Aaltofunktio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 12. heinäkuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Aaltofunktio tai psi-funktio on kompleksiarvoinen funktio , jota käytetään kvanttimekaniikassa kuvaamaan järjestelmän puhdasta tilaa . Aaltofunktion yleisimmät symbolit ovat kreikkalaiset kirjaimet ψ ja Ψ (pienet kirjaimet ja isot kirjaimet psi ). Se on tilavektorin laajennuskerroin kantana (yleensä koordinaattina): $\psi$

$\left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx$

missä on koordinaattikantavektori ja on aaltofunktio koordinaattiesituksessa. $\left|x\right\rangle =\left|x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right\rangle$ $\Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\oikea\kulma$

Kööpenhaminan kvanttimekaniikan tulkinnan mukaan hiukkasen löytämisen todennäköisyystiheyden tietyssä pisteessä konfiguraatioavaruudessa tietyllä hetkellä katsotaan olevan yhtä suuri kuin tämän tilan aaltofunktion itseisarvon neliö koordinaatissa. edustus.

Aaltofunktio on vapausasteiden funktio , joka vastaa jotakin työmatkahavainnon maksimijoukkoa . Kun tällainen esitys on valittu, aaltofunktio voidaan johtaa kvanttitilasta.

Tietylle järjestelmälle työmatkan vapausasteiden valinta ei ole yksiselitteistä, ja vastaavasti aaltofunktion määritelmäalue ei myöskään ole ainutlaatuinen. Sitä voidaan pitää esimerkiksi kaikkien hiukkasten sijaintikoordinaattien funktiona koordinaattiavaruudessa tai kaikkien hiukkasten momenttien funktiona liikemääräavaruudessa ; nämä kaksi kuvausta liittyvät toisiinsa Fourier-muunnoksen avulla . Joillakin hiukkasilla, kuten elektroneilla ja fotoneilla , on nollasta poikkeava spin , ja tällaisten hiukkasten aaltofunktio sisältää spinin sisäisenä diskreettinä vapausasteena; myös muita diskreettejä muuttujia, kuten isospin , voidaan harkita eri järjestelmissä . Kun järjestelmällä on sisäiset vapausasteet, aaltofunktio jokaisessa jatkuvan vapausasteen pisteessä (esimerkiksi koordinaattiavaruuden pisteessä) määrittää kompleksiluvun jokaiselle diskreettien vapausasteiden mahdolliselle arvolle (esim. spinin z-komponentti) - nämä arvot näytetään usein vektorisarakkeena (esimerkiksi 2 × 1 ei-relativistiselle elektronille, jolla on spin.

Kvanttimekaniikan superpositioperiaatteen mukaan aaltofunktiot voidaan lisätä ja kertoa kompleksiluvuilla uusien aaltofunktioiden rakentamiseksi ja Hilbert-avaruuden määrittämiseksi . Kahden aaltofunktion välisen Hilbert-avaruuden sisätulo on vastaavien fysikaalisten tilojen päällekkäisyyden mitta, ja sitä käytetään kvanttimekaniikan perustavanlaatuisessa todennäköisyystulkinnassa, Bornin säännössä , joka liittää siirtymän todennäköisyydet tilojen pistetuloon. Schrödingerin yhtälö määrittelee kuinka aaltofunktiot kehittyvät ajan myötä, ja aaltofunktio käyttäytyy kvalitatiivisesti kuten muut aallot , kuten aallot vedessä tai aallot merkkijonossa, koska Schrödingerin yhtälö on matemaattisesti aaltoyhtälön muunnelma . Tämä selittää nimen "aaltofunktio" ja johtaa aalto-hiukkasten kaksinaisuuteen . Kvanttimekaniikan aaltofunktio kuvaa kuitenkin eräänlaista fysikaalista ilmiötä, joka on edelleen avoin erilaisille tulkinnoille ja joka on pohjimmiltaan erilainen kuin klassisten mekaanisten aaltojen [1] [2] [3] [4] [5] [6] [ 7] .

Bornin ei-relativistisen kvanttimekaniikan tilastollisessa tulkinnassa [8] [9] [10] aaltofunktion neliömoduuli on reaaliluku, joka tulkitaan todennäköisyystiheydeksi, jolla hiukkanen mitataan tietyssä paikassa tai tietyssä paikassa. jolla on tietty vauhti tiettynä aikana ja joilla on mahdollisesti tietyt arvot erillisiin vapausasteisiin. Tämän arvon integraalin kaikilla järjestelmän vapausasteilla tulee olla yhtä suuri kuin 1 todennäköisyyslaskennan mukaan. Tätä yleistä vaatimusta , jonka aaltofunktion on täytettävä , kutsutaan normalisointiehdoksi . Koska aaltofunktiolla on monimutkaisia arvoja, vain sen suhteellinen vaihe ja suhteellinen suuruus voidaan mitata – sen arvo erikseen otettuna ei kerro mitään mitattavien havaintojen suuruuksista tai suunnista; aaltofunktioon ψ on tarpeen soveltaa kvanttioperaattoreita , joiden ominaisarvot vastaavat mahdollisten mittaustulosten joukkoja, ja laskea tilastolliset jakaumat mitattavissa oleville suureille.

Historia

Albert Einstein väitti vuonna 1905 fotonin taajuuden ja sen energian välisen suhteellisuuden [11] , ja vuonna 1916 vastaavan fotonin liikemäärän ja sen aallonpituuden välisen suhteen [12] , jossa on Planckin vakio . Vuonna 1923 De Broglie ehdotti ensimmäisenä, että relaatio , jota nykyään kutsutaan De Broglien suhteeksi , pätee massiivisille hiukkasille, mikä on tärkein avain ymmärtämiseen, mikä on Lorentzin invarianssi [13] , ja tätä voidaan pitää lähtökohtana. nykyaikaiseen kvanttimekaniikan kehittämiseen. Yhtälöt kuvaavat aalto-hiukkasten kaksinaisuutta sekä massattomille että massiivisille hiukkasille. $f$ $E$ $E=hf$ $s$ $\lambda$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ $h$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

1920- ja 1930-luvuilla kvanttimekaniikka kehitettiin käyttämällä laskentaa ja lineaarista algebraa . Louis de Broglie , Erwin Schrödinger ja muut " aaltomekaniikan " kehittäjät käyttivät työssään analyysia . Lineaarisen algebran menetelmiä soveltaneiden joukossa olivat Werner Heisenberg , Max Born ja muut, jotka kehittivät "matriisimekaniikan". Myöhemmin Schrödinger osoitti, että nämä kaksi lähestymistapaa ovat samanarvoisia [14] .

