Todennäköisyysjakauma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 33 muokkausta .

Todennäköisyysjakauma on laki, joka kuvaa satunnaismuuttujan arvoalueen ja näiden arvojen vastaavat esiintymistodennäköisyydet.

Määritelmä

Olkoon annettu todennäköisyysavaruus ja määriteltävä sille satunnaismuuttuja . Erityisesti määritelmän mukaan on mitattavissa olevan avaruuden mitattavissa oleva kartoitus mitattavaksi avaruuteen , jossa tarkoittaa Borelin sigma- algebraa . Sitten satunnaismuuttuja indusoi todennäköisyysmitan seuraavasti : $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $X$ $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\mathbb {R}$

\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X^{-1}(B)),\;\forall B\in {\mathcal {B))(\mathbb {R} ).

Mitta on nimeltään satunnaismuuttujan jakauma . Toisin sanoen , asettaa siten todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja osuu joukkoon . $\mathbb {P} ^{X}$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\in B)$ $\mathbb {P} ^{X}(B)$ $X$ $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$

Jakaumien luokitus

Funktiota kutsutaan satunnaismuuttujan (kumulatiiviseksi) jakaumafunktioksi . Lause seuraa todennäköisyyden ominaisuuksista : $F_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x])=\mathbb {P} (X\leqslant x)$ $X$

Minkä tahansa satunnaismuuttujan jakaumafunktio täyttää seuraavat kolme ominaisuutta : $F_{X}(x)$

$F_{X}$ on ei-vähentävä funktio;
$\lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\;\lim _{x\to \infty }F_{X}(x)=1$ ;
$F_{X}$ jatkuva oikealla.

Siitä tosiasiasta, että todellisen suoran Borelin sigma-algebra generoidaan muodon intervalliperheellä , seuraa seuraava lause : $\{(-\infty ,x]\}_{x\in \mathbb {R} }$

Mikä tahansa funktio , joka täyttää kolme yllä lueteltua ominaisuutta, on jonkin jakauman jakaumafunktio . $F(x)$ $\mathbb {P} ^{X}$

Todennäköisyysjakaumille, joilla on tiettyjä ominaisuuksia, on helpompi määrittää ne. Samanaikaisesti jakaumat (ja satunnaismuuttujat) luokitellaan yleensä jakautumisfunktioiden luonteen mukaan [1] .

Diskreetit jakaumat

Satunnaismuuttujaa kutsutaan yksinkertaiseksi tai diskreetiksi , jos se ei saa enempää kuin laskettavan määrän arvoja. Eli missä on osio . $X$ $X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \in A_{i}$ $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ $\Omega$

Yksinkertaisen satunnaismuuttujan jakauman antaa sitten määritelmän mukaan: . Esittelemällä merkinnän voit määrittää funktion . Johtuen todennäköisyyden ominaisuuksista . Laskettavan additiivisuuden avulla on helppo osoittaa, että tämä funktio määrittää jakauman yksilöllisesti . $\mathbb {P} ^{X}(B)=\summa _{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})$ $p_{i}=\mathbb {P} (A_{i})$ $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ $\mathbb {P}$ $X$

Joukko todennäköisyyksiä jossa kutsutaan diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumaksi . Arvojen ja todennäköisyyksien joukkoa kutsutaan todennäköisyysjakauman diskreetiksi laiksi [2] . $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ $X$ $a_{i},i=1,2...\infty$ ${\displaystyle p_{i},i\in {1,2...\infty ))$

Havainnollistaaksesi yllä olevaa, harkitse seuraavaa esimerkkiä.

Olkoon funktio määritelty siten, että ja . Tämä funktio määrittelee satunnaismuuttujan jakauman , jolle (katso Bernoullin jakauma , jossa satunnaismuuttuja ottaa arvot ). Satunnaismuuttuja on malli tasapainoisesta kolikonheitosta. $s$ $p(-1)={\frac {1}{2}}$ $p(1)={\frac {1}{2}}$ $X$ $\mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2))$ $0.1$ $X$

Muita esimerkkejä diskreeteistä satunnaismuuttujista ovat Poisson-jakauma , binomijakauma ja geometrinen jakauma .

Diskreetillä jakaumalla on seuraavat ominaisuudet:

$p_{i}\geqslant 0$ ,
$\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1$ , jos arvojoukko on äärellinen - todennäköisyyden ominaisuuksista,
Jakaumafunktiolla on äärellinen tai laskettava joukko ensimmäisen tyyppisiä epäjatkuvuuspisteitä, $F_{X}(x)$
Jos on jatkuvuuspiste , niin se on olemassa . $x_{0}$ $F_{X}(x)$ ${\frac {dF_{X}(x_{0})}{dx}}=0$

Hilajakaumat

Hilajakauma on jakauma, jossa on diskreetti jakaumafunktio ja jakaumafunktion epäjatkuvuuspisteet muodostavat muotoa , jossa on todellinen, , on kokonaisluku [3] . $a+nh$ $a$ $h>0$ $n$

Lause. Jotta jakaumafunktio olisi hila, jossa on askel , on välttämätöntä ja riittävää, että sen ominaisfunktio tyydyttää suhteen [3] . $F$ $h$ $f$ $|f(2\pi /h)|=1$

Ehdottomasti jatkuvat jakelut

Satunnaismuuttujan jakauman sanotaan olevan ehdottoman jatkuva , jos on olemassa ei-negatiivinen funktio , joka . Funktiota kutsutaan silloin satunnaismuuttujan todennäköisyystiheysjakaumaksi . Tällaisten jakaumien funktio on ehdottoman jatkuva Lebesguen merkityksessä. $X$ $f_{X}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$ $\mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx$ $f_{X}$ $X$

Esimerkkejä ehdottoman jatkuvista jakaumista ovat normaalijakauma , tasajakauma , eksponentiaalinen jakauma ja Cauchyn jakauma .

Esimerkki. Anna , milloin ja muuten. Sitten jos . $f(x)=1$ $0\leqslant x\leqslant 1$ $f(x) = 0$ $\mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=ba$ $(a,b)\alajoukko [0,1]$

Seuraavat ominaisuudet ovat tosia kaikille jakautumistiheyksille : $f_{X}$

$f_{X}(x)\geqslant 0$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1$ .

Päinvastoin on myös totta - jos funktio on sellainen, että: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R}$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$ ,

silloin on olemassa sellainen jakauma , joka on sen tiheys. $\mathbb {P} ^{X}$ $f(x)$

Newton-Leibnizin kaavan soveltaminen johtaa seuraaviin suhteisiin funktion ja absoluuttisen jatkuvan jakauman tiheyden välillä:

$\mathbb {P} (a<X<b)=F(b)-F(a)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$ .

Lause. If on jatkuvan jakautumistiheys ja on sen jakautumistiheys, niin $f(x)$ $F(x)$

$F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R},$
$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$ .

Kun rakennat jakaumaa empiirisen (kokeellisen) datan perusteella, pyöristysvirheitä tulee välttää .

Yksittäisjakaumat

Diskreettien ja jatkuvien satunnaismuuttujien lisäksi on muuttujia, jotka eivät ole diskreettejä eivätkä jatkuvia millään aikavälillä. Tällaisia satunnaismuuttujia ovat esimerkiksi ne, joiden jakaumafunktiot ovat jatkuvia, mutta kasvavat vain Lebesguen suuren nollajoukossa [4] .

Singulaarijakaumat ovat niitä, jotka keskittyvät nollasuureen joukkoon (yleensä Lebesguen mitta ).

Taulukko perusjakaumista

Diskreetit jakaumat

Nimi	Nimitys	Parametri	Kuljettaja	Tiheys (todennäköisyysjärjestys)	Matto. odotus	Dispersio	ominaista toimintoa
Diskreetti univormu	${\text{R}}\{1,\dots ,N\}$	$N\in \mathbb {N}$	$\{1,\dots ,N\}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})={\frac {1}{N)),k\in \{1,\pisteet ,N\))$	${\frac {N+1}{2))$	${\frac {N^{2}-1}{12}}$	${\frac {e^{it}-e^{i(N+1)t}}{N(1-e^{it}})}}$
Bernoulli	${\text{Bern}}(p)$	$p\in(0,1)$	$\{0,1\}$	$\mathrm {P} (\{0\})=1-p,\mathrm {P} (\{1\})=p$	$p$	$p(1-p)$	$pe^{it}+1-p$
Binomi	${\text{Bin}}(n,p)$	$n\in \mathbb {N} ,p\in (0,1)$	$\{0,\dots ,n\}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{nk))$	$n.p.$	$np(1-p)$	$(pe^{it}+1-p)^{n}$
Poisson	${\text{Pois}}(\lambda )$	$\lambda>0$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{+))$	$\mathrm {P} (\{k\})={\frac {\lambda ^{k}}{k!)}}e^{-\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$	${\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)))$
Geometrinen	${\text{Geom}}(p)$	$p\in (0,1]$	$\mathbb {N}$	$\mathrm {P} (\{k\})=(1-p)^{k-1}p$	${\frac {1}{p}}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2))))$	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}$

