Simsonin suora

Simsonin viiva on suora viiva, joka kulkee kohtisuorien kannan kautta kolmion sivuille sen rajatun ympyrän pisteestä. Sen olemassaolo perustuu Simsonin lauseeseen .

Simsonin lause

Kolmion rajatun ympyrän mielivaltaisesta pisteestä sen sivuille pudotettujen kohtisuorien kantat tai niiden jatkeet ovat samalla suoralla. Tätä linjaa kutsutaan Simsonin linjaksi [1] . $P$ $ABC$

Myös käänteinen väite on totta: jos pisteestä kolmion sivuille pudotettujen kohtisuorien kantat tai niiden jatkeet ovat samalla suoralla, niin piste on kolmion rajatulla ympyrällä. $P$ $ABC$ $P$

Historia

Tämän linjan löytäminen johtui pitkään Robert Simsonista (1687-1768), mutta todellisuudessa skotlantilainen matemaatikko William Wallace löysi sen vasta vuonna 1797 . Siksi tämän suoran perinteisen nimen ohella käytetään usein historiallisesti oikeudenmukaisempaa nimeä: "Wallacen suora" . [2]

Ominaisuudet

Antaa olla orthocenter kolmion . Sitten kolmion rajatun ympyrän mielivaltaisen pisteen Simson-viiva puolittaa janan pisteessä, joka sijaitsee yhdeksän pisteen ympyrällä . $H$ $ABC$ $P$ $ABC$ ${\näyttötyyli PH}$

Jos P ja Q ovat rajatun ympyrän pisteitä, niin pisteiden P ja Q Simsonin suorien välinen kulma on yhtä suuri kuin puolet kaaren PQ kulmasta .
- Erityisesti, jos rajatun ympyrän 2 pistettä ovat diametraalisesti vastakkaisia, niiden Simson-viivat ovat kohtisuorassa, jolloin 2 kohtisuoran Simson-viivan leikkauspiste sijaitsee myös yhdeksän pisteen ympyrässä . Tässä tapauksessa Simsonin kahden kohtisuoran suoran ja yhdeksän pisteen ympyrän leikkauspisteet ovat viimeisen ympyrän halkaisijan päät.

Kahdelle annetulle kolmiolle, joilla on sama rajattu ympyrä, Simsonin ympyrän pisteen P suorien välinen kulma molemmissa kolmioissa on riippumaton P :stä .

Simsonin viiva ja Morleyn kolmio

Kolmion ympyrässä on täsmälleen kolme pistettä siten, että niiden Simson-viiva on kolmion Euler-ympyrän tangentti , ja nämä pisteet muodostavat säännöllisen kolmion . Tämän kolmion sivut ovat yhdensuuntaiset Morleyn kolmion sivujen kanssa . $ABC$ $ABC$

Simsonin linja ja Steinerin linja

Piirretyn ympyrän pisteen P kanssa symmetriset pisteet kolmion sivujen suhteen sijaitsevat samalla suoralla, joka kulkee ortosenterin läpi. Tämä viiva ( Steiner - viiva ) on yhdensuuntainen Simsonin linjan kanssa ja kulkee siihen homoteettisesti kertoimella 1/2

Simsonin viiva ja Feuerbachin piste

Feuerbach-piste eli sisäympyrän tai ulkoympyrän tangenttipiste yhdeksän pisteen ympyrän kanssa on kahden Simsonin suoran leikkauspiste, jotka on muodostettu piirretyn ympyrän halkaisijan päille, jotka kulkevat piirretyn tai ulkoisen ympyrän vastaavan keskipisteen kautta. [3] .
- Erityisesti Feuerbachin pisteet voidaan rakentaa käyttämättä vastaavaa sisään- tai ulkoympyrää ja sille tangenttia Eulerin ympyrää .

