Kaluza-Kleinin teoria

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Kaluza-Kleinin teoria on yksi moniulotteisista painovoimateorioista , jonka avulla voit yhdistää kaksi fyysistä perusvuorovaikutusta: painovoima ja sähkömagnetismi . Teorian julkaisi ensimmäisen kerran vuonna 1921 saksalainen matemaatikko Theodor Kaluza , joka laajensi Minkowskin avaruuden 5-ulotteiseksi avaruuteen ja johti teoriansa yhtälöistä yleisen suhteellisuusteorian yhtälöt ja Maxwellin klassiset yhtälöt . Syitä viidennen ulottuvuuden havaitsemattomuudelle (sen kompaktiudelle) ehdotti ruotsalainen fyysikko Oscar Klein vuonna 1926 [1] .

Tämä teoria oli yksi ensimmäisistä onnistuneista teorioista, joka loi pohjan mittakenttien geometriselle tulkinnalle (eli ainoa hyvin tunnettu sen luomishetkellä painovoiman lisäksi sähkömagneettinen kenttä). Se oli myös ensimmäinen onnistunut yhdistämisteoria , joka, vaikka se ei johtanut kokeellisesti vahvistettuihin löytöihin, oli sisäisesti johdonmukainen ja ideologisesti merkityksellinen teoria, joka ei ollut ristiriidassa kokeilun kanssa.

Teorian alkuperäinen versio ei sisältänyt muita tuolloin tuntemattomia perustavanlaatuisia vuorovaikutuksia (vahvoja ja heikkoja), eikä siinä myöskään ollut tilaa puolikokonaisluvun spinille. Mutta ajatus moniulotteisista yhtenäisistä kenttäteorioista tiivistetyillä komplementaarisilla avaruuksilla on löytänyt sovelluksen nykyaikaisissa supersymmetrian , supergravitaation ja supermerkkijonojen teorioissa [2] .

Historia

Geometrisen lähestymistavan fysiikassa loivat R. Descartes , I. Kant ja G. Galileo . Tieteessä ei pitkään aikaan voinut syntyä avaruuden kaarevuuden käsitettä, koska tilan ja ajan homogeenisuudesta vallitsi ajatus, joka perustui Eukleideen viidenteen aksioomiin ja osui yhteen jokapäiväisen kokemuksen kanssa [3] . Suorien viivojen rinnakkaisuuden aksiooman hylkääminen johti N. I. Lobatševskin uuden (ei-euklidisen) geometrian löytämiseen avaruudessa, jossa on negatiivinen kaarevuus . B. Riemann löysi toisen tyyppisen ei-euklidisen geometrian, jolla on positiivinen kaarevuus , kun ei ole yhtään yhdensuuntaista suoraa, joka olisi yhdensuuntainen annettujen (geodeettisten viivojen) kanssa, joka kulkisi minkään pisteen kautta, joka ei ole tällä suoralla [4] . Riemannin pallogeometria kuvaa maailmaa äärellisellä tilavuudella. W. Clifford ennusti joitain pallogeometrian seurauksia, pohti ideoita pallolla ryömivän kovakuoriaisen maailmasta ja esitti kysymyksen universumimme geometriasta ja sen yhteydestä fysiikkaan:

Kysykäämme itseltämme, emmekö voi samalla tavalla pitää fyysisen luonteen muutoksena niitä tekoja, jotka itse asiassa johtuvat muutoksista tilamme kaarevissa. Eikö käy ilmi, että kaikki tai jotkin syyt, joita kutsumme fyysiseksi, ovat peräisin tilamme geometrisesta rakenteesta? [5]

Cliffordin olennainen oletus oli sähkökentän ja avaruuden geometrian välinen yhteys [6] . Mutta maailman geometristä kuvausta etsivät tiedemiehet eivät voineet rakentaa yleistä suhteellisuusteoriaa ennen kuin aika sisällytettiin yhdeksi avaruuden koordinaateista, mitä edistettiin H. Lorentzin teoksissa , A. Einstein , G. Minkowski [7] . Vuonna 1913 M. Grossman ja A. Einstein ehdottivat, että gravitaatiovuorovaikutus johtuu 4-ulotteisen aika-avaruuden kaarevuudesta. Vuosien 1915 ja 1916 vaihteessa lähes samanaikaisesti gravitaatiokentän yhtälöt ilmestyivät A. Einsteinin ja D. Hilbertin teoksiin [8] .

Teoreettinen fysiikka kuvaa maailmaa matematiikan kautta, pyrkii löytämään sen laeista universaalisuutta. Newton huomasi, että omenaan vaikuttava painovoima on sama painovoima, joka ohjaa taivaankappaleiden liikettä. Nykyään tunnetaan neljä perusvuorovaikutusta, ja moderni teoria harkitsee mahdollisuutta kuvata kaikki vuorovaikutukset yhtenäisellä tavalla vetoamalla korkeampiin ulottuvuuksiin [9] . Tässä yhteydessä kvanttikenttäteoria viisiulotteisessa avaruudessa (5D) on luonnollinen jatko Einsteinin yleiselle suhteellisuusteorialle (GR) [10] .

Gunnar Nordström yritti ensimmäisen kerran yhdistää painovoimateorian sähkömagnetismiin vedoten viidenteen ulottuvuuteen vuonna 1914. Mutta tässä tapauksessa viides komponentti lisättiin sähkömagneettiseen vektoripotentiaaliin, joka on Newtonin gravitaatiopotentiaali, koska hänen teoriansa ilmestyi aikaisemmin kuin yleinen suhteellisuusteoria, eikä hän olettanut gravitaatiopotentiaalin tensoriluotetta [11] , ja sallii Maxwellin yhtälöiden kirjoittaminen viidessä ulottuvuudessa [12 ] [13] .

Viisiulotteisen (5D) teorian kehitys on jaettu kolmeen vaiheeseen. Alkuperäinen olettamus johtuu Theodor Kaluzalta , joka lähetti tulokset Einsteinille vuonna 1919 [14] ja julkaisi ne vuonna 1921 [15] . Kaluza esitti puhtaasti klassisen yleisen suhteellisuusteorian 5D -laajennuksen 15 komponentin metrisellä tensorilla . 10 komponenttia tunnistetaan neliulotteisella aika-avaruusmetriikalla, neljä komponenttia, joilla on sähkömagneettinen vektoripotentiaali, ja yksi komponentti, jolla on tunnistamaton skalaarikenttä , jota Kaluza ei huomioinut, joskus kutsutaan " radioniksi " tai "dilatoniksi". Vastaavasti 5D-Einstein-yhtälöt antavat 4D- Einstein-yhtälöt kentälle , Maxwellin yhtälöt sähkömagneettikentälle ja yhtälön skalaarikentälle. Kaluza esitteli myös "sylinterisen ehdon" hypoteesin, jonka mukaan yksikään viisiulotteisen metriikan komponenteista ei riipu eksplisiittisesti viidennestä koordinaatista. Ilman tätä oletusta ilmaantuu termejä, jotka sisältävät kenttien derivaatat suhteessa viidenteen koordinaattiin, joita, kuten skalaarikenttää, ei havaita kokeissa. Tämä lisävapausaste on sellainen, että viidennen koordinaatin kenttäyhtälöistä tulee uskomattoman monimutkaisia. Vakiofysiikka 4D:ssä ilmestyy, kun asetetaan sylinterimäinen ehto, ja vastaava matematiikka saa yksinkertaisemman muodon [16] .

Vuonna 1926 Oskar Klein antoi klassiselle viisiulotteiselle Kaluza-teorialle kvanttitulkinnan Heisenbergin ja Schrödingerin [17] [18] löytöjen mukaisesti . Klein oletti, että viides ulottuvuus on kiertynyt ja mikroskooppinen selittämään sylinterimäistä tilaa, ja syklinen liike viidennessä ulottuvuudessa voi luonnollisesti selittää elektronin varauksen kvantisoinnin [19] . Klein ehdotti, että ylimääräisen viidennen ulottuvuuden geometria voisi olla pyöreä, jonka säde on 10–30 cm . Klein vaikutti myös klassiseen teoriaan tarjoamalla oikein normalisoidun 5D-metriikan [18] . Einstein ja hänen Princetonin kollegansa jatkoivat työskentelyä Kaluza-kenttäteorian parissa 1930-luvulla [20] .

Alkuperäistä Kaluza-Kleinin teoriaa pidetään virheellisenä useista syistä. Erityisesti viidennen ulottuvuuden tiivistyminen johtaa siihen johtopäätökseen, että maailmaa hallitsevilla hiukkasilla on oltava Planck-massat, mitä ei kokeessa havaita. Tämä ongelma tunnetaan massahierarkiaongelmana . Calucein skalaarikentän huomioimatta jättäminen ei myöskään jätä mahdollisuutta selittää pimeän energian läsnäoloa universumissamme [19] . Lisäksi Einsteinin mukaan sylinterimäinen tila, joka on massojen syntymisen syy, sulkee pois massojen geometrisen tulkinnan [21] .

1940-luvulla klassinen teoria valmistui ja täydelliset kenttäyhtälöt, skalaarikenttä mukaan lukien, hankittiin kolmessa riippumattomassa tutkimusryhmässä [22] : Thiry [23] [24] [25] , joka työskenteli Ranskassa Lichnerovichin alaisena väitöskirjan parissa. ; Jordan, Ludwig ja Müller Saksassa [26] [27] [28] [29] [30] , Paulin ja Fierzin kriittisiä panoksia; ja Scherrer [31] [32] [33] , joka työskenteli yksin Sveitsissä. Jordanin työ johti Brans-Dicken skalaaritensoriteoriaan [34] ; Bruns ja Dike eivät ilmeisesti tienneet Tiristä ja Scherrerist. Täydelliset Kaluza-yhtälöt sylinterimäisellä ehdolla ovat melko monimutkaisia, ja useimmat englanninkieliset arvostelut sekä Thiryn englanninkieliset käännökset sisältävät joitain virheitä. Täydellisten Kaluza-yhtälöiden kaarevuustensorit laskettiin käyttämällä tensorialgebra-tietokonejärjestelmää vuonna 2015 [35] , tarkistaen Ferrarin [36] sekä Coqueron ja Esposito-Faresen [37] tulokset . Williams tarkasteli lähteen 5D-kovarianttimuotoa (energia-momenttitensori) [38] .

Kaluzan hypoteesi

Vuonna 1921 julkaistussa artikkelissaan [15] Kaluza käytti kaikkia klassisen viisiulotteisen teorian elementtejä: metristä, kenttäyhtälöt, liikeyhtälöt, energia-momenttitensori ja sylinterimäinen ehto. Käyttämättä vapaita parametreja hän laajensi yleisen suhteellisuusteorian viiteen ulottuvuuteen.

Aloitetaan hypoteesilla viisiulotteisen metriikan muodosta. , jossa latinalaiset indeksit kattavat viisi ulottuvuutta. Esittelemme myös neliulotteisen aika-avaruusmetriikan , jossa kreikkalaiset indeksit kattavat tavanomaiset neljä tilan ja ajan ulottuvuutta; 4-vektori identifioidaan sähkömagneettisen vektoripotentiaalin kanssa; ja skalaarikenttä [39] . Sitten jaetaan 5D-metriikka siten, että 4D-metriikka kehystetään sähkömagneettisella vektoripotentiaalilla, jonka skalaarikenttä on diagonaalin viidennessä paikassa. Tämä voidaan esittää seuraavasti: ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${\displaystyle {g}_{\mu \nu ))$ $A^{\mu }$ $\phi$

{\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^ {2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}\,.

Tarkemmin sanottuna voi kirjoittaa

{\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu },\qquad {\widetilde { g))_{5\nu }\equiv {\widetilde {g))_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g))_{55 }\equiv \phi ^{2}\,,

jossa indeksi ilmaisee sovitun mukaisesti viidennen koordinaatin, kun taas neljällä ensimmäisellä koordinaatilla on indeksit 0, 1, 2 ja 3. Vastaava käänteinen metriikka on $5$

{\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu }&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\ alfa \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{1 \over \phi ^{2}}\end{bmatrix}}\,.

Tämä laajennus on melko yleinen ja kaikki termit ovat ulottumattomia. Kaluza soveltaa sitten standardin yleisen suhteellisuusteorian laitteistoa tähän metriikkaan . Kenttäyhtälöt johdetaan viisiulotteisista Einsteinin yhtälöistä , kun taas liikeyhtälöt on johdettu viisiulotteisesta geodeettisesta hypoteesista. Tuloksena saadut kenttäyhtälöt antavat sekä yleisen suhteellisuusteorian että sähködynamiikan yhtälöt; liikeyhtälöt antavat geodeettisen neliulotteisen yhtälön ja Lorentzin voiman lain [40] , ja havaitaan, että sähkövaraus tunnistetaan liikkeelle viidennessä ulottuvuudessa.

Metrinen hypoteesi viittaa siihen, että on olemassa invariantti viisiulotteinen pituuselementti [39] : $\operaattorinimi {d} \!s$

\operaattorinnimi {d} \!s^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\operaattorinnimi {d} \!x^{a}\operaattorinnimi {d} \!x^{ b}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\operaattorinimi {d} \!x^{\nu }+\phi ^{2}\left(A_{\nu }\operaattorinimi {d} \ !x^{\nu }+\operaattorinimi {d} \!x^{5}\right)^{2}\,.

Kenttäyhtälöt Kaluzan arveluista

Kaluza tai Klein eivät koskaan määrittäneet 5D-teorian kenttäyhtälöitä oikein, koska he jättivät huomioimatta skalaarikentän. Täydellisten Kaluza-kenttäyhtälöiden johtaminen johtuu yleensä Thirystä [24] , joka sai kenttäyhtälöt tyhjiössä. Kaluza [15] kirjoitti alun perin energia-momenttitensorin teoriaansa varten, ja Thiry sisällytti energia-momenttitensorin väitöskirjaansa. Mutta kuten Gonner [22] kuvaili , useat riippumattomat ryhmät työskentelivät kenttäyhtälöiden parissa 1940-luvulla ja aikaisemmin. Thiry tunnetaan ehkä parhaiten vain siksi, että Applequist, Chodos ja Freund julkaisivat englanninkielisen käännöksen hänen työstään arvostelukirjassaan [41] . Applequist ym. julkaisivat myös englanninkielisen käännöksen Kaluzan artikkelista. Jordanin teoksia ei ole käännetty englanniksi [26] [27] [29] . Ensimmäiset oikeat englanninkieliset Kaluza-kenttäyhtälöt, mukaan lukien skalaarikenttä, hankki Williams [35] .

