Gravitaatio N-kappaleen ongelma

N - kappaleen gravitaatioongelma on klassinen taivaanmekaniikan ja Newtonin gravitaatiodynamiikan ongelma .

Se on muotoiltu seuraavasti.

Tyhjiössä on N materiaalipistettä , joiden massat tunnetaan { m i }. Olkoon pisteiden parillinen vuorovaikutus Newtonin painovoimalain alainen , ja painovoimat ovat additiivisia . Olkoon kunkin pisteen alkupaikat ja nopeudet r i | t = 0 = ri0 , v i | t = 0 = v i0 . Pisteiden paikat on löydettävä kaikilta myöhemmiltä ajanhetkeltä.

N -kappaleen gravitaatioongelman matemaattinen muotoilu

N gravitaatiokappaleen ( ainepisteen ) järjestelmän kehitystä kuvataan seuraavalla yhtälöjärjestelmällä:

{\frac {d{{\mathbf r}}_{i}}{dt}}={{\mathbf v}}_{i},

{\frac {d{{\mathbf v}}_{i}}{dt}}=\sum \limits _{{j\neq i}}^{N}G\,m_{j}\,{\ frac {{{\mathbf r}}_{j}-{{\mathbf r}}_{i}}{\left|({\mathbf r}}_{j}-{{\mathbf r}}_ {i}\right|^{{3}}}},

missä on i :nnen kappaleen massa, sädevektori ja nopeus ( i vaihtelee välillä 1 - N ), G on gravitaatiovakio . Kappaleiden massat sekä paikat ja nopeudet alkuajan katsotaan tunnetuiksi. On tarpeen löytää kaikkien hiukkasten paikat ja nopeudet mielivaltaisella ajanhetkellä. $m_{i},\,{{\mathbf r}}_{i},\,{{\mathbf v}}_{i}$

Analyyttinen ratkaisu

Yksittäisen pisteen tapaus ei ole gravitaatiodynamiikan tarkastelun kohteena. Tällaisen pisteen käyttäytymistä kuvaa Newtonin ensimmäinen laki . Gravitaatiovuorovaikutus on ainakin paritoimi. $N = 1$

Ratkaisu kahden kappaleen ongelmaan on barysentrinen systeeminen kiertorata (jota ei pidä sekoittaa Kepler-kentän keskuskiertorataan). Täysin tehtävän alkuperäisen muotoilun mukaisesti kahden kappaleen ongelman ratkaisu on täysin epäherkkä pisteiden numerointille ja niiden massojen suhteelle. Keplerin kentän keskikiertorata syntyy siirtymällä rajaan . Tässä tapauksessa pisteiden yhtäläisyys menetetään: sen oletetaan olevan ehdottoman liikkumaton painopiste, ja ensimmäinen piste "menettää" massan, parametri putoaa pois dynaamisista yhtälöistä. Matemaattisessa mielessä tuloksena oleva järjestelmä on degeneratiivinen, koska yhtälöiden ja parametrien määrä puolittuu. Siksi käänteinen asymptotiikka tulee mahdottomaksi: Newtonin gravitaatiolaki ei seuraa Keplerin laeista. (Huomaa, että massoja ei mainita Keplerin laeissa ollenkaan.) $N = 2$ ${\frac {m_{1}}{m_{2}}}\rightarrow 0$ $m_2$ $m_1$

Kolmen kehon ongelmaan vuonna 1912 Karl Zundman sai yleisen analyyttisen ratkaisun sarjan muodossa. Vaikka nämä sarjat konvergoivat minkä tahansa ajan ja minkä tahansa alkuehtojen kanssa, ne konvergoivat erittäin hitaasti [1] . Äärimmäisen hitaan konvergenssin vuoksi Sundman-sarjan käytännön käyttö on mahdotonta [2] .

Myös kolmen kappaleen ongelman osalta Heinrich Bruns ja Henri Poincaré osoittivat, että sen yleistä ratkaisua ei voida ilmaista algebrallisilla tai yksiarvoisilla koordinaattien ja nopeuksien transsendentaalisilla funktioilla [2] . Lisäksi kolmen kappaleen ongelman erityisistä alkunopeuksista ja kohteen koordinaateista tunnetaan vain 5 tarkkaa ratkaisua .

Tällä hetkellä yleensä kehon ongelma voidaan ratkaista vain numeerisesti ja Sundman-sarjassa jopa moderneilla $N$ $N>3$ $N = 3$ [ milloin? ] tietotekniikan kehitystasoa on lähes mahdotonta käyttää.

Numeeriset menetelmät

Tietotekniikan myötä on ilmestynyt todellinen mahdollisuus tutkia gravitaatiokappaleiden järjestelmien ominaisuuksia ratkaisemalla numeerisesti liikeyhtälöjärjestelmä. Tätä varten käytetään esimerkiksi Runge-Kutta -menetelmää (neljäs tai korkeampi astetta).

Numeerisissa menetelmissä on samat ongelmat kuin analyyttisissa menetelmissä - kun kappaleet ovat lähellä toisiaan, integrointivaihetta on vähennettävä , ja tässä tapauksessa numeeriset virheet lisääntyvät nopeasti. Lisäksi "suoralla" integroinnilla voimalaskelmien määrä jokaiselle askeleelle kasvaa kappaleiden lukumäärän myötä suunnilleen , mikä tekee kymmenistä ja sadoista tuhansista kappaleista koostuvien järjestelmien mallintamisen lähes mahdottomaksi. $N^2$

Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytetään seuraavia algoritmeja (tai niiden yhdistelmiä):

Ahmad-Cohenin järjestelmä - ehdottaa kuhunkin kehoon vaikuttavan voiman jakamista kahteen osaan - epäsäännölliseen (läheisistä kehoista - "naapureista") ja säännölliseen (kauemmista kehoista). Näin ollen säännöllinen voima voidaan laskea uudelleen paljon suuremmalla askeleella kuin epäsäännöllinen.
"Treecode-algoritmi" (Treecode), jonka ensimmäisenä toteutti Joshua Barnes [3] .

Liikeintegraalit

Huolimatta kaavojen näennäisestä yksinkertaisuudesta, tälle ongelmalle ei ole ratkaisua äärellisten analyyttisten lausekkeiden muodossa yleisessä muodossa . Kuten Heinrich Bruns on osoittanut, monikappaletehtävässä on vain 10 itsenäistä liikkeen algebrallista integraalia , jotka löydettiin 1700-luvulla ja jotka eivät riitä integroimaan kolmen tai useamman kappaleen ongelmaa [4] [5] . Painlevé ja Poincare tarjosivat omat yleistykset tästä lauseesta . Painlevé onnistui luopumaan vaatimuksesta, että riippuvuus koordinaateista on algebrallinen, kun taas Poincare arveli, että uutta yksiarvoista integraalia ei ole olemassa (kaikki klassiset integraalit energiaintegraalia lukuun ottamatta ovat yksiarvoisia funktioita). Tätä viimeistä väitettä ei ilmeisesti ole vielä tiukasti todistettu näin yleisellä muotoilulla. $N\geq 3$

Vuonna 1971 V. M. Alekseev kommentoi vastaavaa kohtaa Poincarén kirjassa Celestial Mechanics [6] :

Yksiarvoisen analyyttisen integraalin puuttumista kolmen kappaleen ongelmassa ei ole vielä todistettu täydellä tarkkuudella... Ensimmäinen tarkka todiste melko yleisen Hamiltonin järjestelmän integroimattomuudesta kuuluu Siegelille [7] . On mielenkiintoista huomata, että ei-analyyttiset integraalit ovat mahdollisia tarkasteltavina olevissa ongelmissa; niiden olemassaolo seuraa Kolmogorovin [8] [9] lauseesta . Päinvastoin, jos muuttujien lukumäärä on enemmän kuin kaksi, todennäköisimmin jopa jatkuva integraali on mahdoton [10] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ K. L. Siegel. Luennot taivaanmekaniikasta. Arkistokopio päivätty 2. helmikuuta 2021 Wayback Machinessa - M .: IL, 1959.
↑ 1 2 A.P. Markeev. Kolmen kehon ongelma ja sen tarkat ratkaisut // Soros Educational Journal . - 1999. - Nro 9 . ( Internet - arkiston artikkelikopio )
↑ Treecode - Ohjelmistojen jakelu . Haettu 14. syyskuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 2. helmikuuta 2021. (määrätön)
↑ Bruns H. Ueber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. bd. 11 (1887), s. 25-96.
↑ Whitaker. Analyyttinen dynamiikka.
↑ V. V. Kozlov. Symmetriat, topologia ja resonanssit Hamiltonin mekaniikassa. - Izhevsk, 1995.
↑ Matematiikka. - 1961. - Nro 5, numero. 2. - S. 129-155.
↑ Kolmogorov A. N. // DAN, 1954, 48, nro 4, 527-530
↑ Arnold V. I. // UMN, 1963, 18, nro 5-6
↑ Arnold V. I. // DAN, 1964, 154, nro 1, 9-12.

Kirjallisuus

James Binney, Scott Tremaine. Galactic Dynamics, 1988, ISBN 0-69-108445-9 .

Linkit

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	NDL : 00572721

kiertoradat

Tyypit

Main	Laatikon kiertorata Kaappaa kiertorata pyöreä kiertorata Elliptinen kiertorata / korkea elliptinen kiertorata Care Orbit Hautausrata Hyperbolinen liikerata Kalteva kiertorata / ei-kalteva kiertorata Oskuloiva kiertorata Parabolinen liikerata Vertailurata (mukaan lukien matala ) synkroninen kiertorata ( Puolisynkroninen subsynkroninen ) Kiinteä kiertorata
Geosentrinen	geosynkroninen kiertorata geostationaarinen kiertorata Auringon synkroninen kiertorata Matala maan kiertorata Keski Maan kiertorata Korkea Maan kiertorata Rata "Salama" Päiväntasaajan kiertorata Kuun kiertorata napainen kiertorata Rata "Tundra" TLE
Muiden taivaankappaleiden ja pisteiden ympärillä	Areosynkroninen kiertorata Areostationaarinen kiertorata halo kiertorata Orbit Lissajous kuurata Heliosentrinen kiertorata Auringon synkroninen kiertorata

Vaihtoehdot

Klassikko	$minä\,\!$ Mieliala $\Omega\,\!$ Nouseva solmupituusaste $e\,\!$ Epäkeskisyys $\omega\,\!$ periapsis argumentti $a\,\!$ Pääakseli $M_o\,\!$ Keskimääräinen poikkeama aikakaudelta
muu	$\nu\,\!$ Todellinen anomalia $b\,\!$ Pieni akseli $E\,\!$ Eksentrinen anomalia $L\,\!$ Keskimääräinen pituusaste $l\,\!$ todellinen pituusaste $T\,\!$ Kiertojakso

Orbital-liikkeet
Bi-elliptinen siirtorata Tyypillinen nopeusmarginaali geosiirtorata Painovoiman liike Painovoiman käännös Hohmannin kiertoradalla Edullinen siirtymäpolku Oberthin vaikutus Orbitaalin kaltevuuden muutos Ratavaiheistus Telakointi Transponointi, telakointi ja purkaminen vetäytymisliike

Muita astrodynamiikan aiheita

Taivaallinen koordinaattijärjestelmä
Päiväntasaajan koordinaattijärjestelmä
Epoch
Ephemeris
Keplerin lait
Gravitaatio N-kappaleen ongelma
Lagrangen pisteet
Häiriö
Planeettojenvälinen liikenneverkon
kiertoradan yhtälö
Apocenter ja periapsis
Ratanopeus
Painovoimaparametri
Ratatilavektorit
Erityinen kiertoradan energia
Erityinen suhteellinen vääntömomentti
suora liike
taaksepäin suuntautuva liike
Ratarata

Taivaan mekaniikka

Lait ja tehtävät	Newtonin lait Painovoimalaki Keplerin lait Kaksi kehon ongelmaa Kolme kehon ongelmaa Gravitaatio N-kappaleen ongelma Bertrandin ongelma Keplerin yhtälö
Taivaallinen pallo	Taivaallinen koordinaattijärjestelmä galaktinen vaakasuoraan päiväntasaajan- ekliptiikka Kansainvälinen taivaankoordinaattijärjestelmä Pallomainen koordinaattijärjestelmä maailman akseli Taivaallinen päiväntasaaja oikea ylösnousemus deklinaatio Ekliptinen Päiväntasaus Päivänseisaus perustaso
Rataparametrit _	Kepleriläiset kiertoradan elementit epäkeskisyys puolipääakseli tarkoittaa anomaliaa nouseva solmupituusaste periapsis argumentti Apocenter ja periapsis Ratanopeus Ratasolmu Epoch
Taivaankappaleiden liikkeet	Auringon ja planeettojen liike taivaalla Ephemeris Planeetan kokoonpanot vastakkainasettelua yhdiste kvadratuuri venymä planeettojen paraati Pimennys auringonpimennys kuunpimennys saros Metoninen kierto Pinnoite Ohjaus huipentuma sideerinen ajanjakso synodinen ajanjakso Kiertojakso kiertoradan resonanssi Equinox Prelude Lähentyminen libration Painovoiman laajuus Kozai-efekti Jarkovski-efekti Dzhanibekovin vaikutus

Astrodynamiikka

Avaruuslento	avaruuden nopeus ensimmäinen (ympyrä) toinen (parabolinen) kolmas neljäs Tsiolkovskyn kaava Painovoiman liike Hohmannin lentorata Elementtien oskulointimenetelmä Vuorovesikiihtyvyys Orbitaalin kaltevuuden muutos Planeettojen välinen liikenneverkko Telakointi Lagrangen pisteet Pioneeriefekti
SC kiertoradalla	geostationaarinen kiertorata Heliosentrinen kiertorata geosynkroninen kiertorata geosentrinen kiertorata geosiirtorata Matala maan kiertorata napainen kiertorata Rata "Tundra" Auringon synkroninen kiertorata Rata "Salama" Oskuloiva kiertorata