu. ja muita .. - M . : Vyssh. koulu, 2001. - 343 s. — ISBN 5-06-003860-2 .
  5. ↑ Samarsky A. A. , Mikhailov A. P. Matemaattinen mallinnus. Ideoita. menetelmät. Esimerkkejä . — 2. painos, korjattu. - M. : Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X .
  6. ↑ Myshkis A. D. Matemaattisten mallien teorian elementit . - 3. painos, Rev. - M . : KomKniga, 2007. - 192 s. — ISBN 978-5-484-00953-4 .
  7. ↑ Sevostyanov, A. G. , Sevostyanov, P. A. Teknologisten prosessien mallintaminen: oppikirja. - M. : Kevyt- ja elintarviketeollisuus, 1984. - 344 s.
  8. ↑ Rotach V. Ya. Automaattisen ohjauksen teoria. - 1. - M . : CJSC "Publishing House MPEI", 2008. - 333 s. - ISBN 978-5-383-00326-8 .
  9. ↑ Skorinkin A.I. Biologisten prosessien matemaattinen mallintaminen. - Kazan: Kazan. un-t, 2015. - 86 s.
  10. ↑ Blekhman I. I. , Myshkis A. D. , Panovko N. G. Soveltava matematiikka: Aihe, logiikka, lähestymistapojen piirteet. Esimerkkejä mekaniikasta: Oppikirja. - 3. painos, Rev. ja muita .. - M . : URSS, 2006. - 376 s. — ISBN 5-484-00163-3 .
  11. ↑ Mishchenko E. F. , Kolesov Yu. S. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Jaksottaiset liikkeet ja bifurkaatioprosessit yksittäistapauksissa häiriintyneissä järjestelmissä . - M . : Fizmatlit, 1995. - 336 s. — ISBN 5-02-015129-7 .
  12. ↑ Mishchenko E. F. , Sadovnichiy V. A. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Paljon kaaosta . - M . : Fizmatlit, 2012. - 432 s. — ISBN 978-5-9221-1423-3 .
  13. ↑ Arnold V. I. Jäykät ja pehmeät matemaattiset mallit . - M. : MTSNMO, 2004. - ISBN 5-94057-134-4 .
  14. ↑ Matematiikan todennäköisyyspohjaiset osat / Toim. Yu. D. Maksimova . - Pietari. : "Ivan Fedorov", 2001. - S.  400 . — 592 s. — ISBN 5-81940-050-X .
  15. ↑ Dyakonov V.P. Matlab R2006/2007/2008. Simulink 6.5.7. Sovelluksen perusteet. - M .: Solon-Press, 2008. - 800 s. - (Ammattilaisen kirjasto). - ISBN 978-5-91359-042-8 .

Artikkelit

  1. ↑ Anishchenko V.S. Dynaamiset järjestelmät // Soros Educational Journal. - 1997. - Nro 11 . - S. 77-84 .
  2. ↑ FitzHugh R. Impulssit ja fysiologiset tilat hermokalvon teoreettisissa malleissa   // Biophys . J.: lehti. - 1961. - Voi. 1 . — s. 445–466 .
  3. ↑ Moskalenko A. V. , Tetuev R. K. , Makhortykh S. A. Kysymykseen värähtelyteorian nykytilasta  // Preprints of the IAM im. M. V. Keldysh  : päiväkirja. - 2019. - Nro 44 . - S. 1-32 . — ISSN 2071-2901 . - doi : 10.20948/prepr-2019-44 .

Lue lisää

 Matematiikan alat
Portaali "Tiede"
Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra
Lukuteoria ( aritmetiikka )
  • Portaali "Matematiikka"
  • Luokka "Matematiikka"
  Siirry Wikidata-kohteeseen  Sanakirjat ja tietosanakirjat