5D-kenttäyhtälöiden saamiseksi 5D Christoffel-yhteyssymbolit lasketaan 5D-metriikasta ja 5D Ricci-tensori lasketaan 5D Christoffel-yhteyssymboleista. ${\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}$ ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

Thiryn ja muiden kirjoittajien klassiset tulokset saatiin käyttämällä sylinterimäistä ehtoa:

{\partial {\widetilde {g}}_{ab} \over \partial x^{5}}=0

Ilman tätä oletusta kenttäyhtälöistä tulee paljon monimutkaisempia, mikä johtaa useampaan vapausasteeseen, joka voidaan tunnistaa useilla uusilla kentillä. Paul Wesson ja hänen kollegansa yrittivät heikentää lieriömäistä ehtoa saadakseen lisätermejä, jotka voidaan tunnistaa ainekentillä [42] , joita varten Kaluza [15] asetti manuaalisesti energia-momenttitensorin.

Kaluzan alkuperäisen idean vastalause oli viidennen ulottuvuuden käyttäminen, mutta ilman sen dynamiikkaa. Thiry kuitenkin väitti [22] , että Lorentzin voiman lain tulkitseminen 5-ulotteisen geodeettisen suhteen on vahvasti ristiriidassa viidennen ulottuvuuden olemassaolon kanssa sylinterimäisestä tilasta riippumatta. Siksi useimmat kirjoittajat käyttivät lieriömäistä ehtoa johtaessaan kenttäyhtälöitä. Lisäksi yleensä oletetaan tyhjiöyhtälöt joille

{\widetilde {R}}_{ab}=0

missä

{\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\ Gamma }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\ Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}

{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {1 \over 2}{\widetilde {g}}^{ad}\left(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\partial _{c}{\widetilde {g}}_{db}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{bc}\right)

Alla on kirjoitettu Thiryn [24] ja Jordanin ryhmän [26] [27] [29] tällä tavalla saamat tyhjiökenttäyhtälöt.

Kenttäyhtälö saadaan kohdasta $A^{\nu }$

{\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={1 \over 4}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }

jossa , , ja on standardi neliulotteinen kovarianttiderivaata. Yhtälö osoittaa, että sähkömagneettinen kenttä on skalaarikentän lähde. Huomaa, että skalaarikentän ei voida olettaa olevan vakio ilman, että sähkömagneettiselle kentälle asetetaan asianmukainen rajoitus. Kaluzan ja Kleinin aikaisemmat tulkinnat eivät kuvaaneet skalaarikenttää riittävästi eivätkä ottaneet huomioon siitä aiheutuvaa sähkömagneettisen kentän rajoitusta olettaen, että skalaarikenttä on vakio. ${\displaystyle F_{\alpha \beta }\equiv \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha ))$ ${\displaystyle \Box \equiv g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu ))$ ${\displaystyle \nabla _{\mu ))$

Neliulotteisen Ricci-tensorin kenttäyhtälö saadaan kohdasta $R_{\mu \nu }$

{\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={1 \over 2}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }\left(\phi ^{3}F_ {\alpha \beta }\right)

Jos skalaarikenttä on vakio, sillä on Maxwellin tyhjiöyhtälöiden muoto.

{\begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu }-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R} }&=0\Rightarrow \\R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R&={1 \over 2}\phi ^{2}\left(g^{\ alfa \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{1 \over 4}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right) +{1 \over \phi }\left(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\phi -g_{\mu \nu }\Box \phi \right)\end{tasattu))

missä on tavallinen 4D Ricci -skalaari. $R$

Tästä yhtälöstä, jota A. Salam kutsui "Kaluzan ihmeeksi" [43] , seuraa merkittävä tulos – sähkömagneettisen kentän energia-momenttitensorin tarkka muoto syntyy 5D-tyhjiöyhtälöistä lähteenä 4D-yhtälöissä – kentässä. tyhjiöstä. Toinen ihme liittyy mittarin invarianssin selittämiseen [44] . Sähkömagneettisen kentän energia-momenttitensorin muoto mahdollistaa sen, että voimme lopulta tunnistaa sen sähkömagneettisen vektoripotentiaalin kanssa. Tätä varten kenttä on skaalattava muunnosvakiolla : . Yllä oleva suhde osoittaa, että vakion tulee olla muotoa $A^{\mu }$ $k$ ${\displaystyle A^{\mu }\rightarrow kA^{\mu ))$

{k^{2} \over 2}={8\pi G \over c^{4}}{1 \over \mu _{0}}={2G \over c^{2}}{ 4\pi \epsilon _{0}}

missä on gravitaatiovakio ja vapaan tilan magneettinen permeabiliteetti . Kaluzan teoriassa gravitaatiovakio voidaan ymmärtää sähkömagneettisena kytkentävakiona metriikassa. Skalaarikentällä on myös energia-momenttitensori. Skalaarikenttä käyttäytyy muuttuvana gravitaatiovakiona moduloimalla sähkömagneettisen kentän energia-momenttitensorin yhteyttä aika-avaruuden kaarevuuden kanssa. Etumerkki metriikassa on kiinteä 4D-teorian mukaisesti siten, että sähkömagneettiset energiatiheydet ovat positiivisia. Usein oletetaan, että viides koordinaatti on avaruuden kaltainen allekirjoituksessaan metriikassa. $G$ $\mu_{0}$ $\phi ^{2}$

Aineen läsnä ollessa 5D-tyhjiöehtoa rikotaan. Kaluza ei todellakaan odottanut tätä. Täydelliset kenttäyhtälöt vaativat 5D Einsteinin tensorin laskemisen

{\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}}_{ab}-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R }}

kuten yllä olevan sähkömagneettisen kentän energia-momenttitensorin rekonstruktiosta nähdään. 5D-kaarevuustensorit ovat monimutkaisia, ja useimmat englanninkieliset arvostelut sisältävät virheitä joko niiden englanninkielisissä käännöksissä tai samoja kuin ne [24] . Katso Williams [35] saadaksesi täydellisen sarjan 5D-kaarevuustensoreja, joissa on tensorialgebra-ohjelmalla laskettu sylinterimäinen ehto. ${\widetilde {G}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

Liikeyhtälöt Kaluzan hypoteesista

Liikeyhtälöt johdetaan viisiulotteisesta geodeettisesta hypoteesista [15] 5-nopeuden suhteen : ${\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds$

{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={d{\widetilde {U}}^{a } \over ds}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0

Tämä yhtälö voidaan muuntaa useilla tavoilla, ja sitä ovat tutkineet eri muodoissa kirjailijat, kuten Kaluza [15] , Pauli [45] , Gross ja Perry [46] , Hegenberg ja Kunstatter [47] sekä Wesson ja Ponce de Leon [48 ]. ] . mutta paremman ymmärtämisen vuoksi on hyödyllistä muuntaa se takaisin tavalliseksi 4-ulotteiseksi pituuselementiksi , joka liittyy 5-ulotteiseen pituuselementtiin , kuten yllä: ${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu ))$ $ds$

ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}+\phi ^{2}\left(kA_{\nu }dx^{\nu }+dx^{5}\right )^{2}

Sitten 5D geodeettinen yhtälö voidaan kirjoittaa [49] 4-nopeuden spatiotemporaalisille komponenteille,

{\begin{aligned}&U^{\nu }\equiv {dx^{\nu } \over d\tau }\\&{dU^{\nu } \over d\tau }+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu } U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }\left(U^{5}\oikea)^{2}+U^{\mu }{d \over d\tau }\ln \left({cd\tau \over ds}\right)=0\end{aligned}}

