Mosaiikki "Villipyörä"

Pinwheel- laatoitus on Charles Radinin suunnittelema ei- jaksollinen laatoitus , joka perustuu John Conwayn rakenteeseen . Mosaiikki oli ensimmäinen ei-jaksollinen mosaiikki, jossa laatat ovat äärettömän monessa eri suunnassa.

Conwayn laatoitus

Antaa olla suorakulmainen kolmio sivuilla Ja . Conway huomasi, että se voidaan jakaa viiteen vastaavaan kopioon kertoimella venytyksen jälkeen . $T$ $yksi$ $2$ ${\sqrt {5}}$ $T$ ${\sqrt {5}}$

Oikealla skaalauksella ja käännöksellä/rotaatiolla tämä toiminto voidaan toistaa, jotta saadaan aikaan loputtomasti kasvava sarja kasvavia kolmioita, jotka koostuvat :n kopioista . Yhdistämällä kaikki nämä kolmiot saadaan mosaiikki koko tasosta identtisillä kopioilla . $T$ $T$

Tässä mosaiikissa kopiot on suunnattu äärettömään määrään eri suuntiin (tämä johtuu siitä, että kulmat ja kolmiot eivät ole oikeassa suhteessa :n kanssa ). Tästä huolimatta kaikilla kolmion kärjillä on rationaaliset koordinaatit. $T$ $\arctan(1/2)$ $\arctan(2)$ $T$ $\pi$

Mosaiikki "Pinwheel"

Radin, luottaen yllä olevaan Conwayn rakenteeseen, ehdotti "piippupyörä"-mosaiikkia. Muodollisesti väylälaatoitus on laatoitus, jonka laatat ovat samankokoisia kopioita kolmiosta ja laatta voi leikata toisen laatan kanssa vain koko sivulta tai puolet sivusta, jonka pituus on , ja seuraavan ominaisuuden on oltava voimassa. Kun otetaan huomioon väkipyörä , on väkipyörä , joka, jos jaamme kaikki laatat viiteen osaan Conwayn rakenteen mukaan ja laajennamme sitten kertoimella , on sama kuin . Toisin sanoen mosaiikkilaatat voidaan ryhmitellä viiteen, jolloin saadaan (geometrisesti) samanlaisia laattoja siten, että nämä suurennetut laatat muodostavat (skaalaukseen asti) uuden "piippupyörän" laatoituksen. $T$ $2$ $P$ $P'$ ${\sqrt {5}}$ $P$

Conwayn suunnittelema mosaiikki on "piippupyörä", mutta muitakin "piippuja" on lukemattomia. Kaikki nämä laatat ovat paikallisesti erottamattomia ( eli niillä on samat päätyalueet). Niillä kaikilla on Conway-laatoituksen kanssa yhteinen ominaisuus, että laatoilla on ääretön määrä erilaisia suuntauksia (ja kärjeillä on rationaaliset koordinaatit).

Radinin osoittama päätulos on, että on olemassa rajallinen (vaikkakin erittäin suuri) joukko niin sanottuja prototiileja, jotka saadaan värjäämällä sivuja . Tällöin tiilipyörälaatoitukset ovat juuri niitä laattoja, jotka saadaan näiden prototiilien (samankokoisista) kopioista sillä ehdolla, että laatat koskettavat vain samoilla väreillä [1] . $T$

Yleistykset

Radin ja Conway ehdottivat 3D-analogia, joka monistaa kupolin laatoituksen [2] [3] .

Saat fraktaalin, jos jaat peräkkäin viiteen identtiseen kolmioon Conwayn konstruktion mukaan ja hylkäät keskimmäisen kolmion ( äärettömään ). Tällä "piippupyörä" -fraktaalilla on Hausdorffin ulottuvuus . $T$ $d={\frac {\ln 4}{\ln {\sqrt {5))))\noin 1,7227$

Käytä arkkitehtuurissa

Australian Federation Squaren rakennuskompleksissa käytetään "piippupyörän" mosaiikkia. Hankkeessa käytettiin mosaiikkeja julkisivun rakenteellisten kehysten luomiseen, jolloin ne voidaan valmistaa tehtaalla ja koota sitten paikan päällä. Mosaiikki perustuu sinkistä, rei'itetystä sinkistä, hiekkakivestä ja lasista valmistettuihin kolmiomaisiin elementteihin, jotka on yhdistetty 4 muuhun osaan alumiinirungolla "paneeliksi". Viisi paneelia asennettiin galvanoidulle teräsrungolle muodostaen "megapaneelin", joka sitten nostettiin ja asennettiin julkisivun kantavaan runkoon. Laattojen pyörimisasento antaa julkisivulle satunnaisemman ilmeen, vaikka koko kokoonpanoprosessi perustuu samankokoisiin esivalmistettuihin laattoihin. Samaa "piippupyörä"-mosaiikkia käytetään "Atriumin" rakentamisessa Federation Squarella, vaikka tässä tapauksessa mosaiikki tehtiin "3-ulotteiseksi" pääsisäänkäynnin rakenteen muodostamiseksi.

Muistiinpanot

↑ Radin, 1994 , s. 661–702.
↑ Radin, Conway, 1998 , s. 179-188.
↑ Sadun, 1998 , s. 79–110.

Kirjallisuus

C. Radin. Lentokoneen pinwheel-laatoitus // Matematiikan Annals . - 1994. - T. 139 , no. 3 (toukokuu) . - doi : 10.2307/2118575 . — .
C. Radin, J. Conway. Quaquaversal laatoitus ja rotaatiot // Inventiones math. - 1998. - Numero. 132 .
L. Sadun. Joitakin yleistyksiä Pinwheel-laatoinnista. - 1998. - T. 20 , no. 1 . - doi : 10.1007/pl00009379 .

Linkit

Pinwheel Tilings Encyclopediassa
Dynaaminen Pinwheel valmistettu GeoGebrassa

geometriset mosaiikit

Jaksottainen

Pythagoraan
Rombinen
Schwartzin kolmio
Suorakulmainen
- Domino
Viisikulmainen
Homogeeninen mosaiikki
Honeycombs
- Väritys
- Kupera
- Jaettu mosaiikki
Tasainen kristallografinen ryhmä
Wythoffin rakentaminen

jaksoton

Ammann-Binker
Ajoittainen sarja mosaiikkilaattoja
- Lista
Yksi laatta haaste
- Sokolara - Taylor
Gilbert
Penrose
väkkärä
Domed
Jakoiset ja itseliimautuvat sarjat
- Sfinksi
Truche

Muut

Ei -isoedrinen ja isohedraalinen
Arkkitehtoninen ja heijastava
Circle Limit III
Tietokonegrafiikka
hunajakennoja
Reuna transitiivinen
Paketti
Tehtävät
Mosaiikkilaatat
- Conwayn kriteeri
- Girih
Lentokoneen säännöllinen jako
Säännöllinen hila
Korvaukset
Voronoin kaavio
Foderberg

Vertex- konfiguraation mukaan

Pallomainen	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
Oikea	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
puoliksi oikein	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4.8 2
Hyperbolinen _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3.16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5.8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6.8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7.6 2 7.8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2