Vuonna 1926 Schrödinger julkaisi kuuluisan aaltoyhtälön, joka on nyt nimetty hänen mukaansa, Schrödinger-yhtälön . Tämä yhtälö perustui klassiseen energian säilymislakiin , mutta kirjoitettiin käyttämällä kvanttioperaattoreita ja de Broglie -relaatioita, ja sen ratkaisut esitettiin kvanttijärjestelmän aaltofunktioilla [15] . Kukaan ei kuitenkaan osannut tulkita tätä [16] . Aluksi Schrödinger ja muut ajattelivat, että aaltofunktiot olivat hiukkasia, jotka jakautuvat avaruuteen, ja suurin osa hiukkasista sijaitsi siellä, missä aaltofunktio oli suuri [17] . Tämän on osoitettu olevan ristiriidassa sirottimesta tulevan aaltopaketin (joka on hiukkanen) joustavan sironnan kanssa, koska se etenee kaikkiin suuntiin [8] . Vaikka hajallaan oleva hiukkanen voi levitä mihin tahansa suuntaan, se ei hajoa palasiksi eikä lennä pois kaikkiin suuntiin. Vuonna 1926 Born esitti tulkintansa todennäköisyysamplitudista [9] [18] . Se yhdistää kvanttimekaniikan laskelmat suoraan kokeessa havaittuihin todennäköisyyksiin. Tämä kuva on nyt hyväksytty osaksi Kööpenhaminan kvanttimekaniikan tulkintaa . Kvanttimekaniikasta on monia muitakin tulkintoja . Vuonna 1927 Hartree ja Fock ottivat ensimmäisen askeleen yrittäessään kuvata N-hiukkasten aaltofunktiota ja kehittivät itsestään johdonmukaisen menettelyn : iteratiivisen algoritmin monipartikkelisen kvanttimekaanisen ongelman ratkaisun approksimoimiseksi. Tämä menetelmä tunnetaan nykyään Hartree-Fock-menetelmänä [19] . Slaterin determinantti ja pysyvä ( matriisit ) olivat osa John C. Slaterin ehdottamaa menetelmää .

Schrödinger työskenteli aaltofunktion yhtälön kanssa, joka täytti relativistisen energian säilymislain ennen kuin hän julkaisi ei-relativistisen version, mutta hylkäsi sen, koska se ennusti negatiivisia todennäköisyyksiä ja negatiivisia energioita . Vuonna 1927 Klein , Gordon ja Fock löysivät myös sen, mutta ottivat huomioon sähkömagneettisen vuorovaikutuksen ja osoittivat, että se on Lorentzin invariantti . Myös De Broglie päätyi samaan yhtälöön vuonna 1928. Tämä relativistinen aaltoyhtälö tunnetaan nykyään yleisimmin Klein-Gordon-yhtälönä [20] .

Vuonna 1927 Pauli löysi fenomenologisesti ei-relativistisen yhtälön kuvaamaan hiukkasia, joiden spin 1/2 sähkömagneettisissa kentissä, jota kutsutaan nykyään Paulin yhtälöksi [21] . Pauli havaitsi, että aaltofunktiota ei kuvattu yhdellä tilan ja ajan kompleksilla, vaan vaadittiin kaksi kompleksilukua, jotka vastaavat fermionin tiloja spinillä +1/2 ja −1/2. Pian sen jälkeen, vuonna 1928, Dirac löysi yhtälön ensimmäisestä onnistuneesta erityissuhteellisuusteorian ja kvanttimekaniikan yhdistämisestä elektroniin sovellettaessa , jota nykyään kutsutaan Diracin yhtälöksi . Tässä tapauksessa aaltofunktio on spinori , jota edustaa neljä monimutkaista komponenttia [19] : kaksi elektronille ja kaksi elektronin antihiukkaselle , positronille . Ei-relativistisessa rajassa Diracin aaltofunktio muistuttaa Paulin aaltofunktiota elektronille. Myöhemmin löydettiin muitakin relativistisia aaltoyhtälöitä .

Aaltofunktiot ja aaltoyhtälöt moderneissa teorioissa

Kaikki nämä aaltoyhtälöt ovat ikuisen tärkeitä. Schrödingerin yhtälö ja Paulin yhtälö ovat monissa tapauksissa erinomaisia approksimaatioita relativistisille ongelmille. Ne on paljon helpompi ratkaista käytännön ongelmissa kuin niiden relativistiset vastineet.

Klein-Gordonin ja Diracin yhtälöt , koska ne ovat relativistisia, eivät täysin sovita kvanttimekaniikkaa ja erityistä suhteellisuusteoriaa. Kvanttimekaniikan osa-alueella, jossa näitä yhtälöitä tutkitaan samalla tavalla kuin Schrödingerin yhtälöä, jota usein kutsutaan relativistiseksi kvanttimekaniikaksi , vaikka se onkin erittäin onnistunut, sillä on rajoituksensa (katso esim. Lamb shift ) ja käsitteellisiä ongelmia (katso esim. Dirac-meri ).

Suhteellisuusteoria tekee väistämättömäksi, että hiukkasten lukumäärä järjestelmässä ei ole vakio. Täysi yksimielisyys edellyttää kvanttikenttäteoriaa [22] . Tässä teoriassa käytetään myös aaltoyhtälöitä ja aaltofunktioita, mutta hieman eri muodossa. Tärkeimmät kiinnostuksen kohteet eivät ole aaltofunktiot, vaan operaattorit, niin sanotut kenttäoperaattorit (tai yksinkertaisesti kentät , joilla tarkoitamme "operaattoreita") Hilbertin tilaavaruudessa. Osoittautuu, että alkuperäisiä relativistisia aaltoyhtälöitä ja niiden ratkaisuja tarvitaan edelleen Hilbert-avaruuden rakentamiseen. Lisäksi vapaan kentän operaattorit , eli ei-vuorovaikutteisille hiukkasille, täyttävät monissa tapauksissa muodollisesti saman yhtälön kuin kentät (aaltofunktiot).

Siten Klein-Gordon-yhtälö (spin 0 ) ja Dirac-yhtälö (spin 1⁄2 ) pysyvät teoriassa tässä muodossa. Korkeampia spinanalogeja ovat Proca-yhtälö (spin 1 ), Rarita-Schwinger-yhtälö (spin 3⁄2 ) ja yleisemmin Bargmann-Wigner-yhtälöt . Massattomille vapaille kentille esimerkkejä ovat Maxwellin vapaan kentän yhtälöt (spin 1 ) ja Einsteinin vapaan kentän yhtälöt (spin 2 ) kenttäoperaattoreille [23] . Ne kaikki ovat pohjimmiltaan suoraa seurausta Lorentzin invarianssivaatimuksesta . Niiden ratkaisut on muunnettava Lorentz-muunnoksen alla tietyllä tavalla, eli tietyn Lorentz-ryhmän esityksen mukaisesti ja yhdessä joidenkin muiden kohtuullisten vaatimusten, esimerkiksi klusterin hajoamisperiaatteen [24] kanssa, ottaen huomioon huomioon syy -seuraus , riittää muuttamaan yhtälöä.

Tämä koskee vapaan kentän yhtälöitä, kun vuorovaikutuksia ei ole otettu mukaan. Jos Lagrangin tiheys (mukaan lukien vuorovaikutukset) on saatavilla, niin Lagrangin formalismi antaa liikeyhtälön klassisella tasolla. Tämä yhtälö voi olla hyvin monimutkainen ja mahdoton ratkaista. Kaikki ratkaisut viittaavat kiinteään määrään hiukkasia, eikä niissä oteta huomioon termiä "vuorovaikutus", kuten näissä teorioissa ymmärretään, mikä sisältää hiukkasten luomisen ja tuhoamisen ulkoisten potentiaalien sijaan, kuten tavallisessa kvanttiteoriassa ( primäärinen kvantisointi ) . .

Kieleteoriassa tilanne on samanlainen. Esimerkiksi liikemääräavaruuden aaltofunktiolla on Fourier-laajenemiskertoimen rooli hiukkasen (merkkijonon) yleisessä tilassa, jonka liikemäärä ei ole selkeästi määritelty [25] .

Fyysinen merkitys

Koordinaattiesityksessä aaltofunktio riippuu järjestelmän koordinaateista (tai yleistetyistä koordinaateista). Aaltofunktion fyysinen merkitys on, että sen moduulin neliö on todennäköisyystiheys (diskreettien spektrien tapauksessa yksinkertaisesti todennäköisyys ) järjestelmän havaitsemiseksi tiettynä ajankohtana : $\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)$ ${\displaystyle \left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)\right|^{2))$ $\omega$ ${\displaystyle x_{1}=x_{01},x_{2}=x_{02},\ldots ,x_{n}=x_{0n))$ $t$

\omega ={\frac {dP}{dv}}=\left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)\right|^{2} =\Psi ^{\ast }\Psi

Joten järjestelmän tietyssä kvanttitilassa, jota kuvaa aaltofunktio , todennäköisyys , että hiukkanen havaitaan konfiguraatioavaruuden äärellisen tilavuuden alueella, on yhtä suuri kuin $\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)$ $P$ $V$

P={\int {dP}}={\int \limits _{V}{\omega }dv}={\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dv }

(yksi)

On myös mahdollista mitata aaltofunktion vaihe-ero esimerkiksi Aharonov-Bohmin kokeessa .

Aaltofunktion normalisointi

Koska hiukkasen havaitsemisen kokonaistodennäköisyys koko avaruudessa on yhtä suuri kuin yksi, niin sen aaltofunktion on täytettävä ns. normalisointiehto, esimerkiksi koordinaatistossa, jonka muoto on: $\psi$

{\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dv}=1

Yleisessä tapauksessa integrointi tulisi suorittaa kaikille muuttujille, joista aaltofunktio eksplisiittisesti riippuu tässä esityksessä (aikaa lukuun ottamatta).

Kvanttitilojen superpositioperiaate

Aaltofunktioille pätee superpositioperiaate , mikä tarkoittaa, että jos systeemi voi olla aaltofunktioiden kuvaamissa tiloissa ja , niin minkä tahansa kompleksin ja , , se voi olla myös aaltofunktion kuvaamassa tilassa. $\Psi _{1}$ $\Psi _{2}$ $c_{1}$ $c_{2}$ $|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$

{\displaystyle \Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2))

Ilmeisesti voidaan puhua myös minkä tahansa määrän kvanttitilojen superpositiosta (lisäyksestä) eli järjestelmän kvanttitilan olemassaolosta, jota kuvataan aaltofunktiolla.

\Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+\ldots +{c}_{N}{\Psi }_{N }=\sum _{n=1}^{N}{c}_{n}{\Psi }_{n}

Tällaisessa tilassa kertoimen moduulin neliö määrittää todennäköisyyden, että järjestelmä löytyy mitattuna aaltofunktion kuvaamassa tilassa . ${c}_{n}$ ${\displaystyle {\Psi }_{n))$

Siksi normalisoiduille aaltofunktioille . $\sum _{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}=1$

Aaltofunktion säännöllisyysehdot

Aaltofunktion todennäköisyysmerkitys asettaa tiettyjä rajoituksia tai ehtoja aaltofunktioille kvanttimekaniikan ongelmissa. Näitä vakioehtoja kutsutaan usein aaltofunktion säännöllisyysehdoiksi.

Aaltofunktion äärellisyyden ehto. Aaltofunktio ei voi ottaa äärettömiä arvoja siten, että integraali muuttuu divergentiksi. Siksi tämä ehto edellyttää, että aaltofunktio on neliöintegroitava funktio, eli se kuuluu Hilbert-avaruuteen . Erityisesti normalisoidun aaltofunktion ongelmissa aaltofunktion neliömoduulin täytyy pyrkiä nollaan äärettömyyteen. $(yksi)$ $L^{2}$
Edellytys aaltofunktion ainutlaatuisuudelle. Aaltofunktion on oltava yksiselitteinen koordinaattien ja ajan funktio, koska hiukkasten havaitsemisen todennäköisyystiheys on määritettävä yksiselitteisesti jokaisessa tehtävässä. Ongelmissa, joissa käytetään lieriömäistä tai pallomaista koordinaattijärjestelmää, ainutlaatuisuusehto johtaa kulmamuuttujien aaltofunktioiden jaksoittaisuuteen.
Aaltotoiminnon jatkuvuusehto. Kulloinkin aaltofunktion on oltava avaruuden koordinaattien jatkuva funktio. Lisäksi aaltofunktion , , osittaisten derivaattojen on myös oltava jatkuvia . Nämä funktioiden osittaiset derivaatat vain harvoissa idealisoitujen voimakenttien ongelmissa voivat sietää epäjatkuvuutta niissä avaruuden pisteissä, joissa hiukkasen liikkuvaa voimakenttää kuvaava potentiaalienergia kokee toisen tyyppisen epäjatkuvuuden . ${\frac {\partial \Psi }{\partial x))$ ${\frac {\partial \Psi }{\partial y))$ ${\frac {\partial \Psi }{\partial z))$

Aaltofunktio eri esityksissä

Koordinaattijoukko, joka toimii argumentteina funktiolle, on täydellinen työmatkahavainnon järjestelmä . Kvanttimekaniikassa on mahdollista valita useita täydellisiä havaintoja, jolloin saman tilan aaltofunktio voidaan kirjoittaa eri argumenteista. Aaltofunktion tallentamiseen valitut suureet määräävät aaltofunktion esityksen . Joten koordinaattiesitys, liikemäärän esitys ovat mahdollisia, kvanttikenttäteoriassa käytetään toista kvantisointia ja täyttölukuesitystä tai Fock-esitystä jne.

Jos esimerkiksi atomin elektronin aaltofunktio on annettu koordinaattiesityksessä , niin aaltofunktion moduulin neliö on todennäköisyystiheys löytää elektroni tietystä pisteestä avaruudessa. Jos sama aaltofunktio on annettu impulssiesityksessä , niin sen moduulin neliö on todennäköisyystiheys havaita yksi tai toinen impulssi .

Matriisi- ja vektoriformulaatiot

Saman tilan aaltofunktio eri esityksissä vastaa saman vektorin ilmaisua eri koordinaattijärjestelmissä. Myös muilla operaatioilla aaltofunktioilla on analogeja vektorien kielellä. Aaltomekaniikassa käytetään esitystä, jossa psi-funktion argumentit ovat täydellinen järjestelmä jatkuvista työmatkahavainnoista, ja matriisimekaniikassa esitystapaa käytetään, jossa psi-funktion argumentit ovat täydellinen järjestelmä diskreettejä työmatkahavaintoja. Siksi funktionaaliset (aalto-) ja matriisiformulaatiot ovat ilmeisesti matemaattisesti ekvivalentteja.

Sekaisten kvanttitilojen kuvaus

Aaltofunktio on menetelmä kvanttimekaanisen järjestelmän puhtaan tilan kuvaamiseen. Sekakvanttitilat ( kvanttitilastoissa ) tulisi kuvata käyttämällä tiheysmatriisia .

Koordinaattien ja liikemäärän esitykset

Koordinaattien funktiona esitettyä aaltofunktiota kutsutaan koordinaatistossa aaltofunktioksi [ 26] . $\psi =\psi ({\vec {r)))$

Mitä tahansa koordinaattiesityksen aaltofunktiota voidaan laajentaa sen liikemäärä-operaattorin ominaisfunktioiden suhteen :

\psi _{\vec {p}}={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}e^{{\frac {i}{\hbar }} {\vec {p}}{\vec {r}}}

Tuloksena saamme käänteisen Fourier-muunnoksen :

\psi ({\vec {r)))=\int a({\vec {p)))\psi _{\vec {p))({\vec {r)))d^{3 }p={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\int a({\vec {p}})e^{{\frac {i}{\hbar } }{\vec {p}}{\vec {r}}}d^{3}p

missä ${\displaystyle d^{3}p=dp_{x}dp_{y}dp_{z))$

Laajennuskertoimet ovat yhtä suuria kuin Fourier-muunnos $a({\vec {p)))$

a({\vec {p)))=\int \psi ({\vec {r)))\psi _{\vec {p}}^{*}({\vec {r}}) dV={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2))}\int \psi ({\vec {r)))e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}{\vec {r}}}d^{3}V

Funktiota kutsutaan liikemäärän esityksessä hiukkasen aaltofunktioksi , koska on mahdollista, että hiukkasen liikemäärällä on arvoja välillä [27] . $a({\vec {p)))$ $|a({\vec {p)))|^{2}d^{3}p$ $d^{3}p$

Aaltofunktiot ja toiminnalliset tilat

Aaltofunktioiden keskustelussa käytetään luonnollisesti funktioavaruuksien käsitettä . Funktionavaruus on kokoelma funktioita, joilla on yleensä tietyt määrittävät funktiovaatimukset (tässä tapauksessa ne ovat neliöintegroitavia ), joskus joukossa on tietty algebrallinen rakenne (tässä tapauksessa vektoriavaruusrakenne , jossa on sisätulo ) sekä topologia sarjassa. Jälkimmäistä käytetään tässä harvoin, se tarvitaan vain saadakseen tarkka määritelmä siitä, mitä funktioavaruuden suljettu osajoukko tarkoittaa. Jäljempänä päätellään, että aaltofunktioiden funktioavaruus on Hilbert-avaruus . Tämä havainto on kvanttimekaniikan vallitsevan matemaattisen muotoilun perusta.

Vektoritilan rakenne

Aaltofunktiota toiminnallisen tilan elementtinä luonnehtivat osittain seuraavat konkreettiset ja abstraktit kuvaukset.

Schrödingerin yhtälö on lineaarinen. Tämä tarkoittaa, että sen ratkaisut, aaltofunktiot, voidaan lisätä ja kertoa skalaareilla uuden ratkaisun saamiseksi. Schrödingerin yhtälön ratkaisujoukko on vektoriavaruus.
Kvanttimekaniikan superpositioperiaate. Jos Ψ ja Φ ovat kaksi tilaa kvanttimekaanisen järjestelmän abstraktissa tilaavaruudessa ja a ja b ovat mitkä tahansa kaksi kompleksilukua, niin a Ψ + b Φ on kelvollinen tila. Se, pidetäänkö nollavektoria kelvollisena tilana ("ei ole järjestelmää"), on määrittelykysymys. Nollavektori ei suinkaan kuvaa tyhjiötilaa kvanttikenttäteoriassa. Sallittujen tilojen joukko on vektoriavaruus.

Tämä samankaltaisuus ei ole sattumaa. Huomioi myös tilojen väliset erot.

Näkymät

Perustiloja luonnehtii joukko kvanttilukuja. Tämä on työmatkahavainnon enimmäisjoukon ominaisarvojen joukko . Fyysisiä havaintoja edustavat lineaariset operaattorit, joita kutsutaan myös havainnoitaviksi, vektoreiden avaruudessa. Maksimaalisuus tarkoittaa, että muita algebrallisesti riippumattomia havaintoja, jotka liikkuvat olemassa olevien kanssa, ei voida lisätä tällaiseen joukkoon. Tällaisen joukon valintaa voidaan kutsua esityksen valinnaksi .

Kvanttimekaniikassa oletetaan, että järjestelmän fyysisesti havaittavissa olevaa suuretta, kuten asemaa, liikemäärää tai spiniä, edustaa lineaarinen hermiittinen operaattori tilaavaruudessa . Mahdollisia tämän suuren mittaustuloksia ovat operaattorin ominaisarvot [17] . Syvemmällä tasolla useimmat havainnot, ehkä kaikki, syntyvät symmetrioiden generaattoreina [17] [28] [nb 1] .
Fysikaalinen tulkinta on, että tällainen joukko edustaa jotain, joka voidaan teoriassa mitata samanaikaisesti mielivaltaisella tarkkuudella. Heisenbergin epävarmuussuhde kieltää kahden ei-työmatkahavainnon samanaikaisen tarkan mittauksen.
Sarja ei ole ainutlaatuinen. Yksipartikkelijärjestelmässä tämä voisi olla z - projektio ( x , S z ) y - projektio ( p , Sy ) . Tässä tapauksessa sijaintia vastaava operaattori (koordinaattiesityksen kertolaskuoperaattori ) ja liikemäärää vastaava operaattori ( differentiaalioperaattori koordinaattiesituksessa) eivät kommutoi.
Kun esitys on valittu, epäselvyys säilyy. On vielä valittava koordinaattijärjestelmä. Tämä voi esimerkiksi vastata x- , y- ja z - akselien valintaa tai kaarevien koordinaattien valintaa, kuten esimerkki pallokoordinaateista , joita käytetään vetyatomien aaltofunktioille. Tämä lopullinen valinta vahvistaa myös perustan abstraktiin Hilbert-tilaan. Perustilat on merkitty kvanttiluvuilla, jotka vastaavat työmatkahavainnon maksimijoukkoa ja vastaavaa koordinaattijärjestelmää [nb 2] .

Abstraktit tilat ovat "abstrakteja" vain siinä mielessä, että tietyn eksplisiittisen kuvauksen edellyttämää mielivaltaista valintaa ei anneta. Tai toisin sanoen, työmatkahavainnon maksimijoukon valintaa ei annettu. Mikä on analoginen vektoriavaruuden kanssa ilman annettua kantaa. Näin ollen kvanttitilaa vastaavat aaltofunktiot eivät ole ainutlaatuisia. Tämä epäselvyys heijastaa epäselvyyttä työmatkahavainnon maksimijoukon valinnassa. Yhdelle hiukkaselle, jolla on spin yhdessä ulottuvuudessa, kaksi aaltofunktiota Ψ( x , S z ) ja Ψ( p , Sy ) vastaavat tiettyä tilaa , ne molemmat kuvaavat samaa tilaa.

Jokaiselle abstraktin tilaavaruuden työmatkahavainnon maksimijoukon valinnalle on vastaava esitys, joka liittyy aaltofunktioiden funktioavaruuteen.
Kaikkien näiden erilaisten funktionaalisten tilojen ja abstraktin tila-avaruuden välillä on yksi yhteen vastaavuus (normalisaatiota ja havaitsemattomia vaihetekijöitä ei tässä oteta huomioon), ja yhteinen nimittäjä tässä on tietty abstrakti tila. Esimerkiksi samaa tilaa kuvaavien impulssi- ja koordinaattiaaltofunktioiden välinen yhteys antaa Fourier-muunnoksen .

Jokaisen esitystavan valinnan tulee katsoa määrittelevän ainutlaatuisen toiminnallisen tilan, jossa tätä esitysvalintaa vastaavat aaltofunktiot määritellään. Tämä ero säilyy parhaiten, vaikka voitaisiin väittää, että kaksi tällaista funktioavaruutta ovat matemaattisesti yhtä suuret, kuten ne ovat neliöintegroitavien funktioiden joukko. Voidaan sitten ajatella funktiotiloja tämän joukon kahtena eri kopiona.

Sisätuote

On olemassa lisäksi algebrallinen rakenne aaltofunktioiden vektoriavaruuksille ja abstraktille tilaavaruudelle.

Fyysisesti erilaiset aaltofunktiot tulkitaan osittain päällekkäisiksi. Tilassa Ψ olevaa järjestelmää, joka ei mene päällekkäin tilan Φ kanssa, ei löydy tilassa Φ mitattuna. Mutta jos Φ 1 , Φ 2 , … menevät jossain määrin päällekkäin Ψ :n kanssa, on mahdollista, että Ψ :n kuvaama järjestelmän mittaus löytyy tiloista Φ 1 , Φ 2 , … Valintasääntöjä noudatetaan myös . Ne on yleensä muotoiltu tiettyjen kvanttilukujen säilymisen kannalta. Tämä tarkoittaa, että tiettyjä joistakin näkökulmista sallittuja prosesseja (esim. energian ja liikemäärän säilyminen) ei tapahdu, koska alku- ja lopullinen kokonaisaaltofunktio eivät mene päällekkäin.
Matemaattisesti käy ilmi, että Schrödingerin yhtälön ratkaisut tietyille potentiaalille ovat jotenkin ortogonaalisia , tätä kuvaa yleensä integraali

\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},

missä m , n ovat indeksejä (kvanttilukuja), jotka osoittavat erilaisia ratkaisuja, tiukasti positiivista funktiota w kutsutaan painofunktioksi ja δ mn on Kronecker-symboli . Integrointi suoritetaan koko vastaavan tilan yli.

Tämä motivoi sisätulon lisäämistä abstraktien kvanttitilojen vektoriavaruuteen, mikä on yhdenmukainen edellä esitettyjen matemaattisten tulosten kanssa, kun siirrytään esitykseen. Se merkitään (Ψ, Φ) tai bra- ja ket -merkinnöillä . Mikä antaa kompleksiluvun. Sisätuotteella funktiotila on esi-Hilbert-avaruus . Sisätulon eksplisiittinen muoto (yleensä integraali tai integraalien summa) riippuu esitystavan valinnasta, mutta kompleksiluku (Ψ, Φ) ei. Suuri osa kvanttimekaniikan fysikaalisesta tulkinnasta tulee Bornin säännöstä . Se sanoo, että havaitsemisen todennäköisyys p mitattaessa tilaa Φ , koska järjestelmä on tilassa Ψ , on $\langle \Psi |\Phi \rangle$

p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},

missä Φ ja Ψ oletetaan olevan normalisoituja. Harkitse sirontakoetta . Jos kvanttikenttäteoriassa Φ out kuvaa tilaa "kaukaisessa tulevaisuudessa" ("lähtöaalto") sirottavien hiukkasten välisten vuorovaikutusten päätyttyä, ja Ψ in on tuleva aalto "kaukaisessa menneisyydessä", niin suuret ( Φ out , Ψ in ) , jossa Φ out ja Ψ in vaihtelevat koko saapuvien ja lähtevien aaltojen joukossa, vastaavasti, joita kutsutaan S-matriisiksi tai sirontamatriisiksi . Tämän tietäminen tarkoittaa pohjimmiltaan käsillä olevan ongelman ratkaisemista, ainakin mitä tulee ennusteisiin. Mitattavat suureet, kuten vaimenemisnopeus ja sironnan poikkileikkaukset , lasketaan S-matriisin avulla [29] .

Hilbert space

Yllä olevat tulokset heijastavat funktioavaruuksien olemusta, joiden elementit ovat aaltofunktioita. Kuvaus ei kuitenkaan ole vielä valmis. Funktioavaruudelle on toinenkin tekninen vaatimus, nimittäin täydellisyysvaatimus , jonka avulla voidaan ottaa funktioavaruuden sekvenssien rajat ja taata, että jos raja on olemassa, se on funktioavaruuden elementti. Täydellistä esi-Hilbert-avaruutta kutsutaan Hilbert-avaruudeksi . Täydellisyysominaisuus on ratkaiseva kvanttimekaniikan edistyneille lähestymistavoille ja sovelluksille. Esimerkiksi projektiooperaattoreiden olemassaolo tai riippuu tilan täydellisyydestä [30] . Nämä projektiooperaattorit ovat puolestaan välttämättömiä monien hyödyllisten lauseiden, kuten spektrilauseen , muotoiluun ja todistukseen . Tämä ei ole kovin tärkeää kvanttimekaniikan johdanto-osan kannalta, ja tekniset yksityiskohdat ja viittaukset löytyvät alaviitteistä, kuten seuraavista [nb 3] . Avaruus L 2 on Hilbert-avaruus, jonka skalaaritulo esitetään alla. Kuvan esimerkin funktioavaruus on L 2 :n aliavaruus . Hilbert-avaruuden aliavaruutta kutsutaan Hilbert-avaruudeksi, jos se on suljettu.

Siten joukko kaikkia mahdollisia normalisoituja aaltofunktioita järjestelmälle, jossa on tietty kantavalinna, yhdessä nollavektorin kanssa muodostaa Hilbert-avaruuden.

Kaikki kiinnostavat funktiot eivät ole jonkin Hilbert-avaruuden elementtejä, esimerkiksi L 2 . Silmiinpistävin esimerkki on joukko funktioita e 2 πi p · x ⁄ h . Nämä tasoaallot ovat Schrödingerin yhtälön ratkaisuja vapaalle hiukkaselle, mutta ne eivät ole normalisoituja, joten ne eivät kuulu L 2 :een . Mutta siitä huolimatta ne ovat perustavanlaatuisia kvanttimekaniikan kuvauksessa. Niitä voidaan käyttää aaltopakettien avulla normalisoitavien funktioiden ilmaisemiseen . Tietyssä mielessä ne ovat perusta (mutta ei Hilbert-avaruuskanta eikä Hamel -kanta ), jolla kiinnostavat aaltofunktiot voidaan ilmaista. On myös toinen kuvaus: "normalisointi deltafunktioon", jota käytetään usein merkinnän helpottamiseksi, katso alla. Deltafunktiot itsessään eivät myöskään ole neliöintegroitavia.

Yllä oleva kuvaus aaltofunktiot sisältävästä funktioavaruudesta on pääosin matemaattisesti motivoitunut. Toiminnalliset tilat ovat tietyssä mielessä täydellisyytensä vuoksi erittäin suuria . Kaikki toiminnot eivät ole minkään fyysisen järjestelmän realistisia kuvauksia. Esimerkiksi funktioavaruudesta L 2 löytyy funktio, joka saa arvon 0 kaikille rationaaliluvuille ja -i irrationaalisille luvuille [0, 1] . Tämä funktio on neliöintegroitavissa [nb 4] , mutta se tuskin edustaa fyysistä tilaa.

General Hilbert spaces

Vaikka päätösavaruus on yleensä Hilbert-avaruus, on monia muita Hilbert-avaruuksia.

Neliöintegroitavat kompleksiarvoiset funktiot välillä [0, 2 π ] . Joukko { e int /2 π , n ∈ ℤ } on Hilbert-avaruuden kanta, eli maksimaalinen ortonormaalijoukko.
Fourier - muunnos muuntaa funktiot yllä olevasta avaruudesta elementeiksi l 2 (ℤ) , neliön summattavien funktioiden avaruuteen ℤ → ℂ . Viimeinen avaruus on Hilbert-avaruus, ja Fourier-muunnos määrittelee Hilbert-avaruuksien isomorfismin [nb 5] . Sen kanta on { e i , i ∈ ℤ} missä e i ( j ) = δ ij , i , j ∈ ℤ .
Yksinkertaisin esimerkki rajatuista polynomeista on neliöintegroitavien funktioiden avaruus välillä [–1, 1] , jolle Legendren polynomit ovat Hilbert-avaruuskanta (täydellinen ortonormaalijoukko).
Neliön muotoiset integroitavat funktiot yksikköpallolla S 2 muodostavat Hilbert-avaruuden. Kantafunktiot ovat tässä tapauksessa pallomaiset harmoniset . Legendren polynomit ovat osa pallomaisia harmonisia. Useimmilla kiertosymmetrian ongelmilla on "sama" (tunnettu) ratkaisu tämän symmetrian suhteen, joten alkuperäinen ongelma pelkistetään alemman ulottuvuuden ongelmaksi.
Vastaavat Laguerren polynomit esiintyvät vedyn aaltofunktioiden ongelmassa pallomaisten harmonisten valinnan jälkeen. Ne kattavat neliöintegroitavien funktioiden Hilbert-avaruuden puoliäärettömällä intervallilla [0, ∞) .

Yleisemmin voidaan tarkastella kaikkia toisen asteen Sturm-Liouville- yhtälöiden polynomiratkaisuja Hilbert-avaruuden kontekstissa. Näitä ovat Legendren ja Laguerren polynomit sekä Chebyshev-polynomit, Jacobi-polynomit ja Hermite-polynomit . Ne syntyvät itse asiassa fyysisissä ongelmissa, jälkimmäinen harmonisessa oskillaattorissa , ja mikä muuten on erikoistoimintojen ominaisuuksien sotkuinen labyrintti, näyttää olevan orgaaninen kuva. Katso tätä varten Byron & Fuller (1992 , luku 5).

On myös äärellisulotteisia Hilbert-avaruuksia. Avaruus ℂ n on Hilbertin avaruus, jonka ulottuvuus on n . Sisätuote on näiden tilojen vakiosisätuote. Se sisältää yhden hiukkasen aaltofunktion "spin-osan".

Elektronin ei-relativistisella kuvauksella n = 2 ja kokonaisaaltofunktio on ratkaisu Paulin yhtälöön .
Vastaavassa relativistisessa tulkinnassa n = 4 ja aaltofunktio on ratkaisu Dirac-yhtälöön .

Kun hiukkasia on paljon, tilanne on monimutkaisempi. On tarpeen käyttää tensorituloja ja mukana olevien symmetriaryhmien ( vastaavasti rotaatioryhmät ja Lorentz-ryhmät) esitysteoriaa . Lisää vaikeuksia syntyy relativistisessa tapauksessa, jos hiukkaset eivät ole vapaita [31] . Katso Bethe-Salpeterin yhtälö . Asiaankuuluvat huomautukset viittaavat isospinin käsitteeseen , jonka symmetriaryhmä on SU (2) . 60-luvun ydinvoimamalleissa (jotka ovat edelleen käytössä, katso ydinvoimat ) käytettiin SU(3) -symmetriaryhmää . Tässäkin tapauksessa sisäisiä symmetrioita vastaava osa aaltofunktioista on jossain ℂ n tai tällaisten avaruuksien tensoritulojen aliavaruuksissa.

Kvanttikenttäteoriassa Hilbertin pääavaruus on Fock-avaruus . Se on rakennettu valitun esityksen vapaista yhden hiukkasen tiloista eli aaltofunktioista, ja se voi mukauttaa minkä tahansa äärellisen, ei välttämättä aikavakion määrän hiukkasia. Mielenkiintoinen dynamiikka ei piile aaltofunktioissa, vaan Fock-avaruuteen vaikuttavissa kenttäoperaattoreissa . Siten Heisenbergin kuva osoittautuu mukavammaksi (vakiotilat, ajassa vaihtelevat operaattorit).

Järjestelmän äärettömän ulottuvuuden vuoksi vastaavat matemaattiset työkalut ovat funktionaalisen analyysin tutkimuskohteita .

Ontologia

Se, onko aaltofunktio todella olemassa ja mitä se edustaa, ovat tärkeimmät kysymykset kvanttimekaniikan tulkinnassa . Monet kuuluisat edellisen sukupolven fyysikot ymmärsivät tätä ongelmaa, kuten Schrödinger , Einstein ja Bohr . Jotkut puoltavat Kööpenhaminan tulkinnan muotoja tai muunnelmia (esim. Bohr, Wigner ja von Neumann ), kun taas toiset, kuten Wheeler tai Jaynes , omaksuvat klassisemman lähestymistavan [32] ja pitävät aaltofunktiota informaation esityksenä. tarkkailijan mieli ovat sitten todellisuustietomme mittareita. Jotkut, mukaan lukien Schrödinger, Bohm, Everett ja muut, ovat väittäneet, että aaltofunktiolla on oltava objektiivinen fyysinen olemassaolo. Einstein uskoi, että fyysisen todellisuuden täydellisen kuvauksen tulisi viitata suoraan fyysiseen tilaan ja aikaan, toisin kuin aaltofunktio, joka viittaa abstraktiin matemaattiseen avaruuteen [33] .

Katso myös

Muistiinpanot

Kommentit

↑ Jotta tämä lause olisi järkevä, havainnoitavien on oltava maksimaalisen työmatkajoukon elementtejä. Esimerkiksi i:nnen hiukkasen liikemääräoperaattori n:n hiukkasen järjestelmässä "ei" on luonteeltaan jonkinlaisen symmetrian generaattori. Toisaalta "kokonaismäärä" on luonnossa symmetriageneraattori; translaatiosymmetria.
↑ Tuloksena oleva kanta voi olla tai ei voi olla matemaattisessa mielessä Hilbert-avaruuksien kanta. Esimerkiksi tilat, joilla on tietty sijainti ja tietty liikemäärä, eivät ole neliöintegroitavia. Tämä voidaan voittaa aaltopakettien avulla tai järjestelmän nyrkkeilyllä. Katso lisätiedot alta.
↑ Teknisesti se on muotoiltu seuraavasti. Sisäinen tuote asettaa normin . Tämä normi puolestaan indusoi metriikan . Jos tämä mittari on valmis , yllä olevat rajat annetaan funktioavaruudessa. Silloin pre-Hilbert-avaruutta kutsutaan täydelliseksi. Täysi sisätuote on Hilbert - tila . Abstraktia tilaavaruutta käsitellään aina Hilbert-avaruudena. Toimitilojen johdonmukaisuuden vaatimus on luonnollinen. Abstraktin tilaavaruuden Hilbert-avaruusominaisuus määriteltiin alun perin havainnosta, että Schrödingerin yhtälön normalisoituja ratkaisuja muodostavat funktioavaruudet ovat Hilbert-avaruuksia.
↑ Kuten seuraavassa alaviitteessä selitetään, integraalia on käsiteltävä Lebesguen integraalina , koska Riemannin integraali on riittämätön.
↑ Conway, 1990 . Tämä tarkoittaa, että sisätulot ja siten normit säilyvät ja että kartoitus on rajoitettu ja siten jatkuva lineaarinen bijektio. Myös täydellisyysominaisuus säilyy. Siten tämä vastaa oikeaa isomorfismin käsitettä Hilbert-avaruuksien kategoriassa .

Lähteet

↑ Syntynyt, 1927 , s. 354-357.
↑ Heisenberg, 1958 , s. 143.
↑ Heisenberg, W. (1927/1985/2009). Heisenbergin on kääntänyt Camilleri, 2009 , ( kirjoituksesta Bohr, 1985 ).
↑ Murdoch, 1987 , s. 43.
↑ de Broglie, 1960 , s. 48.
↑ Landau ja Lifshitz 1977 , s. 6.
↑ Newton, 2002 , s. 19–21.
↑ 1 2 Syntynyt, 1926a , käännetty julkaisussa Wheeler & Zurek, 1983 , sivut 52-55.
↑ 1 2 Syntynyt, 1926b , käännetty Ludwig, 1968 . Myös täällä Arkistoitu 1. joulukuuta 2020 Wayback Machinessa .
↑ Syntynyt, M. (1954).
↑ Einstein, 1905 (saksaksi), Arons & Peppard, 1965 (englanniksi)
↑ Einstein, 1916 , ja lähes identtinen versio Einsteinista, 1917, käännetty ter Haarissa, 1967 .
↑ de Broglie, 1923 , s. 507–510 548 630.
↑ Hanle, 1977 , s. 606–609.
↑ Schrödinger, 1926 , s. 1049–1070.
↑ Tipler, Mosca, Freeman, 2008 .
↑ 1 2 3 Weinberg, 2013 .
↑ Young, Freedman, 2008 , s. 1333.
↑ 12 Atkins , 1974 .
↑ Martin, Shaw, 2008 .
↑ Pauli, 1927 , s. 601-623..
↑ Weinberg (2002 ) on sitä mieltä, että kvanttikenttäteoria näyttää siltä kuin se näyttää, koska se on ainoa tapa sovittaa kvanttimekaniikka ja erityissuhteellisuusteoria.
↑ Weinberg (2002 ) Katso erityisesti luku 5, jossa osa näistä tuloksista on johdettu.
↑ Weinberg, 2002 Luku 4.
↑ Zwiebach, 2009 .
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Kvanttimekaniikka. - M., Nauka, 1972. - s. 29
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Kvanttimekaniikka. - M., Nauka, 1972. - s. 49
↑ Weinberg, 2002 .
↑ Weinberg, 2002 , luku 3.
↑ Conway, 1990 .
↑ Greiner, Reinhardt, 2008 .
↑ Jaynes, 2003 .
↑ Einstein, 1998 , s. 682.