Neliöllinen termi , johtaa 4D-geodeettiseen yhtälöön sekä joitain sähkömagneettisia termejä: ${\displaystyle U^{\nu ))$

{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{1 \over 2}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}\left(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }A_{ \beta }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}\right)

Lineaarinen termi johtaa Lorentzin voiman lakiin : ${\displaystyle U^{\nu ))$

{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={1 \over 2}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}\left(F_{\ alfa \nu }-A_{\alpha }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}\right)

Tämä on toinen ilmaus "Kaluzan ihmeestä". Sama hypoteesi 5D-metriikasta, joka tuottaa sähkömagneettisen kentän energia-momenttitensorin Einsteinin yhtälöissä, antaa myös Lorentzin voimalain liikeyhtälössä yhdessä 4D-geodeettisen yhtälön kanssa. Lorentzin voimalain noudattaminen edellyttää kuitenkin, että viiden nopeuden komponentti viidennellä ulottuvuudella tunnistetaan sähkövarauksella:

kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\rightarrow {q \over mc}

missä on hiukkasen massa ja hiukkasen sähkövaraus. Sähkövaraus ymmärretään siten liikkeeksi viidettä ulottuvuutta pitkin. Se, että Lorentzin voimalaki voidaan ymmärtää geodeettiseksi 5-ulotteiseksi, oli Kaluzan tärkein motivaatio pohtia 5-ulotteista hypoteesia myös esteettisesti epämiellyttävän lieriömäisen tilan läsnä ollessa. $m$ $q$

Mutta on ongelma: termi, joka on neliöllinen in , johtaa yhtälöön $U^{5}$

{\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{1 \over 2}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2))

Jos skalaarikentässä ei ole gradienttia, termi neliö katoaa. Mutta muuten yllä olevasta lausekkeesta se seuraa $U^{5}$

{\displaystyle U^{5}\sim c{q/m \over G^{\frac {1}{2))))

Alkuainehiukkasille . Käsitteen neliöllinen in tulee hallita yhtälöä, mahdollisesti ristiriidassa kokeellisten tosiasioiden kanssa. Tämä oli Kaluzan [15] näkemän 5-ulotteisen teorian suurin puute , jota hän tarkasteli alkuperäisessä artikkelissaan. Yu. S. Vladimirov korostaa seuraavia teorian puutteita: metrisen tensorin viidennen komponentin ja -komponentin fyysinen merkitys ei ole selvä; sylinterimäisen tilan syy ei ole selvä; tällainen liitto on muodollinen eikä anna uusia kokeellisesti todennettavia ennusteita ja muita [50] . $U^{5}>{\rm {10}}^{20}c$ $U^{5}$ $G_{55}$

Liikeyhtälö for on erityisen yksinkertaistettu sylinterimäisessä tilassa. Aloitetaan geodeettisen yhtälön vaihtoehtoisesta muodosta, joka on kirjoitettu kovariantille 5-nopeudelle: $U^{5}$

{d{\widetilde {U}}_{a} \over ds}={1 \over 2}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{ \partial {\widetilde {g}}_{bc} \over \partial x^{a}}

Tämä tarkoittaa, että ottaen huomioon lieriömäisen tilan , 5-ulotteisen liikkeen vakio on: ${\widetilde {U}}_{5}$

{\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{cd\tau \over ds}\left(kA_{\nu }U^{\nu }+U^{5}\right)={\rm {vakio))

Kaluzan hypoteesi aineen energia-momenttitensorista

Kaluza [15] ehdotti 5D-aineen energia-momenttitensorin käyttöä muodossa ${\widetilde {T}}_{M}^{ab}$

{\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {dx^{a} \over ds}{dx^{b} \over ds}

missä on edellä määritelty tiheys- ja pituuselementti . $\rho$ $ds$

Sitten aika-avaruuskomponentti antaa pölyisen aineen tyypillisen energia-momenttitensorin :

{\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}

Sekoitettu osa toimii 4-virran lähteenä Maxwellin yhtälöille:

{\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{5} \over ds}=\rho U^{ \mu }{q \over kmc}

Aivan kuten viisiulotteinen metriikka sisältää 4-ulotteisen metriikan, jota kehystää sähkömagneettinen vektoripotentiaali, 5-ulotteinen energia-momenttitensori sisältää 4-ulotteisen energia-momenttitensorin, jota kehystää vektori 4-virta.

Kleinin kvanttitulkinta

Kaluzan alkuperäinen hypoteesi oli puhtaasti klassinen ja laajennettu yleinen suhteellisuusteoria. Kleinin panoksen aikaan Heisenbergin, Schrödingerin ja de Broglien löydöt herättivät paljon huomiota. Kleinin artikkelissa Nature [18] ehdotetaan, että viides ulottuvuus on suljettu ja jaksollinen ja että sähkövarauksen tunnistaminen liikkeen kanssa viidennessä ulottuvuudessa voidaan tulkita seisovina aaltoina, joiden aallonpituus on samanlainen kuin ytimen ympärillä olevien elektronien Bohrin mallissa. atomi. Silloin sähkövarauksen kvantisointi voitaisiin hyvin ymmärtää viisiulotteisen liikemäärän kokonaislukukerroina. Yhdistämällä Kaluzan edellisen tuloksen sähkövarauksen ja de Broglien liikemääräsuhteen suhteen Klein johti lausekkeen tällaisten aaltojen 0. moodille: $\lambda ^{5}$ $U^{5}$ $p^{5}=h/\lambda ^{5}$

mU^{5}={cq \over G^{\frac {1}{2}}}={h \over \lambda ^{5}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5} \sim {hG^{\frac {1}{2}} \over cq}

missä on Planckin vakio. Klein löysi cm:n ja siten selityksen lieriömäiselle tilalle niin pienellä arvolla. $h$ $\lambda ^{5}\sim {\rm {10}}^{-30}$

Kleinin artikkeli Zeitschrift für Physikissa samana vuonna [17] antaa yksityiskohtaisemman keskustelun, jossa käytetään nimenomaisesti Schrödingerin ja de Broglien menetelmiä. Hän toisti suuren osan edellä kuvatusta Kaluzan klassisesta teoriasta ja siirtyi sitten Kleinin kvanttitulkintaan. Klein ratkaisi Schrödingerin kaltaisen aaltoyhtälön käyttämällä laajennusta viisiulotteisten aaltojen suhteen, jotka resonoivat suljetussa, kompaktissa viidennessä ulottuvuudessa.

Ryhmäteorian tulkinta

Vuonna 1926 Oskar Klein ehdotti, että neljäs avaruudellinen ulottuvuus kääritään ympyrään, jonka säde on hyvin pieni , jotta tätä akselia pitkin pienen matkan liikkuva hiukkanen palaa aloituspisteeseen. Matkaa, jonka hiukkanen voi kulkea ennen kuin se saavuttaa alkuasemansa, kutsutaan dimension kooksi. Tämä lisämitta on kompakti sarja , ja tämän kompaktin mittasuhteen rakentamista kutsutaan tiivistämiseksi .