Ehdottomasti jatkuvat jakelut

Nimi	Nimitys	Parametri	Kuljettaja	Todennäköisyystiheys $f(x)$	Jakaumafunktio F(x)	ominaista toimintoa	Odotettu arvo	Mediaani	Muoti	Dispersio	Epäsymmetriakerroin	Kurtoosikerroin	Differentiaalinen entropia	Hetkien funktion luominen
yhtenäinen jatkuva	$U(a,b)$	$a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ , — siirtokerroin , — mittakaavakerroin $a$ $ba$	${\näyttötyyli [a,b]}$	${\dfrac {1}{ba}}I\{x\in [a,b]\}$	${\dfrac {xa}{ba}}I\{x\in [a,b]\}+I\{x>b\}$	${\dfrac {e^{itb}-e^{ita}}{it(ba)))$	${\frac {a+b}{2))$	${\frac {a+b}{2}}$	mikä tahansa numero segmentistä $[a,b]$	${\frac {(ba)^{2}}{12}}$	$0$	$-{\frac {6}{5}}$	$\ln(ba)$	${\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba)))$
Normaali (Gaussin)	$N(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R}$ — siirtokerroin — skaalauskerroin _ $\sigma >0$	${\mathbb R}$	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2)){2 \sigma ^{2}}}}}$	${\frac {1}{2}}\left(1+\operaattorinimi {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2))))\ oikea)\oikea)$	$e^{i\,\mu \,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	$\sigma ^{2}$	$0$	$0$	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)$	${\displaystyle e^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2))))$
lognormaali	$LN(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0$	$(0;+\infty )$	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln(x) -\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {Erf}}\left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\oikea]$	$\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(it)^{n}}{n!)}}e^{{n\mu +n^{2}\sigma ^ {2}{/2}}$	$e^{{\mu +\sigma ^{2}/2}}$	$e^{{\mu ))$	$e^{{\mu -\sigma ^{2}}}$	$(e^{{\sigma ^{2}}}\!\!-1)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}$	$(e^{{\sigma ^{2))}\!\!+2){\sqrt {e^{{\sigma ^{2))}\!\!-1))$	$e^{{4\sigma ^{2}}}\!\!+2e^{{3\sigma ^{2}}}\!\!+3e^{{2\sigma ^{2}}}\ !\!-6$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$	$e^{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}.$
Gamma-jakauma	$\Gamma (\alpha ,\beta )$	$\alpha >0,\beta >0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{\beta }x^{\beta -1)){\Gamma (\beta )))e^{-\alpha x))$	${\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\gamma (\beta ,\alpha x)$	$\left(1-{\frac {it}{\alpha }}\right)^{-\beta }$	${\frac {\beta }{\alpha }}$		${\frac {\beta -1}{\alpha }}$ klo $\beta \geq 1$	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha ^{2))))$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\beta ))))$	${\frac {6}{\beta }}$	${\begin{aligned}\beta &-\ln \alpha +\ln \Gamma (\beta )\\&+(1-\beta )\psi (\beta )\end{aligned))$	$\left(1-{\frac {t}{\alpha }}\right)^{-\beta }$ klo $t<\alpha$
Eksponentiaalinen	${\text{Exp}}(\lambda )$	$\lambda >0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}I\{x>0\))$	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x))$	${\frac {\lambda }{\lambda -it))$	${\frac {1}{\lambda ))$	$\ln(2)/\lambda$	$0$	$\lambda ^{-2}$	$2$	$6$	$1-\ln(\lambda )$	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\oikea)^{-1}$
Laplace	${\text{Laplace}}(\alpha ,\beta )$	$\alpha >0$ — skaalaustekijä , — siirtokerroin $\beta\in\mathbb{R}$	${\mathbb R}$	$\frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha\|x-\beta\|}$	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta \\1-{\frac {1}{2} }e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta \end{cases}}$	${\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}e^{it\beta }$	$\beeta$	$\beeta$	$\beeta$	${\displaystyle {\frac {2}{\alpha ^{2))))$	$0$	$3$	$\ln {\frac {2e}{\alpha ))$	${\frac {e^{\beta t}}{1-\alpha ^{2}t^{2}}}{\text{ for }}\|t\|<1/\alpha$
Cauchy	${\text{Cauchy}}(x_{0},\gamma )$	$x_{0}$ — siirtokerroin — skaalauskerroin _ $\gamma > 0$	${\mathbb R}$	${1 \over \pi }\left({\gamma \over \gamma ^{2}+(x-x_{0})^{2}}\oikea)$	${\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2} }$	$e^{i\,x_{0}\,t-\gamma \,\|t\|}$	Ei	$x_{0}$	$x_{0}$	$+\infty$	Ei	Ei	$\ln(4\,\pi \,\gamma )$	Ei
Beta-jakelu	${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$	$\alpha >0,\beta >0$	$[0,1]$	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}({\text{B}}(\alpha ,\beta )))$	$I_{x}(\alpha ,\beta )$	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$	$I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\noin {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\ alfa +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}$ varten $\alpha ,\beta >1$	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2))$ varten $\alpha >1,\beta >1$	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))$	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1))}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta ))))$	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta ( \beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)))$		$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r} }\right){\frac {t^{k}}{k!)}}$
chi-neliö	$\chi ^{2}(k)$	$k>0$ on vapausasteiden lukumäärä	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)))x^{k/2-1}e^{-x/2}$	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)))$	${\näyttötyyli (1-2\,i\,t)^{-k/2}}$	$k$	noin $k-2/3$	$k-2$ jos $k\geq 2$	${\näyttötyyli 2\,k}$	${\sqrt {8/k))$	$12/k$	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!- \!{\frac {k}{2}}\oikea)\psi \left({\frac {k}{2}}\oikea)$	$(1-2\,t)^{-k/2}$ , jos $2\,t<1$