Kirjallisuus

Arons, AB; Peppard, M. B. (1965). "Einsteinin ehdotus fotonikonseptista: käännös Annalen der Physik -paperista vuodelta 1905" (PDF) . American Journal of Physics . 33 (5): 367. Bibcode : 1965AmJPh..33..367A . DOI : 10.1119/1.1971542 .
Atkins, P.W. Quanta: Käsitteiden käsikirja . - 1974. - ISBN 978-0-19-855494-3 .
Bohr, N. Niels Bohr - Kerätyt teokset: Kvanttifysiikan perusteet I (1926 - 1932). - Amsterdam: North Holland, 1985. - Voi. Osa 6. - ISBN 978-044453289-3 .
Syntynyt, M. (1926). "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgange". Z Phys . 37 (12): 863-867. Bibcode : 1926ZPhy...37..863B . doi : 10.1007/ bf01397477 .
Syntynyt, M. (1926). "Quantenmechanik der Stoßvorgange". Z Phys . 38 (11-12): 803-827. Bibcode : 1926ZPhy...38..803B . doi : 10.1007/ bf01397184 .
Syntynyt, M. (1927). "Kvanttimekaniikan fyysiset näkökohdat". luonto . 119 (2992): 354-357. Bibcode : 1927Natur.119..354B . DOI : 10.1038/119354a0 .
Syntynyt M. (11. joulukuuta 1954). "Tilastollisen kvanttimekaniikan tulkinta" . Nobelin luento . Nobelin säätiö . 122 (3172): 675-9. DOI : 10.1126/tiede.122.3172.675 . PMID 17798674 .
de Broglie, L. (1923). "Radiations-Ondes et quanta" [Radiation-Waves and quanta]. Comptes Rendus [ fr. ]. 177 : 507-510, 548, 630. Verkkokopio (ranska) Verkkokopio (englanniksi)
de Broglie, L. Epälineaarinen aaltomekaniikka: kausaalinen tulkinta . - Amsterdam: Elsevier, 1960.
Byron, FW Klassisen ja kvanttifysiikan matematiikka / FW Byron, RW Fuller . - tarkistettu. - Dover Publications , 1992. - ISBN 978-0-486-67164-2 .
Camilleri, K. Heisenberg ja kvanttimekaniikan tulkinta: fyysikko filosofina. - Cambridge UK: Cambridge University Press, 2009. - ISBN 978-0-521-88484-6 .
Conway, JB Funktionaalisen analyysin kurssi. - Springer Verlag , 1990. - Voi. Osa 96. - ISBN 978-0-387-97245-9 .
Dirac, PAM (1939). "Uusi merkintä kvanttimekaniikkaan". Cambridge Philosophical Societyn matemaattiset julkaisut . 35 (3): 416-418. Bibcode : 1939PCPS...35..416D . DOI : 10.1017/S0305004100021162 .
Dirac, PAM Kvanttimekaniikan periaatteet. – 4. - Oxford University Press, 1982. - ISBN 0-19-852011-5 .
Einstein, A. (1905). "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt". Annalen der Physik [ saksa ] ]. 17 (6): 132-148. Bibcode : 1905AnP...322..132E . DOI : 10.1002/andp.19053220607 .
Einstein, A. (1916). Zur Quantentheorie der Strahlung. Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich . 18 :47-62.
Einstein, A. (1917). Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift [ saksa ] ]. 18 :121-128. Bibcode : 1917PhyZ...18..121E .
Einstein, A. Albert Einstein: Filosofi-tieteilijä. – 3. - La Salle Publishing Company, Illinois: Open Court, 1998. - Voi. VII. — ISBN 978-0-87548-133-3 .
Eisberg, R. Atomien, molekyylien, kiinteiden aineiden, ytimien ja hiukkasten kvanttifysiikka / R. Eisberg, R. Resnick. – 2. - John Wiley & Sons, 1985. - ISBN 978-0-471-87373-0 .
Greiner, W. Quantum Electrodynamics / W. Greiner, J. Reinhardt. – 4. - springer, 2008. - ISBN 978-354087560-4 .
Griffiths, DJ Johdatus kvanttimekaniikkaan. – 2. - Essex England: Pearson Education, 2004. - ISBN 978-013111892-8 .
Griffiths, David. Johdatus alkuainehiukkasiin . - Wiley-VCH, 2008. - P. 162ff. — ISBN 978-3-527-40601-2 .
ter Haar, D. Vanha kvanttiteoria . - Pergamon Press , 1967. - S. 167-183 .
Hanle, P. A. (1977), Erwin Schrodingerin reaktio Louis de Broglien kvanttiteoriaa koskevaan väitöskirjaan , Isis osa 68 (4): 606–609 , DOI 10.1086/351880
Heisenberg, W. Fysiikka ja filosofia: modernin tieteen vallankumous . - New York: Harper & Row, 1958.
Jaynes, E. T. Todennäköisyysteoria: Tieteen logiikka. - Cambridge University Press , 2003. - ISBN 978-0-521 59271-0 .
Landau, L.D. Kvanttimekaniikka: ei-relativistinen teoria / L.D. Landau, E.M. Lifshitz . – 3. - Pergamon Press , 1977. - Voi. Voi. 3. - ISBN 978-0-08-020940-1 . online-kopio
Lerner, RG Encyclopaedia of Physics / RG Lerner, GL Trigg. – 2. - VHC Publishers, 1991. - ISBN 978-0-89573-752-6 .
Ludwig, G. Wave Mechanics . - Oxford UK: Pergamon Press, 1968. - ISBN 978-0-08-203204-5 .
Martin, BR Hiukkasfysiikka / BR Martin, G. Shaw. – 3. - John Wiley & Sons, 2008. - ISBN 978-0-470-03294-7 .
Murdoch, D. Niels Bohrin fysiikan filosofia . - Cambridge UK: Cambridge University Press, 1987. - ISBN 978-0-521-33320-7 .
Newton, R. G. Kvanttifysiikka: Teksti jatko-opiskelijoille. - New York: Springer, 2002. - ISBN 978-0-387-95473-8 .
Pauli, Wolfgang (1927). Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. Zeitschrift fur Physik [ saksa ] ]. 43 (9-10): 601-623. Bibcode : 1927ZPhy...43..601P . doi : 10.1007/ bf01397326 .
Peleg, Y. Kvanttimekaniikka / Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur … [ ja muut ] . – 2. - McGraw Hill, 2010. - ISBN 978-0-07-162358-2 .
Rae, A.I.M. Quantum Mechanics . – 5. — Taylor & Francis Group, 2008. — Voi. Osa 2. - ISBN 978-1-5848-89700 .
Schrodinger, E. (1926). "Atomien ja molekyylien mekaniikan aaltoileva teoria" (PDF) . Fyysinen arvostelu . 28 (6): 1049-1070. Bibcode : 1926PhRv...28.1049S . DOI : 10.1103/PhysRev.28.1049 . Arkistoitu alkuperäisestä (PDF) 17. joulukuuta 2008.
Shankar, R. Kvanttimekaniikan periaatteet. – 2. - 1994. - ISBN 978-030644790-7 .
Tipler, PA Fysiikka tutkijoille ja insinööreille – modernin fysiikan kanssa / PA Tipler, G. Mosca, Freeman. – 6. - 2008. - ISBN 978-0-7167-8964-2 .
Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields , voi. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7 , < https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev >
Weinberg, S. (2013), Lectures in Quantum Mechanics , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-02872-2
Wheeler, JA Kvanttiteoria ja mittaus / JA Wheeler, W. H. Zurek . - Princeton NJ: Princeton University Press, 1983.
Young, HD Searsin ja Zemanskyn yliopistofysiikka / HD Young, RA Freedman. – 12. - Addison-Wesley, 2008. - ISBN 978-0-321-50130-1 .
Zettili, N. Kvanttimekaniikka: Käsitteet ja sovellukset. – 2. - 2009. - ISBN 978-0-470-02679-3 .
Zwiebach, Barton. Ensimmäinen kieliteorian kurssi. - Cambridge University Press, 2009. - ISBN 978-0-521-88032-9 .
Fyysinen tietosanakirja / Ch. toim. A. M. Prokhorov. Ed. Kreivi D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov ja muut - M .: Sov. Encyclopedia, 1984. - 944 s.
Yong-Ki Kim. Käytännön atomifysiikka (neopr.) // National Institute of Standards and Technology. - 2000. - 2. syyskuuta. - S. 1 (55 sivua) . Arkistoitu alkuperäisestä 22. heinäkuuta 2011.
Polkinghorne, John . Kvanttiteoriaerittäin lyhyt johdanto . - Oxford University Press , 2002. - ISBN 978-0-19-280252-1 .

Linkit

Kvanttimekaniikka - artikkeli Great Soviet Encyclopediasta .
Fyysinen tietosanakirja: kvanttimekaniikka"

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Britannica (verkossa) Britannica (verkossa)

Mekaniikan osat
klassinen mekaniikka Erityinen suhteellisuusteoria Teoreettinen mekaniikka Yleinen suhteellisuusteoria Relativistinen mekaniikka Kvanttimekaniikka
Jatkuva mekaniikka	Hydrostatiikka Hydrodynamiikka Aeromekaniikka Aerostatiikka kaasun dynamiikkaa Elastisuuden teoria Plastisuuden teoria Kiinteiden aineiden murtumismekaniikka Reologia
teorioita	Värähtelyteoria Kestävyyden teoria
sovellettua mekaniikkaa	Materiaalinen kestävyys Mekanismien ja koneiden teoria Koneen osat Rakennemekaniikka Hydrauliikka Mekatroniikka Taivaan mekaniikka Optomekatroniikka