Nykygeometriassa ylimääräinen viides ulottuvuus voidaan ymmärtää U(1) -ryhmänä , koska sähkömagnetismi voidaan olennaisesti muotoilla mittariteoriaksi nipussa , nipuksi ympyrässä mittariryhmällä U (1). Kaluza-Kleinin teoriassa tämä ryhmä olettaa, että mittarin symmetria on pyöreän kompaktin tilan symmetria. Kun tämä geometrinen tulkinta on hyväksytty, on suhteellisen helppoa muuttaa, että U(1) on yleinen Lie-ryhmä . Tällaisia yleistyksiä kutsutaan usein Yang-Millsin teorioiksi . Jos tehdään ero, niin Yang-Millsin teoriat syntyvät tasaisessa aika-avaruudessa, kun taas Kaluza-Klein tarkastelee yleisempää tapausta kaarevasta aika-avaruudesta. Kaluza-Kleinin teorian perusavaruuden ei tarvitse olla neliulotteinen aika-avaruus; se voi olla mikä tahansa ( pseudo ) Riemannin monisto , supersymmetrinen monisto, orbifold tai jopa ei-kommutatiivinen avaruus .

Rakennetta voidaan kuvata karkeasti seuraavasti [51] . Aloitamme tarkastelemalla pääkimppua P , jonka mittaryhmä G on jakotukin M päällä. Kun otetaan huomioon nipussa oleva liitäntä , perusjakoputkessa metriikka ja kunkin kuidun tangentin mittarin invarianttimetriikka, voimme rakentaa nipun . koko nipulle määritetty mittari. Laskemalla tämän nippumetriikan skalaarikaarevuuden huomaamme, että se on vakio jokaisessa kerroksessa: tämä on "Kaluzan ihme". Ei tarvinnut nimenomaisesti määrätä sylinterimäistä ehtoa tai tiivistää: oletetaan, että mittariryhmä on jo kompakti. Sitten tämä skalaarikaarevuus otetaan Lagrangin tiheydeksi ja tästä edeten konstruoidaan Einstein-Hilbert-toiminto koko nipulle. Liikeyhtälöt, Euler-Lagrange-yhtälöt , voidaan saada tavalliseen tapaan ottamalla huomioon paikallaan oleva toiminta suhteessa joko alla olevan jakoputken metriikan tai mittariliitoksen vaihteluihin. Variaatiot suhteessa kantametriikkaan antavat Einsteinin kenttäyhtälöt perusjakoputkelle , jossa energia-momenttitensori saadaan mittariliitoksen kaarevalla . Toisaalta toiminta on paikallaan mittasuhteen vaihteluiden suhteen juuri silloin, kun mittasuhde on Yang-Millsin yhtälön ratkaisu . Siten soveltamalla yhtä ideaa: pienimmän toiminnan periaatetta yhteen suureen: skalaarikaarevuus nipussa (kokonaisuutena) voidaan saada samanaikaisesti kaikki tarvittavat kenttäyhtälöt sekä aika-avaruus- että mittakentälle.

Lähestymistavana voimien yhdistämiseen on helppo soveltaa Kaluza-Kleinin teoriaa yrittäessään yhdistää painovoima vahvojen ja sähköheikkojen voimien kanssa käyttämällä standardimallin SU(3) × SU(2) × U(1) symmetriaryhmää. . Kuitenkin yritys muuttaa tämä mielenkiintoinen geometrinen rakenne täysimittaiseksi todellisuuden malliksi epäonnistuu useiden vaikeuksien vuoksi, mukaan lukien se, että fermionit on otettava käyttöön keinotekoisesti (ei-supersymmetrisissä malleissa). Siitä huolimatta Kaluza-Kleinin teoria on edelleen tärkeä koetinkivi teoreettisessa fysiikassa, ja se sisällytetään usein monimutkaisempiin teorioihin. Sitä tutkitaan sellaisenaan K-teorian geometrisesti kiinnostavana kohteena .

Jopa täysin tyydyttävän teoreettisen fysiikan perustan puuttuessa ajatus ylimääräisten, tiivistettyjen mittojen tutkimisesta kiinnostaa kokeellisissa ja astrofyysikkoyhteisöissä . Monet ennusteet voidaan tehdä todellisilla kokeellisilla vaikutuksilla (jos kyseessä ovat suuret ylimääräiset mitat ja vääristyneet mallit ). Yksinkertaisimpien periaatteiden perusteella voisi esimerkiksi odottaa seisovia aaltoja tiivistetyssä lisämitassa tai -mitoissa. Jos ylimääräisellä spatiaalisella ulottuvuudella on säde R , tällaisten seisovien aaltojen invariantti massa on M n = nh / Rc, missä n on kokonaisluku , h on Planckin vakio ja c on valon nopeus . Tätä mahdollisten massaarvojen joukkoa kutsutaan usein Kaluza-Kleinin torniksi . Vastaavasti kvanttikenttäteoriassa nollasta poikkeavissa lämpötiloissa euklidisen aikaulottuvuuden tiivistyminen johtaa Matsubaran taajuuksiin ja siten erilliseen lämpöenergiaspektriin.

Kleinin lähestymistapa kvanttiteoriaan on kuitenkin virheellinen ja johtaa esimerkiksi Planckin massan luokkaa olevaan laskettuun elektronimassaan [52] .

Esimerkkejä teorian kokeellisesti todennettavista vaikutuksista ovat CDF - yhteistyön työ , joka analysoi hiukkastörmäyslaitteen dataa uudelleen tunnistaakseen suuriin ylimääräisiin mittoihin ja epämuodostuneisiin malleihin liittyvät vaikutukset .

Brandenberger ja Wafa ehdottivat, että varhaisessa universumissa kosminen inflaatio sai kolme avaruudellista ulottuvuutta laajentumaan kosmologisiin ulottuvuuksiin, kun taas muut avaruuden mitat pysyivät mikroskooppisina.

Avaruus-aika-aine teoria

Kaluza-Kleinin teorian tiettyä muunnelmaa, joka tunnetaan avaruus-aika- aineteoriana tai indusoidun aineen teoriana , ovat tutkineet pääasiassa Paul Wesson ja muut avaruus-aika-aine-konsortion jäsenet [53] . Tämä teorian versio toteaa, että yhtälön ratkaisut

{\widetilde {R}}_{ab}=0

voidaan muotoilla uudelleen niin, että neljässä ulottuvuudessa nämä ratkaisut täyttäisivät Einsteinin yhtälöt

G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,

Tarkka muoto T μν seuraa ehdosta Ricci-tensorin katoamisesta viisiulotteisessa avaruudessa. Toisin sanoen sylinterimäistä ehtoa ei käytetä, ja nyt energia-momenttitensori saadaan 5D-metriikan derivaatoista viidennen koordinaatin suhteen. Koska energia-momenttitensoria tarkastellaan yleensä neliulotteisessa avaruudessa aineen kanssa, voidaan yllä oleva tulos tulkita viisiulotteisen avaruuden geometrian indusoimaksi neliulotteiseksi aineeksi.

Erityisesti solitoniratkaisut sisältävät Friedmann -Lemaître-Robertson-Walker-metriikan sekä säteilyn hallitsemissa muodoissa (varhainen universumi) että aineen hallitsemissa muodoissa (myöhäinen universumi). Yleisten yhtälöiden voidaan osoittaa sopivan riittävän tiiviisti klassisten yleisen suhteellisuusteorian testien kanssa ollakseen hyväksyttäviä fysikaalisten periaatteiden kannalta, samalla kun ne tarjoavat silti huomattavan liikkumavaran mielenkiintoisten kosmologisten mallien valinnassa . ${\widetilde {R}}_{ab}=0$

Geometrinen tulkinta

Kaluza-Kleinin teoria on geometrian suhteen erityisen tyylikäs. Tietyssä mielessä tämä on samanlainen kuin tavallinen painovoima vapaassa tilassa , paitsi että se ilmaistaan viidessä ulottuvuudessa neljän sijasta.

Einsteinin yhtälöt

Toiminnosta voidaan saada yhtälöt, jotka kuvaavat tavallista painovoimaa vapaassa avaruudessa soveltamalla variaatioperiaatetta tiettyyn toimintaan . Olkoon M ( pseudo ) Riemannin monisto , joka voidaan katsoa yleisen suhteellisuusteorian aika-avaruudeksi . Jos g on tämän jakosarjan metriikka , toiminto S ( g ) määritellään seuraavasti

S(g)=\int _{M}R(g)\mathrm {vol} (g)\,

missä R ( g ) on skalaarikäyrä ja vol( g ) on tilavuuselementti . Variaatioperiaatteen soveltaminen toimintaan

{\frac {\delta S(g)}{\delta g))=0

saamme tarkalleen Einstein-yhtälöt vapaalle tilalle:

R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0

missä R ij on Ricci-tensori .

Maxwellin yhtälöt

Sitä vastoin Maxwellin sähkömagnetismia kuvaavat yhtälöt voidaan ymmärtää pääasiallisen U(1)-kimpun tai ympyräkimpun Hodge-yhtälöinä kuidun U(1) kanssa . Eli sähkömagneettinen kenttä on harmoninen 2-muoto jakotukin differentioituvien 2-muotojen avaruudessa . Varausten ja virtojen puuttuessa Maxwellin yhtälöillä vapaassa kentässä on muoto $\pi :P\to M$ $F$ $\Omega ^{2}(M)$ $M$

\mathrm {d} F=0\quad {\text{and))\quad \mathrm {d} {\star }F=0.

missä on Hodge-tähti . ${\näyttötyyli \tähti }$

Kaluza-Kleinin geometria

Kaluza-Kleinin teorian rakentamiseksi valitaan invarianttimetriikka ympyrälle , eli sähkömagnetismin U(1)-kimpun kuidulle. Tässä keskustelussa invarianttimetriikka on yksinkertaisesti mittari, joka on invariantti ympyrän kiertojen aikana. Oletetaan, että tämä mittari antaa ympyrän kokonaispituuden . Sitten otetaan huomioon nipun mittarit, jotka ovat yhdenmukaisia sekä kuitumetriikan että alla olevan jakosarjan metriikan kanssa . Johdonmukaisuusehdot: $S^{1}$ $\lambda$ ${\widehat {g))$ $P$ $M$

Projektion pystysuoraan aliavaruuteen on oltava yhdenmukainen jakotukin pisteen yläpuolella olevan kerroksen metriikan kanssa . ${\widehat {g))$ ${\mbox{Vert}}_{p}P\subset T_{p}P$ $M$
Projektion tangenttiavaruuden vaakasuoraan aliavaruuteen pisteessä on oltava isomorfinen at metriikkaan nähden . ${\widehat {g))$ ${\mbox{Hor}}_{p}P\subset T_{p}P$ $p\in P$ $g$ $M$ ${\näyttötyyli \pi (P)}$

Kaluza-Klein-toiminto tällaiselle mittarille on annettu

S({\widehat {g)))=\int _{P}R({\widehat {g)))\;{\mbox{vol))({\widehat {g)))\,

Komponentteihin kirjoitettu skalaarikaarevuus laajenee sitten arvoon

R({\widehat {g)))=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}\vert F\vert ^{ 2}\oikea),

missä on kuitukimmun projektion kodifferentiaali . Kimpun kerroksen yhteys liittyy sähkömagneettisen kentän tensoriin $\pi ^{*}$ $\pi :P\to M$ $A$

\pi ^{*}F=\mathrm {d} A

Se, että tällainen yhteys on aina olemassa, jopa mielivaltaisen monimutkaisen topologian nipuille, johtuu homologiasta ja erityisesti K-teoriasta . Soveltamalla Fubinin lausetta ja integroimalla kerroksen päälle saadaan

S({\widehat {g)))=\Lambda \int _{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2))}\vert F\vert ^{2}\oikea)\;{\mbox{vol}}(g)

Vaihtelemalla toimintaa komponentin suhteen pääsemme Maxwellin yhtälöihin. Soveltamalla variaatioperiaatetta perusmetriikkaan saadaan Einsteinin yhtälöt $A$ $g$

R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}

energia-momenttitensorilla , joka on annettu muodossa

T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}\vert F\vert ^{2},

jota joskus kutsutaan Maxwellin jännitystensoriksi .

Alkuperäinen teoria määrittää kerrosmetriikan avulla ja sallii sen vaihdella tasosta toiseen. Tässä tapauksessa painovoiman ja sähkömagneettisen kentän välinen yhteys ei ole vakio, vaan sillä on oma dynaaminen kenttänsä - radioni . $\lambda$ $g_{55}$ $\lambda$

Yleistykset

Yllä oleva silmukan koko toimii kytkentävakiona gravitaatiokentän ja sähkömagneettisen kentän välillä. Jos perusjakotukki on neliulotteinen, niin Kaluza-Klein-jakotukki P on viisiulotteinen. Viides ulottuvuus on kompakti tila , jota kutsutaan kompaktiksi ulottuvuudeksi . Kompaktien mittojen käyttöönottomenetelmää moniulotteisen jakotukin aikaansaamiseksi kutsutaan tiivistämiseksi . Tiivistys ei suorita ryhmätoimintoja kiraalisille fermioneille, paitsi hyvin erityisissä tapauksissa: koko tilan mitat on oltava 2 mod 8 ja kompaktin tilan Dirac-operaattorin G-indeksin on oltava nollasta poikkeava [54] . $\lambda$

Yllä oleva kehitys yleistyy enemmän tai vähemmän suoraan yleisiin pää - G -nippuihin jollekin mielivaltaiselle Lie-ryhmälle G , joka on U(1) : n paikalla . Tässä tapauksessa teoriaa kutsutaan usein Yang-Millsin teoriaksi . Jos taustalla oleva monisto on supersymmetrinen , niin tuloksena oleva teoria on supersymmetrinen Yang-Millsin teoria.

Kokeellinen vahvistus

Ei ole ollut virallisia raportteja kokeellisista tai havainnollisista merkeistä lisäulottuvuuksista. Monia teoreettisia hakumenetelmiä on ehdotettu Kaluza–Klein-resonanssien havaitsemiseksi käyttämällä tällaisten resonanssien massavuorovaikutusta huippukvarkin kanssa . Tällaisten resonanssien havaitseminen Large Hadron Colliderissa on kuitenkin epätodennäköistä. LHC-tulosten analyysi joulukuussa 2010 rajoittaa ankarasti teorioita suurella ylimääräisellä ulottuvuudella [55] .

Higgs-tyyppisen bosonin havainnointi LHC:ssä perustaa uuden empiirisen testin, jota voidaan soveltaa Kaluza-Klein-resonanssien ja supersymmetristen hiukkasten etsimiseen. Loop Feynman -kaaviot , jotka ovat olemassa Higgsin vuorovaikutuksessa, sallivat minkä tahansa sähkövarauksen ja -massan omaavan hiukkasen liikkua tällaista silmukkaa pitkin. Muut vakiomallin hiukkaset kuin huippukvarkki ja W-bosoni eivät vaikuta paljoakaan H → γγ havaittuun poikkileikkaukseen , mutta jos uusia hiukkasia ilmaantuu standardimallin ulkopuolelle, ne voivat mahdollisesti muuttaa ennustetun standardimallin H → γγ suhdetta . kokeellisesti havaittuun osaan. Siksi standardimallin ennustamien äkillisten muutosten mittaaminen H → γγ :ssa on kriittistä fysiikan tutkimukselle sen rajojen ulkopuolella.

Toinen uudempi paperi heinäkuusta 2018 [56] antaa toivoa tälle teorialle; paperissa he kiistävät painovoiman tunkeutuvan korkeampiin ulottuvuuksiin, kuten braneteoriassa. Artikkeli osoittaa kuitenkin, että sähkömagneettisella kentällä ja painovoimalla on sama määrä ulottuvuuksia, ja tämä tosiasia vahvistaa Kaluza-Kleinin teorian; Se, onko ulottuvuuksien lukumäärä todella 3 + 1 vai 4 + 1, on lisäkeskustelun aihe.

Katso myös

Universaalit lisämitat

Muistiinpanot

↑ A. A. Starobinsky. Kaluza - Kleinin teoria // Physical Encyclopedia : [5 osana] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1990. - T. 2: Laatutekijä - Magneto-optiikka. - 704 s. - 100 000 kappaletta. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ Kalutsy - Kleinin teoria / A. A. Starobinsky // Suuri venäläinen tietosanakirja [Sähköinen resurssi]. – 2004.
↑ Vladimirov, 2009 , s. yksitoista.
↑ Vladimirov, 2009 , s. viisitoista.
↑ Vladimirov, 2009 , s. 16.
↑ Vladimirov, 2009 , s. 17.
↑ Vladimirov, 2009 , s. 19.
↑ Vladimirov, 2009 , s. 21-22.
↑ Wesson, 2006 , s. yksi.
↑ Wesson, 2006 , s. 1-2.
↑ Overduin & Wesson, 1997 , s. 307.
↑ Nordström, Gunnar (1914). "Mahdollisuudesta yhdistää gravitaatio- ja sähkömagneettiset kentät". Phys. Zeitschr . 15 :504-506. arXiv : physics/0702221 .
↑ Keskinen, Raimo. Gunnar Nordström & Suomen Einstein (fin.) (linkki ei saatavilla) (25.6.2007). Haettu 10. heinäkuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 3. maaliskuuta 2016.
↑ Pais, Abraham. Hienovarainen on Herra...: Albert Einsteinin tiede ja elämä . - 1982. - s . 329-330 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Kaluza, Theodor (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berliini. (Math. Phys.) : 966-972. Bibcode : 1921SPAW.......966K .
↑ Wesson, 2006 , s. 3-4.
↑ 1 2 Klein, Oskar (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift fur Physik A . 37 (12): 895-906. Bibcode : 1926ZPhy...37..895K . DOI : 10.1007/BF01397481 .
↑ 1 2 3 Klein, Oskar (1926). "Sähkön atomisuus kvanttiteorian laina." luonto . 118 (2971): 516. Bibcode : 1926Natur.118..516K . DOI : 10.1038/118516a0 .
↑ 12 Wesson , 2006 , s. 5.
↑ Overduin & Wesson, 1997 , s. 308.
↑ Wesson, 2006 , s. 6.
↑ 1 2 3 Goenner, H. (2012). "Joitakin huomioita skalaari-tensoriteorioiden synnystä." Yleinen suhteellisuusteoria ja gravitaatio . 44 (8): 2077-2097. arXiv : 1204.3455 . Bibcode : 2012GReGr..44.2077G . DOI : 10.1007/s10714-012-1378-8 .
↑ Lichnerowicz, A. (1947). "Problèmes de calcul des variations liés à la dynamique classique et à la théorie unitaire du champ." Compt. Repiä. Acad. sci. Pariisi . 224 : 529-531.
↑ 1 2 3 4 Thiry, Y. (1948). "Les équations de la théorie unitaire de Kaluza". Compt. Repiä. Acad. sci. Pariisi . 226 : 216-218.
↑ Thiry, Y. (1948). "Sur la regularité des champs gravitationnel et electromagnétique dans les théories unitaires". Compt. Repiä. Acad. sci. Pariisi . 226 : 1881-1882.
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1946). "Relativistinen gravitaatioteoria mitan muuttujalla Gravitationskonstante". Naturwissenschaften . 11 (8): 250-251. Bibcode : 1946NW.....33..250J . DOI : 10.1007/BF01204481 .
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1947). "Uber die Feldgleichungen der Gravitation bei variabler "Gravitationslonstante " ". Z.Naturforsch . 2a (1): 1-2. Bibcode : 1947ZNatA...2...1J . DOI : 10.1515/zna-1947-0102 .
↑ Ludwig, G. (1947). "Der Zusammenhang zwischen den Variationsprinzipien der projektiven und der vierdimensionalen Relativitätstheorie" . Z.Naturforsch . 2a (1): 3-5. Bibcode : 1947ZNatA...2....3L . DOI : 10.1515/zna-1947-0103 . Arkistoitu alkuperäisestä 2020-10-04 . Haettu 10.07.2021 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1948). Funfdimensionale Kosmologie. Astron. Nachr . 276 (5-6): 193-208. Bibcode : 1948AN....276..193J . DOI : 10.1002/asna.19482760502 .
↑ Ludwig, G. (1948). "Ein Modell des Kosmos und der Sternentstehung". Annalen der Physik . 2 (6): 76-84. Bibcode : 1948AnP...437...76L . DOI : 10.1002/andp.19484370106 .
↑ Scherrer, W. (1941). "Bemerkungen zu meiner Arbeit: "Ein Ansatz für die Wechselwirkung von Elementarteilchen " ". Helv. Phys. Acta . 14 (2):130.
↑ Scherrer, W. (1949). "Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Matriefeld". Helv. Phys. Acta . 22 : 537-551.
↑ Scherrer, W. (1950). "Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Matriefeld (2. Mitteilung)". Helv. Phys. Acta . 23 :547-555.
↑ Brans, CH (1. marraskuuta 1961). "Machin periaate ja relativistinen gravitaatioteoria" . Fyysinen arvostelu . 124 (3): 925-935. Bibcode : 1961PhRv..124..925B . DOI : 10.1103/PhysRev.124.925 .
↑ 1 2 3 Williams, LL (2015). "Kenttäyhtälöt ja Lagrangian Kaluza-metriikasta, joka on arvioitu Tensor Algebra -ohjelmistolla" (PDF) . Journal of Gravity . 2015 . DOI : 10.1155/2015/901870 . Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 30.06.2021 . Haettu 10.07.2021 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Ferrari, JA (1989). "Likimääräisestä ratkaisusta varautuneelle esineelle ja kokeellisista todisteista Kaluza-Kleinin teorialle". Gen. suhteellinen. Gravit . 21 (7). Bibcode : 1989GReGr..21..683F . DOI : 10.1007/BF00759078 .
↑ Coquereaux, R. (1990). "Kaluza-Klein-Jordan-Thiryn teoria tarkasteltu uudelleen". Annales de l'Institut Henri Poincare . 52 .
↑ Williams, LL (2020). "Kaluzan energia-momenttitensorin kenttäyhtälöt ja Lagrange". Matemaattisen fysiikan edistysaskel . 2020 . DOI : 10.1155/2020/1263723 .
↑ 12 Wesson , 2006 , s. 13.
↑ Wesson, 2006 , s. neljätoista.
↑ Appelquist, Thomas. Modernit Kaluza–Kleinin teoriat / Thomas Appelquist, Chodos, Alan, Freund, Peter GO. - Menlo Park, Cal. : Addison-Wesley, 1987. - ISBN 978-0-201-09829-7 .
↑ Wesson, Paul S. Avaruus–aika–aine, moderni Kaluza–Kleinin teoria . - Singapore: World Scientific, 1999. - ISBN 978-981-02-3588-8 .
↑ Vladimirov, 2012 , s. 16.
↑ Nugajev Rinat M. Avaruus- aikaulottuvuusongelma inflaatiokosmologian kompastuskivinä // Metauniverse, Space, Time / Vadim V. Kazutinsky, Elena A. Mamchur, Alexandre D. Panov & VD Erekaev (toim.). - RAS:n Filosofian instituutti, 2013. - S. 52-73. (Venäjän kieli)
↑ Pauli, Wolfgang. Suhteellisuusteoria . - 1958. - P. Täydennys 23.
↑ Gross, DJ (1983). "Magneettiset monopolit Kaluza-Kleinin teorioissa". Nucl. Phys. b . 226 (1): 29-48. Bibcode : 1983NuPhB.226...29G . DOI : 10.1016/0550-3213(83)90462-5 .
↑ Gegenberg, J. (1984). "Varattujen hiukkasten liike Kaluza-Klein-avaruudessa-ajassa". Phys. Lett . 106A (9). Bibcode : 1984PhLA..106..410G . DOI : 10.1016/0375-9601(84)90980-0 .
↑ Wesson, PS (1995). "Liikeyhtälö Kaluza-Kleinin kosmologiassa ja sen vaikutukset astrofysiikkaan." Tähtitiede ja astrofysiikka . 294 . Bibcode : 1995A&A...294...1W .
↑ Williams, LL (2012). "Avaruuden ja painovoiman sähkömagneettisen ohjauksen fysiikka" . 48. AIAA Joint Propulsion Conference -konferenssin aineisto . AIAA 2012-3916. DOI : 10.2514/6.2012-3916 .
↑ Vladimirov, 1987 , s. 45-46.
↑ David Bleecker, " Gauge Theory and Variational Principles Arkistoitu 9. heinäkuuta 2021 Wayback Machinessa " (1982) D. Reidel Publishing (katso luku 9 )
↑ Ravndal, F., Oskar Klein ja viides ulottuvuus, arXiv:1309.4113 [physics.hist-ph]
↑ 5Dstm.org . Haettu 10. heinäkuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 21. elokuuta 2013. (määrätön)
↑ L. Castellani et ai., Supergravity and superstrings, Vol 2, luku V.11
↑ CMS Collaboration, "Search for Microscopic Black Hole Signatures at the Large Hadron Collider", https://arxiv.org/abs/1012.3375 Arkistoitu 10. elokuuta 2017 Wayback Machinessa
↑ Rajoitukset aika-avaruusulottuvuuksien lukumäärälle julkaisusta GW170817 , https://arxiv.org/abs/1801.08160 Arkistoitu 3. marraskuuta 2019 Wayback Machinessa

