Ulamin numero
Vakaa versio tarkistettiin 22.8.2020 . Malleissa tai malleissa on vahvistamattomia muutoksia .Ulamin numero on osa kokonaislukujonoa , jonka Stanislav Ulam keksi ja nimesi itsensä mukaan vuonna 1964.
Määritelmä
Vakio Ulam-sekvenssi (tai (1, 2)-Ulam-luku) alkaa U 1 = 1 ja U 2 = 2. Jos n > 2, U n määritellään pienimmäksi kokonaisluvuksi , joka on suurempi kuin U n-1 ja joka yksiselitteisesti hajoaa sekvenssin kahden erillisen aikaisemman jäsenen summa.
Esimerkkejä
Määritelmästä seuraa, että 3 on Ulamin luku (1+2); ja 4 on Ulamin luku (1+3). (Tässä 2+2 ei ole 4:n toinen esitys, koska edellisten termien on oltava erilaisia.) Luku 5 ei ole Ulam-luku, koska 5 = 1 + 4 = 2 + 3. Sarja alkaa näin:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 206, 209, 219, 206, 209, 219, 206, 209, 219, 3, 2, 2, 2 258, 260, 273, 282, ... sekvenssi A002858 OEIS : ssä .Ensimmäiset Ulam-luvut, jotka ovat myös alkulukuja:
2 3 11 13 47 53 97 131 197 241 409 431 607 673 739 751 983 991 1103 1433 1489 1531 1553 1709 1721 2371, 2393, 2447, 2633, 2789, 2833, 2897, ... Oeis -sekvenssi A068820 .Ulam-lukuja on äärettömän monta, koska kun on lisätty ensimmäiset n termiä, voit aina lisätä toisen alkion: U n − 1 + U n , joka määritetään yksiselitteisesti kahden sitä pienemmän alkion summana ja voimme saada vielä pienemmän elementtejä käyttämällä samanlaista menetelmää, joten seuraava elementti voidaan määritellä pienimmäksi näistä yksilöllisesti määritellyistä vaihtoehdoista. [yksi]
Ulam uskoi, että Ulam-luvuilla on nolla asymptoottinen tiheys [2] , mutta ilmeisesti se on 0,07398. [3]
Piilotettu rakenne
Havaittiin [4] , että ensimmäiset 10 miljoonaa Ulam-lukua tyydyttävät ominaisuuden: paitsi 4 elementin osalta (ja tämä jatkuu, kuten tiedetään, asti ). Tämän tyyppiset epäyhtälöt pätevät yleensä sekvensseille, joilla on jonkinlainen jaksollisuus, mutta Ulam-sekvenssin ei tiedetä olevan jaksollinen eikä ilmiötä ole selitetty. Sitä voidaan käyttää Ulam-sekvenssin nopeaan laskemiseen (katso ulkoiset linkit).
Muunnelmia ja yleistyksiä
Idea voidaan yleistää (u, v)-Ulam-luvuiksi valitsemalla eri alkuarvot (u, v). (u, v)-Ulam-lukujen sarja on jaksollinen, jos peräkkäisten lukujen erot sarjassa on jaksollinen. Kun v on pariton luku, joka on suurempi kuin kolme, (2, v)-Ulam-lukujen sarja on jaksollinen. Kun v on yhtä suuri kuin 1 (moduuli 4) ja vähintään viisi, (4, v)-Ulam-lukujen sarja on jälleen jaksollinen. Tavalliset Ulam-numerot eivät kuitenkaan ole säännöllisiä. [5]
Lukusarjan sanotaan olevan s-additiivinen, jos jokaisella sekvenssin numerolla on sekvenssin alkupään 2s-termien jälkeen täsmälleen s-esitys kahden edellisen luvun summana. Siten Ulam-luvut ja (u, v)-Ulam-luvut ovat 1-additiivisia sekvenssejä. [6]
Jos jono muodostetaan lisäämällä kahden aikaisemman luvun summaksi suurin yksilöllisesti esitettävä luku sen sijaan, että lisättäisiin pienin yksiselitteisesti esitettävä luku, tuloksena oleva sarja on Fibonacci-lukujen sarja . [7]
Muistiinpanot
- ↑ Recaman (1973 ) käyttää samanlaista argumenttia, joka on muotoiltu todisteeksi ristiriidalla . Hän väittää, että jos Ulam-lukuja olisi äärellinen määrä, niin kahden viimeisen summa olisi myös Ulam-luku, ristiriita. Vaikka kahden viimeisen luvun summalla on tässä tapauksessa yksilöllinen esitys kahden Ulam-luvun summana, se ei kuitenkaan välttämättä ole pienin luku, jolla on yksilöllinen esitys.
- ↑ Väite, jonka mukaan Ulam oletti tämän, on OEIS A002858 , mutta Ulam ei yrittänyt arvioida sekvenssiään Ulamissa (1964a ), ja Ulamissa (1964b ) hän mainitsi tämän joukon asymptoottisen tiheyden ongelman, mutta ei myöskään yrittänyt arvioimaan sitä. Recaman (1973 ) toistaa Ulamin (1964b ) kysymyksen asymptoottisesta tiheydestä tekemättäkään oletuksia sen arvosta.
- ↑ OEIS A002858
- ↑ Steinerberger (2015 )
- ↑ Queneau (1972 ) huomasi ensin kuvion u = 2 ja v = 7 tai v = 9. Finch (1992 ) oli ensimmäinen, joka arveli, että v on pariton suurempi kuin kolme, ja Schmerl & Spiegel (1994 ) todistivat sen. . Cassaigne & Finch (1995 ) todistivat (4, v )-Ulam-lukujen jaksollisuuden .
- ↑ Queneau (1972 ).
- ↑ Finch (1992 ).
Kirjallisuus
- Cassaigne, Julien & Finch, Steven R. (1995), 1-additiivisten sekvenssien ja kvadraattisten toistojen luokka , Experimental Mathematics osa 4 (1): 49–60, doi : 10.1080/ 10586458.1995.07ams , > Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
- Finch, Steven R. (1992), Tiettyjen 1-additiivisten sekvenssien säännöllisyydestä , Journal of Combinatorial Theory, Series A osa 60 (1): 123–130 , DOI 10.1016/0097-3165(92)90042-S
- Guy, Richard (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3. painos), Springer-Verlag , s. 166–167, ISBN 0-387-20860-7
- Queneau, Raymond (1972), Sur les suites s -additives , Journal of Combinatorial Theory, Series A osa 12 (1): 31–71 , DOI 10.1016/0097-3165(72)90083-0
- Recaman, Bernardo (1973), Questions on a series of Ulam , American Mathematical Monthly , osa 80 (8): 919–920 , DOI 10.2307/2319404
- Schmerl, James & Spiegel, Eugene (1994), Joidenkin 1-additiivisten sekvenssien säännöllisyys , Journal of Combinatorial Theory, Series A osa 66 (1): 172–175 , DOI 10.1016/0097-3165(94)90058-2
- Ulam, Stanislaw (1964a), Kombinatorinen analyysi äärettömissä joukoissa ja joitain fysikaalisia teorioita , SIAM Review vol. 6: 343–355 , DOI 10.1137/1006090
- Ulam, Stanislaw (1964b), Modernin matematiikan ongelmat , New York: John Wiley & Sons, Inc, s. xi
- Steinerberger, Stefan (2015), Piilotettu signaali Ulam-sekvenssissä , kokeellinen matematiikka
Ulkoiset linkit
- Ulam-sekvenssi MathWorldistä
- Philip Gibbsin nopea laskenta Ulam-sekvenssistä
- Donald Knuthin kuvaus algoritmista
- Daniel Rossin github-sivu