Rajoita määritelmää epsilonin ja deltan suhteen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. lokakuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Rajan määritelmä termeillä ja (" rajan epsilon - delta määritelmä ") on rajan käsitteen formalisointi . Käsite johtuu Augustin-Louis Cauchystä , joka ei antanut muodollista määritelmää rajalle termeissä ja Cours d'Analysisessa , vaikka hän käytti sitä aika ajoin todisteissa . Ensimmäisen muodollisen määritelmän antoi Bernard Bolzano vuonna 1817, ja modernin muotoilun antoi Karl Weierstrass [1] [2] . Hän antoi tarkan muotoilun seuraavalle epäviralliselle määritelmälle: riippuvainen ilmaisu $\varepsilon$ $\delta$ $\varepsilon$ $\delta$ $\varepsilon$ $\delta$ $f(x)$ pyrkii arvoon L , kun muuttuja x pyrkii arvoon c , jos arvo voidaan saada mielivaltaisesti lähelle arvoa L valitsemalla x tarpeeksi lähelle c :tä . $f(x)$

Historia

Vaikka kreikkalaiset kohtasivatkin konvergenssin esimerkiksi babylonialaisessa neliöjuurien laskemismenetelmässä , heillä ei näytä olleen käsitettä, joka olisi samanlainen kuin nykyaikainen raja-käsite [3] . Tarve rajan käsitteelle syntyi 1600-luvulla, kun Pierre Fermat yritti löytää tangentin kaltevuuden funktion, kuten , kuvaajan pisteestä . Fermat teki seuraavat laskelmat käyttämällä nollasta poikkeavaa, mutta hyvin pientä, lähes nollaa olevaa arvoa : $x$ $f(x)=x^{2}$ $E$

{\begin{aligned}{\text{tilt}}&={\frac {f(x+E)-f(x)}{E}}\\&={\frac {(x+E) )^{2}-x^{2}}{E}}\\&={\frac {x^{2}+2xE+E^{2}-x^{2}}{E}}\\ &={\frac {2xE+E^{2}}{E}}=2x+E=2x.\end{aligned}}

Yllä olevien laskelmien keskeinen tosiasia on, että arvo , ja sitten voit jakaa . Koska lauseke on kuitenkin lähellä nollaa, se on itse asiassa yhtä suuri kuin [4] . Tällaisia määriä kutsutaan äärettömäksi pieniksi . Tämän laskelman ongelmana on, että tuon aikakauden matemaatikot eivät pystyneet määrittämään tarkasti suureita, joilla on ominaisuuksia [5] , vaikka oli yleinen käytäntö jättää huomiotta infinitesimaalien suuret potenssit, ja tämä käytäntö antoi oikeat tulokset. $E$ $f(x+E)-f(x)$ $E$ $E$ $2x+E$ $2x$ $E$ $E$

Ongelma syntyi 1600-luvun lopulla laskennan kehittyessä , kun Fermatin kaltaisista laskelmista tuli tärkeitä johdannaisten laskennassa . Isaac Newton kehitti ensimmäisenä analyysin käyttämällä äärettömän pieniä määriä, joita hän kutsui vuoiksi . Hän kehitti menetelmänsä ajatuksella "äärimmäisen pienestä ajan hetkestä..." [6] . Myöhemmin Newton hylkäsi vuotojen suosimisen mittasuhteiden teorialle, joka on lähempänä nykyaikaista rajan määritelmää [6] ․ Lisäksi Newton tiesi, että nollaan pyrkivien määrien suhteen raja ei ole itse rajojen suhde. Hän kirjoitti: $\varepsilon {\text{–}}\delta$

Nämä raja-arvot eivät ole todellisia raja-arvojen suhteita, vaan rajoja, jotka voidaan saavuttaa lähempänä kuin mikä tahansa annettu arvo...

Lisäksi Newton toisinaan selitti rajaa määritelmän [7] kaltaisilla termeillä . Gottfried Wilhelm Leibniz kehitti omat infinitesimaalinsa ja yritti tarjota niille tiukan perustan, mutta jotkut matemaatikot ja filosofit kohtasivat hänen ajatuksensa tyrmistyneenä [6] . $\varepsilon {\text{–}}\delta$

Augustin Louis Cauchy määritteli rajan primitiivisemmän käsitteen avulla, jota hän kutsui muuttujaksi . Hän ei koskaan määritellyt rajaa termeillä (Grabiner 1981). Jotkut Cauchyn todistukset sisältävät merkkejä menetelmästä. Voidaanko hänen lähestymistapaansa pitää Weierstrassin lähestymistavan edelläkävijänä, on tieteellisen keskustelun aihe. Grabiner ajattelee niin, mutta Schubring on eri mieltä [1] . Nakane uskoo, että Cauchy ja Weierstrass antoivat saman nimen erilaisille rajakäsitteille [8] . $\varepsilon {\text{–}}\delta$ $\varepsilon {\text{–}}\delta$

Ajan myötä Weierstrass ja Bolzano tunnustettiin tarjoaneen vankan perustan matemaattiselle analyysille nykyaikaisen rajan määritelmän muodossa [1] [2] . Tarve viitata äärettömään pieneen suureen hävisi [6] ja Fermatin laskelmat muuttuivat seuraavaksi rajaksi: $\varepsilon {\text{-}}\delta$ $E$

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h)).

Ei voida sanoa, että määritelmä on ongelmaton, ja vaikka se teki mahdolliseksi päästä eroon äärettömän pienistä suureista, se vaati myöhemmin Richard Dedekindin [6] reaalilukujen rakentamista . Ei myöskään voida sanoa, että infinitesimaalit eivät ole olemassa modernissa matematiikassa, koska matemaatikot ovat kyenneet luomaan infinitesimaaleja osana hyperreaalilukujen tai surrealististen lukujen järjestelmiä . Lisäksi laskentaa voidaan tiukasti kehittää tällaisilla suureilla, ja niillä on muita käyttötarkoituksia matematiikassa [9] .

Epävirallinen lausunto

Mahdollinen epämuodollinen (eli intuitiivinen tai likimääräinen) määritelmä on " funktio pyrkii rajaan L lähellä pistettä a (symbolisessa muodossa, ), jos voimme tehdä funktion f ( x ) arvon mielivaltaisen lähelle L :tä valitsemalla x tarpeeksi lähellä (mutta ei) a » [10] . $f$ $\lim _{x\to a}f(x)=L\,$

Kun sanomme kahden suuren olevan lähellä (kuten f ( x ) ja L tai x ja a ), tarkoitamme, että niiden välinen etäisyys on pieni. Jos f ( x ) , L , x ja a ovat reaalilukuja , näiden kahden luvun välinen etäisyys on yhtä suuri kuin näiden kahden suuren erotuksen itseisarvo . Siten kun sanomme, että f ( x ) on lähellä L: tä , tarkoitamme, että se on pieni. Kun sanomme, että x ja a ovat lähellä, tarkoitamme, että se on pieni [11] . $|f(x)-L|$ $|xa|$

Kun sanotaan, että funktion f ( x ) arvo on mahdollista saada mielivaltaisesti lähelle L : tä , se tarkoittaa, että kaikilla nollasta poikkeavilla etäisyyksillä voidaan varmistaa, että f ( x ) ja L: n välinen etäisyys on pienempi kuin [11] . $\varepsilon$ $\varepsilon$

Kun sanomme, että voimme tehdä funktion f ( x ) arvon mielivaltaisen lähelle L :tä vaatimalla x :n olevan riittävän lähellä a :ta , mutta ei yhtä kuin a , tarkoitamme, että mille tahansa nollasta poikkeavalle etäisyydelle on olemassa ei- nollaetäisyys siten, että jos x :n ja a :n välinen etäisyys on pienempi kuin , niin etäisyys f ( x ) ja L: n välillä on pienempi kuin [11] . $\varepsilon$ $\delta$ $\delta$ $\varepsilon$