Simsonin linja ja hartialihas

Tietyn kolmion Simson-perheen viivojen verhokäyrä on hartialihas - ns. Steiner - deltoidi .
- Jacob Steiner löysi hartialihaksen osittaisena hyposykloidina , jota kuvaa mielivaltainen kiinteä piste ympyrässä, joka pyörii luistamatta halkaisijaltaan 3 kertaa suuremman ympyrän sisällä. Ja se tosiasia, että kaikilla mahdollisilla Simsonin viivoilla, jotka voidaan piirtää annetulle kolmiolle, on verhokäyrä hartialihaksen muodossa, havaittiin noin 100 vuotta sitten eikä ollenkaan Steinerin toimesta [4] .

Simsonin linja ja ortopoli

Jos ortopoli on Simsonin suoralla, niin sen suora ℓ on kohtisuorassa sitä vastaan [5] .
Jos ortopolin suora ℓ leikkaa kolmion ympyrän kahdessa pisteessä P ja Q , niin ortopoli itse sijaitsee kahden viimeisen pisteen P ja Q kahden Simson-suoran leikkauskohdassa. [6]
Jos ortopolin suora ℓ on pisteen P Simsonin suora , niin pistettä P kutsutaan Simsonin suoran ℓ napaksi [5]

Simsonin suora yhtälö

Kun kolmio asetetaan kompleksitasolle, oletetaan, että kolmio ABC on merkitty yksikköympyrään ja sillä on kärjet, joiden kompleksiset koordinaatit ovat a , b , c , ja olkoon P kompleksikoordinaatilla p ympyrän piste. Sitten Simsonin viiva kuvataan seuraavalla yhtälöllä z :ssä : [7] $2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,$

jossa yläpalkki osoittaa monimutkaista konjugaatiota .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Yhdessäkään kuperassa polygonissa, jossa on vähintään 5 sivua, ei ole Simson-viivaa. [kahdeksan]
Jos kolmion rajatun ympyrän tietystä pisteestä piirretään suoria viivoja tietyssä suunnatussa kulmassa sivuille, niin saadut kolme leikkauspistettä ovat yhdellä suoralla. $P$ $ABC$
Simsonin viiva voidaan määrittää mille tahansa sisäänkirjoitetulle -gonille induktiolla seuraavasti: Simsonin pisteen viiva suhteessa annettuun kulmiin on suora, joka sisältää pisteen projektiot Simsonin linjoille kaikista -goneista, jotka saadaan poistamalla yksi kärkipiste -gon . $n$ $P$ $n$ $P$ $(n-1)$ $n$
Lohen lause
Poder-kolmio - kolmio, jonka kärjet ovat pisteestä kolmion sivuille pudonneiden kohtisuorien kantat; siinä tapauksessa, että piste on rajatulla ympyrällä, ihonalainen kolmio rappeutuu ja sen kärjet ovat Simsonin linjalla.

Olkoon ABC kolmio, ja olkoon suora ℓ (kuvassa vihreä) rajatun ympyrän keskipisteen X 3 läpi ja piste P on ympyrän päällä. Leikkaavat AP, BP, CP suoran ℓ pisteissä A p , B p , C p . Olkoot A 0 , B 0 , C 0 pisteiden A p , B p , C p projektiot suorille BC, CA, AB . Tällöin 3 pistettä A 0 , B 0 , C 0 ovat kollineaarisia pisteitä , eli ne sijaitsevat yhdellä suoralla. Lisäksi niiden läpi kulkeva suora kulkee samanaikaisesti janan PH keskipisteen läpi , jossa H on kolmion ABC ortosentti . Jos ℓ kulkee P :n kautta, viiva osuu Simsonin linjaan. [9] [10] [11]

Esimerkkejä

Kolmion Steiner-pisteen Simson-viiva on yhdensuuntainen suoran kanssa, ja Tarry-pisteen Simson-viiva on kohtisuorassa viivaan nähden , jossa on rajatun ympyrän keskipiste ja kolmen simediaanin leikkauspiste ( Lemoine-piste ) . kolmiosta . $ABC$ $OK$ $OK$ $O$ $K$ $ABC$

Muistiinpanot

↑ Coxeter G. S. M., Greitzer S. P. Uusia kohtaamisia geometrian kanssa. - M .: Nauka, 1978. - T. 14. - (Matematiikan ympyrän kirjasto).
↑ Gibson History 7 - Robert Simson (30. tammikuuta 2008). Haettu 2. lokakuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 9. lokakuuta 2016. (määrätön)
↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Huomautus. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkistoitu 30. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ Savelov, 1960 .
↑ 1 2 Orthopole (21. tammikuuta 2017). Haettu 22. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 22. kesäkuuta 2020. (määrätön)
↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. (Kappale: G. Ortopole. Kohta 697. Lause. Kuva 155. S. 289-290). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 s.
↑ Todor Zaharinov, "Simsonin kolmio ja sen ominaisuudet", Forum Geometricorum 17 (2017), 373-381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf Arkistoitu 7. lokakuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ Tsukerman, Emmanuel. Monikulmioista, jotka hyväksyvät Simson-linjan paraabelien diskreeteinä analogeina // Forum Geometricorum : päiväkirja. - 2013. - Vol. 13 . - s. 197-208 .
↑ Simson-linjan yleistys . Leikkaa solmu (huhtikuu 2015). Haettu 2. lokakuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 28. elokuuta 2019. (määrätön)
↑ Nguyen Van Linh (2016), Toinen synteettinen todiste Daon Simsonin viivalauseen yleistyksestä , Forum Geometricorum vol . 16:57–61 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf > Archived from December > 22. 2018 Wayback Machinessa
↑ Nguyen Le Phuoc ja Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 Synteettinen todiste Daon Simsonin viivalauseen yleistyksestä. The Mathematical Gazette, 100, s. 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. Arkistoitu 19. elokuuta 2016 Wayback Machineen The Mathematical Gazettessa

Kirjallisuus

Savelov A. A. Tasokäyrät . Systematiikka, ominaisuudet, sovellukset (Viiteopas) / Ed. A.P. Norden. - M . : Fizmatlit, 1960.
V. Berezin. Deltoid // Kvant . - 1977. - Nro 3 . - S. 19 . (Venäjän kieli)
EH Lockwood. Luku 8: Deltoid // Käyrien kirja (uuspr.) . - Cambridge University Press , 1961.
College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 s . Docvryoptl & sig = acfu3u1vm-wh5tr4sgc9ce52dcrf9qbjca & hl = ru & sa = x & ved = 2AHUKEWJQ1ZWDIJDQAHWRRISKHZF7BSYW6AWJQ1ZWYNOTHIRYNYNYNYNYNYNYNYNYNYNYNYNYNTHYNY HL = 249, joka on 249, 20-69, 20-69, 20-69, 20-69, quke. , 158, 165, 252, 273, 284, 288, 289

Linkit

Simson Line osoitteessa cut-the-knot.org
FM Jackson ja Weisstein, Eric W. Simson Line (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Yleistys Neubergin lauseesta ja Simson-Wallace-linjasta Dynamic Geometry Sketchesissä , interaktiivinen dynaamisen geometrian luonnos.

Kolmio
Kolmioiden tyypit	Suorakulmainen Tasakylkinen Tasasivuinen Tasakylkinen suorakaiteen muotoinen
Ihanat linjat kolmiossa	Mediaani Korkeus Bisector Keskisuorassa keskiviiva Piirretyt ja kaiverretut ympyrät Simsonin suora Eulerin linja Simediana Cheviana
Kolmion merkittäviä pisteitä	Orthocenter Keskus Incent Brocardin piste Vecten-piste Point Gergonne Lemoinen piste Miquel pointti Nagelin piste Napoleonin pisteet Torricellin kohdat Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste Spieker Center Kolmiokeskusten tietosanakirja
Peruslauseet	kolmion epätasa-arvo Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta Kolmioiden ratkaiseminen Kolmion ulkokulman lause Kolmion kulmien summan lause Pythagoraan lause Kosinilause Sinilause Projektiolause Heronin kaava
Lisälauseita	Van Obelin lause Menelaoksen lause Reuschlen (Terkema) lause Stewartin lause Tangenttilause Kotangenttilause Cevan lause Mollweiden kaavat
Yleistykset	pallomainen kolmio hyperbolinen kolmio Yksinkertainen