Kirjallisuus

Vladimirov Yu. S. Fyysisen aika-avaruuden ulottuvuus ja vuorovaikutusten assosiaatio. - M .: Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1987. - 215 s.
Vladimirov Yu.S. Klassinen painovoimateoria. - M . : Knizhny dom LIBROKOM, 2009. - 264 s. - ISBN 978-5-397-00884-6 .
Vladimirov Yu. S. Geometrofysiikka. - 2. painos, Rev. - M . : Binom. Knowledge Laboratory, 2012. - 536 s. - ISBN 978-5-9963-0303-8 .
Hodos, A. Kaluza-Klein teoriat: yleinen katsaus // Phys . - 1985. - T. 146 . - S. 647-654 . - doi : 10.3367/UFNr.0146.198508d.0647 .
Wesson, Paul S. Viisiulotteinen fysiikka: Kaluza-Kleinin kosmologian klassiset ja kvanttiseuraukset . — Hackensack, NJ: World Scientific, 2006. — ISBN 9812566619 .
Overduin JM, Wesson PS Kaluza-Kleinin painovoima // Physics Reports. - 1997. - T. 283 . - S. 303-378 . - doi : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 . - arXiv : gr-qc/9805018 .
Kaluza, Theodor (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berliini. (Math. Phys.) : 966-972. Bibcode : 1921SPAW.......966K . https://archive.org/details/sitzungsberichte1921preussi
Klein, Oskar (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift fur Physik A . 37 (12): 895-906. Bibcode : 1926ZPhy...37..895K . DOI : 10.1007/BF01397481 .
Witten, Edward (1981). "Etsi realistista Kaluza–Kleinin teoriaa". Ydinfysiikka B . 186 (3): 412-428. Bibcode : 1981NuPhB.186..412W . DOI : 10.1016/0550-3213(81)90021-3 .
Duff, MJ Kaluza–Kleinin teoria perspektiivissä //Oskar Kleinin satavuotisjuhlan symposiumin julkaisut / Lindström, Ulf. - Singapore: World Scientific, 1994. - S. 22–35. — ISBN 978-981-02-2332-8 .
Overduin, JM (1997). Kaluza-Kleinin painovoima. Fysiikan raportit . 283 (5): 303-378. arXiv : gr-qc/9805018 . Bibcode : 1997PhR...283..303O . DOI : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 .
Wesson, Paul S. Viisiulotteinen fysiikka: Kaluza–Kleinin kosmologian klassiset ja kvanttiseuraukset . - Singapore : World Scientific, 2006. - ISBN 978-981-256-661-4 .
The CDF Collaboration, Search for Extra Dimensions using Missing Energy at CDF , (2004 )
John M. Pierre Extra Dimensions , (2003).
Chris Pope, luentoja Kaluza–Kleinin teoriasta .
Edward Witten (2014). "Huomautus Einsteinista, Bergmannista ja viidennestä ulottuvuudesta", arXiv : 1401.8048
Lee Smolinin ongelmat fysiikan kanssa: kieliteorian nousu, tieteen taantuminen ja sen jälkeen

Painovoiman teoriat

Vakiopainovoimateoriat

Vaihtoehtoiset painovoimateoriat

Painovoiman kvanttiteoriat

Yhtenäiset kenttäteoriat

klassinen fysiikka

Newtonin painovoimateoria

Relativistinen fysiikka

Yleinen suhteellisuusteoria
- Matemaattinen muotoilu
- Hamiltonin muotoilu

periaatteet

Klassikko

Relativistinen

Moniulotteinen

jouset

muu

Poikkeuksellisen yksinkertainen teoria kaikesta

Fysiikka standardimallin ulkopuolella
Todisteet	Mittarihierarkian ongelma Pimeä aine pimeää energiaa Kosmologisen vakion ongelma Vahva CP-ongelma Neutriinovärähtelyt
teorioita	Technicolor Viides voima Kaluza-Kleinin teoria Suuret yhtenäiset teoriat Teoria kaikesta Säieteoria
supersymmetria	MSSM supermerkkijonoteoria supergravitaatio
kvanttipainovoima	Säieteoria Kierrä kvanttigravitaatio Kausaalinen dynaaminen kolmio Kanoninen kvanttigravitaatio
Kokeilut	ANNIE Sasso INO SÄILIÖ SNO Super-K Tevatron Muon g- NOvA