Tässä käytetty epävirallinen/intuitiivinen näkökohta on se, että määritelmä vaatii seuraavan sisäisen päättelyn (joka yleensä parafraseerataan kielellä, kuten "kun vastustaja/kilpailija hyökkää kimppuusi kanssa , puolustat arvolla "): joku antaa testiarvon annettu funktio piste a ja raja L . On tarpeen vastata sellaisella arvolla , että alkaen seuraa . Jos on mahdollista antaa vastaus mihin tahansa testisuureen, on olemassa raja [12] . $\varepsilon$ $\delta$ $\varepsilon >0$ $f$ $\delta>0$ $0<|xa|<\delta$ $|f(x)-L|<\varepsilon$

Tarkka lausunto ja siihen liittyvät lausunnot

Tarkka väite todellisista funktioista

Toimintarajan määritelmä on seuraava [11] : $(\varepsilon, \delta)$

Antaa olla todellinen funktio määritelty osajoukko reaalilukuja . Antaa olla joukon rajapiste ja antaa olla reaaliluku. Siinä sanotaan $f$ $D$ $c$ $D$ $L$

\lim _{x\to c}f(x)=L,

jos jollekin on olemassa , niin että kaikille , jos , niin [13] . $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $x\ in D$ $0<|xc|<\delta$ $|f(x)-L|<\varepsilon$

Symbolisessa muodossa:

\lim _{x\to c}f(x)=L\iff (\forall \varepsilon >0,\,\exists \ \delta >0,\,\forall x\in D,\,0 <|xc|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-L|<\varepsilon ).

Jos tai , rajapisteenä oleva ehto voidaan korvata yksinkertaisemmalla ehdolla, että c kuuluu D :hen , koska suljetut reaalivälit ja koko reaaliakseli ovat täydellisiä joukkoja . $D=[a,b]$ $D=\mathbb {R}$ $c$

Tarkka lauseke metriavaruuksien välisille funktioille

Määritelmä voidaan yleistää funktioihin, jotka kuvaavat metriavaruuden toiseen metriavaruuteen. Näissä avaruuksissa on metriikaksi kutsuttu funktio, joka ottaa kaksi pistettä avaruudessa ja palauttaa reaaliluvun, joka edustaa näiden kahden pisteen välistä etäisyyttä [14] . Yleinen määritelmä [15] :

Oletetaan, että funktio on määritelty metriikka- avaruuden osajoukossa metriikalla ja kartoittaa sen metriavaruuteen metriikalla . Antaa olla rajapiste asettaa , ja olla pisteen avaruus . $f$ $D$ $X$ ${\näyttötyyli d_{X}(x,y)}$ $Y$ ${\näyttötyyli d_{Y}(x,y)}$ $c$ $D$ $L$ $Y$

Me sanomme sen

\lim _{x\to c}f(x)=L,

jos jokin on olemassa , niin että kaikille alkaen seuraa . $\varepsilon > 0$ $\delta$ $x\ in D$ $0<d_{X}(x,c)<\delta$ $d_{Y}(f(x),L)<\varepsilon$

Koska se on reaalilukujen metriikka, voidaan osoittaa, että tämä määritelmä yleistää ensimmäisen määritelmän reaalifunktioille [16] . $d(x,y)=|xy|$

Tarkan väitteen kieltäminen

Määritelmän looginen negaatio on seuraava [17] :

Oletetaan, että funktio on määritelty metriikka- avaruuden osajoukossa metriikalla ja kartoittaa sen metriavaruuteen metriikalla . Antaa olla joukon rajapiste ja antaa olla piste avaruudessa . $f$ $D$ $X$ ${\näyttötyyli d_{X}(x,y)}$ $Y$ ${\näyttötyyli d_{Y}(x,y)}$ $c$ $D$ $L$ $Y$

Me sanomme sen

\lim _{x\to c}f(x)\neq L,

Jos on olemassa , niin että kaikille on olemassa , sellainen että ja . $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $x\ in D$ $0<d_{X}(x,c)<\delta$ $d_{Y}(f(x),L)>\varepsilon$

Sanomme, että sitä ei ole olemassa, jos kaikille . $\lim _{x\to c}f(x)$ $L\in Y\lim _{x\to c}f(x)\neq L$

Kumotaksemme väitteen todellisista funktioista, jotka on määritelty reaaliluvuilla, otamme yksinkertaisesti . $d_{Y}(x,y)=d_{X}(x,y)=|xy|$

Tarkka lausunto äärettömän rajalle

Äärettömän rajan tarkka määritelmä on seuraava:

Olkoon funktio reaalifunktio , joka on määritelty reaalilukujoukon osajoukossa, ja tämä osajoukko sisältää mielivaltaisen suuria lukuja. Me sanomme sen $f$ $D$

\lim _{x\to \infty }f(x)=L,

jos jollakin on olemassa reaaliluku , niin että kaikille ehto seuraa [18] . $\varepsilon >0$ $N>0$ $x\ in D$ $x>N$ $|f(x)-L|<\varepsilon$

Samanlainen määritelmä voidaan antaa mielivaltaisille metriavaruuksille.

Esimerkkejä

Esimerkki 1

Näytämme se

\lim _{x\to 0}x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}=0.

Arvo annetaan. Meidän on löydettävä sellainen, että seuraavasta . $\varepsilon >0$ $\delta >0$ $|x-0|<\delta$ $\left|x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-0\right|<\varepsilon$

Koska sini on yläpuolella 1:llä ja alapuolella −1:llä,

${\begin{aligned}\left|x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}-0\right|&=\left|x\sin {\left( {\frac {1}{x}}\right)}\right|=|x|\left|\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}\right|\leqslant | x|.\end{tasattu}}$

Siten, jos hyväksymme , seuraa , joka täydentää todisteen. $\delta =\varepsilon$ $|x|=|x-0|<\delta$ $\left|x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}-0\right|\leqslant |x|<\varepsilon$

Esimerkki 2

Todistetaan se

{\displaystyle \lim _{x\to a}x^{2}=a^{2))

mille tahansa todelliselle numerolle . $a$

Arvo annetaan. Löydämme sellaisen, joka seuraa . $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $|xa|<\delta$ $|x^{2}-a^{2}|<\varepsilon$

Aloitetaan tekijöiden jakamisesta:

|x^{2}-a^{2}|=|(xa)(x+a)|=|xa||x+a|.

Ymmärrämme , että kerrointa rajoittaa arvo , joten oletamme rajaksi 1 ja voimme sen jälkeen valita jotain pienempää [19] $|xa|$ $\delta$ $\delta$

Näin ollen oletamme . Koska se pätee reaalilukuihin ja , meillä on $|xa|<1$ $|x|-|y|\leqslant |xy|$ $x$ $y$

|x|-|a|\leqslant |xa|<1.

Ja sitten

|x|<1+|a|.

Kolmion epätasa- arvon mukaan

|x+a|\leqslant |x|+|a|<2|a|+1.

Jos nyt oletetaan niin

|xa|<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}

saamme

|x^{2}-a^{2}|<\varepsilon .

Valitaan

\delta =\min {\left\{1,{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}\right\}}.

Jos nyt saamme $|xa|<\delta$

{\begin{aligned}|x^{2}-a^{2}|&=|xa||x+a|<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1))( |x+a|)<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}(2|a|+1)=\varepsilon .\end{aligned}}

Näin ollen olemme löytäneet Sellainen, joka seuraa . Olemme siis osoittaneet sen $\delta$ $|xa|<\delta$ $|x^{2}-a^{2}|<\varepsilon$

{\displaystyle \lim _{x\to a}x^{2}=a^{2))

mille tahansa todelliselle numerolle . $a$

Esimerkki 3

Todistetaan se

\lim _{x\to 5}(3x-3)=12.

Käyttämällä graafista ymmärrystä rajasta voidaan tarjota tiukat puitteet todistuksen johdatukselle. Yllä annetun muodollisen määritelmän mukaan siis väite rajasta pitää paikkansa silloin ja vain, jos poikkeaman rajoitus arvolla pisteestä väistämättä rajoittaa poikkeamaa arvoon (katso artikkelin alussa oleva kuva ). Tässä tapauksessa tämä tarkoittaa, että väite on tosi, jos ja vain jos rajoitamme poikkeaman arvoon 5 väistämättä rajoittaa $x$ $\delta$ $c$ $f(x)$ $L$ $\varepsilon$ $x$ $\delta$

3x-3

päälle arvosta 12. Tämän osoittamiseksi sinun on osoitettava, miten ja täytyy olla kytkettynä, jotta vaatimus täyttyy. Haluamme näyttää sen matemaattisesti $\varepsilon$ $\delta$ $\varepsilon$

0<|x-5|<\delta \ \Rightarrow \ |(3x-3)-12|<\varepsilon .

Summaamalla yleiset termit, poistamalla vakion 3 ja jakamalla sillä implikation oikealla puolella, saadaan

|x-5|<\varepsilon /3,

joka antaa heti halutun tuloksen, jos valitsemme

\delta =\varepsilon /3.

Todistus on siis valmis. Todistuksen avainkohta on mahdollisuus valita rajat ja sitten mahdollisuus siirtyä sopiviin rajoihin . Meidän tapauksessamme tämä johtui kertoimesta 3, joka ilmenee 3. suoran kaltevuuden seurauksena. $x$ $f(x)$

y=3x-3.

Jatkuvuus

Funktion f sanotaan olevan jatkuva kohdassa c , jos se on määritelty kohdassa c ja sen arvo kohdassa c on yhtä suuri kuin f : n raja , koska x pyrkii c :hen:

\lim _{x\to c}f(x)=f(c).

$(\varepsilon, \delta)$ Jatkuvan funktion -määritelmä voidaan saada rajan määrittelystä korvaamalla se , jotta varmistetaan, että f on määritelty c :ssä ja että tämä arvo on sama kuin raja. $0<|xc|<\delta$ $|xc|<\delta$

Funktion f sanotaan olevan jatkuva välillä I , jos se on jatkuva jossakin välin I pisteessä c .

Vertailu määritelmään infinitesimaalien suhteen

Howard Jerome Keisler osoitti, että rajan hyperrealistinen määritelmä vähentää kvantisoijan monimutkaisuutta kahdella kvantorilla [20] . Nimittäinkonvergoi rajaan L , koska se pyrkiijos ja vain, jos arvo onäärettömän lähellä L :tä mille tahansa äärettömän pienelle e :lle . (Katso Microcontinuity lisätietoja Cauchyn aiheuttamasta jatkuvuudesta.) $f(x)$ $x$ $f(x+e)$

Robinsonin lähestymistapaan perustuvat infinitesimaalilaskennan oppikirjat antavat jatkuvuuden, derivaatan ja integraalin määritelmät infinitesimaalien suhteen. Kun käsitteet, kuten jatkuvuus, selitetään kattavasti mikrojatkuvuuksien kautta, esitetään myös epsilon-delta-lähestymistapa. Karel Hrbachek uskoo, että Robinsonin epästandardien analyysityylien jatkuvuuden, derivaatan ja integroinnin määritelmien tulisi perustua menetelmään , joka kattaa myös epästandardit syöttöarvot [21] . Blaszczyk vastustaa, että mikrojatkuvuus [ on hyödyllinen kehitettäessä läpinäkyvää määritelmää yhtenäisestä jatkuvuudesta ja pitää Hrbachekin kritiikkiä "epämääräisinä valittamina" [22] . Hrbachek tarjoaa vaihtoehtoisen epästandardin analyysin, jossa (toisin kuin Robinsonin analyysissä) on useita infinitesimaalien "tasoja", joten yhden tason rajat voidaan määritellä seuraavan tason infinitesimaalien avulla [23] . $\varepsilon {-}\delta$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Grabiner, 1983 , s. 185-194.
↑ 12 Cauchy , 1823 .
↑ Stillwell, 1989 , s. 38–39.
↑ Stillwell, 1989 , s. 104.
↑ Stillwell, 1989 , s. 106.
↑ 1 2 3 4 5 Buckley, 2012 , s. 31-35.
↑ Pourciau, 2001 , s. 18-30.
↑ Nakane, 2014 , s. 51–59.
↑ Tao, 2008 , s. 95–110.
↑ Spivak, 2008 , s. 90.
↑ 1 2 3 4 Spivak, 2008 , s. 96.
↑ Epsilon-Delta Rajan määritelmä | Loistava Math & Science Wiki . brilliant.org . Haettu 18. elokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 29. syyskuuta 2020. (määrätön)
↑ 1.2: Epsilon-Delta rajan määritelmä . Mathematics LibreTexts (21. huhtikuuta 2017). Haettu 18. elokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 3. lokakuuta 2020.
↑ Rudin, 1976 , s. kolmekymmentä.
↑ Rudin, 1976 , s. 83.
↑ Rudin, 1976 , s. 84.
↑ Spivak, 2008 , s. 97.
↑ Stewart, 2016 , s. Kohta 3.4.
↑ Spivak, 2008 , s. 95.
↑ Keisler, 2008 , s. 151-170.
↑ Hrbacek, 2007 .
↑ Błaszczyk, Katz, Sherry, 2012 , s. 43–74.
↑ Hrbacek, 2009 .