Opiskelija	${\text{t}}(n)$	$n>0$ on vapausasteiden lukumäärä	${\mathbb R}$	${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) }}(1+{\frac {x^{2}}{n}})^{-{\frac {n+1}{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{x\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\frac {\,_{2}F_{1 }\left({\frac {1}{2)),{\frac {n+1}{2));{\frac {3}{2));-{\frac {x^{2)) {n}}\oikea)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})))}}$	${\displaystyle {\frac {K_{n/2}\left({\sqrt {n}}\|t\|\right)\cdot \left({\sqrt {n}}\|t\|\right)^{n /2}}{\Gamma (n/2)2^{n/2-1))))$ varten $n>0$	$0$ , jos $n>1$	$0$	$0$	${\frac {n}{n-2))$ , jos $n>2$	$0$ , jos $n>3$	${\frac {6}{n-4))$ , jos $n>4$	${\begin{matrix}{\frac {n+1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2}) })\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\ oikea]}\end{matrix}}$	Ei
Fisher	$F(d_{1},d_{2})$	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ - vapausasteiden lukumäärä	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1) }\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2))))}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2 )),{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}$	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$	${\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}}))) } U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{ 1 }}}\imath s\right)$	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$ , jos $d_{2}>2$		${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ , jos $d_{1}>2$	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2 }(p_{2}-4)}},$ jos $d_{2}>4$	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_ {1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},$ jos $d_{2}>6$	$12{\frac {d_{1}(5p_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2) ^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}$	$\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right) -\ln \Gamma \vasen({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\oikea)+\!$ $\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left (1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!$ $+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2} }\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!$
Rayleigh	$\mathrm {Rayleigh} (\sigma )$	$\sigma$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {x}{{\sigma }^{2}}}e^{-{\frac {{x}^{2}}{2{{\sigma }^{2}}}} }$	$1-e^{\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}$	$1\!-\!\sigma te^{{-\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\!\left( {\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!-\!i\oikea)$	${\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\sigma$	$\sigma {\sqrt {\ln(4)))$	$\sigma$	$\vasen(2-\pi /2\oikea){{\sigma }^{{2}}}$	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{{3/2))))$	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{{\sqrt {2))))\right)+{\frac {\gamma }{2))$	$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2))}\left({\textrm {erf }}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\oikea)\!+\!1\oikea)$
Weibulla	$\mathrm {W} (k,\lambda )$	$\lambda >0$ - mittakaavatekijä , - muotokerroin $k>0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x} {\lambda ))\right)^{k))$	$1-e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}}$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)$	${\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k))$	$\frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k))}{k^{\frac{1}{k))},$ varten $k>1$	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3} {\sigma^3}$	${\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac {4}{k))\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+ {\frac {3}{k}}\right)+6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \vasen(1+{\frac {2}{k}}\oikea)-3\ mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\oikea)^k +\ln\left(\frac{\ lambda}{k}\oikea)$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!)}}\Gamma (1+n/k),\ k \ geq 1$
Logistinen	$L(\mu ,s)$	$\mu$ , $s>0$	${\mathbb R}$	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s))))$	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)$ varten $\|ist\|<1$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$	$0$	$6/5$	$\ln(s)+2$	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)$ varten $\|s\,t\|<1$
Wigner	${\näyttötyyli \rho (R)}$	$R>0$ - säde	$[-R;+R]$	${\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\ frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}$ varten $-R\leq x\leq R$	$2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t))$	$0$	$0$	$0$	${\frac {R^{2}}{4}}$	$0$	$-yksi$	$\ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}$	$2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t))$
Pareto	${\text{Pareto))(k,x_{\teksti{m)))$	$x_{\text{m}}>0$ on mittakaavatekijä , $k>0$	$[x_{\text{m));+\infty )$	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$	${\displaystyle k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m} }t)^{k}{\big ]}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )))$	${\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}$ , jos $k>1$	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$	$x_{\text{m))$	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ klo $k>2$	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3))\,{\sqrt {\frac {k-2}{k))))$ klo $k>3$	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)))$ klo $k>4$	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m))))\right)-{\frac {1}{k}}-1$	Ei

