Juuri (matematiikka)

Tämä artikkeli käsittelee juurien purkamista . Katso myös yhtälöjuuri ja polynomijuuri .

Luvun th asteen $n$ juuri määritellään [1] luvuksi siten, että Here on luonnollinen luku , jota kutsutaan juuren eksponenttiksi (tai juuren asteeksi); se on yleensä suurempi tai yhtä suuri kuin 2, koska tapaus ei ole kiinnostava. $a$ $b$ $b^{n}=a.$ $n$ $n = 1$

Merkintä: Oikealla puolella olevaa symbolia ( juurimerkkiä ) kutsutaan radikaaliksi . Luku ( radikaalilauseke ) on useimmiten reaali tai kompleksi , mutta yleistyksiä on myös muille matemaattisille objekteille , kuten jäännöksille , matriiseille ja operaattoreille , katso #Variaatiot ja yleistykset alla . $b={\sqrt[{n}]{a}},$ $a$

Esimerkkejä reaaliluvuista:

Numeron 9 toisen asteen juuret ovat ja molemmilla näillä luvuilla on samat neliöt ja ne ovat yhtä kuin 9 $+3$ ${\näyttötyyli -3,}$
${\sqrt[{3}]{\ 64}}=4,$ koska $4^{3}=64.$
${\sqrt[{3}]{\frac {8}{27}}}={\frac {2}{3)),$ koska $\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {8}{27}}.$

Kuten ensimmäisestä esimerkistä näet, todellisella parillisella juurella voi olla kaksi arvoa (positiivinen ja negatiivinen), ja tämä vaikeuttaa tällaisten juurien kanssa työskentelyä, eikä niitä voida käyttää aritmeettisissa laskelmissa. Yksiselitteisyyden varmistamiseksi otetaan käyttöön aritmeettisen juurin käsite (ei-negatiivisesta reaaliluvusta), jonka arvo on aina ei-negatiivinen, ensimmäisessä esimerkissä tämä luku . johon reaaliluvun parillisen astejuuren etumerkki tarkoittaa aina aritmeettista juuria [2] [3] : Jos juuren moniselitteisyys on otettava huomioon, sijoitetaan plus- tai miinusmerkki radikaali [2] ; esimerkiksi näin se tehdään kaavassa toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi : $3.$ ${\sqrt[{2}]{9}}=3.$ $ax^{2}+bx+c=0$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Negatiivisten lukujen todellisia parillisia juuria ei ole olemassa. Kompleksiluvusta on aina mahdollista erottaa minkä tahansa asteen juuri, mutta tulos on epäselvästi määritelty - nollasta poikkeavan luvun kompleksisella juurella on erilaiset arvot (katso #Kompleksilukujen juuret ). $n$ $n$

Juurenpoistotoiminto ja sen toteuttamisalgoritmit ilmestyivät muinaisina aikoina geometrian ja tähtitieteen käytännön tarpeiden yhteydessä, katso #History .

Määritelmä ja siihen liittyvät käsitteet

Yllä olevan lisäksi juurelle [4] voidaan antaa kaksi vastaavaa määritelmää :

Luvun th juuri $n$ on yhtälön ratkaisu ( huomaa, että ratkaisuja voi olla useita tai ei yhtään). $a$ $x$ $x^n=a$
Luvun : nnen asteen $n$ juuri on polynomin juuri , eli arvo , jolla määritetty polynomi on yhtä suuri kuin nolla. $a$ $x^{n}-a,$ $x$

Laskentaoperaatiota kutsutaan " luvun :nnen juuren ottamiseksi " . Tämä on yksi kahdesta operaatiosta, jotka ovat käänteisiä eksponentiolle [5] , nimittäin asteen kantakohdan löytäminen tunnetusta eksponentista ja eksponentioinnin tuloksesta . Toinen käänteisoperaatio, logaritmi , etsii eksponentin tunnetulla kanta- ja tuloksella. ${\sqrt[{n}]{a))$ $n$ $a$ $b$ $n$ $a=b^{n}$

Toisen ja kolmannen asteen juuria käytetään erityisen usein ja siksi niillä on erityisnimet [5] .

Neliöjuuri : Tässä tapauksessa eksponentti 2 jätetään yleensä pois, ja termi "juuri" ilman asteen määrittämistä viittaa useimmiten neliöjuureen. Geometrisesti se voidaan tulkita neliön sivun pituudeksi, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin . ${\sqrt {a}).$ ${\sqrt {a}}$ $a$
Kuution juuri : Geometrisesti tämä on kuution reunan pituus, jonka tilavuus on . ${\sqrt[{3}]{a}}.$ ${\sqrt[{3}]{a))$ $a$

Reaalilukujen juuret

Tässä osiossa kaikkialla - luonnollinen luku, - reaalilukuja. Reaaliluvun :nnen asteen juurella voi olla pariteetista ja merkistä riippuen 0-2 reaaliarvoa. $n$ $a,b$ $n$ $a$ $n$ $a$

Yleiset ominaisuudet

Positiivisen luvun pariton juuri on positiivinen luku, joka on määritetty yksiselitteisesti.

${\sqrt[{n}]{a}}=b$ , missä on outoa $a,b>0,$ $n$

Esimerkiksi,

{\sqrt[{3}]{125}}=5,\ {\sqrt[{5}]{32}}=2,\ {\sqrt[{15}]{1}}=1

Negatiivisen luvun pariton juuri on negatiivinen luku, joka on yksilöllisesti määritelty.

${\sqrt[{n}]{a}}=b$ , missä on outoa ${\näyttötyyli a,b<0,}$ $n$

Esimerkiksi,

{\sqrt[{3}]{-8}}=-2,\ {\sqrt[{5}]{-243}}=-3,\ {\sqrt[{7}]{-1}}= -yksi

Positiivisen luvun parillisen asteen juurella on kaksi arvoa , joilla on vastakkaiset etumerkit, mutta jotka ovat yhtä suuret absoluuttisesti.

$\pm {\sqrt[{n}]{a}}=\pm b$ , missä on parillinen $a,b>0,$ $n$

Esimerkiksi,

\pm {\sqrt {4}}=\pm 2,\ \ \pm {\sqrt[{4}]{81}}=\pm 3,\ \ \pm {\sqrt[{10}] {1024}}=\pm 2

Negatiivisen luvun parillisen asteen juuria ei ole olemassa reaalilukujen kentässä , koska nostettaessa mikä tahansa reaaliluku potenssiin, jolla on parillinen eksponentti, tuloksena on ei-negatiivinen luku. Alla näytetään , kuinka tällaisia juuria voidaan poimia laajemmassa järjestelmässä - kompleksilukujen joukko (sitten juuren arvot ovat kompleksilukuja). $n$

${\sqrt[{n}]{a))$ ei ole olemassa reaalilukujen kentässä , jos - parillinen $a<0,$ $n$

Minkä tahansa luonnollisen nollavoiman juuri on nolla.

${\sqrt[{n}]{0}}=0$

Varoitus

Kuten edellä todettiin: " Negatiivisen luvun parillinen astejuuri ei ole olemassa reaalilukujen kentässä ". Lisäksi tällainen juuri on olemassa kompleksilukujen alueella. Siksi on aina harkittava, missä numeerisessa järjestelmässä (reaali- vai kompleksiluvut) poimimme juuren.

Esimerkki. Reaalilukujen alueella neliöjuurta ei ole olemassa. $-9$
Esimerkki. Kompleksilukujen alueella neliöjuuri on $-9$ $\pm 3i.$

Aritmeettinen juuri

Edellä on jo sanottu, että parillisen asteen juuret määritellään yleisesti ottaen epäselvästi, ja tämä seikka aiheuttaa haittaa niiden käytössä. Siksi tälle käsitteelle otettiin käyttöön käytännössä tärkeä rajoitus [6] .

$n$ Ei-negatiivisen reaaliluvun : nnen asteen aritmeettinen juuri on ei-negatiivinen luku , jonka aritmeettinen juuri on merkitty radikaalimerkillä . $a$ $b$ $b^{n}=a.$

Siten aritmeettinen juuri, toisin kuin yleisen muodon ( algebrallinen ) juuri, määritellään vain ei-negatiivisille reaaliluvuille, ja sen arvo on aina olemassa, yksiselitteisesti [7] ja ei-negatiivisesti. Esimerkiksi luvun neliöjuurella on kaksi arvoa: ja , joista ensimmäinen on aritmeettinen. $neljä$ $2$ $-2$

Algebralliset ominaisuudet

Alla annetut kaavat ovat oikein ennen kaikkea minkä tahansa asteen aritmeettisille juurille (paitsi erikoistapauksissa). Ne pätevät myös parittoman asteen juurille, joilla on myös negatiivisia radikaalilausekkeita [8] .

Juuren ja tutkinnon vastavuoroinen peruutus: [9]
- outoa : , $n$ ${\sqrt[{n}]{a^{n))}=a$
- jopa : $n$ ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{n))))}=|a|$
Jos , niin ja $a<b$ ${\väri {sininen}{\sqrt[{\väri {musta}n}]{\väri {musta}{a))))<{\väri {sininen}{\sqrt[{\väri {musta}n} ]{\väri {musta}{b))))$

Tuotteen juuri on yhtä suuri kuin tekijöiden juurien tulo:

${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{ab))))={\väri {sininen}{\sqrt[{\väri {musta}n} ]{\väri {musta}{a)))){\väri {sininen}{\sqrt[{\väri {musta}n}]{\väri {musta}{b))))$

Samoin jakoon:

${\väri {sininen}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{\frac {a}{b))))}={\frac {\väri {sininen}{\ sqrt[{\väri {musta}n}]{\väri {musta}{a)))){\väri {sininen}{\sqrt[{\väri {musta}n}]{\väri {musta}{b }}}}}},\;b\neq 0$

Seuraava yhtälö on murto-osaan korotuksen määritelmä [10] :

$a^{m/n}={\väri {sininen}{\sqrt[{\väri {musta}n}]{\väri {musta}{a^{m))))}=\left({\color {sininen}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a))))\right)^{m}=\left(a^{1/n}\oikea)^ {m}$

Juuren arvo ei muutu, jos sen indeksi ja radikaalilausekkeen aste jaetaan samalla luvulla (radikaalilausekkeen eksponentin tekijä ja eksponentti):

${\väri {sininen}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a^{mk)))}}={\väri {sininen}{\sqrt[{\color { musta}n}]{\väri {musta}{a^{m))))},\;n,k\in \mathbb {N} .$ Esimerkki: ${\väri {sininen}{\sqrt[{\väri {musta}6}]{\väri {musta}{64))))={\väri {sininen}{\sqrt[{\väri {musta}{2 \cdot 3}}]{\color {black}{4^{3}}}}}={\väri {sininen}{\sqrt {\color {black}{4}}}}=2$
${\väri {sininen}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}k}]{\color {musta}{a)))) ))={\väri {sininen}{\sqrt[{\väri {musta}nk}]{\väri {musta}{a)))),\;n,k\in \mathbb {N}$

Parittoman asteen juurille osoitamme lisäominaisuuden:

${\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}$

Juuren purkaminen ja korottaminen murto-osaan

Eksponenttioperaatio otettiin alun perin käyttöön luonnollisten lukujen kertolaskuoperaation lyhenteenä: . Seuraava askel oli määrittää eksponentio mielivaltaiseen kokonaislukuun, mukaan lukien negatiivinen potenssi: $m^{n}={\väri {harmaa}\alaviiva {\väri {musta}m\cdot m\cdot \dots \cdot m} _{\väri {musta}n))$ $m^{-n}={\frac {1}{m^{n))}.$

Aritmeettisen juuren erottamisen avulla voit määrittää positiivisen luvun nostamisen mihin tahansa rationaaliseen (murtoluku) potenssiin [10] :

a^{\frac {m}{n}}={\väri {sininen}{\sqrt[{\väri {musta}n}]{\väri {musta}{a^{m))))},

a>0

Tässä tapauksessa murtoluvun osoittajalla voi olla etumerkki. Laajennetun operaation ominaisuudet ovat periaatteessa samat kuin kokonaislukupotenssiin nostaminen. $m$ ${\frac {m}{n}}$

Tämä määritelmä tarkoittaa, että juuren erottaminen ja sen käänteinen eksponentio yhdistetään yhdeksi algebralliseksi operaatioksi. Erityisesti:

{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a))))=a^{\frac {1}{n))

Yritykset nostaa negatiivisia lukuja rationaaliseen potenssiin voivat johtaa virheisiin, koska algebrallisen juuren arvo on moniselitteinen ja aritmeettisen juuren alue on rajoitettu ei-negatiivisiin lukuihin. Esimerkki mahdollisesta virheestä:

-1=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({(-1)^{2}}\right)^{\frac {1}{ 2))=1^{\frac {1}{2))={\väri {sininen}{\sqrt {\väri {musta}1))}=1

Juurifunktio

Tontteja juurifunktioista
Juurifunktiot ja tehofunktiot käänteisesti niille tietyllä aikavälillä $[0;\ 1]$
Juurifunktiot:
- aritmeettinen, parilliset potenssit 2, 4, 6
- yhteiset, parittomat potenssit 3, 5, 7

Jos tarkastellaan juurilauseketta muuttujana, saadaan th asteen juurifunktio: . Juurifunktio kuuluu algebrallisten funktioiden luokkaan . Minkä tahansa juurifunktion kuvaaja kulkee origon ja pisteen kautta . $n$ $y={\sqrt[{n}]{x}}$ $(yksitoista)$

Kuten edellä todettiin, parillisen juuren kohdalla juuren on oltava aritmeettinen, jotta funktio on yksilöllinen, jotta argumentti ei ole negatiivinen. Parittoman asteen juurifunktio on yksiarvoinen ja se on olemassa kaikille argumentin todellisille arvoille. $x$

Juurifunktion tyyppi	Verkkotunnus	Arvoalue	Muut ominaisuudet
Tasainen tutkinto	$[0;\ +\infty )$	$[0;\ +\infty )$	Funktio on kupera ylöspäin koko määritelmäalueen yli
pariton aste	$(-\infty ;+\infty )$	$(-\infty ;+\infty )$	Funktio on outo

Millä tahansa asteella juurifunktio on tiukasti kasvava, jatkuva kaikkialla määrittelyalueensa sisällä. Rajattomasti differentioituva kaikkialla paitsi origossa, jossa derivaatta menee äärettömään [11] [12] . Johdannainen määritetään kaavalla [13] :

{\frac {d}{dx}}{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}} }

. Erityisesti ,.

{\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}

Toiminto on rajoituksetta integroitavissa koko määrittelyalueen yli. Epämääräistä integraalia etsitään kaavalla:

\int {\sqrt[{n}]{x}}\;dx={\frac {\sqrt[{n}]{x^{n+1}}}{1+{\frac {1}{n }}}}+C

. Erityisesti , Jossa on mielivaltainen vakio.

\int {\sqrt {x}}\;dx={\frac {2{\sqrt {x^{3}}}}{3}}+C

C

Rajoittamaton funktion erilaistuvuus ja integroitavuus

Kaava funktion [14] : nnen kertaluvun derivaatan $k$ löytämiseksi : ${\sqrt[{n}]{x}}$

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}{\sqrt[{n}]{x}}=(-1)^{k}{\frac {\prod _{m=0 }^{k-1}(mn-1)}{{n^{k}}{\sqrt[{n}]{x^{kn-1}}}}}$
missä $\ k,n\in \mathbb {N} ,\ x\neq 0$

Kaava funktion : nnen epämääräisen integraalin [15] löytämiseksi : $k$ ${\sqrt[{n}]{x}}$

$\alleviivaus {\int \cdots \int } _{k}{\sqrt[{n}]{x}}\ \underbrace {dx\cdots dx} _{k}={\frac {{n^{k} }{\sqrt[{n}]{x^{kn+1)))){\prod _{m=1}^{k}(1+mn)))+C$
missä $k,n\in \mathbb {N} ,\ C=const$

Kaavojen oikeat osat ovat algebrallisia lausekkeita, jotka ovat aina olemassa, luonnollisella . Siksi myös vasen.

k

Rajasuhteet

Tässä on joitain hyödyllisiä rajoituksia , jotka sisältävät juuria [16] .

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\ln n}}=1

\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\ frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)=\ln x

\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt[{n}]{(x+1)^{m}}}-1}{x}}={\frac {m}{n} }

\lim _{n\to \infty }\left({\frac {{\sqrt[{n}]{a}}+{\sqrt[{n}]{b}}}{2}}\oikea) ^{n}={\sqrt {ab}}

Käytännön juurten laskeminen

Neliö- ja kuutiojuurien laskentatoiminto on tarjolla monissa laskimissa; Esimerkiksi Windows - laskin näyttää vastaavat painikkeet "Engineering" (Scientific) -tilassa. Jos elektronisessa laskimessa on eksponentioavain: silloin, kun haluat poimia juuren nykyisestä luvusta, sinun on painettava seuraavia näppäimiä [17] . $y^{x},$

y^{x}

Hanki juurieksponentti Paina näppäintä

1/x

Paina näppäintä

=

Manuaalisessa laskennassa voit käyttää artikkelissa " Algoritmi n:nnen asteen juuren etsimiseen " kuvattua nopeaa konvergenttimenetelmää . Kolmannen yläpuolella oleville tehoille voidaan käyttää logaritmista identiteettiä :

{\sqrt[{n}]{x}}=a^{\frac {\log _{a}(x)}{n}}=e^{\frac {\ln(x)}{ n}}

Juuren erottamiseksi sinun on löydettävä juurilausekkeen logaritmi, jaettava juuren potenssilla ja löydettävä tuloksen antilogaritmi .

Kompleksilukujen juuret

Kompleksiluvun käsitteen alkuperä on historiallisesti liitetty haluun "laillistaa" negatiivisten lukujen neliöjuuret. Kuten vähitellen kävi selväksi, kompleksiluvuilla on runsaasti algebrallisia ja analyyttisiä ominaisuuksia; erityisesti juurien poimiminen niistä on aina mahdollista, vaikkakin moniselitteisesti. Monimutkaisen verkkotunnuksen juurille radikaalimerkkiä ei yleensä käytetä tai se ei tarkoita juurifunktiota, vaan kaikkien juurien joukkoa; Jälkimmäisessä tapauksessa, virheiden välttämiseksi, radikaalimerkkiä ei saa käyttää aritmeettisissa operaatioissa. Esimerkki mahdollisesta virheestä:

-1=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1

(joka ei tietenkään pidä paikkaansa)

Virhe johtui siitä, että ei-aritmeettinen neliöjuuri on moniarvoinen funktio , eikä sitä voi käyttää aritmetiikassa.

Tapoja löytää

Kirjoitetaan kompleksiluku trigonometriseen muotoon : $z$

z=r\left(\cos {\varphi }+i\sin {\varphi }\right)

Sitten : nnen asteen juuret määritetään De Moivren kaavalla (trigonometrinen muoto) [18] : $n$ $z$

{\sqrt[{n}]{z}}={\väri {sininen}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{r}}}}\left(\cos { \frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\;k=0,1,\dots , n-1

tai eksponentiaalisessa muodossa :

z=re^{i\varphi }

{\sqrt[{n}]{z}}={\väri {sininen}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{r}}}}e^{\left( i{\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right)},\;k=0,1,\dots ,n-1

Merkintä

$z=x+iy,\z\in \mathbb {C}$ (kompleksiluku), (kompleksiluvun reaaliosa), (kompleksiluvun imaginaariosa), - imaginaariyksikkö , (kompleksiluvun moduuli), (kompleksiluvun argumentti), - luonnollisen logaritmin kanta .
$x=\operaattorinimi {Re} (z)\in \mathbb {R}$
$y=\operaattorin nimi {Im} (z)\in \mathbb {R}$
$i$
$r=|z|={\väri {sininen}{\sqrt {\väri {musta}{x^{2}+y^{2))))}$
$\varphi =\operaattorinimi {arg} z=\operaattorinimi {arctg} {\frac {y}{x))$
$e$

Nollasta poikkeavan kompleksiluvun tehojuurella on arvoja (tämä on seurausta algebran peruslauseesta ), ja ne ovat kaikki erilaisia. Kohdalla saatua juuren arvoa kutsutaan usein päämieheksi . $n$ $n$ $k = 0$

Koska moduuli on sama kaikille juuren arvoille (se määritellään alkuperäisen kompleksiluvun moduulin aritmeettiseksi juureksi) ja vain sen argumentti muuttuu , kaikki juuriarvot sijaitsevat kompleksitasolla ympyrä , jonka säde on keskitetty origoon. Juuret jakavat tämän ympyrän yhtä suuriin osiin. $n$ ${\väri {sininen}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {musta}{r))))$ $n$

Esimerkkejä

Etsitään . Koska kaavan mukaan saamme: ${\sqrt {-4}}$ $-4=4(\cos {\pi }+i\sin {\pi }),$

{\sqrt {-4}}=2\left(\cos {\frac {\pi +2\pi k}{2}}+i\sin {\frac {\pi +2\pi k}{2} }\oikea),\;k=0,1

Kun saamme ensimmäisen juuren , kun saamme toisen juuren $k = 0$ $2i$ $k = 1$ $(-2i).$

Toinen esimerkki: etsi . Esitetään radikaalilauseke trigonometrisessa muodossa: ${\sqrt[{4}]{-16}}$

-16=16\ (\cos(\pi +2k\pi )+i\sin(\pi +2k\pi ))

Moivren kaavan mukaan saamme:

z_{k}={\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt[{4}]{16}}\left(\cos {\frac {\pi +2k\pi }{4} }+i\sin {\frac {\pi +2k\pi }{4}}\oikea)

Tämän seurauksena meillä on neljä juuriarvoa [19] :

z_{0}=2\left(\cos {\frac {\pi }{4))+i\sin {\frac {\pi }{4))\right)={\sqrt {2))\ ( 1+i)

z_{1}=2\left(\cos {\frac {3\pi }{4}}+i\sin {\frac {3\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}} \ (-1+i)

z_{2}=2\left(\cos {\frac {5\pi }{4}}+i\sin {\frac {5\pi }{4}}\right)=-{\sqrt {2} }\ (1+i)

z_{3}=2\left(\cos {\frac {7\pi }{4}}+i\sin {\frac {7\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}} \(1-i)

Voit kirjoittaa yhteenvedon vastauksen seuraavasti: ${\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt {2}}\ (\pm 1\pm i)$

Monimutkainen juurifunktio ja Riemannin pinta

Tarkastellaan th:n asteen juuren monimutkaista funktiota : Edellä sanotun mukaan tämä funktio on moniarvoinen (tarkemmin -arvottu) funktio, ja tämä vaikeuttaa sen tutkimista ja soveltamista. Monimutkaisessa analyysissä sen sijaan, että otettaisiin huomioon moniarvoisia funktioita kompleksisella tasolla , tehtiin toinen päätös: katsoa funktio yksiarvoiseksi, mutta määriteltynä ei tasossa, vaan monimutkaisemmassa monistossa , jota kutsutaan Riemanniksi . pinta [20] . $n$ $w={\sqrt[{n}]{z}}.$ $n$

Riemann-pinta monimutkaiselle neliöjuurelle
Riemann-pinta 4. asteen kompleksiselle juurelle

Monimutkaisessa th:n asteen juurifunktiossa sen Riemann-pinta (katso kuvat) koostuu oksista ( levyistä ), jotka on yhdistetty kierteisesti, ja viimeinen lehti on yhdistetty ensimmäiseen. Tämä pinta on jatkuva ja yksinkertaisesti yhdistetty . Yksi arkeista sisältää juuren pääarvot, jotka on saatu todellisen juuren analyyttisenä jatkona reaaliakselin positiivisesta säteestä. $n$ $n$

Yksinkertaisuuden vuoksi kuvataan neliöjuuren monimutkainen funktio. Sen Riemann-pinta koostuu kahdesta levystä. Ensimmäinen arkki voidaan esittää kompleksisena tasona, josta on leikattu pois reaaliakselin positiivinen säde. Tämän lehden juurifunktion arvoilla on puolet argumentista , joten ne täyttävät kompleksiarvotason yläosan. Leikkauksessa ensimmäinen arkki liimataan toiseen ja toiminto jatkuu jatkuvasti leikkauksen läpi toiselle levylle, jossa sen arvot täyttävät kompleksiarvotason alaosan. Ensimmäisen arkin jäljellä oleva vapaa alku ja toisen loppu liimataan myös yhteen, minkä jälkeen tuloksena olevasta funktiosta tulee Riemannin pinnalla yksiarvoinen ja kaikkialla jatkuva [20] . $w$ $z$

Ainoa nolla funktion (ensimmäisen kertaluvun) saadaan . Yksikköpisteet: ja (äärettömän järjestyksen haarapisteet) [20] . Haaroittumispisteen käsite tarkoittaa, että suljettu ääriviiva nollan läheisyydessä sisältää väistämättä siirtymisen lehdestä lehteen. $z = 0$ $z = 0$ $z=\infty$

Koska juuren Riemannin pinta on yksinkertaisesti yhdistetty, se on universaali päällyste [21] kompleksiselle tasolle ilman pistettä . $0$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Yhtälön th juuri on ratkaisu yhtälöön ja periaatteessa se voidaan määritellä kaikkialla, missä yhtälöllä on järkeä. Useimmiten tällaisia yleistyksiä tarkastellaan algebrallisissa renkaissa . Yleistyneet neliöjuuret ovat parhaiten tutkittuja. $n$ $a$ $x^n=a$

Jos rengas on eheysalue , nollasta poikkeavan elementin neliöjuuria voi olla joko kaksi tai ei yhtään. Todellakin, jos on kaksi juuria , niin mistä: , eli nollan jakajien puuttumisen vuoksi , . Yleisemmin sanottuna, kun renkaassa on nolla jakajaa tai se on ei- kommutatiivinen , juuria voi olla mikä tahansa määrä. $a, b,$ $a^{2}=b^{2},$ ${\näyttötyyli (ab)(a+b)=0}$ $a=\pm b$

Lukuteoriassa tarkastellaan äärellistä jäännösrengasta modulo : jos vertailulla on ratkaisu, niin kokonaislukua kutsutaan n-asteen jäännökseksi (muuten n - asteen ei -jäännökseksi ). Ratkaisu , jos se on olemassa, on kokonaisluvun n :nnen juuren täydellinen analogi . Yleisimmin käytetyt tapaukset ovat [22] : $m$ $x^{n}\equiv a{\pmod {m))$ $a$ $x$ $a$

$n = 2$ ( kvadraattiset jäännökset )
$n = 3$ (kuutiovähennykset)
$n = 4$ (kaksikvadraattiset jäännökset)

Kvaternionien juurilla on paljon yhteistä monimutkaisten juurten kanssa, mutta niissä on myös merkittäviä piirteitä. Neliökvaternionjuurella on yleensä 2 arvoa, mutta jos juurilauseke on negatiivinen reaaliluku, niin arvoja on äärettömän monta. Esimerkiksi neliöjuuret muodostavat kolmiulotteisen pallon, joka määritellään kaavalla [23] : $-yksi$

\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}\,.

Neliomatriisien renkaalle on todistettu, että jos matriisi on positiivinen definiitti , niin matriisin positiivinen tarkka neliöjuuri on olemassa ja on ainutlaatuinen [24] . Muuntyyppisillä matriiseilla voi olla mikä tahansa määrä juuria (mukaan lukien ei yhtään).

Neliöjuuret otetaan käyttöön myös funktioille [25] , operaattoreille [26] ja muille matemaattisille objekteille.

Historia

Käsitteen kehittäminen

Ensimmäiset neliöjuuren erottamiseen liittyvät ongelmat löydettiin babylonialaisten matemaatikoiden teoksista (muinaisen Egyptin saavutuksista tässä suhteessa ei tiedetä mitään). Tällaisten tehtävien joukossa [27] :

Pythagoraan lauseen soveltaminen suorakulmaisen kolmion sivun löytämiseen kahdella muulla tunnetulla sivulla.
Etsitään neliön sivu, jonka pinta-ala on annettu.
Neliöyhtälöiden ratkaisu .

Babylonian matemaatikot (II vuosituhat eKr.) kehittivät erityisen numeerisen menetelmän neliöjuuren erottamiseksi. Alkuperäinen likiarvo laskettiin juuria lähinnä olevan luonnollisen luvun perusteella (alaspäin) . Esitetään radikaalilauseke muodossa: , saadaan: , sitten käytettiin iteratiivista tarkennusprosessia, joka vastaa Newtonin menetelmää [28] : ${\sqrt {a}}$ $n$ $a=n^{2}+r$ $x_{0}=n+{\frac {r}{2n))$

x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\

Tämän menetelmän iteraatiot konvergoivat hyvin nopeasti. Esimerkiksi , ja saamme sarjan likiarvoja: ${\sqrt {5}}$ $a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_{0}={\frac {9}{4))=2{,}25,$

x_{1}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{2}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779

Lopullisessa arvossa kaikki numerot ovat oikein viimeistä lukuun ottamatta.

Samanlaisia ongelmia ja menetelmiä löytyy muinaisesta kiinalaisesta " Mathematics in Nine Books " [29] . Muinaiset kreikkalaiset tekivät tärkeän löydön: - irrationaalisen luvun . Ateenalaisen Theaetetus (4. vuosisadalla eKr.) yksityiskohtainen tutkimus osoitti, että jos luonnollisen luvun juuria ei saada kokonaan erotettua, sen arvo on irrationaalinen [30] . ${\sqrt {2}}$

Kreikkalaiset muotoilivat kuution kaksinkertaistamisen ongelman , joka kiteytyi kuutiojuuren rakentamiseen kompassin ja suoraviivan avulla . Ongelma osoittautui ratkaisemattomaksi. Numeeriset algoritmit kuutiojuuren poimimiseksi julkaisivat Heron (artikkelissa " Metric ", 1. vuosisadalla jKr.) ja intialainen matemaatikko Aryabhata I (5. vuosisata) [31] .

Intian ja islamilaisten matemaatikoiden kehittämiä algoritmeja minkä tahansa asteen juurien erottamiseksi kokonaisluvusta parannettiin keskiaikaisessa Euroopassa. Nicholas Orem (XIV vuosisata) oli ensimmäinen, joka tulkitsi [32] asteen juuren eksponentioimiseksi . $n$ ${\frac {1}{n}}$

Cardanon kaavan (XVI vuosisadan) ilmestymisen jälkeen matematiikassa alettiin käyttää imaginaarilukuja , jotka ymmärretään negatiivisten lukujen neliöjuurina [33] . Kompleksilukujen kanssa työskentelyn perusteet kehitti 1500-luvulla Rafael Bombelli , joka myös ehdotti alkuperäistä menetelmää juurien laskemiseen (jatkolukuja käyttämällä ) . Moivren kaavan (1707) löytö osoitti, että minkä tahansa asteen juuren erottaminen kompleksiluvusta on aina mahdollista eikä johda uudentyyppisiin lukuihin [34] .

Gauss tutki perusteellisesti mielivaltaisen asteen monimutkaisia juuria 1800-luvun alussa , vaikka ensimmäiset tulokset johtuvat Eulerista [35] . Äärimmäisen tärkeä löytö ( Galois ) oli todiste siitä, että kaikkia algebrallisia lukuja (polynomien juuria) ei voida saada luonnollisista luvuista käyttämällä neljää aritmeettista ja juurien erotusta [36] .

Termin etymologia ja symbolismin alkuperä

Termillä juuri on pitkä ja monimutkainen historia. Muinaiset kreikkalaiset ymmärsivät neliöjuuren erottamisen tiukasti geometrisesti: neliön sivun löytämisenä sen tunnetun alueen perusteella. Sen jälkeen kun se käännettiin sanskritiksi , kreikan sanasta "sivu" tuli " mula " (pohja). Sanalla " mula " oli myös merkitys "juuri", joten käännettäessä Intian siddhantas arabiaksi, käytettiin termiä " jizr " (kasvin juuri). Myöhemmin sana " radix " , jolla on samanlainen merkitys , kiinnitettiin latinalaisiin käännöksiin arabiasta ja niiden kautta venäläiseen matemaattiseen terminologiaan ("juuri", "radikaali") [37] .

Keskiaikaiset matemaatikot (esim. Cardano ) merkitsivät neliöjuurta [38] symbolilla R x , joka on lyhenne sanasta "radix". Modernia merkintää käytti ensimmäisenä saksalainen matemaatikko Christoph Rudolf kossistikoulusta (eli algebraistit) vuonna 1525 [39] . Tämä symboli tulee saman sanan " radix " tyylitellystä ensimmäisestä kirjaimesta. Radikaalilausekkeen yläpuolella oleva viiva puuttui aluksi; Descartes (1637) esitteli sen myöhemmin eri tarkoitukseen (sulkeiden sijaan), ja tämä ominaisuus sulautui pian juuren merkkiin.

Eksponentti ilmestyi juurimerkkiin Wallisin ja Newtonin " Universaalin aritmeettisen " (XVIII vuosisadan) ansiosta [40] .

Katso myös

Algoritmi n:nnen asteen juuren löytämiseksi
Eksponentointi
Neliöjuuri
Juuret yhtenäisyydestä
kuutiojuuri
Logaritmi
Algebran peruslause
Virtatoiminto

Kirjallisuus

Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja . - toim. 25. - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Perusmatematiikka. Toista kurssi. - Kolmas painos, stereotyyppinen. - M .: Nauka, 1976. - 591 s.
Matematiikan historia, kolme osaa / Toimittanut A. P. Yushkevich . - M .: Nauka, 1970-1972.
Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja (tutkijoille ja insinööreille) . - 2. painos - M .: Nauka, 1970. - 720 s.
Mordkovich A. G. Algebra ja analyysin alku. Oppikirja luokille 10-11, osa 1. - toim. 4. - M .: Mnemozina, 2003. - 376 s.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Monimutkaisen muuttujan funktioiden teoria. - M .: Nauka, 1967. - 304 s.
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - toim. 6. - M .: Nauka, 1966. - 680 s.

