Pintaintegraalit

Kuten kaarevien integraalien kohdalla, pintaintegraaleja on kahdenlaisia.

Ensimmäisen tyyppinen pintaintegraali

Määritelmä

Olkoon tasainen, rajattu täydellinen pinta . Annetaan edelleen funktio . Harkitse tämän pinnan jakamista osiin paloittain sileillä käyräillä ja valitse mielivaltainen piste jokaiselle tällaiselle osalle . Laskettuasi funktion arvon tässä pisteessä ja ottaen huomioon pinta-ala , harkitse summaa $\Phi$ $\Phi$ $f(M)=f(x,y,z)$ $T$ $\Phi _{i}\ (i=1,\pisteet ,n)$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $\sigma_i$ ${\displaystyle \Phi _{i))$

I\{\Phi _{i},M_{i}\}=\sum _{i}f(M_{i})\sigma _{i}.

Sitten numeroa kutsutaan summarajaksi , jos $minä$ $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall T:d(T)<\delta \ \forall \{M_{i}\}\ {\bigl |}I\{\Phi _{i},M_{i}\}-I{\bigr |}<\varepsilon .

Summien rajaa at kutsutaan ensimmäisen tyyppisen funktion pintaintegraaliksi pinnan yli ja sitä merkitään seuraavasti: $minä$ $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$ $d(T)\to 0$ $f(M)$ $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma .

Parametrinen muoto

Olkoon funktioiden avulla mahdollista tuoda pinnalle yhtenäinen parametrisointi $\Phi$

x=x(u,v),\quad y=y(u,v),\quad z=z(u,v),

annetaan rajatulla suljetulla tason alueella ja kuuluu luokkaan tällä alueella. Jos funktio on jatkuva pinnalla , niin tämän funktion ensimmäisen lajin pintaintegraali pinnalla on olemassa ja se voidaan laskea kaavalla $\Omega$ $(u,v)$ $C^1$ $f(M)=f(x,y,z)$ $\Phi$ $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma =\iint \limits _{\Omega }f{\big (}x(u,v),y(u, v),z(u,v){\big )}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv,

missä:

E=(x_{u}')^{2}+(y_{u}')^{2}+(z_{u}')^{2},

F=x_{u}'x_{v}'+y_{u}'y_{v}'+z_{u}'z_{v}',

G=(x_{v}')^{2}+(y_{v}')^{2}+(z_{v}')^{2}.

Ominaisuudet

Ensimmäisen tyyppisen pintaintegraalin määritelmästä seuraa, että tämä integraali on riippumaton yksikkönormaalien vektorikentän suunnan valinnasta pintaan tai, kuten sanotaan, pinnan puolen valinnasta. Anna funktioiden olla integroitavissa toimialueille . Sitten: $f$ $g$ $\Phi ,\Phi _{1},\Phi _{2}$

Lineaarisuus: kaikille reaaliluvuille . $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,d\sigma =\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma +\beta \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma$ $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$
Additiivisuus : edellyttäen, että ja niillä ei ole yhteisiä sisäpisteitä . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma +\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma =\iint \limits _{\ Phi _{1}\cup \Phi _{2}}f\,d\sigma$ $\Phi _{1}$ $\Phi _{2}$
Yksitoikkoisuus :
- jos , niin ; $f\geqslant g$ $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma \geqslant \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma$
- varten , jos , niin . $f \geqslant 0$ ${\displaystyle \Phi _{1}\subset \Phi _{2))$ $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma <\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma$
Jatkuvan funktion ja suljetun rajatun pinnan keskiarvolause : $f$ $\Phi$ $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma =f(\xi )\iint \limits _{\Phi }d\sigma =f(\xi )\mu (\Phi )$ , missä , ja on alueen pinta-ala . $\xi \in \Phi$ $\mu (\Phi )$ $\Phi$

Toisen tyyppinen pintaintegraali

Määritelmä

Harkitse kaksipuolista pintaa , tasaista tai paloittain sileää, ja kiinnitä toinen sen kahdesta sivusta, mikä vastaa tietyn suunnan valitsemista pinnalle. $\Phi$

Varmuuden vuoksi oletetaan ensin, että pinta on annettu eksplisiittisellä yhtälöllä ja piste muuttuu alueella , jota rajaa paloittain sileä ääriviiva. ${\näyttötyyli z=z(x,y)}$ $(x, y)$ ${\näyttötyyli (D)}$ $xy$

Määritetään nyt jokin funktio tietyn pinnan pisteissä . Kun pinta on jaettu paloittain tasaisten käyrien verkostolla osiin ja valittu piste jokaiselle tällaiselle osalle , laskemme funktion arvon tietyssä pisteessä ja kerromme sen projektion pinta- alalla elementtitasolle , varustettu tietyllä merkillä. Tehdään kokonaissumma $\Phi$ $f(M)=f(x,y,z)$ $\Phi _{i}\ (i=1,\pisteet ,n)$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $D_{i}$ $xy$ ${\displaystyle \Phi _{i))$

\sum _{i=1}^{n}f(M_{i})D_{i}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i} ,z_{i})D_{i}.

Tämän integraalisumman lopullista rajaa, koska kaikkien osien halkaisijat pyrkivät olemaan nolla, kutsutaan toisen tyyppisen integraalin pintaintegraaliksi .

f(M)\,dx\,dy=f(x,y,z)\,dx\,dy,

pidennetty pinnan valitulle puolelle ja merkitty symbolilla $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dx\,dy

(tässä se muistuttaa pintaelementin projektioaluetta tasoon ). $dx\,dy$ $xy$

Jos tason sijasta projisoimme pintaelementit tasolle tai , niin saadaan kaksi muuta toisen tyyppistä pintaintegraalia: $xy$ $yz$ $zx$

\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dy\,dz

tai

\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dz\,dx.

Sovelluksissa yleisimmät kaikkien näiden tyyppien integraalien yhdistelmät ovat:

\iint \limits _{\Phi }P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy,

missä ovat funktiot , jotka on määritelty pinnan pisteissä . $P,Q,R$ $(x, y, z)$ $\Phi$

Toisen ja ensimmäisen tyypin pintaintegraalien välinen suhde

\iint \limits _{\Sigma +}f(x,y,z)\,dy\,dz=\iint \limits _{\Sigma }f(x,y,z)\cos(\nu \wedge i)\,d\sigma ,

missä on pinnan yksikkönormaalivektori , on ort. $\nu$ $\Sigma$ $i$

Ominaisuudet

Lineaarisuus: . $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,dx\,dy=\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,dx\,dy+\beta \iint \ rajat _{\Phi }g\,dx\,dy$
Additiivisuus: . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,dx\,dy+\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,dx\,dy=\iint \limits _{ \Phi _{1}+\Phi _{2}}f\,dx\,dy$
Kun pinnan suunta muuttuu, pintaintegraali muuttaa etumerkkiä.

Katso myös

Kirjallisuus

Fikhtengolts, G. M. Luku 17. Pintaintegraalit // [Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi]. - T. 3.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Luku 5. Pintaintegraalit // Fundamentals of Mathematical Analysis. - V. 2. - (Korkeamman matematiikan ja matemaattisen fysiikan kurssi).

Linkit

Matemaattisten yhtälöiden maailma arkistoitu 21. marraskuuta 2019 Wayback Machinessa .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	NKC : ph124123

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista