Äärillisen tyypin invariantti
Äärillisen tyypin invariantti (tai Vasiliev-invariantti ) on solmuinvarianttien luokka , jolle on ominaista tietty suhde singulaarisolmun kaikkiin resoluutioihin tietyllä määrällä itseleikkauksia.
Määritelmä
Olkoon solmujen invariantti, jonka arvot ovat todellisia lukuja, eli jokaiselle solmulle on määritetty reaaliluku siten, että jos solmut ja ovat isotooppisia.
Harkitse tasaista solmukaaviota ja valitse sen leikkauspisteiden osajoukko, joka koostuu elementeistä. Numeroidaan nämä risteykset välillä 1 - .
Joukkoon , jossa tarkastellaan kaaviota , joka on saatu muuttamalla leikkauspisteitä seuraavan säännön mukaan: jos , niin -: s leikkaus ei muutu, ja jos , niin se muuttuu vastakkaiseksi.
![{\displaystyle D[\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28424e0dd1fdbb29a0253eafd175ded60634aa2)
Antaa olla ei-negatiivinen kokonaisluku. Jos minkä tahansa kaavion ja minkä tahansa risteysvalinnan identiteetti
![{\displaystyle \sum _{(\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m})}\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{m}\cdot f(D[\varepsilon _{ 1},\pisteet ,\varepsilon _{m}])=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4a8a1b150af793d899f6cfc983299091357200)
sitten he sanovat, että sen tutkinto ei ole korkeampi kuin .
Äärellisen asteen invariantteja kutsutaan äärellistyypin invarianteiksi .
Esimerkkejä
- Kaikki tunnetut polynomisolmuinvariantit ilmaistaan äärellistyyppisinä invarianteina.
- Alexanderin polynomin neliötermin kerroin on äärellisen tyyppinen kakkosasteen invariantti.
- Mikä tahansa kerroin Kontsevich-integraalissa on äärellisen tyyppinen invariantti.
Ominaisuudet
- Ei korkeamman asteen invariantit muodostavat vektoriavaruuden . Jossa
- ja ovat yksiulotteisia, eli invariantit, joiden aste ei ole korkeampi, ovat vain vakioita.
Avoimet kysymykset
- Muodostavatko äärelliset invariantit täydellisen invarianttien järjestelmän? Eli onko totta, että jos kaksi solmua eivät ole isotooppisia, niin on olemassa äärellisen tyypin invariantti , joka ?
Historia
Vasiliev ja Gusarov [1] ehdottivat itsenäisesti äärellisiä solmuinvariantteja 1980-luvun lopulla. Vasiliev omistaa ensimmäiset julkaisut tästä aiheesta (1990), [1] Gusarov puhui Rokhlinin seminaarissa vuonna 1987, ja ensimmäinen julkaisu julkaistiin vasta vuonna 1991 [2] .
Vuonna 1992 Arnold piti puheen tästä aiheesta European Mathematical Congressissa . [3] Siitä lähtien termi "Vassiliev invariants" on vakiintunut.
Muistiinpanot
- ↑ V.A. Vassiljev. Solmuvälien kohomologia // Advances in Soviet Math .. - 1990. - T. 1 . - S. 23-69 .
- ↑ M. N. Gusarov. Suuntautuneiden linkkien Conway-Jones-polynomin uusi muoto // Notes of Scientific Seminars POMI. - 1991. - T. 193 .
- ↑ VI Arnold. Vassiljevin teoria diskriminanteista ja solmuista // Ensimmäinen eurooppalainen matemaatikoiden kongressi. - 1992. - T. 1 . — s. 3–29 .
Kirjallisuus
- S. V. Duzhin , S. V. Chmutov Solmut ja niiden invariantit // Matem. valaistuminen, ser. 3 . - 1999. - T. 3 . - S. 59-93 .