Kirjallisuus

Judith V. Grabiner. Kuka antoi sinulle Epsilonin? Cauchy ja tiukan laskennan alkuperä // The American Mathematical Monthly. - 1983. - maaliskuu ( nide 90 , numero 3 ). — S. 185–194 . - doi : 10.2307/2975545 . — .
A.L. Cauchy. Resumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal . - Pariisi, 1823.
John Stillwell. Matematiikka ja sen historia . New York: Springer-Verlag, 1989. s. 38–39. - ISBN 978-1-4899-0007-4 .
- Käännös: John Stilwell. Matematiikka ja sen historia. - Moskova, Izhevsk: Tietokonetutkimuslaitos, 2004.
Benjamin Lee Buckley. Jatkuvuuskeskustelu: Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond ja Peirce jatkuvuudesta ja infinitesimaaleista. - 2012. - ISBN 9780983700487 .
B. Pourciau. Newton ja rajan käsite // Historia Mathematica. - 2001. - T. 28 , no. 1 . - S. 18-30 . - doi : 10.1006/hmat.2000.2301 .
Michiyo Nakane. Oliko Weierstrassin differentiaalilaskennassa rajoja välttävä luonne? Hänen määritelmänsä tyylin rajasta // BSHM Bull. - 2014. - Numero. 29 . $\varepsilon-\delta$
Terence Tao. Rakenne ja satunnaisuus: sivuja vuodelta 1 matemaattisessa blogissa. - Providence, RI: American Mathematical Society, 2008. - ISBN 978-0-8218-4695-7 .
Michael Spivak. Calculus . – 4. - Houston, Tex.: Publish or Perish, 2008. - S. 90. - ISBN 978-0914098911 .
Walter Rudin. Matemaattisen analyysin periaatteet . - McGraw-Hill Science / Engineering / Math, 1976. - S. 30. - ISBN 978-0070542358 .
- Käännös: Rudin U. Matemaattisen analyysin perusteet. - Moskova: Mir, 1976.
James Stewart. Osa 3.4 // Laskenta . - 8. - Cengage, 2016.
H. Jerome Keisler. Andrzej Mostowski ja perusopinnot. IOS, Amsterdam, 2008.
Piotr Blaszczyk, Mikhail Katz, David Sherry. Kymmenen väärinkäsitystä analyysin historiasta ja niiden kumoaminen // Tieteen perusteet . - 2012. - T. 18 . — s. 43–74 . - doi : 10.1007/s10699-012-9285-8 . - . - arXiv : 1202.4153 .
Hrbacek K. Stratified Analysis? // Epästandardin analyysin vahvuus / Van Den Berg. - Springer, 2007.
Hrbacek K. Suhteellinen joukkoteoria: sisäinen näkymä // Journal of Logic and Analysis. - 2009. - T. 1 .

Lue lisää

Cauchyn tiukan laskennan alkuperä . - Courier Corporation, 1982. - ISBN 978-0-486-14374-3 .
Yleistyksen, kurinalaisuuden ja intuition väliset ristiriidat: analyysin kehityksen taustalla olevat numerokäsitteet 1600-1800-luvun Ranskassa ja Saksassa . - Springer, 2005. - ISBN 978-0-387-22836-5 .

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"