missä on gammafunktio , on epätäydellinen gammafunktio , on digamma - funktio , on beeta - funktio , on säännelty epätäydellinen beetafunktio , on hypergeometrinen funktio , on Besselin funktio , on ensimmäisen tyyppinen modifioitu Besselin funktio , on muunneltu Bessel-funktio toisen tyyppisestä suvusta , on Tricomi-funktio . $\Gamma$ $\gamma$ $\psi =\Gamma '/\Gamma$ $B$ $I_{x}$ $_{1}F_{1}$ ${\displaystyle _{2}F_{1))$ $J_{\alpha }$ ${\displaystyle I_{\nu ))$ ${\displaystyle K_{\nu ))$ ${\näyttötyyli U(a,b,z)}$

Monimuuttujajakaumat

Nimi	Nimitys	Parametri	Kuljettaja	Tiheys (todennäköisyysjärjestys)	Matto. odotus	Dispersio	ominaista toimintoa
Gaussin	$N(a,\Sigma )$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n))$ - sym. ja neon. def.	$\mathbb {R} ^{n}$	$p(x)={\dfrac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}e^{-{\frac {1}{2}}(xa )^{T}\Sigma ^{-1}(xa)}$	$a$	$\Sigma$	$e^{ia^{T}t-{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}$

Muistiinpanot

↑ Matalytski, Khatskevitš. Todennäköisyysteoria, matemaattiset tilastot ja stokastiset prosessit, 2012. - P.69
↑ Matalytski, Khatskevitš. Todennäköisyysteoria, matemaattiset tilastot ja satunnaisprosessit, 2012. - P.68
↑ 1 2 Ramachandran, 1975 , s. 38.
↑ Matalytski, Khatskevitš. Todennäköisyysteoria, matemaattiset tilastot ja stokastiset prosessit, 2012. — S.76

Kirjallisuus

Todennäköisyysjakauma // Suuri venäläinen tietosanakirja : [35 nidettä] / ch. toim. Yu. S. Osipov . - M . : Suuri venäläinen tietosanakirja, 2004-2017.
Lagutin M.B. Visuaalinen matemaattinen tilasto. - M .: Binom, 2009. - 472 s.
Zhukovsky M.E. , Rodionov I.V. Todennäköisyysteorian perusteet. - M. : MIPT, 2015. - 82 s.
Zhukovsky M.E. , Rodionov I.V. , Shabanov D.A. Johdatus matemaattiseen tilastoon. - M. : MIPT, 2017. - 109 s.
Ramachandran B. Ominaisuusfunktioiden teoria. - M .: Nauka, 1975. - 224 s.
Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen käsikirja. - M .: Nauka, 1985. - 640 s.
Gubarev V.V. Todennäköisyysmallit: 2-osainen käsikirja. - Novosibirsk.: Novosibirsk. Sähkötekniikka in-t, 1992. - 422 s.

Katso myös

marginaalijakauma

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Hienoa norjalaista

Bibliografisissa luetteloissa
BNF : 119780901 GND : 4121894-2 J9U : 987007557953805171 LCCN : sh85038545 NDL : 00564751 NKC : ph125263

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula