Ellipsi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. elokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Ellipsi ( muut kreikka ἔλλειψις "puute; puute, puute ( epäkeskisyyden 1 asti)") - suljettu käyrä tasossa, joka voidaan saada tason ja ympyrän muotoisen sylinterin leikkauspisteenä tai ympyrän ortogonaalina projektiona lentokoneeseen . _

Ympyrä on ellipsin erikoistapaus. Ellipsi on hyperbelin ja paraabelin ohella kartiomainen leikkaus ja neliö .

Määritelmä

Ellipsi - euklidisen tason pisteiden M paikka , jolle etäisyyksien summa kahteen annettuun pisteeseen ja (kutsutaan polttopisteiksi ) on vakio ja suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys, eli $F_{1}$ $F_{2}$

|F_{1}M|+|F_{2}M|=2\cdot a

, lisäksi

|F_{1}F_{2}|<2\cdot a.

Muut määritelmät

Ellipsi voidaan määritellä myös seuraavasti:

kuvio, joka voidaan saada ympyrästä affiinimuunnolla
ympyrän ortogonaalinen projektio tasoon
tason ja pyöreän sylinterin leikkauspiste .

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Janaa AB , joka kulkee ellipsin polttopisteiden läpi , jonka päät sijaitsevat ellipsillä, kutsutaan tämän ellipsin pääakseliksi . Pääakselin pituus on 2 a yllä olevassa yhtälössä.
Segmenttiä CD , joka on kohtisuorassa ellipsin pääakseliin nähden ja joka kulkee pääakselin keskipisteen läpi ja jonka päät ovat ellipsillä, kutsutaan ellipsin sivuakseliksi .
Ellipsin pää- ja sivuakselin leikkauspistettä kutsutaan sen keskipisteeksi .
Ellipsin keskipisteestä pää- ja sivuakselin kärkipisteisiin vedettyjä segmenttejä kutsutaan vastaavasti ellipsin suureksi puoliakseliksi ja pieneksi puoliakseliksi , ja niitä merkitään a ja b .
Etäisyyksiä ja etäisyyksiä kustakin polttopisteestä tiettyyn ellipsin pisteeseen kutsutaan polttosäteiksi kyseisessä pisteessä. $r_{1}$ $r_{2}$
Etäisyyttä kutsutaan polttoväliksi . $c={\frac {|F_{1}F_{2}|}{2}}$
Suuruutta kutsutaan epäkeskisyydeksi . $e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$
Ellipsin halkaisija on mielivaltainen jänne, joka kulkee sen keskustan läpi. Ellipsin konjugaattihalkaisijat ovat sen halkaisijapari, jolla on seuraava ominaisuus: ensimmäisen halkaisijan suuntaiset jänteiden keskipisteet ovat toisella halkaisijalla. Tässä tapauksessa toisen halkaisijan suuntaiset jänteiden keskipisteet ovat myös ensimmäisellä halkaisijalla.
Ellipsin säde tietyssä pisteessä on jana, joka yhdistää ellipsin keskustan pisteeseen, sekä sen pituus, joka lasketaan kaavalla , jossa on säteen ja puolipääakselin välinen kulma. $r={\frac {ab}{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}\varphi +a^{2}\sin ^{2}\varphi ))}={\frac {b}{ \sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi }}}$ $\varphi$
Polttopisteparametri on puolet polttopisteen läpi kulkevan ja kohtisuorassa ellipsin pääakseliin nähden olevan sointeen pituudesta . $p={\frac {b^{2}}{a}}$
Pienen ja suuren puoliakselin pituuksien suhdetta kutsutaan ellipsipuristussuhteeksi eli elliptisyydeksi : . Samaa arvoa kutsutaan ellipsin supistukseksi . Ympyrän puristuskerroin on yksi, puristus on nolla. Puristussuhde ja ellipsin epäkeskisyys liittyvät suhteeseen $k={\frac {b}{a}}$ $(1-k)={\frac {ab}{a}},$ $k^{2}=1-e^{2}.$
Jokaiselle polttopisteelle on suora viiva, jota kutsutaan suuntaviivaksi , jolloin etäisyyden etäisyys ellipsin mielivaltaisesta pisteestä sen fokukseen on etäisyys tästä pisteestä annettuun viivaan on yhtä suuri kuin ellipsin epäkeskisyys . . Koko ellipsi on tällaisen suoran linjan samalla puolella kuin tarkennus. Kanonisessa muodossa olevan ellipsin suuntayhtälöt kirjoitetaan kuten polttopisteille , vastaavasti. Tarkennuksen ja suuntaviivan välinen etäisyys on . $x=\pm {\frac {p}{e\left(1-e^{2}\right)))$ $\left(\pm {\frac {pe}{1-e^{2}}},\,0\oikea)$ ${\frac {p}{e}}$

Ellipsin elementtien väliset suhteet

${\bold symbol {a}}$ - suuri puoliakseli;
${\bold symbol {b))$ - pieni puoliakseli;
${\bold symbol {c}}$ - polttoväli (polttopisteiden puoliväli);
${\bold symbol {p}}$ — polttoparametri;
${\boldsymbol {r}}_{p}$ - perifokaalinen etäisyys (vähimmäisetäisyys tarkennuksesta ellipsin pisteeseen);
${\boldsymbol {r}}_{a}$ - apofokusetäisyys (maksimietäisyys tarkennuksesta ellipsin pisteeseen);

$a^{2}=b^{2}+c^{2};$

$e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}\;\;\;(0 \leqslant e<1);$

$p={\frac {b^{2}}{a}}.$

	${\bold symbol {a}}$	${\bold symbol {b))$	${\bold symbol {c}}$	${\bold symbol {p}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {r_{p))))$	${\displaystyle {\boldsymbol {r_{a))))$
${\bold symbol {a}}$ - iso puoliakseli	${\bold symbol {a}}$	$a={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2))))$	$a={\frac {c}{e}}$	${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2))))$	$a={\frac {r_{p}}{1-e}}$	$a={\frac {r_{a}}{1+e}}$
${\bold symbol {b))$ - pieni akseli	${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2))))$	${\bold symbol {b))$	$b={\frac {c~{\sqrt {1-e^{2)))){e}}$	$b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2))))$	${\displaystyle b=r_{p}{\sqrt {\frac {1+e}{1-e))))$	${\displaystyle b=r_{a}{\sqrt {\frac {1-e}{1+e))))$
${\bold symbol {c}}$ -polttoväli	$c=ae$	$c={\frac {be}{\sqrt {1-e^{2))))$	${\bold symbol {c}}$	${\displaystyle c={\frac {pe}{1-e^{2))))$	$c={\frac {r_{p}e}{1-e))$	$c={\frac {r_{a}e}{1+e}}$
${\bold symbol {p}}$ — polttoparametri	$p=a(1-e^{2})$	${\displaystyle p=b~{\sqrt {1-e^{2))))$	$p=c~{\frac {1-e^{2}}{e}}$	${\bold symbol {p}}$	$p=r_{p}(1+e)$	$p=r_{a}(1-e)$
${\boldsymbol {r}}_{p}$ - perifokaalinen etäisyys	$r_{p}=a(1-e)$	${\displaystyle r_{p}=b~{\sqrt {\frac {1-e}{1+e))))$	$r_{p}=c~{\frac {1-e}{e))$	$r_{p}={\frac {p}{1+e))$	${\boldsymbol {r}}_{p}$	$r_{p}=r_{a}{\frac {1-e}{1+e))$
${\boldsymbol {r}}_{a}$ - apofokusetäisyys	$r_{a}=a(1+e)$	${\displaystyle r_{a}=b~{\sqrt {\frac {1+e}{1-e))))$	$r_{a}=c~{\frac {1+e}{e))$	$r_{a}={\frac {p}{1-e))$	$r_{a}=r_{p}~{\frac {1+e}{1-e))$	${\boldsymbol {r}}_{a}$

Koordinaattiesitys

Ellipsi toisen asteen käyränä

Ellipsi on toisen kertaluokan ei-degeneroitunut keskuskäyrä ja täyttää muodon yleisen yhtälön

a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

invarianteilla ja , missä: $D>0$ $\Delta I<0$

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\ end{vmatrix}},

D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} ,

I=\operaattorin nimi {tr} {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22} .

Toisen asteen käyrän invarianttien ja ellipsin puoliakselien väliset suhteet (pätevä vain, jos ellipsin keskipiste on sama kuin origon ja ): $a_{{33}}=-1$

\Delta =-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {1}{b^{2}}},

D={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {1}{b^{2}}},

I={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.

Suhteet

Jos kirjoitamme yleisen yhtälön uudelleen muotoon

AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0,

niin ellipsin keskipisteen koordinaatit ovat:

h={\frac {BE-2CD}{4AC-B^{2}}},k={\frac {BD-2AE}{4AC-B^{2}}},

kiertokulma määritetään lausekkeesta

tg(2\Theta )={\frac {B}{AC}}.

Akselien vektorisuunnat:

{\begin{pmatrix}B&(C-A+{\sqrt {(CA)^{2}+B^{2)))})\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}B&( CA -{\sqrt {(CA)^{2}+B^{2}}})\end{pmatrix}},

täältä

\operaattorinnimi {tg} \Theta ={\frac {CA\pm {\sqrt {(CA)^{2}+B^{2)))){B)).

Puoliakselien pituudet määräytyvät lausekkeiden avulla

a={\sqrt {\frac {2F'({\sqrt {(AC)^{2}+B^{2))}+A+C)}{4AC-B^{2))} },

b={\sqrt {{\frac {2F'}{{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}+A+C}}.}}

Käänteinen suhde - yleisen yhtälön kertoimet ellipsin parametreistä - saadaan korvaamalla kanoniseen yhtälöön (katso kappale alla) lauseke koordinaattijärjestelmän kiertämiseksi kulmalla Θ ja siirtämällä se pisteeseen : ${\näyttötyyli (x_{c},\,y_{c})}$

{\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}=1,

x'=(x-x_{c})\cos \Theta +(y-y_{c})\sin \Theta ,

y'=-(x-x_{c})\sin \Theta +(y-y_{c})\cos \Theta .

Korvaamalla ja laajentamalla hakasulkeet saadaan seuraavat lausekkeet yleisen yhtälön kertoimille:

A=a^{2}\sin ^{2}\Theta +b^{2}\cos ^{2}\Theta ,

B=2(b^{2}-a^{2})\sin \Theta \cos \Theta ,

C=a^{2}\cos ^{2}\Theta +b^{2}\sin ^{2}\Theta ,

D=-2Ax_{c}-By_{c},

E=-Bx_{c}-2Cy_{c},

F=Ax_{c}^{2}+Cy_{c}^{2}+Bx_{c}y_{c}-a^{2}b^{2}.

Jos syötät vain kulman ja jätät ellipsin keskipisteen origoon, niin

D=0,

E=0,

F=-a^{2}b^{2}.

On huomattava, että karteesisessa koordinaatistossa annetussa ellipsin yleisen muodon yhtälössä kertoimet (tai mikä on sama, ) on määritelty mielivaltaiseen vakiotekijään, eli yllä olevaan merkintään ja $A B C D E F$ ${\displaystyle a_{11},2a_{12},a_{22},2a_{13},2a_{23},a_{33))$

AkX^{2}+BkXY+CkY^{2}+DkX+EkY+Fk=0,

missä vastaavat. Ei voida odottaa, että ilmaisu $k\neq 0,$

1/a^{2}+1/b^{2}=Ak+Ck

teloitetaan mille tahansa . $k$

Invariantin ja puoliakselien välinen suhde on yleisesti ottaen seuraava: $minä$

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {A+C}{F\cdot (A\cdot h ^{2}+B\cdot h\cdot k+C\cdot k^{2}-1)))={\frac {I}{F')),

missä on kerroin siirrettäessä koordinaattien origo ellipsin keskustaan, kun yhtälö pelkistetään muotoon $F'=F\cdot (A\cdot h^{2}+B\cdot h\cdot k+C\cdot k^{2}-1)$ $F$

AX^{2}+BXY+CY^{2}+F'=0.

Muut invariantit ovat seuraavissa suhteissa:

-{\frac {\Delta }{F'^{3}}}={\frac {D}{F'^{2}}}={\frac {1}{a^{2}} }{\frac {1}{b^{2}}}.

Kanoninen yhtälö

Jokaiselle ellipsille löytyy suorakulmainen koordinaattijärjestelmä , jossa ellipsiä kuvataan yhtälöllä:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

Tätä yhtälöä kutsutaan ellipsin kanoniseksi yhtälöksi. Se kuvaa origoon keskitettyä ellipsiä, jonka akselit yhtyvät koordinaattiakseleiden kanssa [Comm. 1] .

Suhteet

Varmuuden vuoksi oletetaan, että Tässä tapauksessa suureet ja ovat vastaavasti ellipsin pää- ja sivupuoliakselit. $0<b\leqslant a.$ $a$ $b$

Kun tiedämme ellipsin puoliakselit, voimme laskea:

sen polttoväli ja epäkeskisyys $\left|F_{1}F_{2}\right|=2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},\;\;\;e={\frac {\ sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}<1,$
ellipsin polttopisteen koordinaatit $\left(ae,\,0\right),\left(-ae,\,0\right).$

Ellipsillä on kaksi suuntaviivaa, joiden yhtälöt voidaan kirjoittaa

x={\frac {a}{e}},\;\;\;x=-{\frac {a}{e}}.

Polttopisteparametri (eli puolet sointeen pituudesta, joka kulkee fokuksen läpi ja on kohtisuorassa ellipsin akseliin nähden) on

p={\frac {b^{2}}{a}}.

Polttopisteen säteet eli etäisyydet polttopisteestä mielivaltaiseen käyrän pisteeseen : $\left(x,\,y\oikea)$

r_{1}=a+ex,\;\;\;r_{2}=a-ex.

Halkaisijakonjugaatin yhtälö kaltevuuden omaaviin jänteisiin : $k$

y=-{\frac {b^{2}}{a^{2}k}}x.

Ellipsin tangentin yhtälö pisteessä on: $(x_{0},y_{0})$

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.

Suoran ja ellipsin välisen tangentin ehto kirjoitetaan relaatioksi $y=mx+k$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ $k^{2}=m^{2}a^{2}+b^{2}.$

Pisteen läpi kulkevien tangenttien yhtälö : $\vasen(x_1, y_1\oikea)$

{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {-x_{1}y_{1}\pm {\sqrt {b^{2}x_{ 1}^{2}+a^{2}y_{1}^{2}-a^{2}b^{2}}}}{a^{2}-x_{1}^{2}} }.

Tietyn kaltevuuden omaavien tangenttien yhtälö : $k$

y=kx\pm {\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2))},

Tällaisen ellipsin suoran tangenttipisteet (tai mikä on sama, ellipsin pisteet, joissa tangentin kulma on yhtä suuri kuin tangentti ): $k$

x=\mp {\frac {ka^{2}}{\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}},y=\pm {\frac {b^{2 }}{\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}}.

Normaali yhtälö pisteessä $\left(x_{1},y_{1}\right):$

{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {a^{2}y_{1}}{b^{2}x_{1}}}.

Yhtälöt parametrimuodossa

Ellipsin kanoninen yhtälö voidaan parametroida:

{\begin{cases}x=a\,\cos t\\y=b\,\sin t\end{cases}}\;\;\;0\leqslant t\leqslant 2\pi ,

missä on parametri. $t$

Vain ympyrän tapauksessa (eli kohdassa ) parametri on x- akselin positiivisen suunnan ja annetun pisteen sädevektorin välinen kulma . $a=b$ $t$

Napakoordinaateissa

Jos otamme ellipsin fokuksen napaksi ja pääakselin napa-akseliksi, sen yhtälö napakoordinaateissa näyttää tältä $\left(\rho ,\varphi \oikea)$

\rho ={\frac {p}{1\pm e\cos \varphi )),

missä e on epäkeskisyys ja p on polttoparametri. Miinusmerkki vastaa napakoordinaattien navan sijoittamista vasempaan tarkennukseen ja plusmerkki oikeaan tarkennukseen.

Yhtälön johtaminen

Olkoot r 1 ja r 2 etäisyydet tiettyyn ellipsin pisteeseen ensimmäisestä ja toisesta polttopisteestä. Olkoon myös koordinaattijärjestelmän napa ensimmäisessä polttopisteessä ja mitataan kulma suunnasta toiseen polttopisteeseen. Sitten ellipsin määritelmästä seuraa, että $\varphi$

r_{1}+r_{2}=2a

Täältä . Toisaalta kosinilauseesta ${\displaystyle r_{2}^{2}=\left(2a-r_{1}\right)^{2}=4a^{2}-4ar_{1}+r_{1}^{2))$

r_{2}^{2}=r_{1}^{2}+4c^{2}-4r_{1}c\cos \varphi .

Eliminoimalla kahdesta viimeisestä yhtälöstä saamme $r_{2}$

r_{1}={\frac {a^{2}-c^{2}}{ac\cos \varphi }}={\frac {a(1-c^{2}/a^{ 2})}{1-c/a\cos \varphi }}.

Ottaen huomioon, että ja , saamme halutun yhtälön. $p=a(1-e^{2})$ $e=\frac{c}{a}$

Jos otamme ellipsin keskipisteen napaksi ja pääakselin napa-akseliksi, sen yhtälö napakoordinaateissa näyttää tältä $\left(\rho ,\varphi \oikea)$

\rho ={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi ))}={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\sin ^ {2}\varphi +b^{2}\cos ^{2}\varphi }}}.

Ellipsin kaaren pituus

Tasaisen viivan kaaren pituus määritetään kaavalla:

l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\ frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt.

Käyttämällä ellipsin parametrista esitystä saadaan seuraava lauseke:

l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t} }\,dt.

Korvauksen jälkeen kaaren pituuden lauseke saa lopullisen muodon: $b^{2}=a^{2}\vasen(1-e^{2}\oikea)$

l=a\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt,\;\;\ ;e<1.

Tuloksena oleva integraali kuuluu elliptisten integraalien perheeseen , joita ei ilmaista alkeisfunktioissa, ja se pelkistyy toisen tyyppiseksi elliptiseksi integraaliksi . Erityisesti ellipsin ympärysmitta on: $E\vasen(t,e\oikea)$

l=4a\int \limits _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt=4aE(e),

missä on toisen tyypin täydellinen elliptinen integraali . $E\vasen(e\oikea)$

Likimääräiset kaavat kehälle

$L\noin 4{\frac {\pi ab+(ab)^{2}}{a+b}}.$

Tämän kaavan suurin virhe ellipsin epäkeskisyydelle (akselien suhde ). Virhe on aina positiivinen. $\noin 0{,}63\ \%$ $\noin 0{,}988$ $\noin 1/6{,}5$

Noin kaksi kertaa pienemmät virheet erilaisissa epäkeskisuuksissa saadaan kaavalla : $L\noin 4\cpiste \vasen(a^{x}+b^{x}\oikea)^{\vasen(1/x\oikea)}$ $x={\frac {\ln 2}{\ln {\frac {\pi }{2))))$ $\noin 0{,}36\ \%$ $\noin 0{,}980$ $\noin 1/5$

Ramanujan - kaava tarjoaa huomattavasti paremman tarkkuuden : $0{,}05<a/b<20$ $L\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)))\right].$

Ellipsin epäkeskisyydellä (akselien suhde ) virhe on . Virhe on aina negatiivinen. $\noin 0{,}980$ $\noin 1/5$ $\noin 0{,}02\ \%$

Ramanujanin toinen kaava osoittautui vielä tarkemmaksi: $L\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{2}}{10+{ \sqrt {4-3\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{2}}}}}\oikea].$

Tarkat kaavat kehälle

James Ivory [1] ja Friedrich Bessel [2] saivat itsenäisesti kaavan ellipsin kehälle:

L=\pi (a+b)\left[1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {(2n-1)!!}{(2n) -1)\cdot 2^{n}\cdot n!}}\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{n}\oikea]^{2}\oikea].

Vaihtoehtoinen kaava

L={\frac {2\pi aN(1-e^{2})}{M({\sqrt {1-e^{2))})))),

jossa on aritmeettis-geometrinen keskiarvo 1 ja , ja on modifioitu aritmeettis-geometrinen keskiarvo 1 ja , jonka S. F. Adlai esitteli vuoden 2012 artikkelissa [3] . $M(x)$ $x$ $N(x)$ $x$

Ellipsin ja sen segmentin pinta-ala

Ellipsin pinta -ala lasketaan kaavalla

S=\pi ab.

Kaaren , vasemmalle kupera ja pisteiden läpi kulkevan pystyjänteen välinen janan pinta-ala voidaan määrittää kaavalla [4] : $\left(x,\,y\oikea)$ $\left(x,\,-y\right),$

S={\frac {\pi ab}{2}}-{\frac {b}{a}}\left(x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a ^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right).

Jos ellipsi on annettu yhtälöllä , niin pinta-ala voidaan määrittää kaavalla $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1$

S={\frac {2\pi }{\sqrt {4AC-B^{2)))).

Muut ominaisuudet

Optinen
- Yhdessä polttopisteessä sijaitsevan lähteen valo heijastuu ellipsissä niin, että heijastuneet säteet leikkaavat toisessa fokuksessa.
- Valo lähteestä, joka on minkä tahansa polttopisteen ulkopuolella, heijastuu ellipsissä niin, että heijastuneet säteet eivät leikkaa missään kohdissa.
Jos ja ovat ellipsin polttopisteitä, niin missä tahansa ellipsiin kuuluvassa pisteessä X tämän pisteen tangentin ja suoran välinen kulma on yhtä suuri kuin tämän tangentin ja suoran välinen kulma . $F_{1}$ $F_{2}$ $(F_{1}X)$ $(F_{2}X)$
Kahden ellipsin leikkaavan yhdensuuntaisen suoran leikkaamien segmenttien keskipisteiden läpi piirretty viiva kulkee aina ellipsin keskustan läpi. Tämä mahdollistaa rakentamisen kompassin ja suoraviivan avulla helposti saada ellipsin keskipisteen ja myöhemmin akselit, kärjet ja polttopisteet.
- Vastaava formulaatio: minkä tahansa ellipsin kahden yhdensuuntaisen jänteen keskipisteen läpi kulkee jokin ellipsin halkaisija. Mikä tahansa ellipsin halkaisija puolestaan kulkee aina ellipsin keskustan läpi.
Ellipsin kehitys on astroidi, joka ulottuu pystyakselia pitkin.
Ellipsin ja akselien leikkauspisteet ovat sen kärjet .
Ellipsin epäkeskisyys eli suhde kuvaa ellipsin venymää. Mitä lähempänä epäkeskisyys on nollaa, sitä enemmän ellipsi muistuttaa ympyrää, ja päinvastoin, mitä lähempänä epäkeskisyys on yhtenäisyyttä, sitä pitkänomaisempi se on. $e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}\;\;\;(0\leqslant e <1),$
- Jos ellipsin epäkeskisyys on nolla (joka on sama kuin polttoväli on nolla: ), niin ellipsi rappeutuu ympyräksi . $F_{1}F_{2}=0$
Äärimmäiset ominaisuudet [5]
- If on kupera luku ja se on merkitty maksimialueen -goniin, niin $F$ $T_{n}$ $F$ $n$ $S(T_{n})\geq S(F)\cdot {\frac {n}{2\cdot \pi }}{\sin(2\cdot \pi /n)},$

missä tarkoittaa kuvion aluetta .

S(F)

F

Lisäksi tasa-arvo saavutetaan jos ja vain jos sitä rajoittaa ellipsi. $F$

Kaikista tiettyä aluetta rajoittavista kuperista suljetuista käyristä ellipseillä ja vain niillä on suurin affiinin pituus .

Jos kolmioon ABC on kirjoitettu mielivaltainen ellipsi ja sen polttopisteet P ja Q , niin relaatio [6] on tosi sille:

{\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}({\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB }}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac ({\overline {PC}}\cdot {\overline {QC }} ))}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

Jos tikkaat (äärimmäisen ohut viivasegmentti) nojataan pystysuoraa seinää vasten, jossa on vaakasuora lattia, ja tikkaiden toinen pää liukuu seinää pitkin (kosketen sitä koko ajan) ja tikkaiden toinen pää liukuu lattiaa pitkin ( koko ajan koskettamalla sitä), niin mikä tahansa tikkaiden kiinteä piste (ei sen päissä) liikkuu jonkin ellipsin kaaria pitkin. Tämä ominaisuus pysyy totta, jos otamme pisteen ei tikapuusegmentin sisällä, vaan sen ajateltavissa olevalla jatkeella. Viimeistä ominaisuutta käytetään yllä kuvatussa ellipsografissa .

Ellipsiin kuuluvan pisteen läpi kulkevalla tangentilla on seuraava yhtälö: $(x_{0},y_{0})$

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.

Ellipsin rakentaminen

Ellipsin piirtämiseen käytettävät työkalut ovat:

siipi
kaksi neulaa, jotka on työnnetty ellipsin polttokohtiin ja yhdistetty 2 a :n pituisella langalla , joka vedetään lyijykynällä. Menetelmän keksi James Maxwell 14-vuotiaana, ja hänen isänsä kysyttäessä Royal Society of Edinburghista se osoittautui aiemmin tuntemattomaksi [7] .

Kompassin tai kompassin ja suoraviivan avulla voit rakentaa minkä tahansa määrän ellipsiin kuuluvia pisteitä, mutta et koko ellipsiä.

Kolmioon liittyvät ellipsit

Brokarin ellipsi - ellipsi, jossa on polttopisteitä Brocardin pisteissä
Ellipsi Mandart
Ellipsi Steiner

Katso myös

Kommentit

↑ Jos oikealla puolella on yksikkö, jossa on miinusmerkki, niin tuloksena oleva yhtälö ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$ kuvaa kuvitteellista ellipsiä, sillä ei ole pisteitä todellisessa tasossa.

Muistiinpanot

↑ Ivory J. Uusi sarja ellipsin oikaisemiseksi // Edinburghin kuninkaallisen seuran tapahtumat. - 1798. - Voi. 4 . - s. 177-190 . - doi : 10.1017/s0080456800030817 .
↑ Bessel FW Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen (saksa) // Astron. Nachr. . - 1825. - Bd. 4 . - S. 241-254 . - doi : 10.1002/asna.18260041601 . - . Englanniksi käännetty: Bessel FW Pituus- ja leveysasteen laskeminen geodeettisista mittauksista (1825 ) // Astron. Nachr. . - 2010. - Vol. 331 . - s. 852-861 . - doi : 10.1002/asna.201011352 . - arXiv : 0908.1824 .
↑ Adlaj S. Ellipsin kehän kaunopuheinen kaava // Notices of the AMS . - 2012. - Vol. 76 , iss. 8 . - s. 1094-1099 . - doi : 10.1090/noti879 .
↑ Korn, 1978 , s. 68.
↑ Feyesh Toth L. Luku II, §§ 4, 6 // Järjestelyt tasossa, pallolla ja avaruudessa . - M .: Fizmatgiz, 1958. - 364 s. (Venäjän kieli)
↑ Allaire PR, Zhou J., Yao H. Todistamassa 1800-luvun ellipsin identiteettiä // Mathematical Gazette. - 2012. - Vol. 96 , no. 535 . - s. 161-165 .
↑ Kartsev V.P. Maxwell. - M .: Nuori vartija, 1974. (Sarja "Hienollisten ihmisten elämä"). s. 26-28.

Kirjallisuus

Korn G., Korn T. Ympyröiden, ellipsien, hyperbolien ja paraabelien ominaisuudet // Matematiikan käsikirja. - 4. painos. - M .: Nauka, 1978. - S. 70-73.
Selivanov D. F. Ellipse // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osassa (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
A. V. Akopjan, A. A. Zaslavsky Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet, - M.: MTSNMO , 2007. - 136 s.
I. Bronstein . Ellipsi // Kvant , nro 9, 1970.
A. I. Markushevich. Merkittäviä käyriä // " Suosittuja matematiikan luentoja ", numero 4.

Linkit

S. Sykora, Ellipsin ympärysmittojen ja täydellisen elliptisen integraalin E(x) approksimaatiot. Katsaus tunnettuihin kaavoihin
Grand P. Michon . Ellipsin ympärysmitta (lopulliset vastaukset) (englanniksi) , 2000-2005. – klo 20
Video: Kuinka piirtää ellipsi

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Hienoa norjalaista Suuri Neuvostoliitto (1 painos) Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 11981967h GND : 4194779-4 J9U : 987007540845005171 LCCN : sh85042604

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto

Kartioprofiilit
Päätyypit	Ellipsi Hyperbeli Paraabeli
Degeneroitunut	Piste Suoraan Pari suoraa viivaa
Ellipsin erikoistapaus	Ympyrä
Geometrinen rakenne	kartiomainen leikkaus Dandelin palloja Steinerin suunnittelu
Katso myös	Kartiomainen vakio
Matematiikka • Geometria