Jatkuvuusyhtälöt ovat (vahva) paikallinen säilymislakien muoto . Seuraavat ovat esimerkkejä jatkuvuusyhtälöistä, jotka ilmaisevat saman ajatuksen jatkuvasta muutoksesta tietyssä suuressa.
Yleisen jatkuvuusyhtälön differentiaalimuoto on:
|
missä
- eroavuus , - määrän määrä tilavuusyksikköä kohti (määrän tiheys ), - aika, on määrävuon tiheys (katso alla), - lisäys tilavuusyksikköä kohti aikayksikköä kohti. Jäseniä, jotka lisäävät ( ) tai poistavat ( ) , kutsutaan "lähteiksi" ja "nieluiksi".Tätä yleistä yhtälöä voidaan käyttää minkä tahansa jatkuvuusyhtälön johtamiseen yksinkertaisesta jatkuvuusyhtälöstä Navier-Stokesin yhtälöön.
Jos on säilynyt määrä , jota ei voida luoda tai tuhota (esimerkiksi energia ), niin , ja jatkuvuusyhtälö saa muodon
Sähködynamiikassa jatkuvuusyhtälö johdetaan Maxwellin yhtälöistä . Siinä todetaan, että virrantiheyden ero on yhtä suuri kuin varaustiheyden muutos miinusmerkillä,
Ampèren laki sanoo:
Kun otetaan poikkeama lausekkeen molemmista osista, saamme
mutta roottorin hajonta on siis nolla
Gaussin lauseen mukaan
Korvaamalla tämän lausekkeen edelliseen yhtälöön, saamme halutun jatkuvuusyhtälön.
Virran tiheys on varausten liikettä. Jatkuvuusyhtälössä todetaan, että jos varaus poistuu differentiaalitilavuudesta (eli virrantiheyden ero on positiivinen), tilavuuden sisällä oleva varaus pienenee. Tässä tapauksessa varaustiheyden lisäys on negatiivinen.
Aaltoteoriassa jatkuvuusyhtälö ilmaisee energian säilymisen lain alkuainetilavuudessa, jossa minkä tahansa luonteiset aallot etenevät. Sen erilainen muoto
missä on energiavuon tiheysvektori pisteessä, jonka koordinaatit ovat ajanhetkellä , on energiatiheys.
Määritelmän mukaan energiavuon tiheysvektori on vektori, jonka moduuli on yhtä suuri kuin energian siirtosuuntaan kohtisuorassa olevan pinta-alan yksikköyksikön läpi aikayksikköä kohden siirtyvä energia eli , ja sen suunta on sama kuin energiansiirron suunta. Sitten aikayksikköä kohti virtaava energia jostain makroskooppisesta tilavuudesta V,
Energian säilymislain mukaan , missä on tilavuuden V sisältämä energia . Määritelmän mukaan energiatiheys on tilavuusyksikön energia, jolloin tietyn tilavuuden sisältämä kokonaisenergia on yhtä suuri kuin
Sitten energiavirran lauseke saa muodon
Kun Gauss-Ostrogradsky-kaavaa käytetään lausekkeen vasemmalle puolelle, saadaan
Valitun tilavuuden mielivaltaisuudesta johtuen päätämme, että integrandit ovat yhtä suuret, mistä saadaan jatkuvuusyhtälön differentiaalimuoto.
Hydrodynaamisessa kirjallisuudessa esimerkiksi Zhukovskin [1] , Chaplyginin [2] , Kochinin [3] , Loitsjanskin [4] teoksissa massan säilymisen lakia ilmaisevaa yhtälöä kutsutaan jatkuvuusyhtälöksi ( jatkuvuusehto ) . , kun taas fysikaalisessa kirjallisuudessa esimerkiksi Landau ja Lifshitz [5] , Zel'dovich ja Raiser [6] , Feynmanin kurssin venäjänkielisessä käännöksessä [7] , käytetään termiä jatkuvuusyhtälö . Vanhassa kirjallisuudessa oli myös jatkuvuusyhtälön nimi [8] . Kaikki kolme nimeä ovat erilaisia käännöksiä Eulerin [9] esittämästä yhtälön nimestä Länsi-Euroopan kielillä ( englanniksi jatkuvuusyhtälö , ranskalainen équation de continuité ja vastaavat).
Yhtälö ilmaisee massan säilymisen lain alkuainetilavuudessa, eli nesteen tai kaasun massavirran spatiaalisen muutoksen ja tiheyden muutosnopeuden välisen suhteen ajan kuluessa. Sen erilainen muoto
missä on nesteen (tai kaasun) tiheys, on nesteen (tai kaasun) nopeusvektori pisteessä koordinaattein ajanhetkellä .
Vektoria kutsutaan nesteen virtaustiheydeksi . Sen suunta on sama kuin nestevirtauksen suunta, ja itseisarvo määrittää nopeusvektoriin nähden kohtisuorassa olevan yksikköalueen läpi aikayksikköä kohti virtaavan aineen määrän.
Homogeenisille kokoonpuristumattomille nesteille . Siksi yhtälöstä tulee
josta seuraa nopeuskentän solenoiditeetti .
Kanavissa oleville virtauksille (virtaukset putkissa, verisuonissa jne.) jatkuvuusyhtälö voidaan kirjoittaa kanavan poikkileikkauksen keskiarvoina . Esimerkiksi virtaukselle kanavassa, jonka poikkileikkausalan tunnettu riippuvuus kanavan koordinaatista , (likimääräinen) jatkuvuusyhtälö on muotoa
missä ja ovat tiheyden keskiarvot ja nopeuden aksiaalinen projektio poikkileikkauksen yli. Tässä oletetaan, että kanavan poikkileikkauspinta-ala muuttuu melko hitaasti (ns. hydraulinen approksimaatio ), mikä mahdollistaa yhtälöä johdettaessa korvata tuotteen keskiarvon keskiarvojen tuotteella. Erityisessä paikallaan olevan virtauksen tapauksessa tämä antaa jatkuvuusyhtälön muodossa
jolla on ilmeinen fyysinen merkitys massavirran vakiona, ja kun kyseessä on väliaine, jolla on vakiotiheys, yhtälö
ilmaisee tilavuusvirtauksen pysyvyyttä.
Samankaltaisessa rakenteessa on jatkuvuusyhtälö vapaapintaisten kanavien virtauksille, jota käytetään laajasti hydrauliikassa kuvaamaan kanavavirtoja (virrat joissa, kanavissa jne., mutavirtojen liikettä, lumivyöryjä jne.), kuvaamaan virtauksia elokuvissa jne. Yksinkertaisimmassa tapauksessa nestevirtauksen vakiotiheydellä kanavassa, jonka poikkileikkaus on suorakaiteen muotoinen, tarkka jatkuvuusyhtälö (jota joskus kutsutaan Saint-Venant-yhtälöksi ) on muotoa
missä on nesteen syvyys, on nesteen keskimääräinen nopeus poikkileikkauksen yli.
Muotoutuvan kiinteän kappaleen mekaniikassa on usein kätevää kirjoittaa jatkuvuusyhtälö materiaalihiukkasen alku- ja lopputiheyden välisen yhteyden muodossa [10] . Esimerkiksi pienten venymien tapauksessa jatkuvuusyhtälöllä on muoto
missä , ovat materiaalihiukkasen alku- ja lopputiheydet, vastaavasti, ja on siirtymävektori (pienien siirtymien ja muodonmuutosten tapauksessa poikkeama voidaan ottaa samalla tarkkuudella sekä Eulerin että Lagrangin muuttujissa).
Jatkuvuusyhtälöllä on universaali luonne ja se pätee mille tahansa jatkuvalle väliaineelle (riippumatta sen reologiasta ). Jatkuvuusyhtälöstä on yleistykset monivaiheisten [11] ja monikomponenttisten [10] jatkuvien välineiden liikkeille.
Erikoistapauksissa, esimerkiksi kokoonpuristumattoman nesteen akselisymmetrisille virtauksille, jatkuvuusyhtälön ( osittaisdifferentiaaliyhtälön muodossa ) sai ensimmäisenä d'Alembert , yleisessä muodossa Euler 1750-luvulla. Castelli julkaisi jatkuvuusyhtälön ensimmäisen kerran 1600-luvun ensimmäisellä puoliskolla [12] , joka ilmaisee (puristumattoman nesteen tapauksessa) virtausputkea pitkin kulkevan tilavuusvirran vakion .
Ei-relativistisessa kvanttimekaniikassa todennäköisyyden säilyminen johtaa myös jatkuvuusyhtälöön . Olkoon todennäköisyystiheys , niin yhtälö kirjoitetaan muotoon
missä on todennäköisyysvirta .
Matemaattinen fysiikka | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Yhtälöiden tyypit | |||||||||||
Yhtälötyypit | |||||||||||
Reunaehdot | |||||||||||
Matemaattisen fysiikan yhtälöt |
| ||||||||||
Ratkaisumenetelmät |
| ||||||||||
Yhtälötutkimus | |||||||||||
liittyvät aiheet |