Muistiinpanot

↑ Juuri // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3.
↑ 1 2 Elementary Mathematics, 1976 , s. 49.
↑ Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja, 1970 , s. 33.
↑ Skanavi M. I. Alkeinen matematiikka. P. 1.11. S. 49.
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 64.
↑ Aritmeettinen juuri // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 1.
↑ Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi, 1966 , T. I, S. 35-36.
↑ Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 141-143.
↑ Algebra ja analyysin alku. Oppikirja luokille 10-11, toim. A. N. Kolmogorova. M.: Enlightenment, 2002, S. 209.
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 183.
↑ Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi, 1966 , T. I, S. 194, 198.
↑ Mordkovich A. G., 2003 , s. 236-238.
↑ Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi, 1966 , T. I, S. 215.
↑ Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi, 1966 , T. I, S. 233, erikoistapaus . $\mu ={\frac {1}{n}}.$
↑ Ei pidä sekoittaa useisiin integraaleihin . Niiden merkinnät ovat melko samanlaisia, mutta -th integraali on epämääräinen , kun taas -kertainen integraali on määrätty . $k$ $k$
↑ Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi, 1966 , I osa, s. 67, 131-132, 164, 166-167.
↑ Algebra. Luokka 9 Oppikirja oppilaitoksille / Toim. S. A. Teljakovsky. - Toim. 18. - M . : Koulutus, 2011. - S. 53. - ISBN 978-5-09-025168-6 .
↑ Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja, 1970 , s. 36-37.
↑ Zaitsev V.V., Ryzhkov V.V., Skanavi M.I. Alkeinen matematiikka. Toista kurssi. - kolmas painos, stereotyyppinen. - M .: Nauka, 1976. - S. 68. - 591 s.
↑ 1 2 3 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria kompleksisen muuttujan funktioista, 1967 , s. 96-99, 28-29.
↑ Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Visuaalinen topologia . - M .: Nauka, 1982. - S. 112. - (Quantum Library, numero 21).
↑ Vinogradov I. M. Lukuteorian perusteet . - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 71. - 180 s.
↑ Porteous, Ian R. Clifford Algebras ja klassiset ryhmät. Cambridge, 1995, sivu 60.
↑ Katso esimerkiksi: Gantmakher F. R. Theory of Matrices. Moskova: GITTL, 1953, s. 212-219 tai: V. Voevodin, V. Voevodin Lineaarisen algebran tietosanakirja. Elektroninen järjestelmä LINEAL. SPb.: BHV-Petersburg, 2006.
↑ Katso esimerkiksi: Ershov L. V., Raikhmist R. B. Funktioiden graafien rakentaminen. M .: Koulutus, 1984, tai: Kaplan I. A. Korkeamman matematiikan käytännön luokat. Kharkov: KhSU:n kustantaja, 1966.
↑ Katso esimerkiksi: Hutson W., Pim J. Applications offunctional analysis and operator theory. M.: Mir, 1983 tai: Halmosh P. Hilbert avaruus ongelmissa. M.: Mir, 1970.
↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa I, s. 42-46.
↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa I, S. 47.
↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa I, s. 169-171.
↑ Bashmakova I. G. Algebran muodostuminen (matemaattisten ideoiden historiasta). - M . : Knowledge, 1979. - S. 23. - (Uutta elämässä, tieteessä, tekniikassa. Matematiikka, kybernetiikka, nro 9).
↑ Abhishek Parakh. Ariabhatan juurenuuttomenetelmät // Indian Journal of History of Science. - 2007. - Ongelma. 42.2 . - S. 149-161 . Arkistoitu alkuperäisestä 9. kesäkuuta 2010.
↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa I, s. 275-276.
↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa I, s. 296-298.
↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa III, s. 56-59.
↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa III, S. 62.
↑ Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (toim.). 1800-luvun matematiikka. Matemaattinen logiikka, algebra, lukuteoria, todennäköisyysteoria. - M .: Nauka, 1978. - T. I. - S. 58-66.
↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa I, s. 185.
↑ Nikiforovski V. A. XVI-XVII vuosisatojen algebran historiasta. - M .: Nauka, 1979. - S. 81. - 208 s. — (Tieteen ja tekniikan historia).
↑ Matemaattiset merkit // Mathematical Encyclopedia . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 2.
↑ Alexandrova N. V. Matemaattisten termien, käsitteiden, merkinnän historia: Sanakirja-viitekirja, toim. 3 . - Pietari. : LKI, 2008. - S. 82 . — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .