Kolmion kulmien summan lause

Kolmiosummalause  on klassinen euklidisen geometrian lause .

Sanamuoto

Kolmion kulmien summa euklidisessa tasossa on 180 ° . [yksi]

Todiste

Antaa olla  mielivaltainen kolmio. Piirrä viiva kärjen B kautta yhdensuuntaisesti linjan AC kanssa . Merkitse siihen piste D siten, että pisteet A ja D ovat suoran BC vastakkaisilla puolilla . Kulmat DBC ja ACB ovat yhtä suuret kuin sisäiset poikkisuunnassa, jotka muodostuvat sekantista BC yhdensuuntaisilla viivoilla AC ja BD . Siksi kolmion kulmien summa pisteiden B ja C kohdalla on yhtä suuri kuin kulma ABD . Kolmion kaikkien kolmen kulman summa on yhtä suuri kuin kulmien ABD ja BAC summa . Koska nämä kulmat ovat sisäpuolisia yhdensuuntaisille AC :lle ja BD :lle sekantissa AB , niiden summa on 180°. Q.E.D.

Seuraukset

• Kolmiolla ei voi olla kahta tylppää tai kahta suoraa kulmaa, koska silloin kulmien summa olisi suurempi kuin 180°. Samasta syystä kolmio ei voi sisältää tylppäkulmaa ja suoraa kulmaa samanaikaisesti.
• Jokaisella kolmiolla on vähintään kaksi terävää kulmaa. Itse asiassa tilanne, jossa kolmiossa on vain yksi terävä kulma tai ei lainkaan teräviä kulmia, on ristiriidassa edellisen seurauksen kanssa.
• Suorakulmaisessa kolmiossa molemmat hypotenuusan kulmat ovat teräviä.
• Tasakylkisessä kolmiossa kannan kulmat ovat yhtä suuret, joten vain kantaa vastapäätä oleva kulma voi olla tylppä.
• Tasakylkisessä suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan kulmat ovat (180° - 90°) / 2 = 45°.
• Tasasivuisessa kolmiossa kaikki kolme kulmaa ovat yhtenevät ja ovat siten yhtä suuria kuin 180° / 3 = 60°.
• ( Kolmion ulkokulmalause ) Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin kahden sen viereisen sisäkulman summa [2] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Monikulmiot

Yleistys yksinkertaistamiseksi

Mielivaltaisen simpleksin dihedralkulmien välillä on monimutkaisempi suhde . Nimittäin, jos  on simplexin i- ja j-pintojen välinen kulma, niin seuraavan matriisin (joka on ympyrä ) determinantti on yhtä suuri kuin 0:

Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että tämä determinantti on simpleksin pintojen normaalien Gram-determinantti , kun taas lineaarisesti riippuvien vektorien Gram-determinantti on 0 ja -ulotteisessa avaruudessa olevat vektorit ovat aina lineaarisesti riippuvaisia.

Ei-euklidisissa geometrioissa

Tässä artikkelissa annettu todiste perustuu tiettyyn yhdensuuntaisten viivojen ominaisuuteen, nimittäin väitteeseen, että yhdensuuntaisten viivojen sisäiset poikkileikkauskulmat ovat yhtä suuret. Tämän väitteen todistuksessa puolestaan ​​käytetään euklidisen geometrian rinnakkaisuuden aksioomaa . Voidaan osoittaa, että mikä tahansa kolmion kulmien summan lauseen todistus käyttää yhdensuuntaisuuden aksioomaa, ja päinvastoin - väittämästä, että kolmion kulmien summa on 180°, voidaan johtaa aksiooma yhdensuuntaisuuden, jos klassisen geometrian ( absoluuttinen geometria ) jäljellä olevat aksioomat annetaan [3] .

Siten kolmion 180° kulmien summan yhtäläisyys on yksi euklidisen geometrian pääpiirteistä, mikä erottaa sen ei-euklidisista, joissa yhdensuuntaisuuden aksiooma ei täyty:

• Pallolla kolmion kulmien summa ylittää aina 180°, eroa kutsutaan pallomaiseksi ylimääräksi ja se on verrannollinen kolmion pinta-alaan. Pallomaisessa kolmiossa voi olla kaksi tai jopa kolme suoraa tai tylppää kulmaa.

• Lobatševskin geometriassa kolmion kulmien summa on aina pienempi kuin 180° ja voi olla mielivaltaisen pieni. Ero on myös verrannollinen kolmion pinta-alaan.

Muistiinpanot

1. ↑ Geometria Kiselevin mukaan Arkistoitu 1. maaliskuuta 2021 Wayback Machinessa , § 81.
2. ↑ Elementary Mathematics, 1976 , s. 421.
3. ↑ Lelon-Ferrand J. Geometrian perusteet. - M .: Mir, 1989. - S. 255-256. - 312 s. — ISBN 5-03-001008-4 .

Kirjallisuus

• Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Perusmatematiikka. Toista kurssi. - Kolmas painos, stereotyyppinen. - M .: Nauka, 1976. - 591 s.